中考数学专项复习：三角形的初步知识（全章知识梳理与考点分类讲解）

专题1.1三角形的初步知识（全章知识梳理与考点分类讲解）

第一部分【知识点归纳】

【知识点11三角形的基本概念

三角形：不在同一条直线上的三条线段首尾相接所组成的图形。

【知识点2】三角形的分类

1.按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形（定义，区别）。

2.按边分：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形。

【知识点3】三角形的基本性质

1.三角形的内角和：三角形内角和是180。；

2.三角形三边关系：三角形的任何两边的和大于第三边（由两点之间线段最短得到）；三角

形的任何两边的差小于第三边；

3.三角形的外角：由三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角；

三角形的外角性质：三角形的一个外角等于和他不相邻的两个内角的和

【知识点4】几条重要的线

1.三角形角平分线：一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和对边交点的线段;

2.三角形的中线：连接一个顶点和它对边的中点的线段；

3.三角形的高；从三角形的一个顶点向它对边所在的直线作垂线段。

4.线段的垂直平分线（中垂线）：垂直并平分一条线段的直线。

线段垂线平分线性质：线段的中垂线上的点到线段两端点的距离相等。

线段垂线平分线逆定理：到线段两端的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

5.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。

角平分线的性质定理逆定理：角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。

【知识点5】全等三角形

1.全等图形：能够完全重合的两个图形。形状相同、大小相等的图形；

2.全等三角形：能够完全重合的两个三角形；

（1）对应顶点：能够相互重合的顶点；

（2）对应边：相互重合的边；有公共边的，公共边一定是对应边；

（3）对应角：相互重合的角。有公共角的，角一定是对应角；有对顶角的，对顶角一定是

对应角;

3.性质定理：全等三角形的对应角相等，对应边相等。注意“对应”二字。

4.全等三角形的判定条件

(1).SSS——三边对应相等的两个三角形全等；

(2).SAS----个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等；

(3).ASA——两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等；

(4).AAS--两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

问题：为什么SSA不可以判定？

(5)HL.——直角三角形的斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

用符号g表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上。

(二)灵活运用全等判定定理

1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在

寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。

2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。

3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。

(1)已知条件中有两角对应相等，可找：

①夹边相等(ASA)②任一组等角的对边相等(AAS)

(2)已知条件中有两边对应相等，可找

①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)

(3)已知条件中有一边一角对应相等，可找

①任一组角相等(AAS或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)

【知识点6】尺规作图

尺规作图：在几何作图中，我们把用没有刻度的直尺和圆规作图，简称尺规作图。

1.基本作图作等量线段、作等量角、作线段的和差倍、作角的和差倍、

2.作线段的中垂线、作角的平分线、中垂线角平分线在一起作、

3.作三角形知三边、知两边夹角、知两角夹边、知一边及该边上的高

作法：有规定名称时需格外注意字母的标注

注意务必考虑三角形的各要素(类比于三角形全等的判定条件)。

【知识点7】定义、命题与证明

1.定义：能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义。

2.命题：定义：判断某一件事情的句子

结构：由条件和结论两部分组成。

句式改写：如果……那么……

分类：真命题通过推理的方式来判断、人们经过长期实践公认为正确的

假命题通过举反例（具备命题的条件但不具备命题的结论的实例）

3.互逆命题原命题、逆命题互逆定理原定理、逆定理

每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题不一定是真命题。

4.证明：从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论）、一步一步推

得结论成立的推理过程。

证明几何命题的格式：（1）按题意画出图形⑵分清命题的条件和结论，结合图形，在已

知中写出条件，在求证中写出结论（3）在证明中写出推理过程。

在解决几何问题时，有时需要添加辅助线。添辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常

画成虚线。

第二部分【题型展示与方法点拨】

【题型1】构成三角形的条件与确定三角形第三边取值范围

【例1】（23-24八年级上广西梧州•期中）如图,NMON=90。,点A,3分别在射线OM,ON上运动，跖平分

ZNBA,BE的反向延长线与NBA。的平分线交于点C,若VABC三边长分别为a,6,c.

（1）化简I。一人+。|_|。_b一同；

（2）求ZC的度数.

【分析】（1）根据三角形构成条件可以将人+dT〃-b-d化简，继而得出答案;

（2）利用角平分线性质及外角和定理，先利用角平分线性质得出角度相等的结论,再利用外角进行角的转换,

继而得到本题答案.

解：(1)解:回两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，

^b-c<a<b-\-c,

回a_Z?+c|—-h—c|—-(h-c)|一\ct-(Z?+c)|f

回〃一(Z?—c)〉0,a—(Z?+c)v0,

^\\a—(b—c)\=a—b+c/\a—(b+c')\=—a+b-i-cf

团—Z?+c|一—b—c|=a—b+c—(—a+Z?+c)=2a—2Z7,

故答案为：2a-2b.

