贵州省黔东南苗族侗族自治州2024-2025学年高三年级上册开学联考数学试题（含答案解析）

贵州省黔东南苗族侗族自治州2024-2025学年高三上学期开学

联考数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.若复数z=2+i,贝()

A.-2+iB.2-iC.-2-iD.l+2i

2.已知集合/={x|log2X<2},5={-1,1,3,5),则/口3=()

A.{1}B.{3}C.{1,3}D.{1,3,5}

3.函数/（x）=sinx+tan%的最小正周期为（）

A.2兀B.兀C.2D.1

4.已知。=30-2,b=Ta,c=l-a,贝I]()

A.a<c<bB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

5.如图，在直角梯形48CD中，AB//CD,AB1BC,且N8=l,BC=6,DC=2.将直

角梯形N5C。绕8C所在的直线旋转一周，则所得旋转体的表面积为（)

A.2盘无+5兀B.右兀+57rC.IED.66兀+5兀

.已知tze(0,兀)，且cos[a+：j=1,则cos2a=()

迪B,土迪c.L

D.J飞

7.已知点尸（0,-1）关于直线％-》+1=0对称的点。在圆C：/+/+加工+4=o上，则加=（）

99

A.4B.-C.-4D.--

8.已知函数/(1)=1取:一(4+1卜+1,8(%)=〃(％2+1).当%21时，2/(x)+g(x)>0恒成立,

试卷第1页，共4页

则。的取值范围为（）

A.(0,1)B.C.(0,1]D.[1,+℃)

二、多选题

9.若随机变量X~B（6,p）,且P（X=3）=2,则（）

16

A.p=；B.£（X）=2

C.E(2X+1)=7D.D(X)=3

22

10.已知M>0,椭圆。：—+/=1，C2：土+/=1的离心率分别为q，02.若令=6e,,

3MM

则"的值可能为（）

4

A.-B.c.D.-

3336

11.如图，平行六面体N8CZ）-44aA的所有棱长均为2,AB,AD,44两两所成夹角

均为60°,点E,尸分别在棱24，上，且BE=2B、E,D.F=2DF,贝I］（）

____>ULIUL1---------►

B.在NG方向上的投影向量为

c.困*

D.直线与跖所成角的余弦值为巫

三、填空题

12.已知向量沅=（2,x）,«=（4,x+3）,若丽〃亢，贝!Jx=.

13.（l+2x）（x-iy的展开式中/的系数为.

试卷第2页，共4页

14.对于任意的xjeR,函数/（x）满足++=函数g（x）满足

g（x+〉）=g（尤）g（>）.若/（2）=-1,g（3）=8,贝|g（/（2024））=.

四、解答题

15.己知V/3C的内角A,B,C的对边分别为“，b,c,且

(1)求A的取值范围；

(2)若f(x)=VSsitw+COST,且/(4)=⑸(C),求B的值.

16.已知奇函数/'@)="3+6尤2+。尤在工=2处取得极大值16.

⑴求f(x)的解析式；

(2)求经过坐标原点并与曲线y=/(x)相切的切线方程.

17.如图，在四面体/BCD中，DA=DB=DC=2.若仄直线D4,DB,DC,8c中任选

两条，则它们互相垂直的概率为

2

(2)若四面体/3CD的体积为詈，且8CW8D,求直线48与平面40c所成角的正弦值.

22

18.已知双曲线£：当■-1r=1(°>0,6>0)的一个焦点与抛物线G：/=匕的焦点厂重合,

且。被G的准线/截得的弦长为毡.

3

⑴求£的方程；

(2)若过尸的直线与G的上支交于A,B两点，设。为坐标原点，求|d+砺|的取值范围.

19.已知数列｛an｝的前〃项和为S,,,若存在正整数左，使得对任意正整数“，均有

2n

kal+ka2+-+kan>2Sn,则称｛oj为“左型”数列.

试卷第3页，共4页

(1)若%=c>0,且｛册｝为“发型”数列，求上的最小值;

(2)若｛an｝为“3型”数列,且qe｛0,l｝1=l,2,…,〃)，设津的所有可能值个数为？(〃),证明:

20241

y

白7(21.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案BCADCABDACAB

题号11

答案ABD

1.B

【分析】利用共飘复数的定义计算即可.

