数学互动课堂单调性

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精互动课堂疏导引导本课时重点和难点是函数的单调性与导数的关系。1.函数的单调性与导函数的关系我们知道,如果函数f（x）在某个区间是增函数或减函数,那么就说f(x)在这一区间具有单调性,先看下面的例子:函数y=f(x)=x2—4x+3的图象如图所示。考虑到曲线y=f（x)的切线的斜率就是函数f（x)的导数，从图象可以看到：在区间(2，+∞)内，切线的斜率为正,即f′（x）＞0时，f(x)为增函数;在区间(—∞，2）内，切线的斜率为负,即f′（x)＜0时，f(x)为减函数。再观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.一般地,函数的单调性与导函数的正负有如下关系:在某个区间（a,b)内，如果f′(x）＞0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;如果f′(x)＜0，那么函数y=f（x）在这个区间内单调递减。2。利用导数判断函数单调性(区间)的一般步骤：（1)确定函数f（x)的定义域；（2）求f′(x);（3）令f′(x)≥0解得函数f（x）的增区间；令f′（x）≤0解得函数f（x)的减区间.3。f′（x)＞0（或＜0）是函数递增（或递减)的充分条件。但这个条件并不是必要的。如:y=x3在实数集内是严格增函数，但f′（0）=0.在（a，b）内可导的函数f(x）在（a，b)上递增(或递减)的充要条件应是f′（x）≥0〔或f′(x）≤0〕，x∈(a,b）恒成立，且f′（x)在(a，b）的任意子区间内都不恒等于0,这就是说，函数f（x）在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f′(x0）=0,甚至可以在无穷多个点处f(x0)=0，只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间.因此,在已知函数f(x)是增函数(或减函数）求参数的取值范围时,应令f′（x）≥0〔或f′（x）≤0〕恒成立,解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立理论求解),然后检验参数的取值能否使f′（x）恒等于0,若能恒等于0,则参数的这个值应舍去，若f′（x）不恒为0，则由f′（x）≥0〔或f′(x）≤0〕恒成立解出的参数的取值范围确定.4。构造函数,再采用求导的方法，利用函数的单调性证明不等式,是证明不等式常运用的方法,要掌握好.其中关键在于构造恰当的函数，有利于问题的解决。5.利用导数解决题目还应注意（1）证函数f（x）在(a,b）内单调,可以用函数的单调性定义,也可用导数来进行判别，前者较繁,后者较易,要注意若f(x）在(a，b)内个别点上满足f′（x）=0（或不存在但连续），其余点满足f′(x)＞0［或f′（x）＜0］,函数f（x）仍然在（a,b)内单调递增(或递减),即导数为零的点不一定是增、减区间的分界点.（2）对于含有字母系数的问题,根据题设正确地确定字母的取值范围是解决问题的关键之一.函数的导数与函数单调性的关系,为我们研究函数的单调性提供了有力的工具，在今后的学习中要养成使用导数研究函数单调性的习惯.案例1已知向量a=(x2,x+1),b=（1-x，t),若函数f(x)=a·b在区间（-1，1)上是增函数,求t的取值范围。【探究】解法一依定义f(x）=x2（1-x）+t(x+1）=—x3+x2+tx+t，则f′（x）=-3x2+2x+t.若f(x)在（-1，1)上是增函数，则在(-1，1）上可设f′(x）≥0。∴f′（x）≥0t≥3x2-2x，在区间（-1,1)上恒成立，考虑函数g(x）=3x2-2x,由于g（x）的图象是对称轴为x=,开口向上的抛物线,故要使t≥3x2—2x在区间(-1,1)上恒成立t≥g（-1),即t≥5。而当t≥5时，f′(x)在（-1，1）上满足f′(x）＞0，即f(x）在（-1，1)上是增函数。故t的取值范围是t≥5。解法二依定义f（x)=x2（1—x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t,f′（x）=-3x2+2x+t。若f(x)在（-1，1）上是增函数，则在(—1,1)上可设f′(x)≥0。∴f′（x）的图象是开口向下的抛物线，∴当且仅当f′（1）=t-1≥0，且f′(—1)=t—5≥0时f′(x）在（—1,1）上满足f′（x)＞0，即f（x)在(-1，1）上是增函数.故t的取值范围是t≥5.【规律总结】①这是导函数增减性的一个简单应用，也就是说，根据函数导数可判断增减性，反之也可以根据导函数的增减性，求有关的参变量.②对于含有字母系数的问题,根据题设正确地确定字母的取值范围是解决问题的关键之一。函数的导数与函数单调性的关系，为我们研究函数的单调性提供了有力的工具,在今后的学习中要养成使用导数研究函数单调性的习惯.案例2(2005福建高考)已知函数f(x）=x3+bx2+cx+d的图像过点P（0，2),且在点M（—1，f（—1)）处的切线方程为6x-y+7=0。(1）求函数y=f(x）的解析式;（2)求函数y=f（x)的单调区间.