(2)解:根据题意知:Z4BN=NAO5+NR4O,

0BE平分ZNBA,AC平分/BAO,

0NABE=-ZABN,ABAC=-ZBAO,

22

0ZC=NABE-ABAC=1(ZAOB+NBAO)-1ZBAO=|ZAOB,

^\ZMON=90°,

0ZC=45°.

故答案为：45。.

【点睛】本题考查三角形构成条件，绝对值化简，角平分线性质及外角和定理.

【变式1】(23-24七年级下•江苏苏州•开学考试)三角形的两边长分别为2和7,另一边长。为偶数.且

2<a<8,这个三角形的周长是()

A.13B.15C.15或17D.17

【答案】B

【分析】本题考查了三角形三边关系.此题属于易错题，解题时，往往根据2<。<8取〃的值为4或6,而

忽略了三角形的三边关系，致使解答错误.根据三角形的三边关系，第三边的长一定大于已知的两边的差，

而小于两边的和.求得相应范围后，根据另一边长是偶数舍去不合题意的值即可.

解：7-2=5,7+2=9,

.\5<a<9.

又,2vav8,

「.5va<8.

。为偶数,

：.a=6.

，周长为9+6=15.

故选：B

【变式2】（24-25八年级上•吉林•开学考试）若某三角形的两条边分别是3,4,那么它第三边的取值范

围是•

【答案】1〈第三边<7

【分析】此题考查三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形

三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，掌握三角形三边关系定理是解题的关键.

解：设三角形的第三边长为。，

团4—3Va<4+3,

解得：l<a<7,

回它第三边的取值范围是l<a<7,

故答案为：1（第三边<7.

【题型2】与三角形三条重要线段有关的求值与证明

【例2】（22-23七年级下•湖南衡阳・期末）如图，在VABC中，AD±BC,AE为VABC的角平分线，点

尸是边的中点，已知“AFC的面积为12,AD=3,ZZME=10°,ZC=30°.

（1）求3c的长度;

（2）求的度数.

【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线、高、三角形的面积等.（1）求出SA.C=S=FB=12,根据

三角形的面积求出=8,再求出结果即可；

（2）求出/4£0=180。一90。—10。=80。，根据三角形的外角性质求/C4E=NA£D—/C=50。，根据角平

分线求出？2?CAE100?,再求出即可.

解：（1）解：回点歹是2C边的中点，

⑦BC=2BF=2CF,BF=CF,

团,^AAFC==12,

团AD-3,

I?]—xBFx3=12,

2

团BF=8,

BBC=2BF=16；

（2）解：^AD±BC,

团/ADC=90。,

^\ZDAE=10°,

团ZAED=180°-90°-10°=80°,

又回NC=30。，

^\ZCAE=ZAED-ZC=50°,

团A£为VABC的角平分线，

团？B4C2?CAE100?,

BZB=1800-ZC-ZBAC=50°.

【变式1】（22-23八年级上•湖北荆门・单元测试）如图，在VA3C中，已知点。、E、尸分别是5C、AD.CE

的中点，且SABC=2,SBEF=（）

11

A.2B.1C.-D.-

24

【答案】C

【分析】本题考查了利用三角形的中线求三角形的面积，根据点E是AD的中点得出sBOE=；SA皿，

$△3=；打心，进而得至"BCE=1，再根据尸为CE的中点，得到S耐=；SBCE，进行计算即可得到答案，

熟练掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解此题的关键.

解：、点E是的中点,

-SABDE=5,^AABD，S&CDE="^AkCD，

'''S.BDE+S.CDE=/SABD+,ACD=,ABD+,ACD)=,ABC=

S.BCE=1，

,尸为CE的中点，

.<_1」

一》BEF-2»BCE-oX1—2，

故选：C.

【变式2】（23-24八年级上•河南许昌•期中）如图，在VA3C中，AD,AE分别是边BC上的中线与高,

AE=2,VA5C的面积是6,则8。的长是.

【分析】本题主要考查了三角形面积计算，三角形中线的性质，先根据三角形中线平分三角形面积得到

5AABD=1^C=3,再根据三角形面积计算公式求解即可.

解：回VABC的面积是6,AD是VABC的中线，

回^AABD=^AABC=3，

团AE是VABC的fWj,且AE=2,

国LAEBD=3,

2

也BD=3,

故答案为：3.

【题型3】与三角形内角和有关的求值与证明

【例3】（23-24七年级下•四川内江•开学考试）已知PM〃4V,且Z4=40。，点C是射线4V上一动点

（不与点A重合），PB,PD分别平分NAPC和/MPC,交射线AN于点3,D.如图：

⑴求ZBPD的度数；

⑵当点C运动到使NP54=NAPD时，求的度数；

⑶在点C运动过程中，NPC4与/PD4之间是否存在一定的数量关系？若存在，请写出它们之间的数量关

系，并说明理由；若不存在，请举出反例.