【详解】因为2=2+i,所以［=2-i.

故选：B

2.C

【分析】由对数函数的定义域与单调性可求得集合4,再结合交集的概念即可得答案.

【详解】因为/={x|log2X<2}=(0,4),所以/口8={1,3}.

故选：C.

3.A

【分析】由正弦函数与正切的函数的周期即可直接判断.

【详解】因为函数〉=$加与了=1211¥的最小正周期分别为2兀，兀，

所以/■⑺的最小正周期为2元.

故选：A.

4.D

【分析】利用指数函数的性质判定大小即可.

【详解】由指数函数的性质易得“=3°2>3°=1,所以0<2一"<2°=1,1<0,故c<6<。.

故选：D

5.C

【分析】由圆台的表面积公式求解即可.

【详解】由题可知，该旋转体为上底面半径6=1,下底面半径々=2,母线长/=2的圆台，

则该圆台的表面积5=兀卜；+1+4/+々/)=11兀.

故选：C.

6.A

【分析】利用二倍角公式结合角的余弦值确定角的范围计算即可.

答案第1页，共11页

【详解】因为ae(O,7t),cosfa+^-U1>0,所以a+

r【cc兀)兀.c兀)兀)I兀)472

pillC0SZ6Z=cos2a+———=sin2a+—=2sina+--cosa+—=----.

LI4；2jI4；I4；I4；9

故选：A

7.B

【分析】设。(。1)利用点关于线对称列方程求得。坐标，代入圆方程计算即可.

b+1

---=—1

【详解】设。(。*)，则”?Z.,，解得。=-2,6=1.

'。+0b-\1八

----------+1=0

［22

9

因为。在。上，所以4+1—2加+4=0,解得加=/.

故选：B

8.D

【分析】令/7(x)=2〃x)+g(x),利用导数含参讨论该函数的单调性计算即可.

【详角军］h(x)=2f(x)+g(x)=21nx-2(4z+l)x+ax2+Q+2(X21),

则、(x)=2_2(q+l)+2x=2(x-l)Sx-l).

若aWO,贝iJ〃(x)V0在［1,+s)上恒成立，则A(x)在［1,+s)上单调递减，

则〃(x)vMl)=0,不符合题意.

若贝！I当时，〃'(x)<0,单调递减，

则"⑺"⑴=0,不符合题意.

若贝在［l,+oo)上恒成立，则”(X)在［1,+00)上单调递增，

即〃(x)2“1)=0,符合题意.

故。的取值范围为［1,+°°).

故选：D

【点睛】思路点睛：通过构造函数M尤)=2/(x)+g(x),直接求导含参讨论函数的单调性,

答案第2页，共11页

结合端点值，排除。<1的情况即可.

9.AC

【分析】利用二项分布的性质及期望、方差公式计算一一^判定选项即可.

【详解】因为X~B（6,p）,所以尸（X=3）=C初（-a，',

整理得p（l-p）=；,解得p=g,

则E（X）=6x1=3,E（2X+1）=2E（X）+1=7,O（X）=6x-x

2222

故选：AC

10.AB

【分析】分别根据C1,Q椭圆的方程，结合分类讨论思想得出e；,说,再由q=6e2得出M

的等量关系式，求解即可得出答案.

【详解】若河>1,则e；==『M-l37I1-13M—3

----，贝U---------=----------

3MM3MM

4

解得M=—.

若贝氏；=也匚，e1=l-M,则电二上3-3可，

33M3M

解得M=或M=（舍去）.

33

若0<M<g,则e；=l-3M,el=l-M,1-3M=3-3M,方程无解.

故选：AB.

11.ABD

【分析】在4/上取点X,使得4H=2加，可得四边形NgE、四边形/c分为平行四边

形，求出/£〃£尸，可判断A；对否=与+25+有两边平方求出|有再由投影向量的

定义可判断B；由丽的线性运算后再平方可判断C；由向量的夹角公式计算可判断D.

