广西柳州市重点中学2024-2025学年高考5月模拟考试数学试题（含解析）

广西柳州市重点中学2024-2025学年高考5月模拟考试数学试题试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.某大学计算机学院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲从人工智能领域的语音识别、人脸

识别，数据分析、机器学习、服务器开发五个方向展开研究，且每个方向均有研究生学习，其中刘泽同学学习人脸识

别，则这6名研究生不同的分配方向共有（）

A.480种B.360种C.240种D.120种

2.已知集合加={%]—14尤<5},N={x|国<2},则Mp|N=（）

A.{x|-l<x<2}B.{x|-2<x<5}C.{x|-l<x<5}D.{x|0<尤<2}

3.要得到函数y=6cos2x-sin2x的图像，只需把函数y=sin2x-的图像（）

A.向左平移2IT个单位B.向左平移上个单位

212

C.向右平移点个单位D.向右平移。个单位

4.某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积（单位：c加3）为（）

5.已知集合4={（乂，）|丁=尤2},B={（x,y）|x2+/=1},则A。8的真子集个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验

中成功次数X的期望为（）

AyB.1C.1D.2

JQ

7.已知x,y^R,则“1＜y”是“一＜1”的（）

y

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

8.若（近+工）的展开式中二项式系数和为256,则二项式展开式中有理项系数之和为（）

A.85B.84C.57D.56

9.在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.

甲：我的成绩比乙高.

乙：丙的成绩比我和甲的都高.

丙：我的成绩比乙高.

成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为

A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙

C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙

io.设左＞1,贝！I关于的方程。—左）«+丁2=左2―1所表示的曲线是（）

A.长轴在y轴上的椭圆B.长轴在X轴上的椭圆

c.实轴在y轴上的双曲线D.实轴在x轴上的双曲线

11.已知抛物线C:/=4x和点。（2,0）,直线尤=9-2与抛物线C交于不同两点A,B,直线与抛物线。交于

另一点E.给出以下判断：

①以助为直径的圆与抛物线准线相离；

②直线OB与直线OE的斜率乘积为-2；

③设过点A,B,E的圆的圆心坐标为S,切，半径为厂，则Y—r=4.

其中，所有正确判断的序号是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

12.已知等差数列｛4｝中，％=7,4=15,则数列｛4｝的前10项和4=（）

A.100B.210C.380D.400

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知数列｛%,｝中，S“为其前”项和，q=l,anan+i=T,则4=，邑。。=.

14.已知函数/（x）=-丁+sinx,若/（a）=M,则/（一a）=.

15.函数/(x)=(a—1)，—3(a>l,aw2)过定点.

16.在一块土地上种植某种农作物，连续5年的产量(单位：吨)分别为9.4,9.7,9.8,10.3,10.8.则该农作物的年

平均产量是吨.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

x=l+cosa

17.(12分)在平面直角坐标系中，曲线G的参数方程为：\.(a为参数)，以。为极点，x轴的正

y=sin。

半轴为极轴建立极坐标系，曲线。2的极坐标方程为：p=26sin®.

(1)求曲线G的极坐标方程和曲线G的直角坐标方程；

⑵若直线/：丁=依(左>0)与曲线G交于。，A两点，与曲线。2交于。，B两点,求|。4|+|。同取得最大值时直

线/的直角坐标方程.

x=cosa

18.(12分)在平面直角坐标系九0y中，曲线a的参数方程为.(。为参数)，将曲线a上每一点的横坐标

y=sma

变为原来的72倍,纵坐标不变,得到曲线c2,以坐标原点。为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线/：夕=。

7T

与曲线c2交于点P,将射线I绕极点逆时针方向旋转,交曲线于点Q.

(1)求曲线。2的参数方程；

(2)求APOQ面积的最大值.

19.(12分)已知均为正实数，函数/(x)=x+5+x-'+*的最小值为1.证明：

(1)a2+Z»2+4c2>9s

(2)—+^-+^-<1.

ab2bclac

20.(12分)在AABC,角A、B、。所对的边分别为。、b>c,已知cos3+(cosA—2sinA)cosC=0.