【答案】(1)N5尸。=70。(2)ZAPB=35°⑶存在，且NPC4=2NPZM；理由见解析

【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的应用，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，三角

形外角的性质，角平分线的应用是解题的关键.

(1)根据两直线平行，同旁内角互补计算出再运用角的平分线的定义计算即可；

(2)根据三角形外角性质，运用角的平分线的定义计算即可；

(3)根据三角形外角性质，运用角的平分线的定义，平行线的性质证明即可.

解：(1)解：^\PM//AN,且24=40。，

SZAPA/+ZA=180°,

=140°,

PD分别平分/APC和NMPC,

团/BPC=-ZAPC,ZDPC=-ZMPC,

22

团ZBPD=ZBPC+ZDPC=-ZAPC+-ZMPC=-ZAPM,

222

0ZAPM=140°,

@NBPD=70。.

(2)解：⑦NPBA=NBPD+/PDB,ZAPD=ABPD+ZAPB,ZPBA=ZAPD,

田NPDB=ZAPB,

^\PM//ANf

国NMPD=NPDB=NCPD,

田NPDB=NAPB=/BPC=NCPD=/DPM,

回4NAP5=ZAPM=140°,

0ZAPB=35°.

(3)解：存在，且NPC4=2NPZM.理由如下：

^\PM//AN,PD平分ZMPC,

国/MPD=NPDB=NCPD,

团ZPCA=ACPD+APDB,

0ZPC4=2ZPZM.

【变式l】（2024•陕西西安•三模）如图，在VABC中，C。是NACB的角平分线，点E在AC上，DE//BC,

A.37°B.32°C.22°D.44°

【答案】C

【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义，根据三角形内角和定理得出

ZACB=44°,进而根据角平分线的定义，以及平行线的性质，即可求解.

解：EZA=62°,ZB=74°,

0ZACB=18O°-ZA-ZB=18O°-62°-74°=44°,

回cr＞是/Ace的角平分线，

0ZACD=ZBCD=22°

0DE〃BC,

0ZEDC=Z.BCD=22°,

故选：C.

【变式2】（22-23七年级下广东深圳♦阶段练习）如图，在VABC中，AD平分NBAC,EFJ.AD于F,

NB=40°,ZACE=76°,则/E的度数为.

A

【答案】32°

【分析】本题考查三角形的内角和定理，外角的性质，掌握三角形的内角和定理，外角的性质是解题的关

键.

由三角形外角的性质求出的度数，由角平分线定义求出-BAD的度数，再由三角形外角的性质求

出一ADC的度数，即可求出NE的度数.

解：ZACE=ZB+ZBAC,

ABAC=ZACE—NB=76°-40°=36°,

AD平分254C,

ZDAB=-ZBAC=18°,

2

ZADC=AB+ADAB=40°+18°=58°,

£F_LAD于尸，

:.ZEFD=90°,

:.NE=90°-ZADC=90°-58°=32°.

故答案为:32°.

【题型4】全等的性质与SSS综合证明三角形全等

【例41（23-24八年级上•河南许昌•期中）证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等,

那么这两个三角形全等.

请结合所学将如下证明过程补充完整：

已知：如图，VABC与AB'C',AB=AB',AC=AC,CO是VASC的中线，CD'是AB'C'的中线，

①一

求证：△ABC四△A'3'C'

证明：团CO是VABC的中线，C'。'是，AB'C'的中线,

BAD=-ABA'D'=-A'B',

22

又回=

回②.

在△ADC和△ADC中

AC=A'C

<CD=CD'

AD=A'D'

fflADC^A'D'C(SSS)

EIZA=(3)_

在VABC和中

AC=A'C

<④.

回⑤_(SAS)

【答案】①CD=C'D';@AD^AD-③/A';④ZA=ZA';⑤△ABC之△A3'C

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先根据题意可得①处的条件为CD=C'D,再根据全

等三角形的性质与判定定理结合已给推理过程证明即可.

解：由题意得，①处的条件为CD=C'D'

证明：团C。是VABC的中线，C力是的中线，

^AD^-ABA'D'=-A'B',

22

又回A3=A'B'，

^AD=AD'

在△ADC和△AD'C'中

AC=A'C

<CD=CD'

AD=A'D'

0ADC^AD'C'(SSS)

EINA=NA'_

在丫45。和_中

ACA'C

<ZA=/A

AB=A'B'

0ABCWA3'C'(SAS)

【变式1】(23-24八年级上•浙江湖州•期末)已知，如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图

中的各个顶点均为格点，则Nl-N2-N3的度数为()

【答案】C

【分析】本题考查网格中的全等三角形，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键.根据网

格特点，可得出4=90。,N2+N3=45。，进而可求解.

