江西省宜春市宜春中学2024-2025学年高二上学期10月第一次月考数学试题（含答案）

2026届高二上学期第一次月考数学试卷（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、准考证号等信息。2．请将答案正确填写在答题卡上。第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设直线的倾斜角为，则的值为（）A． B． C． D．2．已知直线和，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件3．已知，且与夹角为锐角，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．4．已知圆与轴相切，则（）A．1 B．0或 C．0或1 D．5．如图所示，在四面体中，点是的中点，记，，则等于（）A． B．C． D．6．在圆锥中，轴截面为腰长为的等腰直角三角形，为底面圆上一点，且为线段上一动点，为等腰三角形，则的最小值为（）A． B． C． D．7．已知，动圆经过原点，且圆心在直线上．当直线的斜率取最大值时，（）A． B． C． D．8．已知直线与圆交于不同的两点是坐标原点，且有，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。）9．下列命题不正确的是（）A．经过定点的直线都可以用方程表示B．直线过点，倾斜角为，则其方程为C．在坐标轴上截距相等的直线都可以用方程来表示D．直线在轴上截距为210．已知集合，则下列结论不正确的是（）A．存在，使得 B．当时，C．当时， D．对任意的，都有11．如图，已知正方体的棱长为1，为底面内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（）A．三棱锥的体积为定值B．存在点，使平面C．若，则的轨迹长度为D．若点是的中点，点是的中点，过，作平面平面，则平面截正方体的截面面积为第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12．两平行直线与之间的距离为______．13．在空间直角坐标系中，点，点，点，则在方向上的投影向量的坐标为______．14．已知圆为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为和的中点为，若点的坐标为，则的最小值为______．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）15．（本题满分13分）已知直线，且满足，垂足为．（1）求的值及点的坐标．（2）设直线与轴交于点，直线与轴交于点，求的外接圆方程．16．（本题满分15分）已知的内角，，所对的边分别为，，，且．（1）求角；（2）若为边上一点，为的平分线，且，求的面积17．（本题满分15分）如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，．（1）证明：平面；（2）在线段（不含端点）上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由．18．（本题满分17分）如图1，矩形中，为边上的一点．现将沿着折起，使点到达点的位置．（1）如图2，若为边的中点，点为线段的中点，求证：平面；（2）如图3，设点在平面内的射影落在线段上．①求证：平面；②当时，求直线与平面所成的角的余弦值．19．（本题满分17分）已知定点，动点满足．（1）求动点的轨迹的方程；（2）设，过点作与轴不重合的直线交曲线于、两点．（ⅰ）过点作与直线垂直的直线交曲线于、两点，求四边形面积的最大值；（ⅱ）设曲线与轴交于、两点，直线与直线相交于点，试讨论点是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．

答案题号1234567891011答案CADDABBCACDABCABD二、填空题12． 13． 14．三、解答题15．（1） （2）．【详解】（1）解：由，可得，解得，所以直线，直线，联立方程组，解得，所以点．（2）解：由直线，直线，可得，所以的外接圆是以为直径的圆，可得圆心，半径，所以的外接圆方程是．16．（1）；（2）【详解】（1）因为，由正弦定理可得，且，即，整理可得，且，则，可得，又因为，则，可得，所以．（2）因为为的平分线，则，因为，则，即，可得，在中，由余弦定理可得，即，整理可得，解得或（舍去），所以的面积．17．【详解】（1）正方形中，，平面平面，平面平面平面，平面，又平面，所以，又，则，又，则，即，又，则平面，平面；（2）由（1）知，平面，以为坐标原点，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，设点，，，故，，设平面的法向量为，，令，则，为平面的一个法向量，又，设平面的法向量为，，令，则，所以为平面的一个法向量，，解得或，则线段（不含端点）上不存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为．18．（1）证明见解析 （2）①证明见解析，②【详解】（1）证明：如图，取线段的中点，连接，因为点是线段的中点，所以，因为，所以，即四边形是平行四边形，所以，又因为平面平面，所以平面；（2）①由题意可知平面平面，故，又平面，故平面．②由于平面，故为直线与平面所成的角，，故，，则，故，故直线与平面所成的角的余弦值为．19．（1）；（2）（ⅰ） 7；（ⅱ）在定直线上【详解】（1）设动点的坐标为，因为，且，所以，整理得，即：所以动点的轨迹的方程为；．（2）（ⅰ）因为直线不与轴重合，所以设直线的方程为，即，则直线为，设曲