2025年高考数学一轮复习 阶段滚动检测（三）

阶段滚动检测（三）

120分钟150分

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.（2024•西安模拟）已知凡是等差数列｛“的前n项和,且满足勿=43=22,则

『（）

A.25B.35C.45D.55

【解析】选B.设数列的公差为d,贝U&=（4-3+4+（4+菊+（4+23=22,所以d=3,

5（a1+a5）

所以43=42+1=7,85=---------=5的=35.

2.已知等比数歹U｛。〃｝的各项均为正数，若10g243+10g249=4则咋2。6=（）

A.±lB.±2C.2D.4

【解析】选C.由题意得的>046>0/9>。,的49=4所以

2

1082的+1。82的=1。82（%的）=1。82。6=21。8246=4,则log2a6=2.

3.已知数列｛aj；两足。1=15,且3a“+i=3a〃-2.右恁,恁+i<0,则正整数仁（）

A.24B.23C.22D.21

29

【解析】选B.由3a"+1=3%2得册+1-。"=3所以数列｛%｝为首项句=15,公差d,

的等差数列，所以为=15-笳1尸刍+2.

24747

由恁•恁+1<0得*0,%1<0.令劣尸”+y=0得”=y,所以423>0424<0,所以^23.

4.(2024德宏模拟)已知正项等比数列｛小｝中如3a3,合成等差数列.若数列小｝中

存在两项即跖使得泠1为它们的等比中项，则看的最小值为()

A.1B.3C.6D.9

【解析】选B.设正项等比数列｛四｝公比为见由久,3%,生成等差数列,

2

得6%=禽+45,即6a3^a3q+a3q,

得娟+/6=0,由g>0,解彳导q=2,

若数列｛四｝中存在两项使得也勾为它们的等比中项，则(避a4"”,

即2《=。©"",41产，

得2加+”-2=2,贝+^=1(—+-)(m+n)=1(1+—+^+4)>|(5+2/—•—)=3,

mn3vm九八73Vmn3Vyjmn7

当且仅当产，即加=1,片2时等号成立，

所以的最小值为3.

mn

5.高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列,中国古代许多著名的

数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的

算法，展现了聪明才智.如南宋数学家杨辉在《详解九章算法•商功》一书中记载

的三角垛、方垛、刍曹垛等的求和都与高阶等差数列有关.如图是一个三角垛，

最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球

的个数为（

A.464B.465C.466D.495

【解析】选B.记第n层有斯个球则1/2=3,的=6,年10,

结合同）阶等差数列的概念知。2-。1=2,的-。2=3,“4-43=4,...,4"-劣-1="（龙2）厕第30层

白勺/」\壬求娄攵的0=（的0-。29）+（429-428）+…+（。2-。1）+41=30+29+28+…+2+1=465.

6.已知等比数列｛aj的公比q£N*,前n项和为S”,若“2+。5=36,的+。4=24,则下列说

法正确的是（）

A.q=3

B.^4=81

C.数列｛1g4｝与数列｛3匹+2）｝都是等差数列

D.数列｛lg（Sn-2）｝是公差为lg2的等差数列

【解析】选C.由。2+。5=36,的+。4=24,9£N*,

，4

/a1q+a1q=36

得2,3.

%q+a1q=24

解得。1=9=2,故A错误;

则为=2〃,所以的=16,故B错误；

则S〃片共2〃+1-2,

则lgtz„=nlg2,lg(5,„+2)=(n+1)lg2.

因为-lga„=(w+1)lg2-wlg2=lg2,

所以数列｛IgaJ是以lg2为公差的等差数列.

因为lg(S“+i+2)-lg⑸+2尸(〃+2)lg2-(〃+l)lg2=lg2,

所以数列｛母巴+2)提以lg2为公差的等差数列，故C正确；

2n+24

坨(8/1-2)-坨(工-2尸1虱2/2-4)-怆(2〃田-4尸坨^^,

2-4

244

因为lg6-2)-lg(S2-2尸1g丁=lg3,

2-4

#_47

坨⑸-R-坨⑸工尸坨丁^学啰所以数列馆胤.2)｝不是等差数列，故D错误.