由图可知：AB=CD,BE=DE,AE=CEf

回△ABE之

团N2=NOCE,

0BECD,

国NDCE=NBEC,

国NBEC=N2,

0Z1=ZBEC+ZA£B=Z2+ZA£B=9O°,

团N2+N3=ZDCE+N3=45。，

0Z1-Z2-Z3=45O.

故选C.

【变式2】（2024八年级上•江苏•专题练习）如图，在VABC和VADE中，AD^AB,AE^AC,DE=BC,

若/ZMC=5。，NE4c=30。，ID90?,则NC的度数是.

A

【答案】55。/55度

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ABC2AW石(SSS).证明

△ABC^AADE(SSS),可得NHAC=NZME,ZB=ZD=90°,然后根据三角形内角和定理即可解决问题.

解：在VABC和VAT®中,

AB=AD

<AC=AEf

BC=DE

ABC^,.ADE(SSS),

:.NBAC=/DAE,ZB=ZD=90°,

ZDAC=5°,N£4C=30。，

ZBAC=35°,

.-.zc=90°-35°=55°.

故答案为：55°.

【题型5】全等的性质与SAS综合证明三角形全等

【例5】(2024八年级上•浙江•专题练习)已知VABC和CDE均为等边三角形，A、C、E在一条直线上.求

证：

(1)AD=BE；

⑵DPC^EQC.

【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，

(1)根据等边三角形的性质得出AC=CB,CD=CE,ZACB=ZDCE,求出/AC。=/BCE,再根据全

等三角形的判定定理推出△ACD/ABCE即可；

(2)根据全等三角形的性质得出NPOC=NQ£C,根据等边三角形的性质得出NACB=NOCE=60。，求

出NOCP=ZEC。，再根据全等三角形的判定定理证明即可.

解：(1)证明：即ABC和，CDE是等边三角形，

AC=CB,

CD=CE,

ZACB=/DCE,

:.ZACD+/BCD=ZECD+ZBCD,

即ZACD=/BCE,

在.ACD和5C£中，

AC=BC

<ZACD=/BCE,

CD=CE

:./\ACD^/\BCE(SAS),

AD=BE；

(2)解：,ACD学匕BCE,

NPDC=NQEC,

ABC和二CC史均为等边三角形，

,\ZACB=ZECQ=60°9

/.ZDCP=180。—ZACB-ZQCE

=60。，

即ZDCP=ZECQ,

在△DR?和.石。C中，

ZPDC=ZQEC

<DC=CE,

ZDCP=ZECQ

:.DPCMEQC(ASA).

【变式1】(23-24七年级下•四川成都•期中)如图，已知VA5C的面积为32,平分NABC,且

于点尸，则3PC的面积是()

A

【答案】B

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，

作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.延长AP交3C于E,根据已知条件证得根据全

等三角形性质得到=得出SABP=SEBP，SAcp-SE（Jp,推出SpBC=1s

解：延长"交BC于区

团3尸平分/ABC,

@ZABP=NEBP,

OAP_LBP,

ZAPB=ZEPB=90°,

在&ABP和AEBP中，

/ABP=NEBP

<BP=BP,

/APB=ZEPB

国一ABP^EBP,

@AP=PE,

团S/\ABP~SAEBP，^△ACP=%ECP，

团SPBC=；S.c=；x32=16,

故选B.

【变式2】（22-23八年级上•辽宁大连•期末）如图，VABC的角平分线50,CE交于点。，ZA=60°,用

等式表示线段跖，CD,的数量关系为.

A

【答案】BE+CD=BC

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，及角平分线的定义，三角形的内角和定理，在上找到下

使得BF=BE,连接。/，由NA=60。，BD、CE是VABC的角平分线，

得/8OC=120。，然后证明&BOE咨BOF(SAS),OCFqOCD(ASA)即可，熟练掌握知识点的应用是解

题的关键.

解：证明：如图，在2C上找到F使得砥=BE,连接。尸，

0ZA=6O°,BD、CE是VABC的角平分线，

0ZBOC=180。-；(ZABC+ZACB)=180°-1(180°-ZA)=120°,

51ZBOE=ZCOD=60°,

回VABC的角平分线CE交于点。，

0/1=/2,N3=/4,

在他。石和50斤中，

BE=BF

<Z1=Z2,

BO=BO

0BOE^.BOF(SAS),

@ZBOF=ZBOE=60。，

团ZCOF=ZBOC-ZBOF=60°,

在△OC厂和eOCD中，

ZCOF=ZCOD

<oc=oc

N4=N3

回OCFgOCD(ASA),

0OF=CD,

0BC=BF+CF,

0BE+CD=BC,

故答案为：BE+CD=BC.

【题型6】全等的性质与ASA(AAS)综合证明三角形全等

【例6】(23-24八年级上•重庆九龙坡•期中)如图，在.AfiC中，AB^AC,/ABC的角平分线交AC于

点、D,过点A作AE〃3C交BD的延长线于点E.

