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文档简介

1.特征值与特征向量的概念定义1

设A为n

阶方阵,如果数λ

和n维非零列向量x,使关系式成立,那么,称数λ为方阵A的特征值,非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量.注（1）也可以写成(λE－A)x

=0(2)(1)

§1矩阵的特征值与特征向量Ax=λx这是以λE－A

为系数矩阵的n元齐次线性方程组,它有非零解的充分必要条件是系数行列式︱λE－A︱=0.(3)由此,我们可由(3)求A的特征值,由(2)求A的特征向量1、特征多项式f(λ)=︱λE－A︱3

2.特征方程︱A－λE︱=0.即3.A的迹，记作tr(A)：2特征值与特征向量的性质

设λ1,λ2,…λn

是A的n个特征值，由高次方程的韦达定理不难证明:性质1性质2

5

例1证明方阵A可逆的充分必要条件是零不是A的特征值.

证明

必要性.因为A可逆,所以︱A︱≠0,由性质2故λ1,

λ2,…,λn全不为零，从而零不是A的特征值.充分性.由于λ1,

λ2,…,λn均不为零,从而由性质2知，故A可逆.同理可证:A不可逆的充要条件是A有零特征值.设λ1,

λ2,…,λn是A的n个特征值.

7

89例2.求的特征值和特征向量.解矩阵A

的特征方程为所以A

的特征值为10当时，对应的特征向量应满足方程得即取，则，即所求的特征向量可取为当时，解得所对应的特征向量可取为注：由上面的例子可知，若是矩阵A

对应于特征值的特征向量，则k(k≠0)也是对应于的特征向量.由即求矩阵

A

的特征向量即求方程基础解系。11例3求的特征值和特征向量.解A

的特征多项式为所以A

的特征值为当时，由解方程12即得基础解系即特征向量所以

k（k≠0）是对应于的全部特征向量.当时，解方程由得基础解系（特征向量）所以

k（k≠0）是对应于的全部特征向量.令即13例4求的特征值和特征向量.解所以A

的特征值为当时，解方程由得基础解系14所以对应于的全部特征向量为k（k≠0）.由当时，解方程得基础解系即取及所以对应于的全部特征向量为（不同时为0）15证(1)因λ是A

的特征值，所以存在使得于是推广：的特征值.若λ是A

的特征值，则是Ak

的特征值；是（其中所以λ2

是A2的特征值(2)当A可逆时，例5

设λ是方阵A的特征值，证明(1)λ2

是A2的特征值;(2)当A可逆时，是的特征值。16设是方阵A

的m

个特征值，定理

依次是与之对应的特征向量.如果各不相等，则线性无关.证设有常数，使即则17将上面各式写成矩阵的形式当每个不相同时，范德蒙德行列式则该方程组有唯一零解但，所以所以向量组线性无关.

1819定义设A

是n

阶矩阵，如果λ和n

维非零列向量

x

使关系式（1）成立，那么称数λ为方阵A的特征值，非零向量

x

称为A

对应于特征值λ的特征向量.复习如何求一个n

阶方阵的特征值与特征向量？如果A是“数值型”矩阵即矩阵中的每一个元素都是常量，则求A的特征值与特征向量的方法为：求特征方程

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