【详解】对于A,在4/上取点“，使得4"=2网，连接AE,C,F,EF,BiH,

因为=8也,AHUB.E,所以四边形AHB.E为平行四边形，

可得/E=8户，

因为叱=Bg,HF=B£,所以四边形HFCXBX为平行四边形，

可得用H//G尸，所以NE〃G/，可得A,E,G，尸四点共面，故A正确；

答案第3页，共11页

对于B,因为平行六面体棱长均为2,AB、AD、两两所成夹角均为60。,

所以否=万+25+石，贝I]

----►2*2*2►2►*►►►►

ACX=AB+AD+AAX+2AB-AD+2AB-AA,+2AD-AAX=24，

.---------►'“，‘•2\，

______/仆—"。+/4）•£

（-=-AC.^故B正确;

2431

ACX

对于C,~EF=JF-JE=AD+-DD,-AH一一^B,=^AB+AD一一AA,,

313131

----2-2-21-2—►—►2—1■—k2—,—»40

EF=AB+AD+-AA.-2ABAD+-AB-AA.--AD-AAX=—,

则|赤卜2乎，故c不正确；

蒲屏（焉+通+石;）-AB+AD-

对于D,故

ACAIEF8^/15

3

--►2►21►24**2»*

-AB+AD——AA,——AB-AA,+-ADAA,V15

31313।

8岳8JT15

33

故直线NG与跖所成角的余弦值为巫，D正确.

15

故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：求向量模长解题的关键点是先对所求向量进行线性运算，再平方计算.

12.3

【分析】利用平面向量平行的坐标表示计算即可.

【详解】因为而/方，所以2（x+3）-4x=0,解得x=3.

故答案为：3

13.8

答案第4页，共11页

【分析】由题意利用二项式展开式的通项公式可得答案.

4

【详解】由二项式定理可得(尤-1)4=E(-1)'C%4T,

z=0

该展开式中的系数为(-1)匕，f的系数为(-1)2C：,

故(1+2工)仁-1)4=卜-1)4+2芯[-1)(的展开式中苫3的系数为：

1

(-1)C^+2X(-1)2C^=8.

故答案为：8.

14.2

【分析】利用赋值法先判定了⑺的周期性，化g(/(2024))=g(/(0)),再利用赋值法计算

即可.

【详解】令y=0,得2/(无)=2/(0)/(无)，则"0)=1或〃x)=o(与/⑵=一1矛盾舍去).

令尤=y=l,得/(2)+〃0)=2[/(1)]2=0,贝|〃1)=0,

贝U/(x+l)+/(x-l)=0,贝U/(x+4)=/(x),则“2024)="0)=1.

又因为g(x+y)=g(无)g(y)，所以g(3)=g(2)g(l)=[g(1)T=8,贝l]g⑴=2,

从而g(〃2024))=g⑴=2.

故答案为：2

【点睛】思路点睛：抽象函数的性质问题通常用赋值法，通过巧妙赋值先判定「(X)的周期

性，再利用赋值法计算函数值即可.

5⑴得

吒

【分析】(1)由余弦定理可求出C可得答案；

(2)由两角和的正弦展开式化简/(X),再由/(/)=◊/(C)及A的范围求出A可得答案.

【详解】(1)由余弦定理可知cosC=0'+>一C?=辿=一1.

2ab2ab2

因为Ce(O,兀)，所以C=1,

答案第5页，共11页

则A的取值范围为

(2)/(x)=V3sinx+cosx=2sin

由/(1)=C/(c),

得sin]/+£)=V^sin[c+t]=A/^sin^^七]

由(1)可知Ze[。,]],所以/+“

则/+/：，解得力若，

JT

贝UBUTI-N—CM—.

4

16.(1)/卜)=-/+出

(2)y=12x

【分析】(1)先由/(X)是奇函数求得6=0,再结合/(X)在X=2处取得极大值16构成方程

组即可求得。和c，则解析式可求；

(2)先设切点坐标为(/,-x；+12%),再结合导数的几何意义即可求出切线方程.

【详解】(1)因为/(x)是奇函数，所以7"(—%)=—/(>),

BP-ax3+bx1-cx=-ax3-bx1-ex,贝Ub=O,

从而+c尤，/'(x)=Box?+c.