(1)若NB4C=40。，求NE的度数.

⑵若尸是DE上的一点，且AD=”，求证：BD=EF.

【分析】本题考查了平行线及角平分线的性质和图形的全等，解题时注意结合图形分析已知条件与问题之

间的位置关系，把条件与问题的联系作为主要的思考方向.

(1)由AB=AC可求的大小，因班是其角平分线，即=由AE〃BC,可得

NE=NCBE=L/ABC

2

(2)仞=斯可得//4£)尸=//司＞,进而得出NADB=NAFE,又有/E=/CBE=/ASE可推出

ABD^,AEF(AAS),即可得出答案.

解：(1)解：SAB=AC,

SZABC^ZACB,

SZBAC=40°,

0NABC=1(180°-ZBAC)=70°

⑦BD平分NABC,

ZCBD=-ZABC=35°

2f

团AE〃5C,

回NE=NCBD=35。.

(2)证明：团BD平分/ABC,

回NABD=NCBD,

^AE//BCf

国NAEF=NCBD,

^ZABD=ZAEF,

团AD=AF,

⑦ZADF=ZAFD,

ZADB=1800-ZADF,ZAFE=1SO°-ZAFEf

BZADB=ZAFE,

在△ABD和△?!£尸中，

ZADB=ZAFE

</ABD=/E

AD=AF

回一ABD空AE-AAS),

田BD=ED.

【变式l】（23-24七年级下•山东烟台・期末）新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，

我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为''格线三角形〃.如图，a//b//c,相邻两条平行

线间的距离为机，等腰RtAABC为〃格线三角形〃，且NR4C=90。，则VABC的面积为（）

b

A.—iv1B.2m2C.5m2D.4m2

2

【答案】A

【分析】本题主要考查平行线间的距离，全等三角形的判定与性质，过点B作班，直线。于点£,延长旗

交直线c于点F,过点C作CD_L直线〃于点£),证明-Cm空AEB(AAS)，得出AE=CD=2m,AD=BE=m,

CF=DE=AD+AE=m+2m=3m,再根据=S四边形桃在一S数。x2-S叱/求解即可

解：过点B作班，直线。于点£；,延长交直线c于点F,过点C作C£)_L直线〃于点£),则

ZCDA=ZAEB=90°,如图，

0a〃b//c,相邻两条平行线间的距离为处

团BF上直线c,CD=2m,BE=BF=m,

团ZCAB=90°,ZCDA=90°

SZDG4+ZZMC=90°,

国/DCA=/EAB,

在/CQ4和一AEB中，

ZDCA=ZEAB

<ZCDA=ZAEB,

AC=AB

团-CD4WB(AAS),

团AE=CD=2m,AD=BE=m,

团CF=DE=AD+AE=m+2m=3m

2

回VABC的面积=S四边形QEbE-SACDx2-5BCF=3mx2m-^-x2mxmx2--x3mxm=^m

故选：A

【变式2】(23-24八年级上•重庆沙坪坝•期中)如图，VA3C中，NA4C=90。，AB=3,AC=4,BD平

分NASC,且AD_L8D,则△45。与△ADC的面积和是.

【答案】3

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质等知识，正确作出辅助线构造全等

三角形是解题关键.延长AD交3。于点E,证明.海名£BD（ASA）,由全等三角形的性质可得AD=£D,

SABD=SEBD，进而可知SCAD=SCED,即可获得答案.

解：如下图，延长AD交于点£,

国NBAC=90。,AB=3fAC=4f

05AABC=|ABAC=1X3X4=6,

国BD平分NABC,

⑦ZABD=ZEBD,

国ADLBD,

^ZBDA=ZBDE=90°,

在△侬）和△EBD中,

NABD=/EBD

<BD=BD,

ABDA=ZBDE

团ABD咨EBD（ASA）,

国AD=ED，SABD=SEBD，

团SCAD~SCED，

回S.D+Sme=^SABC=3X6=3.

故答案为：3.

【题型7】线段垂直平分线性质与判定进行求值与证明

【例7】（22-23七年级下•四川达州•期末）如图，已知：AB//CD,ZBAE=ZDCF,AC,所相交于

点、M,有=

⑴试说明：AE//CF；

⑵若AM平分NE4E,试说明：FE■垂直平分AC.

AB

E

\/M\\

DC

【分析】本题考查了平行线的性质、垂直平分线的判定.熟知平行线的性质、垂直平分线的判定是解答此

题的关键.

(1)先根据AB〃C£＞得出=再由N54E=NOCF可知/EW=/也0,故可得出结论；

(2)先由AM平分44E得出NE4M=NEW,再根据=可知NE4M=NFCM,得AF=FC,

再由AM=CM,即可得出结论.

解：(1)解：S1AB//CD,

B1ZBAC=ZDCA.

