数学互动课堂互斥事件

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精互动课堂疏导引导1。互斥事件如果事件A和事件B不可能同时发生（即事件A发生，事件B不发生，事件B发生,事件A不发生），那么称事件A与B为互斥事件.互斥事件也叫做互不相容事件。例如，事件A：甲班明天第一节课是数学课；事件B:甲班明天第一节课是语文课.显然这两个事件是不可能同时发生的,故称事件A与事件B彼此互斥.疑难疏引(1)两个事件A与B互斥，是指由A、B所包含的结果所组成的集合的交集是空集。（2)若事件A与B是互斥事件,那么在事件讨论的全过程中,A与B同时发生的机会一次都没有.即A与B发生与否有三种可能：A发生,B不发生;A不发生，B发生；A、B都不发生。（3）互斥事件的概率加法公式设A、B为互斥事件，当事件A、B有一个发生时,我们把这个事件记作A+B.事件A+B发生的概率等于事件A、B分别发生的概率的和，即P（A+B）=P（A）+P(B),此公式也称概率和公式。一般地,如果事件A1，A2,…，An中的任何两个都是互斥事件,就说事件A1，A2,…,An彼此互斥.从集合的角度看，几个事件彼此互斥是指由各个事件所包含的结果组成的集合彼此没有公共元素，即两两交集都是空集.一般地，如果事件A1,A2，…,An两两互斥,则P(A1+A2+…+An）=P（A1)+P(A2）+…+P（An）。疑难疏引①应用加法公式P（A+B）=P(A）+P(B)的前提条件是：事件A与事件B互斥.如果没有这一条件,加法公式将不能成立。例如：抛掷一颗骰子,观察掷出的点数,记事件A=“出现奇数"，事件B=“出现的数不超过3”,那么A与B就不互斥。因为如果出现1或3，都表示A与B同时发生了.现在再看A+B这一事件，这个事件包括4种结果,出现1,2,3和5，∴P（A+B)=，而P（A)=,P(B）=,显然P（A+B）≠P(A）+P(B)②在求某些复杂的事件的概率时，利用公式P（A1+A2+…+An)=P(A1）+P(A2)+…+P（An），可将其分解成一些较易求的彼此互斥的事件,化整为零，化难为易。案例1向假设的三个相邻的军火库投掷一颗炸弹，炸中第一个军火库的概率为0。025，炸中其余两个军火库的概率各为0。1,只要炸中一个，另外两个也要发生爆炸。求军火库发生爆炸的概率.【探究】设以A,B，C分别表示炸中第一，第二,第三个军火库这三个事件,于是P（A）=0.025,P（B）=P(C)=0。1，又设D表示军火库爆炸这个事件,则有D=A+B+C，其中A，B,C是彼此互斥事件（因为只投掷了一颗炸弹,不会同时炸中两个以上军火库）.∴P（D)=P（A+B+C)=P（A）+P(B)+P(C）=0。025+0。1+0。1=0。225.规律总结投掷的一颗炸弹,只要炸中了其中的一个军火库，其余两个也要发生爆炸，所以“军火库发生爆炸"这一事件,就是炸中第一、第二、第三个军火库这三个事件之和，且它们彼此互斥，于是可依互斥事件的概率的有限可加性进行求解。从本例可以看出，解答概率应用题一般包括三个步骤：①用字母表示题中的事件；②依题设条件建立事件间的联系；③利用概率的定义、性质或有关公式进行相应的数字计算.2。对立事件对立事件是概率中又一重要概念，要做到准确理解.要清楚对立事件是对两个事件而言的,这两个事件中必须有一个发生。事件A的对立事件记作.对立事件的概率公式若事件A与事件是对立事件,则P(）=1—P(A)疑难疏引(1)两个对立事件的关系，如右图所示。关于“对立事件”，应从以下三个方面加深对它的理解。①强调语句对立事件的定义强调了两条:对立事件是以互斥事件为前提的；必有一个发生.②A与用表示A的对立事件.从集合的角度看，A和所含的结果组成的集合是全集中互为补集的两个集合，这时A和的交是不可能事件，A和的并是必然事件。③互斥事件的发生情况a.设A和B是互斥事件,则A、，B,的发生有三种可能：A发生,发生;发生，B发生；,发生。b.设A和B是对立事件，则A、、B、的发生情况是：A发生，发生;发生,B发生.（2）互斥事件与对立事件的区别和联系在一次实验中，不可能同时发生的事件是互斥事件，两个互斥事件，可能发生一个,也可能都不发生.而两个对立事件则必有一个发生，但不可能同时发生.所以两个事件互斥,不一定对立,反之,两个事件对立，它们一定互斥.(3)在求稍微复杂的概率时，通常有两种方法:一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是直接求P（A)有困难时,转化为求P(）.案例2在一只袋子中装有4个红玻璃球、3个绿玻璃球,从中无放回地任意抽取两次,每次只取一个,试求：（1)取得两个红球的概率；（2）取得两个绿球的概率;(3)取得两个同颜色的球的概率；(4）至少取得一个红球的概率。【探究】首先知道各事件中的基本事件有多少，再确定事件之间是互斥事件,故可根据互斥事件的概率加法公式求解.