浙江省丽水市2023-2024学年高二年级下册6月期末考试数学试题（含答案解析）

浙江省丽水市2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合〃={0,123,4},N={x[l<xV4},则MN=（）

A.{2}B.{2,3}C.{2,3,4}D.{1,2,3,4}

2.已知复数2=罟，其中i为虚数单位，则忖=（）

1—1

A.0B.1C.2D.72

3.已知a,仇ceA,贝是成立的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.即不充分也不必要条件

4.已知直线和平面a,则下列判断中正确的是（）

A.若。〃则a//6B.若a〃6,6〃tz,则a//a

C.若a"a,b1a,则；D.若alb,blla,则a_l_a

5.若样本X],%,尤3，L，尤”的平均数为10,方差为20,则样本2a-2）,2（无2-2）,2（x3-2）,

L,2（尤“-2）的平均数和方差分别为（）

A.16,40B.16,80C.20,40D.20,80

6.己知a=304,6=0.43,c=logo43,则（）

A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

7.一个袋子中有标号分别为1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方

式从中任意摸球两次，设事件A="第一次摸出球的标号小于3"，事件3="第二次摸出球的

标号小于3"，事件C="第一次摸出球的标号为奇数”，则（）

A.A与3互斥B.A与B相互独立

C.A与C互斥D.A与C相互独立

8.已知函数〃x）的定义域为R,的图象关于（1,0）中心对称，〃2x+2）是偶函数,

则（）

A.〃。）=。B.=0C.八2）=0D./（3）=0

二、多选题

9.已知向量。=(一2,1),Z?=(l,2),c=(3,-l),则()

A.a//cB.aLb

C.卜+。卜10D.向量b在向量c上的投影向量为-'

TT

10.在VABC中，角AB,C所对的边分别为a1,c,B=-,c=2,以下判断正确的是()

A.若a=4,则VABC的面积为26B.若。=:,则6=6

C.若6=",贝I」。=3D.若VABC有两解，贝ljbe(g,2)

11.如图，在矩形ABCD中，AB=2AD=2,E是AB的中点，沿直线将VADE翻折成

△ADE(A不在平面3。内)，”是AC的中点，设二面角4-DE-C的大小为6*.()

B.直线3M与AE所成的角为定值

2兀„14

C.若火三，则三棱锥4-CDE的外接球的表面积为］兀

D.设直线4。与平面BCOE所成的角为a,贝hine=&sina

三、填空题

2%<Q

12.已知函数〃x）=1--~,则/（f（T）=.

x2,x>0

13.已知aw［。,,），sin2cr=cos2cif,贝!Jtana=.

试卷第2页，共4页

32

14.已知x>y>0,----+-------=1,则2x+y的最小值为_____.

尤+y元-y

四、解答题

15.已知函数/(x)=J^sin2x+2cos2x-l.

⑴求函数/(x)的最小正周期；

TT

(2)当xe0,-时，求函数f(x)的最大值，以及相应x的值.

16.本学期初，某校对全校高二学生进行数学测试，并从中随机抽取了100名学生的成绩,

被抽取的成绩全部介于40分到100分之间(满分100分)，将统计结果按照如下方式分成六

组：第一组［40,50),第二组［50,60),…,第六组［90,100］,画出频率分布直方图如图所示.

频率

tn®

a.............

0.025..............................

0.020.............

0.010.........,-------------------,

0.005|||||

。，05060708090Go多数

(1)求频率分布直方图中。的值；

⑵求该样本的中位数；

(3)为进一步了解学生的学习情况，从分数位于［50,80)的学生中，按照第二组，第三组，第

四组分层抽样6人，再从6人中任取2人，求此2人分数不在同一组内的概率.

17.如图，在四棱锥尸—ABCD中，BC//AD,BC=CD=^AD=\,ADYCD,B4_L平面

ABCD,E为PD的中点.

⑴求证：CE〃平面E4B；

2

(2)若三棱锥P-ABD的体积为］,求与平面PBC所成角的正弦值.

18.已知aNl,函数/(x)=ln(x+3)+x+lna.

(1)若。=1,解不等式f(x)<x+l；

⑵证明：函数”X)有唯一零点；

(3)设/(演)=。，证明：-^--ln(x0+3)>0.

19.设〃为正整数，a=(x1,x2,-,xn),/=(%,%,,,%),记

=][(%+%T%-%|)+(9+%-上一%|)+-+(5+%-|%一%|)]-

(1)当〃=2时，若£=。,0),夕=(0,1),求“(以⑶的值；

⑵当〃=3时，设集合P={a|a=&"2"3)，r”{0，l}，左=123},设。是P的子集，且满足：

对于。中的任意两个不同的元素%"，”(%月)=。.写出一个集合。，使其元素个数最多;

⑶当九=3时，a=(sinA,sinB,sinC),(3=(cosA,cosB,cosC),其中A,3,C是锐角VABC的

ABC

三个内角，证明：M(a,>5)<4cos—coscos•

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案CBBCBDDDBDACD

题号11

答案BCD

1.C

【分析】直接利用交集运算法则求解即可.

