2024年河南省周口市高考数学二模试卷（含答案）

2024年河南省周口市高考数学二模试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知全集U={%|-1<久<5},集合4满足={x|0W%<3},贝！|()

A.0e71B.leAC.2EAD.3gX

2.数据6.0,7,4,8,0,8.4,8.6,8.7,8.9,9.1的第75百分位数为()

A.8.5B,8.6C,8.7D,8.8

3.已知数列{an}为等比数列，且的=1,a9=16,设等差数列{幻}的前n项和为S”若氏=。5,则S9=()

A.-36或36B.-36C.36D.18

4.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设a,b,m(m〉0)为整数，若a和b

被m除得的余数相同,则称a和b对模m同余，记为a=b(modm).若a=C%•2+C外22+...+嗡-220

,a=b(modl0),贝帕的值可以是()

A.2018B.2020C,2022D,2024

5.声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数y=4S讥33但我们平时听

到的乐音不止是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数

f(x)=sinx+|sin2x(x6R),则下列说法正确的是()

A"(x)的一个周期为兀B"(x)的最大值为|

7T

C./(久)的图象关于点(万,0)对称DJ(x)在区间［0,汨上有2个零点

6.在某次测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.5,0.6和0.7,且三人的测试结果相互独

立，测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没有达到优秀等级的条件下，乙达到优秀等级的概率为

()

A5R-C-D-

882929

7.在平面直角坐标系xOy中，设2(2,4),8(-2,-4),动点P满足而•百5=-1,贝!ItanNPB。的最大值为()

A乳红B.宜空C.区恒D.显

2129412

8.已知双曲线C：:—\=l(a>°力>。)的左、右焦点分别为Fi、F2,双曲线C的离心率为e,在第一象限

存在点P,满足e”inNPF#2=l，且Sm/F2=4a2,则双曲线C的渐近线方程为()

A.2x±y=0B.%±2y=0C.3%±y=0D.x±3y=0

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二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.在复平面内，复数zi=2-*i对应的点为4复数Z2=zi-1对应的点为B,下列说法正确的是()

乙L.

2

A.|zi|=\z2\=1B.z1-z2=|z1|

C.向量而对应的复数是1D.|通|=|zi-z2|

10.如图，在矩形ABBMi中，44i=l,AB=4,点C,D,E与点J,2,为分别是线段AB与4道i的四等

分点.若把矩形ABB遇i卷成以44i为母线的圆柱的侧面，使线段与BBi重合，则以下说法正确的是()

AiCiDiEIBi

B

A.直线4cl与D%异面B.AE〃平面4CD

C.直线DE】与平面AEDi垂直D.点J到平面DDi%的距离为独

71

11.己知函数/■(%)的定义域为R,且/'(久+y)/(x-y)=y2(x)-/2(y),/(l)=1,f(2x+1)为偶函数，则

()

A./(0)=0B"(x)为偶函数

C./(2+x)=-/(2-x)D.小鸳f(k)=0

三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

12.抛物线/=’的准线方程为y=1,则实数a的值为.

13.在△ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=#,b=4,c-cosB+a=0,则边c=

Q77-

，点D在线段4B上，且“D4=^,贝|CD=.

14.已知不等式/3+1-23N6对任意的实数x恒成立，贝2的最大值为

a-----------

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

荥阳境内广武山上汉王城与霸王城之间的鸿沟，即为象棋棋盘上“楚河汉界”的历史原型，荥阳因此被授

予“中国象棋文化之乡”.有甲，乙，丙三位同学进行象棋比赛，其中每局只有两人比赛，每局比赛必分胜

负，本局比赛结束后，负的一方下场.第1局由甲，乙对赛，接下来丙上场进行第2局比赛，来替换负的那个

人，每次比赛负的人排到等待上场的人之后参加比赛.设各局中双方获胜的概率均为看各局比赛的结果相

互独立.

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。)求前3局比赛甲都取胜的概率；

(II)用X表示前3局比赛中乙获胜的次数，求X的分布列和数学期望.

16.(本小题15分)

已知函数/(%)=a(x2—Znx)+(1—2a2)x(a>0).

①若％=1是函数y=/(x)的极值点，求a的值；

(II)求函数y=f(x)的单调区间.

17.(本小题15分)

如图，在多面体D4BCE中，△ABC是等边三角形，AB=AD=2,DB=DC=EB=EC=\/2.

(I)求证：BC1AE-,

(II)若二面角A-BC—E为30。，求直线DE与平面ACD所成角的正弦值.

18.(本小题17分)

已知椭圆E：1+居=l(a>b>0)过点(0,1),且焦距为2©

①求椭圆E的标准方程；

⑺过点S(LO)作两条互相垂直的弦AB,CD,设弦AB,CD的中点分别为M,N.

①证明：直线MN必过定点；

②若弦AB,CD的斜率均存在，求面积的最大值.

19.(本小题17分)

已知数列5｝为有穷数列，且在6N*,若数列｛崎满足如下两个性质，则称数列5｝为小的k增数列;

1)(11+0,2++…+C1n=771;

②对于1<i<j<n,使得七<%的正整数对(打)有k个.

①写出所有4的1增数列；

(II)当n=5时，若存在ni的6增数列，求机的最小值；

(III)若存在100的k增数列，求k的最大值.

