双曲线专项训练-高三数学一轮复习

双曲线

[A组在基础中考查学科功底]

一、单项选择题

22

1.已知双曲线左一左=1（40,6>0）的两条渐近线相互垂直，焦距为12,则该

双曲线的虚轴长为（）

A.6B.6V2

C.9V2D.12V2

22

2.已知双曲线台一2=1（。>0,6>0）的一条渐近线的倾斜角为匕该双曲线过点

P（4,3）,则该双曲线的右焦点R到渐近线的距离为（）

A.V23B.V34

C.V26D.V39

22

3.已知双曲线C：等—3=1（。>0,》>0）与斜率为1的直线交于A，3两点，若

a，

线段A3的中点为（4,1）,则C的离心率e=（）.

A.V2B.—

3

C.—D.V3

2

22

4.已知A,B,P是双曲线三—4=l（a>0,b>0）上不同的三点，且A,3连线

经过坐标原点，若直线以，的斜率乘积为半则该双曲线的离心率为（）

A.渔B.渔

22

C.V2D.—

3

5.已知椭圆Ci与双曲线C2有共同的焦点为（一百，0）,F2M,0）,离心率分别

为ei,e2,点P为椭圆Ci与双曲线C2在第一象限的公共点，且若

e2=V3,则椭圆Ci的方程为（）

V2yJ2y2

A.—+—=1B.—+—=1

9663

-Y-2”22.

C.-+^=1D.-v+y2=l

1294,

Y2

6.设A,g为双曲线C：>2=1的左、右焦点，。为双曲线右支上一点，点

P（0,2）.当IQRI+IPQI取最小值时，|。网的值为（）

A.V3-V2B.V3+V2

C.V6—2D.V6+2

22

7.双曲线C：器一;=1的左、右焦点分别为Ri,Fz,直线尸质与双曲线C交

于A,3两点，若总同=下1g|,则△ABB的面积等于（）

A.18B.10

C.9D.6

22

已知双曲线：弓―卷=伍＞》＞）的左、右焦点分别为Fi,若在

8.Ca£10,0B,C

上存在点P（不是顶点），使得/PF2FI=3/PFIF2,则C的离心率的取值范围为

（）

A.（V2,2）B.（V3,+8）

C.（1,V3]D.（1,V2]

二、多项选择题

22

9.已知点仍是双曲线与一9=1（。＞0,6＞0）的左、右焦点，以线段R而为

直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P,若|「八|=3『八|,则（）

A.|PB|与双曲线的实轴长相等

B.△PAR2的面积为|。2

C.双曲线的离心率为手

D.直线Bx+J2y=0是双曲线的一条渐近线

10.如图为陕西博物馆收藏的国宝一一唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，

巧夺天工，是唐代金银细作的典范.该杯的主体部分可以近似看作双曲线c：^-

az

“2

翥=l（a＞0,Q0）的右支与直线x=0,y=4,y=—2围成的曲边四边形绕

y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为竽，下底外直

径为等，双曲线C的左、右顶点分别为。，E,则（）

22

A.双曲线C的方程为^—W=1

B.双曲线?一f=l与双曲线C有相同的渐近线

C.双曲线C上存在无数个点，使它与D,E两点的连线的斜率之积为3

D.存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点

三、填空题

22

11.已知双曲线C：今―3=l(a>0,8>0)上的点到焦点的最小距离为1,且C

与直线y=V3x无交点，则a的取值范围是.

22

12.已知双曲线C：a―力=l(a>0,Q0)的左、右焦点分别为正点A在

C上，点3在y轴上，F\A±F^B,际=一|豆，则C的离心率为..

四,解答题

22

13.已知双曲线C：三―J=l(a>0,6>0)的焦距为4,且过点(一3,2遍).

好b乙

(1)求双曲线。的方程；

(2)若直线/：丁=丘+2与双曲线C有且只有一个公共点，求实数左的值.

22

14.已知点A(2,1)在双曲线C：弓―」-=l(a>l)上，直线/交C于P,Q两点,

直线AP,AQ的斜率之和为0.

⑴求/的斜率；

(2)若tanZFAQ=2y[2,求△出。的面积.

参考答案

m

1.B[根据题意可得2c=12,解得。=人=3鱼,

该双曲线的虚轴长为2b=6^2.