又回Z.BAE=NDCF,则ABAC-ZBAE=ZDC4-ZDCF

SZEAM=ZFCM,

0AECF；

(2)回AM平分44E,

ElNEW=NEW.

XEZEW=ZFCM,

S\ZFAM=ZFCM,

0AF=FC.

^AM=CM,

El£F垂直平分AC.

【变式1】(2024八年级上•江苏•专题练习)如图，在VABC中，A3的垂直平分线DM交BC于点。，边

AC的垂直平分线EN交BC于点E.已知VADE的周长为8cm,则BC的长为()

A.4cmB.5cmC.6cmD.8cm

【答案】D

【分析】本题考查垂直平分线的知识，解题的关键是掌握垂直平分线的性质，根据题意，DM是A3的垂

直平分线，EN是AC的垂直平分线，则80=4),AE=EC；根据VADE的周长为8cm,即可.

解：回。欣是的垂直平分线，EN是AC的垂直平分线，

^BD=AD,AE=EC,

回VADE的周长为8cm,

国AD+AE+DE=8cm,

团BC=BD+DE+EC,

0BC=AD+DE+AE=8cm.

故选：D.

【变式2】(2023•吉林松原•一模)如图，在VABC中，ZACB=90°,分别以点A和点C为圆心，大于;AC

的长为半径作弧，两弧相交于N两点，作直线MN,直线MN与A3相交于点。，连接C。，若AB=3,

【答案】1.5

【分析】本题考查了作图-基本作图，尺规作图、线段垂直平分线的性质.根据题意可知：是线段AC

的垂直平分线，所以AD=CD,再判断出3r)=CD,于是AD=BD.

解：由已知可得，是线段AC的垂直平分线，

设AC与的交点为E,

AD=CD,

.\ZA=ZACDf

ZA+ZB=90°,ZACD+NDCB=90。，

.•.NB=NDCB,

/.AD=BD,

：.CD=AD=-AB=1.5,

2

故答案为：1.5.

【题型8】角平分线性质与判定进行求值与证明

【例8】(23-24八年级上•山东聊城•阶段练习)如图所示，ZA=ZB=90°,P是A3的中点，且。P平分

ZADC,连接PC.

⑴试说明CP平分/BCD；

(2)线段尸。与PC有怎样的位置关系?请说明理由.

An-AD

8a---------

【答案】⑴见解析(2)PDSC,理由见解析

【分析】本题主要考查角平分线的性质定理和它的逆定理.根据题意正确作出辅助线是解答本题的关键.

(1)由题意过点P作尸E_LC£),垂足为E,先求出PE=R4,再求出PE=PB,从而证明CP平分/BCD；

(2)根据题意利用两直线平行同旁内角互补可得NPDC+NPCD=90。，从而求证两直线垂直.

解：(1)证明：过点尸作PELCD,垂足为E,如图所示：

EIDP平分NADC,

^ZADP=ZEDP,

SPA1.AD,PELCD,

^PE=PA(角平分线上的点到角两边的距离相等),

又回产是A3中点,

SPA^PB,

SPE=PB,

^PBLBC,PELCD,

回CP平分/BCD；（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）.

（2）解：PDLPC,理由如下：

0ZA=ZB=9O°,

HAD^AB,AB±BC,

^AD//BC（垂直于同一条直线的两条直线平行），

0ZADC+ZBCD=180°（两直线平行，同旁内角互补），

X0ZPDC=|ZCDA,NPCD=g/DCB（角平分线定义），

02NPDC+2ZPCD=180°,

azpr>c+zpcr>=90°,

SZCPD=90°,即尸D_LPC.

【变式1】（23-24八年级上•山东聊城•期末）如图，已知点尸在射线上，PA±AB,PC±BC,垂足

分别为A,C,且以=PC,则下列结论错误的是（）

A.AD^CPB.点。在—ABC的平分线上

C.Z\ABD^Z\CBDD.ZADB=ZCDB

【答案】A

【分析】该题主要考查了角平分线判定和全等三角形的性质和判定，解题的关键是证明三角形全等.

根据上4=PC得出点。在—ABC的平分线上，再证明.一PCB和△ABZ汪△CBD即可证明.

解：B\PA±AB,PCVBC,PA=PC,

^\ZPAB=ZPCB=90°,3尸是/ABC的角平分线，

回点。在/ABC的平分线上，故B正确，

在MPA3和RfPCS中，PA=PC,PB=PB,

SRtPAB^RtPCB（HL）,

SZABP=ZCBP,AB=BC,

在△ABD和△CBZ）中，BD=BD,ZABD=Z.CBD,AB=BC,

0ABD=.CBD^SAS^,故C正确，

^\ZADB=ZBDC,故D正确.

故选：A.

【变式2】（2024八年级上•江苏•专题练习）如图，在四边形ABCD中，ZA=90°,AD=3,BC=S,对角

线3。平分/'ABC,则△BCD的面积为一.