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参考答案

1.5

2.D

3.C

4.B

5.D

6.C

7.C

8.A

9.AD

IQ.ABD

11.ACD

12--

j4

13.汨警

14.2—2伍2

15.解：（I）前3局比赛甲都取胜的概率为P=|x|x|=1;

（II）X的所有可能取值为0,1,2,3.其中，X=0表示第l局乙输，第2局是甲丙上场，第3局是乙输，则

P（X=0）=fx|=1；

X=1表示乙赢1局，即第1局乙赢，第2局乙输，或第1局乙输，第3局乙赢；则p（x=1）=!义升99

1

=­•

2，

X=2表示乙赢2局，即第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局乙输，则p（x=2）=*—

ZZZo

X=3表示第1局乙赢，第2局乙赢，第3局乙赢，则p（x=3）JxJxJ=J

ZZZo

则X的分布列为：

X0123

1111

p4288

X的数学期望为E(X)=0x|+lx|+2xJ+3xJ-1.

4Zooo

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16.解：(I)函数/(%)=a(x2-Znx)+(l-2a2)x(a之0)的定义域为(0,+8),

f'(x)=矶2%-》+l-2a2=(2〃+?”),

因为x=1是函数y=f(x)的极值点，

所以((1)=0,即(2a+l)(l—a)=0,a>0,

解得Q=1,经检验知，当a=1时，%=1是函数y=/(%)的极值点，

所以Q=1.

(II)由①知［0)=(2ax+?”),aNO,

当a=0时，f(x)>0,所以函数f(x)的单调递增区间为(0,+8),无减区间;

当a〉0时，当0<久<a时，f'(x)<0,当x>a时，f'(x)>0,

所以函数/'(x)的递减区间为(0,a),增区间为(a,+oo).

综上，当a=0时，函数人比)的单调递增区间为(0,+8),无减区间；

当a>0时,函数/"(%)的递减区间为(0,a),增区间为(a,+oo).

17.(1)证明：如图，取BC中点0,连接A。，E0,

•・・△4BC是等边三角形，。为8C中点，

•••AO1BC,又EB=EC,

EO1BC,A。DEO—0,

BC1平面4E。，又ZEu平面4E。,

BC1AE-,

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解：（II）连接。。，则。。1BC,由48=2C=BC=2,DB=DC=EB=EC=也,

则4。=4，DO=1,又AD=2,

AO2+DO2=AD2,

DO14。，又2。nBC=0,

•••DO1平面ABC,

如图，以。为坐标原点，。4OB,。。所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,

则。(0,0,0),4(居0,0),C(0,-l,0),£>(0,0,1),

CX=(73,1,0),CO=(0,1,1),

设平面力CD的法向量为五=(x,y,z),

则林•刀=0,/而=0,

即/%+y=0,y+z=0,

取x=l,则n=(l,-避,避)，

•••N40E是二面角力一BC-E的平面角，

.­./.AOE=30°,又0E=1,

■■■喈,0,一分丽=(争

设直线0E与平面力CD所成角为0,

则sin。=|cos<'DE,n>\=竺巧=芳一呜=红,

\DE\\n\7

直线DE与平面4CD所成角的正弦值为字.

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18.解：(I)因为椭圆E过点(0,1),且焦距为2道，

所以b=1,c=木,

可得小=Z?2+c2=4,

则椭圆E的方程为《+y2=l；

(n)①证明：不妨设直线4B的方程为x=my+l(m70),4(无1，月)，8。2,丫2)，

可得直线CD的方程为x=~^y+l(m*0),

X=my+1

联立/+y2=i,消去工并整理得0n2+4)y2+27ny-3=0,

,4夕一

止匕时4=16m2+48>0,

由韦达定理得为+及=五强，

一一4一772

所以M"+4，力2+4)，

同理得N(饰』)，

当舟=馈\，即小=1时，

直线MN的方程为％=专

此时直线MN过点P专0)；

当447n2

m2+41+4m2'

即m2力1时，直线MN的斜率k=4(端彳1)，

所以直线MN的方程为y+=就为(％—菽匕)(巾2中l,m力0),

令y=0,

铲出_40n2_1)4______47n2+16_4

+2=29

用牛付X=5^2_|_4)(m+4)5(m+4)-5

所以直线MN恒过点P(,0)；

4

当血=0时，易得直线MN经过点P(g,o),

综上，直线MN必过点P(*0)；

@^^JS^MNS=sAMPSsNPS=-^\KS\­\yM~yN\

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11mm1|m3+m\_工17n士方।

25'1+4m2m2+42•4m4+17m2+4=2*4m2+++17,

不妨令1=|血+\|,t>2,

i|T?IH—|1t11

此时•析户一•-----=一•

24t2+924t+j,

因为函数y=4t+?在［2,+8)上单调递增,

所以函数y在［2,+8)上单调递减,

即54MNSW)，4X2+2=《,当且仅当t=2,m=±l时，等号成立,

Z什入乙T2

故△MNS面积的最大值为白.

19廨：(I)由题意得(21+a2+■■■+an-4且对于1<i<j<4,使得七<%的正整数对(ij)有1个,

由于1+2+1=4或1+3=4,

故所有4的1增数列有数列L2,1和数列1,3.

(II)当n=5时，存在巾的6增数列，

即a1+a2+a3+a4+a5=m,且对于1<i<j<5,使得％<出的正整数对(iJ)有6个，

所以数列｛即｝的各项中必有不同的项，所以加N6且爪SN*,

若=6,满足要求的数列｛an｝中有四项为1,一项为2,

所以kW4,不符合题意，所以m>6.

若爪=7,满足要求的数列｛4