【详解】由题意，集合/={o,l,2,3,4},N={尤［1<XW4},

所以VN={2,3,4}.

故选：C

2.B

【分析】用复数的除法法则和模长公式即可求解.

故选：B.

3.B

【解析】分别判断充分条件和必要条件是否成立，从而得到结果.

【详解】当6<”0时，6和斯无意义，可知“。>8”是“&>扬”的不充分条件;

当«">筋时,a>b>0,可知“0>b”是“而>形”的必要条件；

综上所述：是“夜>招”的必要不充分条件

本题正确选项：B

【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判定，属于基础题.

4.C

【分析】根据空间中直线，平面的位置关系分析判断各个选项.

【详解】对于A,由a//a,blla,则。与6可能平行，相交，异面，故A错误；

对于B,由a//3,blla,则a//tz或aua,故B错误；

对于C,由4〃。，b±a,贝1Ja_Lb，故C正确；

对于D,由a_L6，b/la,则。〃e或。ua或。J_a,故D错误.

故选：C.

答案第1页，共11页

5.B

【分析】根据已知条件，结合平均数与方差的线性公式，即可求解

【详解】因为样本4，%，X3,L,x”的平均数为10,方差为20,

所以样本2（玉-2）,2（%-2）,2（无§-2）,L,2（%-2）的平均数2乂10-4=16,方差为

22X20=80.

故选：B.

6.D

【分析】分析得至！<匕<l,c<0,即得解.

【详解】由题得。=3°4>3°=1,

6=0.43<0.4°=1,且6=0.43>0.

c=log043<log04l=0.

所以c<Z?<a.

故选：D

【点睛】本题主要考查指数对数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

7.D

【分析】以X、》分别表示第1次、第2次摸球的编号，以（元广）为一个基本事件，列举出所

有的基本事件，以及事件A、B、C、AB.AC所包含的基本事件，利用互斥事件以及独

立事件的定义逐项判断，即可得出合适的选项.

【详解】以X、>分别表示第1次、第2次摸球的编号，以（x»）为一个基本事件.摸球方式为

不放回摸球,则所有的基本事件有：。,2）、（1,3）、（1,4）、（2,1）、（2,3）、（2,4）、（3,1）、（3,2）、

（3,4）、（4,1）、（4,2）、（4,3）,共12种，

事件A包含的基本事件有:（1,2）、（1,3）、（1,4）、（2,1）、（2,3）、（2,4）,共6种，

事件B包含的基本事件有：（1,2）、（2,1）、（3,1）、（3,2）、（4,1）、（4,2）,共6种，

事件A8包含的基本事件有：（1,2）、（2,1）,共2种，

事件C包含的基本事件有：（1,2）、（1,3）、（1,4）、（3,1）、（3,2）、（3,4）,共6种，

事件AC包含的基本事件有：（1,2）、（1,3）、（1,4）,共3种，

答案第2页，共11页

则Al8片0,根据互斥事件的概念可知A与B不互斥，所以A错误；

P(A)=P(B)=A=1,P(AB)=1NP(A)尸(B),所以A与8不相互独立，所以B错误；

AnC^0,根据互斥事件的概念可知A与C不互斥，所以C错误；

P(A)=JP(C)=^=1,P(AC)=^=1=P(A)P(C),所以A与C相互独立，

所以D正确.

故选：D

8.D

【分析】根据对称性定义，再加赋值可解.

【详解】的图象关于(1,0)中心对称，贝U/(x)=—/(r+2)(*)；

f(2x+2)是偶函数，则/(2x+2)=/(—2x+2),

则/(x)的图象关于尤=2轴对称，贝|〃x)="r+4)(**)；

令x=l代入(*)得，/(1)=-/(1),解得"1)=0,代入(**)得到〃1)=/(3)=0.

故选：D.

9.BD

【分析】根据平面向量的坐标表示相关知识逐一作答.

【详解】对于A选项，因为。=(-2,1),4=(3,-1),不存在实数2使得a=笈成立，故A

错误；

对于B选项，因为。心=(一2,l)(l,2)=-2xl+lx2=0,所以故B正确；

对于C选项，因为q+遂=(_2,1)+(1,2)=(-1,3),所以卜+〃={(-1)2+32=加，故C错误;

对于D选项，向量B在向量c上的投影向量为

^-s=(l,2).(3,-1)(3,-1)=1z3.1)=nO_

Hkl后"历41°'110'io?故D正确，

故选：BD

10.ACD

【分析】根据三角形的面积公式计算即可判断A；根据正弦定理计算即可判断B；根据余弦

定理计算即可判断C；根据正弦定理和g<C(年且Cw］即可判断D.

