2020-2021学年度高一年级下册数学期末全真模拟卷（二）解析版

2020-2021学年高一下学期期末考试全真模拟卷(二)

数学试卷

单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

cii—\

1.复数——在复平面上对应的点位于第一象限，则实数。的取值范围是

i

A.(-oo,-l)B.(-oo,0)

C.(0,+oo)D.(I,+oo)

【答案】C

rxi-ai—1(ai—1)z—ci—i.

【解析】-----_一=---------=a+i

ii2-1

因为对应的点位于第•象限，所以a>0,故选c.

2.平面向量£与B的夹角为60°,a=(2«0),\h1=1,则|1+2刈等于

A.百B.2百C.4D.12

【答案】B

【解析】

把|万+2后|平方后再开方即可.因为£=(2,0),|加=1

所以|a|=2,人石=2xlxcos60°=1

所以|〃+2区|=小〃+44・石+4役-=25/3

故选：B.

3.对一个容量为N的总体抽取容量为〃(九22)的样本，选取简单随机抽样和分层随机抽样两种不同方法抽取

样本，在简单随机抽样中，总体中每个个体被抽中的概率为P1,某个体第一次被抽中的概率为〃2；在分层随

机抽样中，总体中每个个体被抽中的概率分别为P3则()

A.p2<p]<B.P|=〃2=，3C.〃2<〃I=P3D.，|,必，〃3，没有关系

【答案】B

【解析】

根据简单随机抽样、分层抽样的定义即可得到结论.根据抽样调查的原理可得简单随机抽样，分层抽样都必须

满足每个个体被抽到的概率相等，即P1=P2=

故选：B.

4.空间四边形Q钻C的各边及对角线长度都相等，D、E、尸外别是A3、BC、C4的中点，下列四个

结论中不成立的是（）

A.BC//平面PDFB.。尸_L平面Q4E

C.平面平面ABCD.平面PAEJ_平面A8C

【答案】c

【解析】

由线面平行的判定定理可判断A；由线面垂直的判定定理可判断B；反证法可说明C：由面面垂直的判定定理可

判断D.对于A,•••。，/外别是A6,C4的中点，.•.BC//OE，DFU平面PDF，，BC〃平面PDF，

故A正确，不符合题意；

对于B,♦.•各棱长相等，E为中点，•.•8C_LAE,BC_LPE,•.•PECAE=E,

.•.8。_1平面24£，;6。//。/，，。/_1平面24£，故B正确，不符合题意;

对于C,假设平面。£史，平面ABC，设DEcBF=O,连接尸。，则。是。E中点，.•.PO_LOE,•••平

面POED平面ABC=Z）£,，PO_L平面4BC，•.•BEu平面ABC，.•.POLB/7,则必=77、与

PBwPF矛盾，故c错误，符合题意；

对于D,由B选项叱_L平面£>Fu平面A8C，.・•平面PAE_L平面ABC，故D正确，不符合题

故选：C.

5.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）

A.至少有一个黑球与都是黑球

B.至少有一个黑球与至少有一个红球

C.恰好有一个黑球与恰好有两个黑球

D.至少有一个黑球与都是红球

【答案】C

【解析】

列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，逐项判断.A：事件：”至少有一个黑球"与事

件："都是黑球"可以同时发生，如：两个都是黑球，,这两个事件不是互斥事件，故错误；

B：事件："至少有一个黑球"与事件："至少有一个红球"可以同时发生，如：一个红球一个黑球，故错误；

C：事件："恰好有一个黑球"与事件：”恰有两个黑球"不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个