(1)求cos。的值；

(2)若Q=6，AC边上的中线BM=姮，求AABC的面积.

2

21.(12分)已知函数/(x)=lux—a—+(〃—办—+〃+£R).

(1)若a=0,试讨论/(x)的单调性;

(2)若0<a<2,b=l,实数为方程/(x)=fn-ax2的两不等实根，求证：一+—>4-2a.

x1x2

一

22.(10分)在极坐标系中,曲线C的极坐标方程为夕=<+

(1)求曲线C与极轴所在直线围成图形的面积;

(2)设曲线C与曲线Psin9=g交于A,B两点,求

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

将人脸识别方向的人数分成：有2人、有1人两种情况进行分类讨论，结合捆绑计算出不同的分配方法数.

【详解】

当人脸识别方向有2人时，有团=120种，当人脸识别方向有1人时，有禺=240种，.••共有360种.

故选：B

本小题主要考查简单排列组合问题，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.

2.A

【解析】

考虑既属于"又属于N的集合，即得.

【详解】

N=［x\-2<x<2^,:.MryN={x\-l<x<2}.

故选：A

本题考查集合的交运算，属于基础题.

3.A

【解析】

运用辅助角公式将两个函数公式进行变形得>=-2sin^2x-1]以及y=2sin12x—g],按四个选项分别对

y=2sin12x—W］变形，整理后与y=-25皿12%一三］对比,

从而可选出正确答案.

【详解】

解：

y=^3cos2x-sin2x=2cos2x-sin2x=2sinr-2x]=-2sin12x-g1

-f)-

y=sin2x-V3cos2X=2—sin2x----cos2x=2sin2%

(22J

(71(兀、=-2sin^2%-^.

对于A：可得y=2sin2lx+—l-y=2sinl2x-y+1

故选:A.

本题考查了三角函数图像平移变换，考查了辅助角公式.本题的易错点有两个，一个是混淆了已知函数和目标函数;二是

在平移时，忘记乘了自变量前的系数.

4.D

【解析】

根据几何体的三视图，该几何体是由正方体去掉三棱锥得到，根据正方体和三棱锥的体积公式可求解.

【详解】

如图，该几何体为正方体去掉三棱锥用-4£E,

1122

所以该几何体的体积为：V一,

V^rA\DB\C^LDJ—-/Aij.2B5]C-|DL/|,~ZBJ|―-A,CE=2X2X2——Qx-r\x2x2xl=Q

故选：D

本题主要考查了空间几何体的三视图以及体积的求法，考查了空间想象力，属于中档题.

5.C

【解析】

求出An§的元素，再确定其真子集个数.

【详解】

小2非-2出6-2

2x=------x=--------------

y=x22

由＜22，解得或＜4口8中有两个元素，因此它的真子集有3个.

U+/=1A/5-IV5-1

故选：C.

本题考查集合的子集个数问题，解题时可先确定交集中集合的元素个数，解题关键是对集合元素的认识，本题中集合

A,8都是曲线上的点集.

6.C

【解析】

每一次成功的概率为二=三=』，二服从二项分布，计算得到答案.

§3

【详解】

每一次成功的概率为二=；=』，二服从二项分布，故二［二：=；xS=j.

故选：二

本题考查了二项分布求数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.

7.D

【解析】

XX

不能得到一＜i,一＜1成立也不能推出xvy,即可得到答案.

【详解】

因为x,y^R,

、1%C1

当时，不妨取x=—I,y=—，—=2＞lf

2y

故时，一＜i不成乂，

y

当一＜1时，不妨取x=2,y=—I,则xvy不成立，

y

综上可知，“1＜丁”是"一＜「’的既不充分也不必要条件，

y

故选：D

本题主要考查了充分条件，必要条件的判定，属于容易题.

8.A

【解析】

先求九，再确定展开式中的有理项，最后求系数之和.