答案第3页，共11页

【详解】A：若3=g,c=2,a=4,则S=LcsinB=L42@=26，故A正确;

3ABC222

B:若B=gc=2,C=%由正弦定理得二=三，

34sinBsinC

b_2

即无二匹，解得〃二后，故B错误；

TV

C：若B=?c=2,b=用,由余弦定理得方2=+c2-2accosB,

即7=々2+4—2〃，整理得/一2〃一3=0,由〃>0解得a=3,故C正确;

b则sm八十二*

D：由正弦定理得

sinBsinC

由B=g得0<C<?,若VABC有两个解，则9C<^且Cwg,

所以"C<1,即乎”解得阮…，故D正确.

故选：ACD

11.BCD

【分析】如图，利用反证法即可判断A；如图，确定幺E尸为异面直线BM与AE的所成角,

即可判断B；如图，确定外接球的球心位置，建立关于R的方程，解之即可判断C；如图,

确定幺KG=9、4DG=a,求出垩2即可判断D.

sina

【详解】A：AE=AD=1,取。E的中点0,CO的中点连接4。，。以，

则401DE,四边形AEHD为正方形，所以OE_LOH.

假设ACLDE,由4c4O=A，4C、40u平面AOC,

得DEI,平面AQC,又OCu平面AQC,所以Z)E_LOC,

这与“DELOH”矛盾，所以假设不成立，故A错误；

B：取4。的中点/，连接MEET"则MF7/£B且叱=班,

答案第4页，共11页

4\

A

所以四边形是平行四边形，故BMIIEF,

所以幺所为异面直线BM与A£的所成角.

由AS=2AZ)=2,得4石=1,则A/二e，所以sinN/^EF=5,

即异面直线3"与A石的所成角为定值，故B正确；

C：如图，由选项A的分析知乙*以/为二面角石-C的平面角，即44。"=火

C

当。时，ZA,OH=^-,易知AO=OH』,

则H为,.CDE外接圆的圆心.过A作APLAF/于P,过H作。内〃4尸，

在4P上取。使得《"=Q尸，则四边形。"PQ为矩形，得4尸=手,。尸=乎，

则。1为三棱锥A-CDE外接球的球心，设其半径为R,

222222222

贝IjR=AtQ+OlQ=(^--QP)+(^+^-),R=O,H+CH=QP+1,

所以(雪。分+哼+与2代+1,解得QP邛，所以RJ,

所以三棱锥A-CDE外接球的表面积为4位2=等，故C正确；

D：过A作4G，平面DC8E于点G,作GKLDE于点K,连接DG，AKEG,

NAKG为二面角A-DE-C的平面角，即4KG=9,

*DG为直线4。与平面DCBE所成的角，即4,DG=a,

答案第5页，共11页

由GK_L£>E,AG1DE,GK$G=G,GK、^Gu平面4KG,

知。EL平面AKG,又AKu平面AKG,所以OELAK,

所以K为。E的中点，得AK=1DE=也,

22

AGAGsin"_4。_1_Jy

又所以,即sin，=拒sina，故D正确•

/11At\U-

故选：BCD

【点睛】关键点点睛：解决选项A的关键是熟练反证法的应用；解决选项B的关键是幺所

为异面直线9与4E的所成角；解决选项C的关键是确定外接球的球心位置；解决选项D

的关键是确定与KG=9、A\DG=a.

12.1

【分析】根据题意，先求得=进而求得了(/(T))的值，得到答案.

2<n

【详解】由函数〃x)=1-x'",可得=所以/•(〃-1))="1)=12=1.

x2,x>0

故答案为：1.

13.也

2

【分析】根据二倍角公式可得sin2q=；,即可根据同角关系求解.

【详解】由siYa=cos2a可得siYa=cos2a=l-2sin2。，进而可得siYau；,

由于故sina=^^,进而可得cosa=Y^,

I33

sinaJ2

HXtana=-------——,

cosa2

故答案为；叵

2

1411+61

•2

32

【分析】令。=----，b=----,把已知式用。泊表示，2x+y也用。涉表示后，利用基本不

x+yx—y

等式求得最小值.

323?