【答案】12

【分析】本题主要考查了三角形的面积和角平分线的性质，过。作。EL3C于E,根据角平分线的性质得

出OE=AD=3,再根据三角形的面积公式求解即可.

解：过。作DELBC于E,

0ZA=9O°,对角线3。平分/ABC,

0DE=AD=3,

0BC=8,

EISRrn=^-BC.£>E=-x8x3=12.

BCD22

故答案为：12.

【题型9】尺规作图中的求值与证明

【例9】（23-24八年级上•重庆渝北•期中）如图，在VABC中，AB=AC,ADJ.BC,垂足为点。，点E

在AD的延长线上.

A

⑴尺规作图：作-ACB的平分线交AD于点尸（按要求完成作图，不写作法，保留作图痕迹）;

（2）填空：在（1）的条件下，若2ZEBD=ZABC,试说明=

证明：0AB=AC,ADJ.BC,

0BD=,ZABC=,

S2ZEBD=ZABC,

02NEBD=,

又回CF平分/ACB,

02_=ZACB,

回NEBD=,

在dBED和△CFD中，

ZEBD=ZFCD

<BD=CD,

NBDE=NCDF

团BED=,.CFD（ASA）,

回DE=DF.

【答案】⑴作图见解析⑵见解析

【分析】（1）以点C为圆心，以小于8C为半径画弧，交BC于点交AC于点N,再分别以点M,N为

圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点P,作射线CP,交AO于点尸；

（2）先根据等腰三角形的性质得9=CD,ZABC^ZACB,结合已知条件得2/幽？=4/，再根据

角平分线定义可得/£比》=/。。5,然后根据"ASA"证明—血）回△CTO,最后根据全等三角形的性质得出

答案.

解：（1）解：如图所示.

A

（2）^\AB=ACfAD.LBC,

⑦BD=CD,ZABC=ZACB.

⑦2ZEBD=ZABC,

02/EBD=AACB.

团C厂平分/AC6,

团24/F=AACB,

⑦/EBD=/DCF.

在二鹿）和△CTO中，

ZEBD=ZDCF

<BD=CD,

ZBDE=ZCDF

团_痛）团△CFD（ASA）,

⑦DE=DF.

【点睛】本题主要考查了尺规作角平分线，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的定

义等，证明线段相等的常用方法是证明两个三角形全等.

【变式1】（2024八年级上•全国・专题练习）如图，AM是VA3C的角平分线，以M为圆心适当长为半径

画弧交直线AB于。，E两点，分别以Q,E为圆心以大于goE为半径画弧，两弧相交于点N位于

直线的两侧），作直线交于点F若AC=5,M/=2,则AMC的面积为（）

D

A.3B.7C.5D.10

【答案】C

【分析】本题主要考查了尺规作图，角平分线的性质.根据尺规作图可得叱垂直平分AB，再由角平分线的性质可得点

M到AB的距离等于点M到AC的距离等于MF=2,

解：由作法得叱垂直平分AB，

国A〃是VABC的角平分线，

回点M到AB的距离等于点M到AC的距离等于MF=2,

0AMC的面积工仓也5=5.

2

故选：C.

【变式2】（23-24九年级下•山东聊城期中）如图所示是作图后的痕迹.在中，NACB=90。，

以点。为圆心，任意长为半径画弧，交C4,C3于两点，再以这两点为圆心，大于这两点到点。的长为半

径作弧，交于一点，过该点和点。作直线交A3于点D以点。为圆心画弧交8C于两点，再以这两点分

别为圆心，以大于这两点长的;为半径画弧交于一点，过该点和点。作直线交3c于点E.若AC=2,3C=3,

则DE的长为.

【分析】本题考查对作角平分线和作垂线的理解，以及角平分线性质，作。尸1AC于点尸，由题干作图

过程可知，CD平分1ACB,DELCB,利用角平分线性质得到DE=小，再利用等面积法求解，即可解

题.

解：作上/AC于点厂，

由题干作图过程可知，CO平分/ACS,DELCB,

DE=DF,

在Rt/XABC中，ZACB=90°,AC=2,BC=3,

:.S.=-BCAC=-BCDE+-ACDF,

.ABRCr222

2x3=3DE+2DE,

解得

故答案为：j.

【题型10］全等三角形综合问题

【例10】(22-23八年级上•江西赣州•阶段练习)如图，在VABC中，，3=60。，AO平分，BAC,CE平

分NBCA,AD.CE交于点/，CD=CG,连接PG.

⑴求证：FD=FG；

⑵线段BG与小之间有怎样的数量关系，请说明理由；

(3)若48力60。，其他条件不变，则(2)中的结论是否仍然成立？请直接写出判断结果，不必说明理由.

【答案】(1)见解析⑵FG=FE,证明见解析(3)(2)中结论不成立

【分析】本题主要考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌

握全等三角形的判定与性质是解题关键.