【探究】（1）由f(x)的图像经过点P(0，2)，知d=2，∴f(x）=x3+bx2+cx+2,f′(x）=3x2+2bx+c。由在点M（—1,f(-1))处的切线方程是6x-y+7=0，知-6-f（—1)+7=0，即f（—1）=1,f′(-1)=6。∴即解得b=c=-3.故所求的解析式是f(x）=x3-3x2—3x+2.(2）f′（x）=3x2—6x—3。令3x2—6x-3=0,即x2-2x-1=0。解得x1=，x2=.当或时，f′(x）＞0;当时，f′(x）＜0.故f（x)=x3—3x2-3x+2在（—∞，)内是增函数，在(，)内是减函数，在(,+∞)内是增函数。活学巧用1.求下列函数的单调区间，并指出其单调性。（1）f（x）=x3；(2)f（x）=2x3—9x2+12x—3；(3)f（x）=lnsinx.解析：(1）∵f′(x)=3x2,∴当x≠0时，f′(x）＞0；当x=0时,f′（x）=0。又当x＞0时f(x)＞0,x＜0时f（x)＜0,x=0时f(x)=0,根据函数的连续性知，f（x)在(-∞,+∞)上是增函数,即y=x3的增区间为(-∞，+∞).（2)∵f′（x）=6x2—18x+12,由f′(x)＜0得1＜x＜2,由f′(x)＞0得x＜1或x＞2。故f(x）的增区间为（-∞，1）及(2,+∞），减区间为(1,2)。（3)函数f（x）的定义域为2kπ＜x＜2kπ+π（k∈Z）.∵f′(x)==cotx，由f′(x）＞0及函数定义域得2kπ＜x＜2kπ+（k∈Z)。由f′（x）＜0及函数定义域得2kπ+＜x＜2kπ+π（k∈Z）.故该函数的单调增区间为（2kπ，2kπ+）(k∈Z）,减区间为（2kπ+，2kπ+π）(k∈Z）.2。证明函数f(x）=ex+e—x在［0，+∞)上是增函数。证明:f′(x)=（ex）′+(）′=ex+()=ex-e—x=,∵当x∈［0,+∞)时ex≥1，∴f′(x)≥0。∴f（x)=ex+e-x在［0,+∞)上为增函数.3.确定函数f(x)=x2-4x+3的增减区间.解析：f′(x)=2x-4.令f′(x）≥0即2x-4≥0，解得x≥2,故当x∈[2,+∞）时，是增函数；令f′(x）≤0即2x—4≤0,解得x≤2,故当x∈[-∞，2）时，是减函数.4。已知函数f(x）=kx3—3(k+1)x2—k2+1（k＞0).若f(x）的单调递减区间是(0，4），（1）求k的值；(2)当k＜x时，求证：.解析：(1)f′(x）=3kx2-6（k+1)x由f′(x）＜0得,∵f(x)的递减区间是（0，4)∴=4，∴k=1。(2)设g(x）=，g′(x）=.当x＞1时，∴，∴g′(x）＞0，∴g（x）在x∈［1,+∞）上单调递增∴x＞1时，g（x）＞g(1)。即,∴5。设f（x）在R上是偶函数，在区间（—∞,0)上f′(x)＞0且有f(2a2+a+1)＜f（-3a2+2a解析:∵在(—∞,0）上f′(x）＞0，∴f（x）在(—∞,0）上为增函数。又f(x）为偶函数，∴f(x）在（0，+∞)上为减函数,且f(—3a2+2a-1)=f（3a2—2a+1）.∴原不等式可化为f(2a2+a+1）＜f(3a2-2a+1）.又2a2+a+1＞0，3a2—2a+1＞0恒成立,∴2a2+a+1＞3a2—2a+1。解得0＜a＜3为所求.6.证明不等式ln（1+x）＞（x＞0).证明:令f（x）=ln（1+x)—x+,则f′（x）=.当x＞—1时，f′(x）＞0，因此f（x）在（—1，+∞）内为增函数。于是当x＞0时，f（x）＞f（0）=0.∴当x＞0时，ln(1+x)＞。7.已知函数y=ax与y=在(0,+∞）上都是减函数,试确定函数y=ax3+bx2+5的单调区间.解析：∵函数y=ax与y=在(0,+∞）上都是减函数，则a＜0,b＜0.由y=ax3+bx2+5得y′=3ax2+2bx.令y′＞0,得3ax2+2bx＞0，∴.∴当x∈(，0）时，函数为增函数。令y′＜0，即3ax2+2bx＜0，∴,或x＞0。∴当x∈(-∞，）或（0，+∞)时，函数为减函数。8.设t≠0,点P(t，0)是函数f（x）=x3+ax与g(x)=bx2+c的图象的一公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.（1）用t表示a、b、c；（2)若函数y=f（x)-g（x)在(—1,3)上单调递减,求t的取值范围。解析:（1)因为函数f（x)、g（x）的图象都过点(t，0)，所以f(t）=0，即t3+at=0.因为t≠0,所以a=—t2。g（t）=0，即bt2+c=0,所以c=ab。又因为f（x)、g（x）在点(t,0)处有相同的切线，所以f′（t）=g′（t).而f′（t）=3x2+a，g′(x）=2bx,所以3t2+a=2bt。将a=-t2，代入上式得b=t.因此c=ab=-t3,故a=-t2,b=t,c=—t3.（2)方法一:y=f（x)—g(x)=x3-t2x-tx2+t3，y′=3x2—2tx-t2=(3x+t）（x—t)。当y′=(3x+t)(x-t）＜0时,函数y=f(x）-g(x)单调递减.由y′＜0,若t＞0,则＜x＜t；若t＜0，则t＜x＜.由题意，函数y=f(x)-g（x)在（-1,3）上单调递减，则（-1,3）（，t)或（-1,3）（t，）.所以t≥3或≥3，即t≤—