【详解】

解：］近的展开式中二项式系数和为256

故2"=256，«=8

8-r8-4r

Tr+l==禺…

要求展开式中的有理项，则r=2,5,8

则二项式展开式中有理项系数之和为：C；+C；+C：=85

故选：A

考查二项式的二项式系数及展开式中有理项系数的确定，基础题.

9.A

【解析】

利用逐一验证的方法进行求解.

【详解】

若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙

预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙

比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A.

本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力.题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查.

10.C

【解析】

22

根据条件，方程（1—左）/+_/=左2—1.即，------=1,结合双曲线的标准方程的特征判断曲线的类型.

'7k2-lk+1

【详解】

解:"：k>l,：.l+k>0,F-l>0,

22

方程。一左）£+/=/一1,即黄1=1，表示实轴在y轴上的双曲线，

故选c

22

本题考查双曲线的标准方程的特征，依据条件把已知的曲线方程化为-4--------=1是关键.

k2-lk+1

11.D

【解析】

对于①，利用抛物线的定义，利用4=4±庄=”也也>些=7?可判断；

222

对于②，设直线。石的方程为％=磔+2,与抛物线联立，用坐标表示直线08与直线OE的斜率乘积，即可判断;

对于③，将彳="-2代入抛物线c的方程可得，以为=8,从而，%=-%，利用韦达定理可得

|BE|2=16m4+48m2+32,再由「=|的『若］，可用m表示严，线段助的中垂线与x轴的交点（即圆心

N）横坐标为2"/+4,可得a,即可判断.

【详解】

如图，设R为抛物线C的焦点，以线段3E为直径的圆为“，则圆心M为线段BE的中点.

设6,E到准线的距离分别为4，4，的半径为R，点”到准线的距离为d,

显然3,E，尸三点不共线，

则公勺=^^＞中=心所以①正确.

222

由题意可设直线DE的方程为x=my+2,

代入抛物线。的方程，有丁―4年-8=0.

设点3,E的坐标分别为（七,%）,（兀2，%），

则%+%=4根，%%=—8.

所以王/=（冲1+2）（my2+2）=/+2Mx+%）+4=4.

则直线08与直线OE的斜率乘积为"=-2.所以②正确.

xxx2

将龙=9-2代入抛物线C的方程可得，力为=8,从而，以=-乂•根据抛物线的对称性可知，

A，E两点关于％轴对称，所以过点A，B,E的圆的圆心N在％轴上.

由上，有％+%=4根，%+%2=4〃,+4,

则|BE『=（玉+左2）一一4九1尤2+（%+%）--4%%=16m4+48m2+32.

所以，线段班的中垂线与x轴的交点（即圆心N）横坐标为2〃/+4，所以口=2m2+4.

于是，/=|削|2=12-2+4—%；/]+4m4+12m2+8,

42

代入%]+x2=4〃/+4,%+为=4根，得厂之=4m+16m+12，

所以小一严=Q疗+盯_(4“+16m2+12)=4.

所以③正确.

故选：D

本题考查了抛物线的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.

12.B

【解析】

设｛4｝公差为d,由已知可得。3,进而求出｛4｝的通项公式，即可求解.

【详解】

设｛a”｝公差为d,%=7,%=15,

a3="=11,d=%一4=4,

/।°10x(3+39)…

an=4fi—1,Si。=-----------=210.

故选：B.

本题考查等差数列的基本量计算以及前九项和，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.83x2100-3(写为2Kxl+2皿一3也得分)

【解析】

x

由6=1,得，/=2.当〃22时，an_xan=T-,所以手=2,所以｛4｝的奇数项是以1为首项，以2

an-\

为公比的等比数列；其偶数项是以2为首项，以2为公比的等比数列.则q=2x2。=8,

lx(l-2100)2x(l-2100)^IOI[.yoo.

邑00=———+———=921OO+29-3=3x2-3.

14.-M

【解析】

根据题意，利用函数奇偶性的定义判断函数/(九)的奇偶性，利用函数奇偶性的性质求解即可.