故选B.]

2.D[因为双曲线的一条渐近线的倾斜角为E,所以斜率为6，所以2=百，该

3a

渐近线为y=gx,即JWx—y=0,因为该双曲线过点P(4,3),所以募一卷=1,

将6=代入得当——~7=1,得/=13,b2=39,c1=a2+b2=52,c=2V13,

az3az

所以打263,0),右焦点R到渐近线的距离为溶出=痂.故选D.]

5/3+1

=

3.C[法一：设A(%i,yi),B(X29y2),则.一1=1,—~71,

所以也当心—包心孕^=0,又AB的中点为(4,1),

(2Z匕N

所以X1+X2=8,yi+v2=2,所以归在=与，由题意知归及=1,

-X

%2—比1X2l

所以半=1,即1=二则C的离心率6=+当=”故选C.

azaz47az2

法二：直线A3过点(4,1),斜率为1,所以其方程为y—l=x—4,即y=x—3,

22

代入三——=l(a>0b>0)并整理得(〃一/W+GQZ%—94—Q2》2=O,

az9

因为(4,1)为线段A3的中点，所以一-1£=2X4,整理得/=4〃,

匕Z-

Ji+,=¥.故选c」

所以C的离心率e

4.D[设A(xi,yi),P(%2,yi),根据对称性，知

所以扇•kpB=3•江=钻.

—yi),X-x

X2-X1X2+l%2l

(立—进=1

因为点A,P在双曲线上，所以《《’两式相减,

迪—琏=1

Va2匕2工，

x2

得^2-l-yl-yl,所以b_y2-y1

a2b2a2%2-xi

所以星•kpB=%W，所以e2=a=1,所以e=季故选D.]

5.A[由题意知椭圆Ci与双曲线C2的共焦点A(—0),F2(V3,0),所以

Cl=C2=V3-

因为双曲线C2的离心率e2=W,所以。2=£=1,bi=y/cl-a^=V2,所以双曲

”2

线Q的方程为x2—?=L如图：

根据双曲线的定义知|PR|一|尸冏=26=2,

由余弦定理知，

222

IF1F2I=|PF1|+|PF2|-2|PF11•\PF1\•cosZF1PF2,

22

得12=|PFI|+|PF2|-|PFI|•\PF2\,

又因为|PH|一|P园=2,得|尸冏=2,|PB|=4.

根据椭圆的定义知|PB|十|PR2|=2ai=6,所以ai=3,b\=y]d[-=V6,所以椭

22

圆Ci的方程为--F—=1.

96

故选A.]

6.A[由双曲线定义得|。西|一|。冏=2a=2g,故|。£|+归。|=|尸。|+|。冏+

2V3.

如图所示，当P,Q,尸2三点共线，即。在航位置时，|。八|十|尸。|取最小值,

VF2(2,0),P(0,2),直线PR2的方程为y=-x+2,

联立J—y2=l,解得点Q的坐标为（3—今日—1）（Q为第一象限上的一点）,

此时［0冏=J（3一?一2）""+（乎—1）=^（V3—V2）=V3—V2.

故选A.］

7.C［直线y=日与双曲线C交于A,B两点、,若依为=下1刑,

则四边形AfYBg为矩形，所以ARiLBR,|3E|=|Ab2|,

22______________________

由双曲线C:靠一；=1可得a=4,b=3,则c=7a2+炉=，16+9=5,

所以|A3|=|fYF2|=2c=10,

所以|ARIF+|B尸I|2=MB|2=IOO,

又MA|一|B尸i||=||AA|一|AR2||=2a=8,

所以|AFi|2+|丹尸1|2-2|A+i但尸i|=64,

解得|4尸1||友川=18,

所以，48々=勺46但乃1=9.故选C.］

8.A［设PK与y轴交于。点，连接。仍，则

QF\=QF2,I.ZQF1F2=ZQF2F1.