因为f(x)在x=2处取得极大值16,

/'(2)=12a+c=0,

所以/(2)=8a+2c=16,解侍

c=12,

经检验知此时f(x)在x=2处取得极大值,

故/(无)=-/+12x.

(2)由(1)可设切点坐标为(％,-/+12工0),则广小)=-3无；+12,

切线方程为夕+无；-12%=(-3x：+12)(x-x0).

答案第6页，共11页

因为切线经过坐标原点，所以x；-12x0=3x>12xo,解得％=0,

故经过坐标原点并与曲线y=/Q)相切的切线方程为y=12x.

17.(1)证明见解析

⑵坐

4

【分析】(1)由直线D4,DC,3c中任选两条，它们互相垂直的概率为工可得AD15C,

2

ADVBD,ADVCD,结合线面垂直的判定定理即可得证；

2兀

(2)由四面体的体积为可得N5OC=？-,过点5作BXLCZ),垂足为“，证明为

直线AB与平面/DC所成的角即可求得答案.

【详解】(1)证明：从直线N,DB,DC,3c中任选两条，不同的选法共有C；=6种，

因为它们互相垂直的概率为:，所以互相垂直的直线有3对.

又DB=DC,所以3c与8。，CD均不垂直.

若DBLDC,则40恰与8C,BD,CD的其中两条垂直，

不妨设AD1CD,则NO_L平面BCD,则1BC,不符合题意.

若与DC不垂直，则4D15C,AD1BD,AD1CD,

BDcCD=D,aD,C0u平面BCD,

则4D_L平面8cD,符合题意，故4D_L平面8CO.

(2)解：设4BDC=a,则%='s/D=fsina=旦，

A-ij\^u3△ij\^u33

解得sinc=也，贝!|a栏或a=".

233

IT

若a=§,则△BCD为正三角形，则不符合题意.

2兀

若］=7，贝ijBCwBD,符合题意.

如图，过点8作垂足为H.

答案第7页，共11页

A

BC

因为/Z)_L平面BCD,BHcBCD,所以,

ADr\CD=D,40,CDu平面4DC,所以8H_L平面40c.

连接4W,则/A48为直线48与平面NOC所成的角.

BH=DB-sine=6，AB=dDA。+DB。=272

则sin/B4H=%=g=—,

AB2V24

故直线与平面4DC所成角的正弦值为41.

4

18.⑴q-/=1

⑵[4,+8)

【分析】（1）根据抛物线的几何性质，求解焦点下的坐标和准线方程，进而得到双曲线的

焦点坐标，又由双曲线被抛物线准线截得的弦长为名可得双曲线的方程；

3

（2）设〃8：y=kx+2,代入双曲线方程，利用根与系数的关系及韦达定理的应用，化简

即可得|厉+济|关于左的表达式，结合二次函数的性质即可求得|刀+历|的取值范围.

【详解】（1）由题可知，尸的坐标为（0,2）,

则a2+b2=4.

易知/的方程为＞=-2,不妨设/与G相交于点M（-加2）,N（肛-2）,

则：W=i,整理得病wn，

则|儿叫=2同=—=

a=-\/3,

可得

6=1,

答案第8页，共11页

2

故G的方程为，=L

(2)由题可知，直线A8的斜率一定存在,

设如：y=kx+2,力（比1，乃），8（久2，、2），则。”=（七,%），OB=（x2,y2）.

y=kx+2,

联立方程组廿2整理得伊-3产+46+1=0,

13

rI—4k1

则%+%=记=§，西工2二记二§

1

,,X.-12,27,、,-3k-n

乂+%=秋占+%）+4=必二§,%.%=kxx-x,+?k（xx+x2升4=肝_3

_19_or.2_i?

由A,3在x轴的上方，所以必+%="一~>0,必•％=——2----

k-3k-3

可得0«产<3.

。4+05=（玉+电,乂+%），则

W+西=J（X]+X2）2+（%+乃）2=4/M=4^•

由04/<3,M-y!—<-1,

k-33

则小…“，

故你+词的取值范围为［4,+8).

【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中的范围问题一般有两种方法：

一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；

二是将圆锥曲线中最值和范围问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方

法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.

本题(2)就是用的这种思路，利用函数的性质求|归+