都是红球，，两个事件是互斥事件但不是对立事件，故正确

D：事件："至少有一个黑球"与"都是红球"不能同时发生，但一定会有一个发生，

,这两个事件是对立事件，故错误；

故选：C

6.若（a+Z?+c）S+c-a）=3/?c,且sinA=2sin3cosC，那么△/18。是（）

A.直角三角形B.等边三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【解析】

首先利用余弦定理求出A，再由sinA=2sin8cosC利用正弦定理将角化边，以及余弦定理将角化边可得

b=c,即可判断三角形的形状;解：•.•（a+/?+c）S+c-a）=3Z?c,

[(Z?+c)+a][(ft+c)-a]=3bc,

{b+c)2-a2=3bc,

b~+2/?c+c?—a~=3bc，

b1—bc+c2=a2，

根据余弦定理有a?=b2+c2-2bccosA，

b2-be+c2=a2=b2+c2-2bccosA，

bc=2hccosA<

,1

cosA--,

2

.-.A=60°.

又由sinA=2sinjBcosC，

122

IJ.,1sinAaa+b-c

则------2cosC,即一=2---------,

sinBblab

化简可得，芳=*，

即b=c,

.1△ABC是等边三角形

故选：B.

7.如图，在正方体A5CD-A3'C'£>'中，线段上有两个动点E，F，若线段所长度为一定值，则下

列结论中第误的是()

A.ACA.BE

B.8。，平面4?£；

c.防//平面A8CO

D.三棱锥5-AEV的体积为定值

【答案】B

【解析】

对A,连接8D,通过证明AC_L平面33'D'O可得；对B,通过乙480=45°可判断；对C,通过平面48c。〃

平面A'&CT/可判断；对D,可判断三棱锥的高和底面积为定值.对A,连接BD,•.•底面ABCD是正方形，

AC1BD,又DZ)'_L平面ABCD,ACU平面ABC。，_LAC，•.•5£>c£>£/=£>，...AC，平

面BB'。'。，•.•8£<=:平面88'。'。，；.4。，3石，故A正确，不符合题意；

对B,若平面43E，•.•ABu平面43E,.•.BD_LA8,但显然NA3£>=45°，所以3。J_平面ABE

不成立，故B错误，符合题意；

对C,正方体中，平面ABCD〃平面AB'C。'，•.•所U平面AB'C'。'，〃平面ABCD,故C正确，不

符合题意；

对D,•.•点4到平面BEF的距离也是点A到平面BBdD的距离，等于AC的一半，即三棱锥高为定值，而以孙

的边EE为定值，高为BB'为定值，故体积为定值，故D正确，不符合题意.

故选：B.

8.设锐角△ABC的内角A民C所对的边分别为凡"。，若A=(,a=百，则/的取值范围为

()

A.(1,9]B.(3,9]

C.(5,9]D.(7,9]

【答案】D

【解析】

g—再由余弦定理可得/+c2+0c=8sin8sin3

由正弦定理求出b=2sinB,c=2sinT-4-

化为5+4sin12B一看卜结合角的范围，利用正弦函数的性质可得结论.因为A=恭=技

a_6_?_b_c

由正弦定理可得sinAV3sinB.(2万.

2I3)

(2万

则有b=2sinB,c=2sinI———B

由△ABC的内角A8,C为锐角，

Q<B<-,

可得〈c2，

c2万c万

0<------B<—,

32

71n71兀cn兀57r1.\r\n乃)tcA•1/>>-4A

:.—<B<—=>—<2B<——=>—<sin2B<1=>2<4sin2B<4,

626662L6j(6J

由余弦定理可得。2=b2+c2-2bccosA=>3=Z?2+c2-be,

因此有。2+02+加=勖。+3

=8sinBsin-8)+3

=4A/3sinBcosB4-4sin2B+3

=2V3sin2B-2cos28+5

=5+4sin|2B--|G(7,9]

故选：D.

二.多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.全对得5分，少选得3分，多选、错选不得

分.

9.已知，为虚数单位，以下四个说法中正确的是

A.=。

B.复数z=3—i的虚部为—i

C.若z=(l+2i)2,则复平面内三对应的点位于第二象限

D.已知复数Z满足|z-l|=|z+l|,则Z在复平面内对应的点的轨迹为直线

【答案】AD

【分析】根据复数的概念、运算对选项逐一分析，由此确定正确选项.