2-4

4-11

7.(2023•合肥模拟)已知数列｛aJ满足"〃+1-7_-11^贝U

"a九十乙

9。9+10。1。+11。11+・・・+18。18+19。19=()

1119

A.--B-C.35D.-y

1

ci-1-15-11[

【解析】选A.因为即,因此。21=-弓,同理的=-2以4=345亏，

CvI-1-一*I-1-id。乙

n1o+l

an+2c-1an-1

---------------11+--------

EHCnL+I3Q-1An+2+lX11-Lan+1

则恁+4=--------rrr=---------z------=--------=----------7^---------

八a+1a,-1aca.1-1a-1

un+o3'n+2n"n+2n+1n

TT+1ZTT1-VT

an,+c2+lan-++1lan+1

11

因此〃4七3三。4k2=-a〃4匕1=2。4左=3,其中A:£N:则7^=（4左-3）。4仁3+（4左-2）〃4左-2+（4左-

7

1）。4左-1+4Azz4左=%（4左+1），贝！］9。9+10。1（）+11+..・+18。18+19。19=73+北+75-20。20

71

-X（13+17+21）-60=--.

【加练备选】

11,

已知数列｛a〃｝满足42=。,。2"+1=。2力"2"+2=42什广存#金N*）,则数歹U｛&｝的第2024

项为（）

2023202510111012

A'2024B，2024^'1012D'lOil

111

【解析】选C.%+2=%+i-羡丁%+不中（〃金N）

所以。2024=。2022+I0||"1012?

_11

。2022=〃2020+j^QlO-lOil5

_11

劭020=色018+丁同彳而，

。4=。2+1~2?

1111111011

累加得。2期”+⑴/刀+…+而工？京尸°+1一？而FI?

8.（2024・长治模拟）已知数列｛小｝满足Q~r1=—~，石Qi+a1•••+〃1〃2•…

JfLI.1.Ct-I/LJ

立，则n的最大值为（）

A.7B.8C.9D.10

【解题指南】通过等差数列的定义求出｛；｝的通项公式，再利用裂项相消法求出

an

。1+勾42+…+am…4”进而确定n的最大值.

【解析】选B.因为沿，，

整理得吐匕上1,且工=3,

an+lanal

可知｛/｝是首项为3,公差为1的等差数列，

an

•77__YI

所以看可得

a3+"-1=/2,a„-

n八十乙

_।―iv日123n2,11、

当Mzn>2n时，可行…劣qx/m*...*九+2-丁+1）6+2）—2。z+］三+》

且Q1.符合上式，所以。1。2.•・Q〃=2（上J

JILI/LI乙

11111124

则勾+。1。2+…+七做…即=2（赤+言+…+"1-壬）=1-/1名

解得«<8,gPn的最大值为8.

二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.（2023•太原模拟）已知正项数列｛aJ的前n项和为S”,若对于任意的",”£N*,都

有斯+〃=斯+为,则下列结论正确的是（）

八.。1+。12=。8+。5

B.a5a6<aiaio

1n

C.若该数列的前三项依次为x,l-x,3x,则410方

【解析】选AC.令片1,则许+Mii,因为勾＞0,所以数列｛%（为等差数列且公差

内0,故A正确;由。5。6-。1。10=（q+9。11+20建）-（（1；+9。1＜/）=20建＞0,所以a5a^＞a\a\Q,

故B错误;根据等差数列的性质，可得2（l-x）=x+3x,所以尸|,1--|,故即其+9*智

JJJ。J

，故C正确;

10.（2024・莆田模拟）正项等比数列｛四｝的前n项积为，，且满足fli＞l,（a6-l）（a7-

1）＜0,则下列判断正确的是（）

A.0<q<l

＞

B.a5a7l

的最大值为人

D.T13＞1

【解析】选ABC.由缶6-1）（。7-1）＜0得。6＞1＞。7或。7＞1＞恁,

若即＞1＞46＞。,则9＞1,结合«1＞1得许＞1,矛盾；

所以46＞1＞劭＞。,所以。＜夕＜1,故A正确；

由上述分析得。5劭=（。6）2＞1,故B正确;

由上述分析得41>。2>的>44>45>46>1>47>…，故76最大,C正确；

713=。13a4。5,•••。13=(。7)13<1,故D错误.