【详解】

因为函数/(x)=-x3+sinx,其定义域为R,

所以其定义域关于原点对称,

X/(-x)=-(-x)3+sin(-x)=-(x3+sin=-/(%),

所以函数/(%)为奇函数，因为〃a)=M,

所以/(—a)=—

故答案为:TW

本题考查函数奇偶性的判断及其性质；考查运算求解能力；熟练掌握函数奇偶性的判断方法是求解本题的关键;属于中

档题、常考题型.

15.(0,-2)

【解析】

令％=0,/(0)=1-3=-2,与参数无关，即可得到定点.

【详解】

由指数函数的性质，可得x=0,函数值与参数无关，

所有f(x)=(a-1厂—3过定点(0,-2).

故答案为：(0,-2)

此题考查函数的定点问题，关键在于找出自变量的取值使函数值与参数无关，熟记常见函数的定点可以节省解题时间.

16.10

【解析】

根据已知数据直接计算即得.

【详解】

-9.4+9.7+9.8+10.3+10.8，八

由题得,x=--------------------------------=10.

5

故答案为：10

本题考查求平均数，是基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)曲线£:p=2cose,曲线：必+b—百『=3.(2)y=gx.

【解析】

%=1+cosax二『cos。「

(1)用〈和V,八消去参数a即得q的极坐标方程；将P=20sin。两边同时乘以「，然后由

y=sinay二夕sin”

1

p=x2+y2,y=psin。解得直角坐标方程.

(2)过极点的直线的参数方程为6=。,0＜。＜会,夕©R,代入到G：o=2cos6和。2：2=2Gsin。中，表示出

|OA|+|OB|即可求解.

【详解】

%=1+cosax=pcosOpcosd—l=costz

解：由V和Vy=〃sing'得,

y=sina夕sin。=sin。

(pcos。-1)2+(psing)2=1,化简得。=2cos。

故C\：Q=2cos。

将夕=2石sin。两边同时乘以夕，得夕2=2j^Qsin。

因为22=尤2+》2,丁=2sin。，所以％2+丁2-2百丁=。

得。2的直角坐标方程02：必+b—GJ=3.

(2)设直线/的极坐标方程6={0＜°?夕€可

0—(0

由1，得|Q4|=2cos°,

p-2cos。

9=9r

由〈r,得|QB|=26sin0

夕=2,3cos。

故10A|+10B\=2cos(p+2+sin0=4sin

当°=?时，|OA|+|。同取得最大值

jr

此时直线的极坐标方程为：6=

其直角坐标方程为：y=瓜.

考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互相转化以及应用圆的极坐标方程中夕的几何意义求距离的的最大值方

法；中档题.

x=^2cosa（a为参数）；（2）YZ

18.(1)]

y=sma2

【解析】

（1）根据伸缩变换结合曲线G的参数方程可得出曲线C2的参数方程;

（2）将曲线G的方程化为普通方程，然后化为极坐标方程，设点P的极坐标为（2,0），点Q的极坐标为22，。+叁

将这两点的极坐标代入椭圆C的极坐标方程，得出A2和Pi关于。的表达式，然后利用三角恒等变换思想即可求出

APOQ面积的最大值.

【详解】

x=cosa

（1）由于曲线G的参数方程为《.为参数），

y=siner

将曲线G上每一点的横坐标变为原来的后倍，纵坐标不变，得到曲线。2,

则曲线的参数方程为I"—C0Sa（a为参数）；

y=sina

（2）将曲线。2的参数方程化为普通方程得;+_/=1,

化为极坐标方程得C°S-e+2sin2。=1,即夕2=―2,

21+sin0

设点P的极坐标为（月,。），点。的极坐标为\p2，（p*

2_2

7乙

将这两点的极坐标代入椭圆C的极坐标方程得「「言而,.2(万、1+COS2(P,

l+sin2U+-I”

•••AP。。的面积为

c_1_12________]

2*-2X^

1+sin>)(1+cos>)^/2+sin20cos2(p

1_V2

当sin2。=0时，APOQ的面积取到最大值

V2

本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，考查了伸缩变换,同时也考查了利用极坐标方程求解三角形面积

的最值问题，要熟悉极坐标方程所适用的基本类型，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

19.(1)证明见解析(2)证明见解析

【解析】

(1)运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值，再运用柯西不等式，即可得到最小值.