【解析】A选项，，+『+『+/=，一1一，+1=0，故A选项正确.

B选项，Z的虚部为—1，故B选项错误.

C选项，z=l+4i+4/=—3+4i5=-3—4i，对应坐标为（-3,-4）在第三象限，故C选项错误.

D选项，,一1|=上+1|=卜一（一1）|表示2到4（1,0）和8（-1,0）两点的距离相等，故z的轨迹是线段A8的

垂直平分线，故D选项正确.故选AD

10.对任意向量b>下列关系式中恒成立的是（）

A.\a-b\<\a\\b\

B.|a-S|<||a|-|^||

2

c.（万+5）=|2+汗

D.（1+5）・（万_$）=万2_$2

【答案】ACD

【解析】

由数量积的定义和运算性质逐个判断即可.对于A,设向量办的夹角为6,因为

|a-S|=|a|-|^|-|cos6>|<pz|-|^|,所以A正确；

对于B,如图，设次=£,OB=b<则丽=2—B，所以，|O4|=|Z|，加，|区4|=|£一3|,因

为|84闵。4|—耳，所以|1石|2恒|一间，故B错；

对于C,因为向量的平方等于向量模的平方，则（Z+B）2=归+闸2，所以c正确;

时JD,(a+b)-(a—b)=a—a-b+h-a-^-b=a—b'所以D正确.

故选：ACD.

11.点M是正方体ABC。一A4G。中侧面正方形A。。A内的一个动点，则下面结论正确的是（）

A.满足CNL4,的点M的轨迹为线段

B.点M存在无数个位置满足直线H平面BCQ

C.在线段AA上存在点M，使异面直线与M与CD所成的角是30。

D.若正方体的棱长为1,三棱锥8-G/。的体积的最大值为:

【答案】ABD

【解析】

对于A,由正方体的性质和。加，他可得4〃_1平面4。。，从而可得点M在线段A。上时，有

CM±ADX.对于B,由正方体的性质可得平面AD耳II平面BCQ,所以当点M在AQ上时，均有B1M//

平面BCQ,从而可判断；对于c,异面直线4M与8所成的角是NA4M,当M在线段AR上运动时，

点M取的中点时，N44M最小，其正切值为注＞32,从而可判断；对于D,由正方体的性质得，

23

4。，平面5。1£）,若正方体的棱长为1,则点M与A重合时，三棱锥8—GM。的体积取得最大，从而可

求出其体积解：对于A,如图，在正方体A5CD—AgGA中，CD_L平面A0A4,ARu平面AOQA，

所以CCAR,因为4。，4口，A}DC\DC=D,所以平面4。。，所以当点M在线段4。上

时，有CMJ.A£＞「所以点A/的轨迹为线段，所以A正确；

对于B,在正方体ABC。一AfCQi中，因为用。IlBD，BDu平面BCQ,与"u平面BCQ,所以

耳。|||平面3。|。，同理A。”平面BG。，而42030=2,所以平面AD4||平面3G。，所以当

点M在AD,上时，均有BtM//平面BQD,所以点M存在无数个位置满足直线B}MII平面BCQ,所以

B正确；

对「C,异面直线耳M与。。所成的角是NAqM,当“在线段AR上运动时，点M取A0的中点时，

NA4M最小，其正切值为也〉立，所以不存在点M，使异面直线与C。所成的角是30。，所以c

23

错误；

对于D,由正方体的性质得，ACJL平面8G。，若正方体的棱长为1,则点M与4重合时，三棱锥B—GMD

的体积取得最大，其值为JxLxJIx血x走x2叵=1,所以D正确,

32233

故选：ABD

12.从甲袋中摸出一个红球的概率是工，从乙袋中摸出一个红球的概率是，•，从两袋各摸出一个球，下列结论

32

正确的是（）

A.2个球都是红球的概率为！B.2个球中恰有1个红球的概率为‘

62

c.至少有1个红球的概率为2D.2个球不都是红球的概率为！

33

【答案】ABC

【解析】

根据从甲袋或从乙袋中摸球互不影响,得到从两个袋子中摸球的事件为相互独立事件，然后各选项利用独立事

件概率的乘法公式求解A因为从甲袋中摸出一个红球的概率是一，从乙袋中摸出一个红球的概率是工，所以

32

2个球都是红球的概率为0='*'=’，故正确；

326

B.因为从甲袋中摸出一个红球的概率是工，从乙袋中摸出一个红球的概率是人,所以2个球中恰有1个红球

32

11

的概率为P=+x—'=~,故正确;

22

C.因为从甲袋中摸出一个红球的概率是工，从乙袋中摸出一个红球的概率是所以至少有1个红球的概率

32

1(1}1112

为p==7,故正确;

Jk乙JkDJ乙D乙J

D.因为从甲袋中摸出一个红球的概率是一，从乙袋中摸出一个红球的概率是!，所以2个球不都是红球的概

32

率为p=lx—=一，故错误:

326

故选：ABC

三.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在一次全运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.羽毛球的比赛规则是3局2胜制，假设

每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率.为此，用

计算机产生1〜5之间的随机数，当出现随机数1,2或3时，表示一局比赛甲获胜，其概率为06由于要比赛

三局，所以每3个随机数为一组.例如，产生了20组随机数：

423231423344114453525323152342

345443512541125342334252324254

相当于做了20次重复试验，用频率估计甲获得冠军的概率的近似值为.

【答案】0.65

【解析】

由20组随机数中先求出甲获胜的频数，从而可求出甲获胜的频率，进而可得答案解：由题意可知，20组随机

数中甲获胜的有：423231423114323152342512125342334252324有13组，

13

所以甲获胜的频率为，=0.65,

20

所以甲获得冠军的概率的近似值约为0.65,

故答案为：（）.65

14.已知力是空间两个不同的平面，帆,〃是空间两条不同的直线，给出的下列说法：

①若m//c,〃//£,且加〃〃，则。///?：

②若m//a,〃///?,且〃则

③若加_La,nLp,且〃?〃〃，则

④若加_La,n±j3,且〃z_L〃，则

其中正确的说法为（填序号）

【答案】③④

【解析】

利用空间线面、面面平行、垂直的性质定理和判定定理分别分析四个命题，得到正确答案.①加//a，〃//£，

且〃〃/〃，则名△可能相交，故①错误；

@mlla，nil且机_1〃，则a,仅可能相交，也可能平行，故②错误;

③〃?_La，〃，/?.且加〃〃，则a〃4，根据线面垂直的性质可知③正确；

④加_La,〃，力、且加，“，则。，万，根据线面垂直的性质可知④正确.

故答案为：③④.

15.己知向量落B满足|5|=1,a2-yab+l=O,则九（2M+S）的取值范围是.

【答案】|,7

【解析】

I3o

由数量积公式结合-1tfcosO1得出§0万区3,再由小（24+5）=2万万+1=：工+《结合二次函数的性

质得出所求范围.・.・展5=\a\\b|cos0=\a\cos0

I。10、°-

.二）2万•万+1=0可得|一_万|cos9+l=0可变形为C°S—10||

1＜团+11

由-1KcosO1可知，10.解得一区3

1“3

---3。8「5一

:.b\2a^-b）=2a-b+\=-a2^-e-,7

故答案为：­,7

16.已知|。N|二|丽1=1,若存在R,使得加通+65与山而+丽夹角为60°，且

（加通+方）一（〃而+而）1=;,则I4耳的最小值为.