【解析】记四个红玻璃球为a1、a2、a3、a4,三个绿玻璃球为b1、b2、b3，第一次抽取有7种结果,对第一次抽取时的每种结果，第二次抽取时又有6种结果,故共有7×6=42种结果.（1）记“取得两个红球"为事件A1,A1有(a1,a2），（a1，a3)，（a1，a4），（a2,a3），(a2,a4）,（a3,a4）,(a2,a1）,(a3,a1),（a4，a1）,（a3,a2),（a4，a2）,（a4,a3)12种结果.∴P（A1)==。（2）记“取得两个绿球”为事件A2,A2有（b1,b2）,(b1，b3）,（b2,b3），（b2，b1），（b3,b1），（b3,b2）6种结果。∴P（A2)==。（3）记“取得两个同颜色的球”为事件A.A=A1+A2,A1、A2互斥.由互斥事件的概率加法公式得P(A）=P（A1）+P(A2）=+=。(4）记“至少取得一个红球”为事件B,显然事件B是事件A2的对立事件。∴P（B）=1—P（A2）=1-=。规律总结袋中摸球问题是概率中的重要题型,课本中举了一些例子，主要考查概念，作定性分析.本题把本节所学知识与前几节知识结合起来就一些随机事件作了定量分析,目的是加强知识的综合应用,通过枚举法或画树形图找出随机事件的结果的个数,利用等可能性事件求出概率，再通过互斥事件的概率公式，达到巩固概念的目的。（2）当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求时,可先转化为求其对立事件的概率。案例3有3个1g砝码,3个3g砝码和2个5g砝码,任意取出2个砝码,请探究如下的问题:（1）两个砝码重量相同的概率是多大?（2）两个砝码总重为6g的概率是多大？（3）两个砝码总重量不超过8g的概率是多大?【探究】（1）记“两个砝码重量相同”为事件A。“两个砝码重量都是1g”为事件A1，“两个砝码重量都是3g”为事件A2，“两个砝码重量都是5g"为事件A3，A1、A2、A3是互斥的。显然A=A1+A2+A3，由前面知识得P(A1）=,P(A2）=,P(A3）=。由互斥事件的加法公式,有P（A）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=++=。（2）记“两个砝码总重量为6g"为事件B.“两个砝码中一个砝码为1g，另一个砝码为5g”为事件B1，“两个砝码重量都为3g"为事件B2,B1、B2互斥。显然B=B1+B2.P（B1）==,P（B2）=。∴P(B）=P（B1）+P（B2)=+=.(3）正面去求比较复杂,故可考虑其对立事件。记“两个砝码总重量不超过8g”为事件C,设其对立事件为D,则D表示“两个砝码总重量超过8g”，则只有两个砝码都取5g的,而由上可知“两个砝码重量都是5g”为事件A3，P（A3)=.所以,P（C）=1-=。规律总结(1）在用互斥事件的概率加法公式求概率时，一定要明确公式的前提是事件彼此互斥，否则就可能出错.因此判断事件是否互斥就显得特别重要.(2）在利用P（)=1-P（A）求概率,一定要找准,否则易出错.活学巧用1。判断下列各对事件是否是互斥事件，并说明道理.某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,其中（1）恰有1名男生和恰有2名男生;（2）至少有1名男生和至少有1名女生；（3)至少有1名男生和全是男生；（4）至少有1名男生和全是女生。解析:判断两个事物是否为互斥事件，就是考查它们能否同时发生，如果不能同时发生,则是互斥事件，不然就不是互斥事件。解：（1）是互斥事件道理是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出的是“1名男生和1名女生”，它有“恰有2名男生",不可能同时发生，所以是一对互斥事件.(2）不可能是互斥事件道理是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生"两种结果.“至少有1名女生"包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生"两种结果,它们可同时发生。（3）不可能是互斥事件道理是：“至少有1名男生"包括“1名男生、1名女生"和“2名都是男生",这与“全是男生”，可同时发生。（4）是互斥事件道理是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果,它和“全是女生"不可能同时发生.2.甲、乙两射手同时射击一目标,甲命中的概率是0.65，乙命中的概率为0.60，那么能否得出结论：目标被命中的概率等于0.65+0。60=1。25，为什么？解析：不能.甲命中目标的同时，乙也有可能命中目标。两个事件可以同时发生,故甲命中目标与乙命中目标两事件不互斥。3。某战士射击一次,击中环数大于7的概率为0。6，击中环数是6或7或8的概率为0。3，则该战士击中环数大于5的概率为0。6+0。3=0.9对吗？为什么?解析：不对.