(2)利用基本不等式即可得到结论，注意等号成立的条件.

【详解】

(1)由题意a,b,c>。，则函数

〃、_1111.1.11111

/⑴=»/+庐+审-"+/—―记)卜记=/+后+石’

又函数/(%)的最小值为1,即一啜+W+42=L

由柯西不等式得(/+Z?2+4c2)^~r+~r+~~^>(l+l+l)2=9,

当且仅当a=b=2c=6时取

故/+/+而29.

112111111

(2)由题意，禾U用基本不等式可得^~+F?，-y\--y>—，fl--——

ababb4cbea4cac

(以上三式当且仅当a=b=2c=6时同时取“=”)

上、「111,

由(1)知，一7—7---7=1,

a2b24c2

八一,211J111)c

所以，将以上二式相加得,+—।---2—+—+--^-=2

abbeac\ab4c)

即---1----1---<1.

ab2bclac

本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算能力，属于中档题.

出

20.(1)cosC=—(2)答案不唯一，见解析

5

【解析】

(1)由题意根据和差角的三角函数公式可得tanC=2,再根据同角三角函数基本关系可得cosC的值;

(2)在AABC中，由余弦定理可得尸一48+3=0,解方程分别由三角形面积公式可得答案.

【详解】

解：(1)在AABC中，因为cos6=-cos(A+C)=-cosAcosC+sinAsinC,

又已知cosB+(cosA-2sinA)cosC=0,

所以sinAsinC-2sinAcosC=0,

因为sinAwO,所以sinC-2cosc=0,于是tanC=2.

所以cosC=".

5

(2)在AABC中，由余弦定理得5M2=502+侬2—2BCOfcosC，

得Z?2—4b+3=o解得匕=1或匕=3,

当b=l时，AABC的面积S=」absinC=l,

2

当3=3时，AABC的面积S=』absinC=3.

2

本题考查正余弦定理理解三角形，涉及三角形的面积公式和分类讨论思想，属于中档题.

21.(1)答案不唯一，具体见解析(2)证明见解析

【解析】

(1)根据题意得/(%),分匕<一1与/?>—1讨论即可得到函数/(%)的单调性；

(2)根据题意构造函数g(x),得g(%i)=g(%2)=^，参变分离得a—2=;:

分析不等式'+二->4-2a,即转化为工•一三<一21n三，设乂再构造函数g⑺=21n/T+L利用

*1x2x2X[X[X]'/t

导数得单调性，进而得证.

【详解】

(1)依题意x>0,当a=0时，r(x)=L—3+1),

X

①当时，/(％)>0恒成立，此时/(X)在定义域上单调递增；

②当6>-1时，若xef'(x)>0；若xeU^+oo],f'(x)<0；

Ib+1J\b+l)

故此时人无)的单调递增区间为(0,Jv1,单调递减区间为(丁[,+s].

[b+1))

(2)方法1：由/(%)=帆—or?得Jn%+(a—2)x+2一6=0

令g(x)=lnx+(a_2)x+2,则g。)=g®)=",

clnx9-Inx.

依题意有InXj+Ca-2)引=Inx2+(«-2)x2,即a-2=----=--------,

Xj—%2

要证」-+」->4-2。，只需证受土强>2(2—。)=—'In/Tn、)(不妨设&<龙,),

Xx

x2X1%2i-2

即证土一三<-2In三,

x2西西

x1211

令二=々>1),设g⑺=21n5/+-,则g'(/)=——1--=-(--1)2<0,

tttt

・•.g⑺在。,y)单调递减,即g«)vg⑴=。,从而有」-+二->4—2〃.

巧x2

方法2：由/(%)=m得inx+(a—2)%+2—根=。

令g(%)=lnx+(a—2)x+2,则g(%)=且区)=加，gf(x)=--(2-a)