【答案】叵

2

【解析】

一_____1____1

设2=两=加通+砺，6=南=”而+砺可得A,A',8,8'共线，又|a—b|=|B'A|=5,当|B'A|=]

为最小时0回最小，而此时A'、8'关「y轴对称，结合己知即可求|通|的最小值.由题意，AB=OB-OA'

，令a=OA'=»iAB+QA=(l-/n)OA+7nO3,b=OB'=nAB+OB=(1+n)OB-nOA,故有

共线,

y

.•归一同=i配可=g,故当且仅当।两i=g为最小时，口司最小,

...有4、3'关于y轴对称时，|丽|最小，此时。到AB的距离为G.号］=字

故答案为：叵.

2

四.解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

2

17.已知复数z=o+i(o>0,o£R),/•为虚数单位，且复数z+一为实数.

Z

(1)求复数Z；

(2)在复平面内，若复数(m+z)2对应的点在第一象限，求实数m的取值范围.

【答案】⑴z=l+i；(2)(0,+。).

,,22

【解析】（1）因为z=a+«o>0）,所以zd—=a+i+

z<7+Z

2((l-z)2a-2i2a

=a+i+=a+/+2.«^+―~~-

4+1Q-+1I+1

22

由于复数z+一为实数，所以1一

Z777=°'

因为o>0,解得o=L因此，z=l+/\

(2)由题意(m+z)2=(m+l+/)2=(m+l)2—l+2(m+l)i=(m2+2m)+2(m+l)。

'2

m"+2m>0

由于复数（m+zF对应的点在第一象限，则（■解得m>0.

2(/7?+1n)>0n

因此，实数m的取值范围是（0,+8）.

18.某市为了了解中学生课外阅读情况，随机抽取了1000名高一学生，并获得了他们一周课外阅读时间（单位:

小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表.

组号分组频数频率

1[0,5)500.05

2[5,10)a0.35

3[10,15)300b

4[15,20)2000.20

5[20,25)1000.10

合计10001

频率

0.08

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

时间

051015202530

（1）求。，力的值，并在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图（用阴影涂黑）；

（2）根据频率分布直方图估计该组数据的平均数及中位数（中位数精确到0.01）;

（3）现从第4,5组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中任意抽取2人进行调研《红楼梦》的阅读情

况，求抽取的2人中至少有一人是5组的概率.

_3

【答案】（1）。=35（），力=0.30；图象见解析：（2）x=12,25.中位数11.67：（3）

【解析】

（D根据频率分布直方表，列出方程组，即可求得a,b的值，进而得到频率分布直方图；

（2）利用平均数和中位数的计算公式，即可求得该组数据的平均数和中位数；

（3）设第4组为A,,A4,第5组为⑸，B2,利用列举法，求得基本事件的总数和所求事件所包

含的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.（1）根据频率分布直方表，可得

50+4+300+200+100=1000

'0.05+0.35+Z?+0.20+0.10=l'

解得a=35(),/?=0.30,

频率分布直方图，如图所示:

(2)该组数据的平均数:x=2.5x0.05+7.5x0.35+12.5x0.3+17.5x0.2+22.5x0.1=12.25>

由题图可知，中位数应在10至15之间，设中位数为x,

则0.05+0.35+10)x0.06=0.5,解得x*11.67，故中位数的估计值为11.67.

(3)从第4,5组抽取的人数分别为4,2,第4组的4人，

设为4，4，A&,第5组的2人，设为B2,

则从该人中选出人的基本事件有ABAB

624A2,4A,，44,\\-\2>44,AA-4g,A,B2,44,

,月冬，共种，

A3A，A3B2,Ag,A4B215

其中都是第4组的基本事件有44，AA3,AA“4A3,4A“4A”共6种，

693

所以至少有一名学生是5组的概率”=1——=—=一.

15155

19.已知向量。=cosTX,Sin|X）出=[os泉一sin楙）,且呜求:

(1)75及I。+BI；

____3

(2)若/(光)=1〃+5]的最小值为一万，求实数义的值.

【答案】(1)ab=cos2x»\a+b\=2cosx(2)2=—.