-

11.(2024•广州模拟)已知数列｛&｝的通项公式为aj―J,b〃=tan记Sn为数列

｛。〃｝的前“项和，则下列说法正确的是()

A.儿=(/)〃

1+(-1尸

B.61+62+63+…+6〃=---------

-nil(-l)n-1mv

C.右金=Q〃b〃，贝［JC1+C2+C3+...+CyT---7----

D.若贝［］di+d2+d3+…+d4o=-2O5;i

【解析】选BCD.因为数列｛劣｝的通项公式为a〃旦产为+产，,

故斯+i旦产-电声］所以&｝为等差数列内小片，

n(n-17111nn；=2k；j(kUZ),

贝USn=na^/〃=tana〃=tan(]+(〃-l)-)=tan(--y

2l9n=2k"

当”=1时力1=1,故A不正确；

当n为偶数时，仇+仇+仇+…+乩=0;

当n为奇数时，仇+出+仇+...+为=1,

1+(-l)n-1_

故bi+b2+b3+...+bn^-------，所以B正确；

（ccn.n=2k-1

Cn-1“一nn（左WZ）,

-an”.iL——ix,

n?

IT

c2k+C2k-1-a2k+^2k-1=-25

当n为偶数时,Ci+C2+C3+...+c”=-产

当n为奇数时,Ci+C2+C3+...+C"=-?7l+t（2"-l）与l,

所以C1+C2+C3+...+C"=~_71,故C正确；

41

（Sn=2k-1

dn=bnSn=l_s几=2/C（%£Z）,

、TP

ITTT

为—+必后=82582斤q[（2左-l）2-（2左）2]=-^（4左-1）,

所以必+。2+。3+..・+。2〃=（4+。2）+（。3+“4）+.・・+（。2〃-1+“2篦）

irn3+4n-1n

=--[3+7+...+（4n-l）]=--x---x片W（2〃2+〃），

所以4+必+刈+…+d4o=-%2x2O2+2O）=-2O5兀，所以D正确.

【方法规律】常见的数列求和的方法有公式法，即等差等比数列求和公式，分组

求和类似于备=即+源其中&｝和店｝分别为特殊数列，裂项相消法类似于af

而3,错位相减法类似于RR4其中｛%｝为等差数列，也｝为等比数列等.

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.

12.（2024彳余州模拟）围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史.在围棋中，对于

一些复杂的死活问题，比如在判断自己单个眼内的气数是否满足需求时,可利用

数列通项的递推方法来计算.假设大小为n的眼有为口气，大小为〃+1的眼有

an+i口气，则&与斯+i满足的关系是。1=1以2=24+1-"=4"-1（论2,”£>0.则a〃的通

项公式为.

'l,n=1

答案:4"='/_3n+6

—7—，心2

【解析】根据题意,恁+厂4"=〃-1,

当n>2时，可得为=（%4"一1）+（即一1“一2）+…+（的-42）+（420）+/,

2

__（n-2）（九-1）n-3n+6

即4"=（“-2）+（“-3）+…+1+1+1=-----------1-2=---------;

2

又当片1时,41=1不满足a/~手世；

/20

n-3n+6r

故斯='2，九'2.

,=1

13.在各项均为正数的等比数列{aj中，公比H（0,1）,若的+。5=5/2&6=4力"Tog2。,”

数歹U{bJ的前n项和为贝媵攵歹的前n项和为.

兴安n（17㈤

口木，4

/a?+a匚=5）

35①二4

【解析】由题意,的>%,由等比数列的性质可得。2a6=。3a5=久解得J_

LLr——

b

a3>a5

24

%q=4%=16

4

所以axq=1廨得1,

q=5

fi<q<l

_zl\n-1

所以ail产=16x（?=25-",

则儿=10g2&=5-%则数列缶J为等差数列,

2

n(4+5-71)9n-n，故K，

所以用=

22

9-71

snn(4+-)n(17-n)

所以K+.J

n24

14.(2024・武汉模拟)记R上的可导函数段)的导函数为/(x),满足X"+1=X"-M的数

歹UM｝称为“牛顿数歹r'.若函数人x)=%2-x,且八%)=2%-1，数列m｝为牛顿数歹U.设

Xn

q〃=ln---，已知为=2,%">1,则z：，数列｛四｝的前n项和为S”若不等式

Xn-1

“14SS；对任意的“£N*恒成立，则/的最大值为

业案4—

【解析】因为小)=/-%八＞)=2%-1,

22

X“-%“X”

%1

由ai=2,qi=ln-

X2

所以」Le?,解得修=e

F""7,

X1-1Ie-1

24

X1e

所以％2=

4

2^-1e-l

所以©Tn

rhX«

由马+1元/1

2

x

n

---------2

Xn+「12%n-1xn

;(

所以城2心,

-1Y24-2…Xn-1

n+1Xn

~2x-17-1

n

X

nxn

所以为+i=ln-------r=ln(-)2=21n-~~~2a„,

Xn+1-1-

即数列｛许｝是以2为首项,2为公比的等比数列,

2(1-2n),

所以许=2监-'二2=2/1-2,

因为⑸-140S；对任意的“WN*恒成立,

又£>0且工单调递增,

所以金计(1A对任意的"GN*恒成立,

14

令g(x)=x+v，xE(0,+8),

14,____,____

根据对勾函数的性质可得g(x)=x+"在(0,/4)上单调递减，在(/4+8)上单调递

增,

又2=SI<V^<S2=6,且g(2)=9,g(6)彳<g(2),所以/<52+|^=^,

所以t的最大值为三

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.