因该战士击中环数大于7与击中环数为6或7或8不是互斥事件,所以不能用互斥事件的概率公式计算。4。高二·十九班派两名同学参加万米赛跑,他们夺取冠军的概率分别是和,则高二·十九班夺取该项冠军的概率是多少？解析：两人分别夺取冠军是互斥事件,所以两人至少一人夺冠，即该班取得该项冠军的概率是。。5.盒子里装有6只红球，4只白球,从中任取三只球.设事件A表示“三只球中有1只红球,2只白球”,B表示“三只球中有2只红球，1只白球”.已知P（A)=，P（B)=,求这三只球中既有红球又有白球的概率.分析：本题是求A+B的概率,而A与B是互斥事件,所以P(A+B）=P(A)+P（B）.解：P（A+B）=P(A）+P（B)==0.8.6.判断下列给出的条件，是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明道理。从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1—10各10张）中,任取一张.（1)“抽出红桃"与“抽出黑桃”；（2）“抽出红色牌"与“抽出黑色牌”；（3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9".解析:（1)是互斥事件，不是对立事件。道理是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃"是不可能同时发生的,所以是互斥事件.同时，不能保证其中必有一个发生,这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花"，因此，两者不是对立事件。（2)既是互斥事件,又是对立事件.道理是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌"与“抽出黑色牌”,两个事件不可能同时发生,且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件,又是对立事件。(3）不是互斥事件，当然不可能是对立事件。道理是:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出的牌的点数为5的倍数”与“抽出的牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此,两者不是互斥事件,当然不可能是对立事件.点评：判断是否为互斥事件，主要是看两事件是否同时发生;判断是滞为对立事件,首先看是否为互斥事件,然后再看两事件是否必有一个发生,若必有一个发生，则为对立事件;否则，不是对立事件.7。下列几对事件中是对立事件的是（)A。a＞1或a≥1B.a＜1或a＞2C。0＜a＜1或0＜a＜3D。a＜1或a≥1(a∈R）解析：由对立事件的定义易知选D.答案：D8。抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的数是奇数”，事件B为“落地时向上的数是偶数”，事件C为“落地上向上的数是3的倍数"，事件D为“落地时向上的数是2或4",则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是(）A.A与BB.B与CC。A与DD.C与D解析：由对立事件与互斥事件的定义知选C。答案：C9。一枚硬币连掷3次,则出现正面的概率是多少？分析:此题若从正面分析则有以下三种情况：三次都是正面；二次正面一次反面；一次正面两次反面.虽然它们是互斥事件，可以利用互斥事件有一个发生的概率公式来求解,但解题比较复杂。如果考虑其反面利用对立事件的概率来求解,则简单得多.解：出现正面的对立事件是出现的三次都是反面,由于三次都是反面的概率为，则出现正面的概率为1—=。10.抽查10件产品，设A={至少两件次品},则A等于（）A。{至多两件次品｝B。{至多两件正品｝C.｛至少两件正品｝D。｛至多一件次品｝答案：D11.战士甲射击一次，问：（1）若事件A（中靶）的概率为0.95,的概率为多少?（2）若事件B(中靶环数大于5）的概率为0。7,那么事件C（中靶环数小于6）的概率为多少？事件D（中靶环数大于0且小于6）的概率是多少？解析：（1)A与互为对立事件.∵P（A）+P（)=1,∴P(）=1—P（）=1-0。95=0。05。（2)事件B与C也是对立事件,所以P（C）=1—P（B）=1—0.7=0。3。事件D的概率应等于中靶环数小于6的概率减去未中靶的概率，即P（D）=P(C）-P（）=0.3—0.05=0.25.12。口袋内装有一些大小相同的红球、黄球和白球，从中摸出一个球，摸出红球的概率是0。4,摸出黄球的概率是0。35,那么摸出白球的概率是______________________.解析：记“摸出白球"为事件A，则为“摸出红球或黄球”,由于P()=0.4+0。35=0.75,所以P（A）=1—P（）=1—0.75=0.25.答案：0。2513.某人把外形相似的4把钥匙串在一起，其中