【解析】

(1)利用向量的数量积和向量的模的坐标运算公式，直接运算，即可求解;

(2)由(1)求得函数/(%)=2以”21-4*05%-1,%€[0,§,令，=cosxe[0,l],得到

y=2z2-42r-l,Ze[0,l],结合二次函数的性质，即可求解.(1)由题意，向量

£=(cos|x,sin|x),B=X.X、

cos—.-sin一

22)

3.3)%x3x3x3xx

可得a•坂=cos—x,sin-xcos-,-sin-=cos-xcos一一sin-xsin-=cos(一+—)=cos2x,

22)22j222222

又由二Jcos2|-x+sin2|-x=l,|^|=J(cos])2+(-sin^)2=1

所以

|£+b|=JU+B+2a•B=Vl+l+2cos2x=j2+2cos2犬=2cosx,

—»—"—»—•jri

(2)由(1)可得/(冗)=a•。-24|a+b|=cos2x—4Xcosx,x£[0,—|,

21

,式

即/(x)=coslx-4/icos%=2cos2x-42cosx-l,xe[0,—],

☆f=cosxw[0,l],所以y=2r-4力,

对称轴为f=4,

若/IWO,则ymin=-l，不符合题意；

若人21,则^^=1—4/1=—=3,解得2=59(舍去)；

2o

若0<4<1，则^^=一1—2丸2=——,解得；!=；,

22

综上可得：义=上

2

20.AABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知(2sinA—6sinB)2=4sin2C-sin28.

(1)求角C的大小；

(2)若5=1,c=J7,求cos(B—C)的值.

【答案】⑴C=工；⑵区.

614

【解析】

(1)将等式化简，再利用正弦定理及余弦定理，即可求出角C；

⑵利用正弦定理求出sinB，办根据b<c，可知8<C，进而可根据同角三角函数关系，求出cosB，再利用

两角差的余弦公式可求得答案.⑴由(2sinA—百sin8产=4sin?C—sin?B化简，

得sin?A+sin?8-si/C=百sinAsin5，由正弦定理，得a?+b?-c?=&ib，

由余弦定理得cosCL=走,又Ce(O,»),所以。=工.

2ab26

⑵因为b=l，c=J7,所以由正弦定理一丝=」一，得sin6=如吐=巫，

sinBsinCc14

因为8<c,所以B<C，所以cos3=Jl—sin2B=£^，

14

所以cos(5—C)=cosBcosC+sin5sinC=x2^+X—=5g

14214214

cF-j

所以cos(8—C)=得一.

21.如图，在三棱柱ABC—A'B'C'中，侧棱CC_L底面ABC,AB=AC,。，瓦尸分别为棱AA',83',8c

的中点.

(1)求证：BC1AF；

(2)若A3=2,3C=CC'=2痣,求三棱锥D-AEF的体积.

【答案】（1）见解析；（2）上.

3

【解析】

（1）可证AF，平面BCC，从而得到BC'A.AF.

（2）取AB的中点为G，连接FG，可证FG，平面ADE，故可求三校锥D-AEF的体积.因为侧

棱CC'i•底面ABC,AFu平面ABC.所以CC'_LAR，

因为b为中点，AB=AC,故5CJ_AF,而CC'cBC=C,

故AEL平面3CC，而BC'u平面8CC'，故8C'_LAR.

（2）取A8的中点为G，连接FG.

因为A5=AC=2,3C=2&，故BC?=+,故ACLAB,

因为CF=EB,AG=G8,故,FGHAC，且FG=1,故尸GJ_A3，

因为三棱柱ABC-A'B'C中，侧棱CCJ■底面ABC，

故三棱柱A5C—AB'C'为直棱柱，故88'，底面ABC，

因为EGu底面ABC，故8?_LEG，而BB'cAB=B，

故R7_L平面A£>E，

而SAnF=—xADxAB=—xAA'xAB=—xCC'xAB=yjl,

-ADE244

故匕MF~%ADF='XV2xl=.

A-UtLrr-/yUtZ3'3

B

22.在四棱台ABC。-