(1)证明。CED也‘CFG,由全等三角形的性质即可证明结论；

(2)结合题意证明/AFG=/AEE=60。，结合AF=AF,NE4G=/E4E即可证明，AFG玛AFE,由全等

三角形的性质即可证明结论；

(3)(2)中结论不成立.因为无法证明/AFG=/AEE,故不能判断，AFG也.常，所以(2)中结论不

成立.

解：(1)证明：I3EC平分NACB,

0NFCD=NFCG,

0CG=CD,CF=CF,

0CFD^.CFG(SAS),

SFD=FG.

(2)结论：FG=FE.

理由：0/3=60°,

0ZBAC+ZBC4=12O°,

E1AD平分/BAC,CE平分N3C4,

0ZACF+ZFAC=；(NBCA+ZBAC)=120°,

0ZAFC=120°,ZCFD=ZAFE=60°,

0CFD均CFG,

EINCED=NCFG=60°,

^ZAFG=ZAFE=60°,

SAF=AF,ZFAG^ZFAE,

0AFG与AEE(ASA),

SFG=FE.

(3)结论：(2)中结论不成立.

理由：圉/3工60°,

回无法证明ZAFG=ZAFE,

团不能判断.AFGgAFE,

0(2)中结论不成立.

【变式1】(23-24七年级下•重庆・期末)如图，点。是VABC外一点，DB=DC,DA,ZBDC=ABAC,

过点。作DEIAB于E,AB=10,AC=4,则AE=.

D

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，过点。作上LC4,证明，£>£»丝DFC,得至l|3E=CF,

DE=DF,再证明右凡^陵.AED,推出2AE=AB-AC=6,即可得出结果.

解：过点。作DBJLCA于点f，则NCED=90。，

0NDBE=NDCF,

⑦DEJ.AB,

⑦NDEB=ZAED=90。=NDFC,

又国DB=DC,

团DEB缘DFC,

国BE=CF,DE=DF,

回AD=A£）,ZAED=90°=ZDFC.

国一AFD冬二AED,

团AF=AE,

^AC+AF=AB-AE,

团2AE=AB—AC=6,

团AE=3；

故答案为：3.

【变式2】（2024八年级上•全国・专题练习）如图，AD和CE是VABC的高，交于点F,且BD=FD=4,

CD=1,则"的长为（）

【答案】A

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是找准全等三角形的对应边角.

先证明NAZXB=Na>=NCES=90。，则N54。=ZFCD=90。—,即可根据全等三角形的判定定理

"AAS"证明ABD^,CFD,根据全等三角形的对应边相等证明AD=CD=7,则AF=AD-ED=3.

解：AD,3c于点D,CE_LAB于点、E,

ZADB=ZCDF=Z.CEB=90°,

ZBAD=Z.FCD=90°-ZB,

在和△CTO中，

ZADB=ZCDF

<ZBAD=ZFCD,

BD=FD

ABD^.CFD(AAS).

AD=CDf

AD=1,

r

,\AF=AD-FD=7-4=3f

的长是3.

故选：A.

第三部分【中考链接与拓展延伸】

1、直通中考

【例1】（2024•广东深圳・中考真题）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分

NBAC的是（）

A.①②B.①③C.②③D.只有①

【答案】B

【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是理解作法、掌握角平分线的

定义.利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可.在图①中，利用基本作图可判断AD平分—A4C；

在图③中，利用作法得AE=AF,AM=AN,可证明，ARWgAE7V,有=可得ME=NF,

进一步证明△MD比△AKF,得DM=DN,继而可证明八4。加■9/XADN,得ZMAD=/NAD,得到AD是

N54C的平分线；在图②中，利用基本作图得到。点为8c的中点，则AD为8c边上的中线.

解：在图①中，利用基本作图可判断AD平分N54C；

在图③中，利用作法得AE=AF,AM=AN,

B

工M/

在ZWM和ZVlfiV中，

AE=AF

<ABAC=ABAC,

AM=AN

W.AFM—A£N（SAS）,

团NAMD=NAA®,

AM-AE=AN-AF

:.ME=NF

在二MD£和二ND厂中

"AMD=/AND

<ZMDE=ZNDF,

ME=NF

回MDE-NDF（AAS）,

⑦DM=DN,

回AD=AD,AM=AN,

0AOM0-ADN（SSS）,

^\ZMAD=ZNAD,

团A£）是/班。的平分线；

在图②中，利用基本作图得到。点为5C的中点，则AD为5C边上的中线.

则①③可得出射线AD平分1R4C.

故选：B.

【例2】（2021•江苏连云港•中考真题）如图，破是VA5C的中线，点厂在班上，延长AF交于点D若

BD

BF=3FE,则——二

DC

A

BDC

【答案】|3

【分析】连接ED由BE是NABC的中线，得至US△谀=SABCE,S血=SEDC,由3F=3EE,得到

5s