【详确军】令。=,b=,贝”x+y=—,x—y=-9且。>0,b>0,

x+yx-yab

答案第6页，共11页

所以2%=三3+724=3三—1；，又a+b=l,

ab2ab

所…以c2x+y七<3+R2W+[3万一0#五9+11

、11c19ba11+6应

2.----=--------,

<2F72ab2

当且仅当艺=1,即q=2z逑，。=逑二2人=4时等号成立.

2ab77

故答案为：11+6#

【点睛】关键点点睛：本题考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是换元法后利用“1

的代换，使用基本不等式求解最值.

15.(1)T=TI

71

(2)2,x=-

[Jr\Z71

【分析】(1)利用三角恒等变换得到/(元)=2sin12尤+%J,利用7=同求出最小正周期;

TT

(2)xe05时，2x+TgTwTT77r,整体法求出函数的最大值及相应的x的值.

2」61_66_

【详解】(1)/(x)=A/3sin2x+2cos2x-l=^3sin2x+cos2x=2sin(2x+j,

27r

所以最小正周期T=T=兀；

TT71717兀

(2)因为xe0,—,所以2x+、e，则sin2x+--1

o6,^6ir2''

/(尤)=2sin「尤+9的最大值为2,此时2x+1=g,即无=J.

V6J626

16.⑴a=0.03

(2)75

呜

【分析】(1)由频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1列方程即可求解;

(2)结合频率分布直方图和中位数的定义即可求解；

(3)通过列举法和对立事件即可求得概率.

【详解】(1)由频率分布直方图可得：

(0.005+0.01+0.02+0.025+a+0.01)xl0=l,

答案第7页，共11页

得a=0.03；

（2）设中位数为该样本的中位数为九,

所以0.05+0.1+0.2+❷号；7。）=05,得＞75；

（3）由分层抽样知，第二组中抽1人，记作。，第三组中抽2人，记作配打，第四组中抽

3人，记作q,Q,。3，

这6人中抽取2人有（。，4）,也），（a,q），（。,。2），（。，。3），（4也），（4，G）,（4。）,

（4,C3），（伪,）'（。2,。2）’（伪,。3）',。2）',。3）'（。2,。3）'共个样本点；

2人来自同一组的有（伪也），（c1；c2）,（q,c3）,仁勺）共4个样本点，

411

所以2人来自不同组的的概率P=1-石=同.

17.（1）证明见解析

⑵？

【分析】（1）根据中位线和平行四边形的性质得到CE〃BF,然后利用线面平行的判定定理

证明即可；

（2）根据线面角的定义得到为直线以与平面PBC所成角，然后求正弦值即可.

证明：取心的中点尸，连结8尸，所，又E为尸£）的中点,

所以EF〃AD,EF=-AD,

2

XBC//AD,BC=-AD,

2

所以四边形BCEF是平行四边形,

所以CE〃加又Mu平面上4B,CEcz平面

答案第8页，共11页

所以CE〃平面BIB；

(2)过A作直线2C的垂线AH,H为垂足，连结PH,

217

由三棱锥P—ABD的体积为得§SAB»X尸A=§,解得9=2,

因为上4,平面ABC。，所以3CLPA,

又BCLAH,21u平面PAH,AHu平面R4”,且上4c47=A,

所以BC_L平面B4H,又BCu平面PBC,

所以平面R4H，平面MC,

所以直线总在平面尸BC上的射影为直线尸”，

所以NAPH即为P4与平面PBC所成角0,

在RtA4P"中，AH=1,AP=2,所以$如6=史=好，

PH5

所以R4与平面P3C所成角的正弦值为好.

5

18.(l)-3<x<e-3

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)将不等式化简，利用对数函数单调性解不等式即可；

(2)先利用导数判断函数单调性，利用零点存在性定理即可证明；

(3)作差变形后，结合基本不等式利用作差法即可判断.

【详解】(1)当。=1时，不等式即为ln(x+3)+x<x+l,即ln(x+3)<l,

fx+3>0

所以4,,解得—3〈%ve—3；

[x+3<e

(2)因为/'(”=±+1,所以在定义域内单调递增，

又/(0)=ln3+ln〃>0,f\—3|=In—I-----3+lna=—3<0,

\a)aaa

所以由零点存在定理得，函数/(X)有唯一零点，且零点在]3,0)内.

(3)由/(%)=。知，ln(A0+3)=-x0-lna,

因为%+3>0,a>1,

答案第9页，共11页

3。i/c\3。i3ac-i

所以。，伉+3)=G+x0+ln"=+x°+3-3+ln.

—3+Intz=2J3a—3+Ina>0.

19.(1)0

(2)g={(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))

(3)证明见解析

【分析】（1）由a=（l,0）,〃=（0,1）,根据题设中的计算公式，即可求解;

（2）根据题意，当〃=3时，得出满足题意的集合，得到答案;