15.(13分)(2024•成都模拟)在等差数列｛为｝中e+的=。4=5.

(1)求｛劣｝的通项公式;

【解析】（1）设｛斯｝的公差为4贝U2。1+3d=。1+31=5,

解得ai=O,d=|,

所以许=41+2(”-1)行(〃-1)；

1

(2)求数列｛.0｝的刖n项和S”

an+lan+2

［解析］(2)由(1)知^~~弓(乙(4-；)，

un+lun+2uun+lun+2°un+lun+2

2111111

所以义方义（武工+,一U言（1-T尸

a4an+lan+2a2an+2

9n

25(n+1),

16.(15分)数列｛aJ)两足且斯=3斯_1-2〃+3(〃£］^且n>2).

⑴求电的，并证明数列｛a厂九｝是等比数列;

【解析】（1）因为药=-1,且即=3%-2"+3（“£N*且n>2）,

贝1J。2=3。］-1=-4,的=3。2-3=-15,

由已知可得%〃=3怒_r3〃+3=3［%一厂（"-1）］,西-1=2则对任意的〃金N*,a〃-〃#0,

%）-n

所以当n>2所.］一］3,

故数列｛4」｝是等比数列；

（2）求数列｛4｝的通项公式.

【解析】（2）由⑴可知，数列｛4-向是等比数列,

且首项为2公比为3,

所以M「“=-2X3〃-I,因止匕&=“-2-3".

17.(15分)(2024・三明模拟)等差数列｛斯｝中,色+。4=-14,的+的=-20.

⑴求数列｛为｝的通项公式；

【解析】⑴设等差数列｛斯｝的公差为4

+4d=-14

由题息得2%+6d=-20,

解确二;,

所以afa]+("-1)d=-1+(n-l)x(-3)=-3w+2.

(2)已知数列㈤+儿｝是首项为1,公比为2的等比数列，求也｝的前n项和Sn.

【解析】(2)因为数列｛%+由｝是首项为1,公比为2的等比数列，

所以a#儿=2〃/，

所以勿=2"-1-许=2"-1+3”-2,

所以S,=(l+2+22+...+2〃-i)+[l+4+7+...+(3"-2)]=2"-1+”3；1).

19

18.(17分)记数列｛斯｝的前n项积为累,且

⑴证明:数列亿+1｝是等比数列；

【解析】⑴因为北为数列｛aJ的前“项积，

所以户口"(论2).

1n-1

因为;+袅1,所以;+?1(论2),

1nUn1n1n

Tn+1

艮|]l+2T〃_i=7；(〃之2),所以^^=2(〃之2).

i2

又〒彳=1,所以。1=71=3,

11U1

故｛北+1｝是以4为首项,2为公比的等比数列.

(2)求数列｛“7"｝的前n项和Sn.

【解析】⑵由⑴得Z+1=4X2"/=2"+I,

所以7"=2"+1-1,则“北="・2"+1-九

设4=1X22+2X23+3X24+...+“2"+I①，

贝U24=1X23+2X24+3X25+...+“2+2②，

则①-②得：-4=1*22+(23+24+…+2"+i)-"2"+2

232九+2

=4+-----------n・2及+2

1-2

=_4+(1-〃)2什2,

则4=4+(/1)2"+2,

所以｛“，｝的前n项和邑=4+(“-1)2"2一吧?2

【加练备选】

（2024・运城模拟）已知数列｛斯｝的前n项和为S”2S〃=3%2,其中“GN*.

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

【解析】⑴当"=1时,2m=34厂2,所以幻=2,

当n>2时,2£=3即-2,

所以2邑-1=3斯-1-2,

两式相减得2an=3an-3anA,

所以许=3矶,又心=2声0,

所以数列3｝为等比数列,首项为2,公比为3,

所以数列｛四｝的通项公式是年2・3"。

1…

⑵设儿=(七)四,数歹I」也｝的前n项和为北,若对