2025高考数学一轮复习讲义-圆的方程

§8.3圆的方程

【课标要求】1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程2

能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.

-落实

【知识梳理】

1.圆的定义和圆的方程

定义平面上到_______的距离等于________的点的集合叫做圆

圆心c________

标准a_4)2+(y_Z?)2=/(、＞())

方半径为________

程圆心c_____________

一般x1+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4Q0)

半径r=___________

2.点与圆的位置关系

平面上的一点M(xo,yo)与圆C：(x-a)-+(y-b)2=/之间存在着下列关系：

在________,&P(xo-a)2+(jo-by'dOAf在圆外；

22

(2)|MC|=r^M在________,即(无o-a?+(j0-b)=r0M在圆上；

(3)|A/C|<-M在________,即(xo-a)2+(jo-6)2</今〃在圆内.

【常用结论】

1.以A(xi,力),1(x2,>2)为直径端点的圆的方程为(x-尤1)(尤-X2)+(y-y)。-蓼)=0.

2.圆心在过切点且与切线垂直的直线上.

3.圆心在任一弦的垂直平分线上.

【自主诊断】

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“J”或“X”)

(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.()

(2)。-2)2+。+1)2=层3/0)表示以(2,1)为圆心，。为半径的圆.()

(3)方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是A=CW0,B=0,D'+E2-

4Af>0.()

(4)若点M(xo,州)在圆9+9+瓜+4+/=0夕卜，则看+ya+Dro+Eyo+QO.()

2.(选择性必修第一册P85T1改编)以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是()

A.x2+y2=2

B./+产=4

C.(x-2>+(j-2)2=8

D.y+方=正

12

3.(选择性必修第一册P102T7改编)若曲线C：x+y+2ax-4ay-10a=0表示圆，则实数a

的取值范围为()

A.(-2,0)

B.(-8,-2)U(0,+8)

C.[-2,0]

D.(-8,-2]U[0,+°°)

4.(选择性必修第一册P85T2改编)下列各点中，在圆(尤-1)2+0+2)2=25的外部的是()

A.(0,2)B.(3,3)

C.(-2,2)D.(4,1)

-探究核心题型

题型一圆的方程

例1(2022•全国甲卷)设点M在直线2r+y-1=。上，点(3,0)和(0,1)均在。〃上，则的方

程为.

思维升华求圆的方程的常用方法

(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程.

⑵待定系数法

①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a,b,r的值；

②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于。，E,尸的方程组，进而求出。，E,尸的值.

跟踪训练1(1)(2024.郑州模拟)已知点A(-2,1),B(-1,0),C(2,3),M(a,2)四点共圆，则a=

⑵若圆C经过坐标原点，且圆心在直线y=-2X+3上运动，当半径最小时，圆的方程为

题型二与圆有关的轨迹问题

命题点1直接法

例2已知A(-2,0),2(2,0)，动点M满足|跖4|=2\MB\,则点M的轨迹方程是

命题点2定义法

例3(2023・茂名模拟)已知圆C：(尤-Ip+⑪-=1,点M是圆上的动点,AM与圆相切,且

\AM\=2,则点A的轨迹方程是()

A.y2=4.r

B,^+/-2%-2y-3=0

C.炉+9-2、-3=0

D.V=-©

命题点3相关点法

例4已知。为坐标原点，点M(-3,4),动点N在圆x2+/=4上运动，以OM,ON为邻边

作平行四边形MONP,求点P的轨迹.

跟踪训练2已知RtAABC的斜边为,且4(-1,0),8(3,0).求：

(1)直角顶点C的轨迹方程；

(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.

题型三与圆有关的最值问题

命题点1利用几何性质求最值

例5(2024.泉州模拟)已知实数x,y满足方程/+/-4尤+1=0.求:

⑴热最大值和最小值；

⑵y-x的最小值；

(3)炉+y2的最大值和最小值.

-微拓展

圆的参数方程

x^a+rcos

,'其中。为参数.

{y—b+rsin3,

典例利用圆的参数方程解决例5(2)(3).

命题点2利用函数求最值

例6(2023・湘潭质检)设点P(x,y)是圆x2+(y-3)2=1上的动点定点A(2,0)£(-2,0)则或两

的最大值为.

跟踪训练3(1)设P(x,y)是圆(X-2)2+V=1上的任意一点，则(x-5>+。+4>的最大值是

()

A.6B.25C.26D.36

(2)已知/+丁+/尸0,求尤+y的取值范围为

§8.3圆的方程答案

落实主干知识

知识梳理

1.定点定长(a,b)r

DEYD?+E2-4F

~2'~2.

2.(1)圆外(2)圆上(3)圆内

自主诊断

1.(1)V(2)X(3)V(4)V

2.B3.B4.B

探究核心题型

例1(X-l)2+(j+1>=5

解析方法一设的方程为

(X—a)2+(j—Z?)2=r(r>0),

2a+Z?—1-—0,1,

贝小(3—4)2+〃=»,解得<》=—1,

42+(1—6)2=户，、，=5,

。知的方程为(x—l)2+(y+l)2=5.

方法二设。M的方程为x2+y2+Dx+Ej+F=0(D2+E2-4f>0),

+「万尸=。,

,,9+3。+/=0,

A+E+F=0,

D=-2,

解得1后=2,

P=-3,

...。用的方程为/+尸一2尤+2、­3=0,即(无一l)2+(y+l)2=5.

1—01

方法三设4(3,0),3(0,1),。〃的半径为r,则鼠与=一子

AB的中点坐标为G，5),

：.AB的垂直平分线方程为y—3=3^—0，即3x—y—4=0.

[3x—y—4=0,

联立L,c解得」\x=l,,

〔2x+y—1=0,

-1),.,.户=|MA|2=(3—+[0—(-1)产=5,

.••。〃的方程为。-1)2+。+1)2=5.

跟踪训练1(1)+75

例2x2+j2-冬;+4=0

解析设M(x,y),

则|MA|=、(x+2)2+y2,

|岫=、(尤―2)2+/

因为|K4|=2|/8|,

所以N(x+2)2+y2=2^/(x—2)2+y2,

整理可得，3^+3/-20x+12=0,

20

即r+9一-yx+4=0.

所以点M的轨迹是圆，方程为f+y2—争20+4=0.

例3B

例4解设P(x,y),N(xo,比)，

四边形MONP为平行四边形，

则5>=血+赤,

即(x，y)=(—3,4)+(沏,yo),

[x=­3+xo,%o=x+3,

即则

[y=4+yo,jo=y-4,

又N(xo,yo)在圆/+产=4上，

・•・就+%=4,

故(x+3)2+(y—4)2=4,

4

易知直线OM的方程为y=—)x，

4

联立〈y=-3X,

L(x+3)2+(y-4)2=4,

921

彳=一手尤=-于

得.或

1228

产不

跟踪训练2解(1)方法一设C(x,y),因为A,B,C三点不共线，所以yWO.

因为ACLBC,且8C,AC斜率均存在，所以Mc&c=-1,

又"I#!'心

所以

x+lx-31,

化简得1？+：/—2x—3=0.

因此，直角顶点。的轨迹方程为炉+产―2欠—3=0。/0).

方法二设AB的中点为。，由中点坐标公式得。(1,0),由直角三角形的性质知|。。|=/42|

=2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以。(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A,B,C三点不共

线，所以应除去与x轴的交点).

所以直角顶点C的轨迹方程为(x—l)2+y2=4(ywo).

(2)设M(尤，y),C(xo,yo),

因为8(3,0),且M是线段8C的中点，所以由中点坐标公式得

祀+3yo+0

%=2，尸2，

所以&=2x—3,yo=2y.

由(1)知，点。的轨迹方程为

(x—l)2+y2=4(yW0),

将%o=2x—3,yo=2y代入得

(2x-4)2+(2y)2=4,

即(x—2)2+y2=i(y#o).

因此动点用的轨迹方程为

(工-2)2+9=l(yW0).

例5解(1)如图，方程d+j2—4x+l=0表示以点(2,0)为圆心，小为半径的圆.

设

即y=kx,

则圆心(2,0)到直线y=质的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值.

,,I2A-Ir-

由行

解得正=3,

,•左max—^39%min—^3•

；Omax=小，C)min=一4

(2)设y—x=b,则y=x+b,当且仅当直线y=x+b与圆相切于第四象限时，截距6取最小值,

由点到直线的距离公式，得上^^=小，即6=-2±\两，

故(y_X)min=-2一乖.

(3)f