因为ZPF2F1=3ZPF1F2,故尸点在双曲线右支上，且ZPF2Q=ZPQFi=

2ZPF1F2,

故|PQ=|Pg|,而|PB|—|Pg|=2a,

故|PFi|-\PF2\=\PFi\~\PQ\=\QFi\=2a,

在Rt^QOK中，|2Fi|>|OFi|,即2a>c,

故e=-<2,

a

由/PF2FI=3/PFIF2,且三角形内角和为180°,

故NPBR2〈%=45°,贝UCOSNPRF2=^>COS45°,即工>在，即6=£>四，

4|QFi|92a29a

所以C的离心率的取值范围为(四，2).故选A.]

9.BCD[因为|PB|=3|尸冏，又由题意及双曲线的定义可得：|「理一|尸刑=2。，

则|PR;|=a,|PE|=3aW2a,A不正确；

因为P在以西八为直径的圆上，所以尸/1，尸内2,

所以SAPF,F,=：PEI*\PF2\=-X3aXa=-a2,3B正确；

iz222

在口△尸人仍中，由勾股定理可得尸1园2=|尸西|2+|「6|2=10次，

即4c2=10屋，所以离心率e=£=叵，C正确；

a2

因为b2=c2—a2=-a2,

2

所以渐近线的方程为了=±夕=±谬，

即Bx±&y=0,D正确.故选BCD.]

解得"=3,b2=9,

22

所以双曲线方程为^■一白=1,A正确；

222

双曲线———=1的渐近线方程为y=±V3x,双曲线匕一封=1的渐近线方程为y

393

=±V3x,B正确；

由题意得D(-V3,0),E(V3,0),设P(xo,yo)(xoW±g)为双曲线上任意一点,

则①一九=1,即羽=3就一9,所以ICPD•ICPE='°厂•泗厂=等~=3(*3)=3,

ZU

39°X0+V3X0-y/3就-3说-3

所以双曲线C上存在无数个点，使它与。，E两点的连线的斜率之积为3,C正

确；

由双曲线的性质可知，过平面内的任意一点的直线与双曲线的渐近线平行时，只

与双曲线有一个交点，所以不存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个

交点，D错误.故选ABC.］

22

11.［1,+8)［因为双曲线c：■_彳=13>0,人>0)上的点到焦点的最小距

离为1,所以C—a=l,又双曲线与直线无交点，所以2W百，即—

CL

3/W0,

即c2—4a2=(a+1)2—4层=—3a2+2a+1WO,

因为〃>0,解得］

12.平［法一：由题意可知，Fi(—c,0),F2(C,0),设A(%i,yi),B(0,yo),所

—>—>――>2—>“\x1-c=lc,

3

以尸2力=(11—c,yi),F2B=(—C9yo),因为尸2力=——「2^,所以《2即

3=

_5

13

2所以喏。，-|y0).

%=--Vo，

瓦［=(患-1%),瓦豆=(。，A)，因为瓦n质，所以瓦了•瓦豆=o,即次一

I%=0,解得羽=4°2.

因为点A(|c,—1%)在双曲线C上，所以翳一翳=1,又％=402,所以震一

咚=1即型孚—理乎=i,化简得与=3,所以e2=i+1=2,所以e=

22

9匕2，19a29b2，a5a5

3A/5

5・

法二：由法一得a(|c,-|y0)»犬=4°2,

所以由u=J("+c)2+(号等+殍=号,巾=

J(i"3+(号、。)2=后不=歹—，由双曲线的定义可得

|A/i|一|AF*2|=2Q,即-°———=2tz,即且c=〃，所以双曲线的离心率e=£=［=

333aV5

3V5

5

法三：由可=一：可可得A,B,仍三点共线，且仍在线段A3上，不妨令点

A在第一象限，则点3在y轴负半轴上，易得下刈=：尸2引.设下23|=3m（加＞0）,

则尸2A|=2加，所以尸13]=尸2引=3m，\AB\=5m,由瓦彳，瓦万可得NAflB=90°,

所以|AB|=JMB|2—旧6|2=4m,所以2a=|AE|一依刑=2机，即a=7加过Fi作

FxDLAB,垂足为。（图略），贝却明•因LD尸加川•下田，gp|x5mX|FiD|=

|x4mX3m,所以尸LD|=£〃Z,所以|3D|=Jj互钎工=质口=看机，所以IW=]?,

则尸1园=J|F1D|2+尸2。|2=卓加=2°,即C=蜉冽，所以6=（=誓.]

13.解：（1）由题意可知双曲线的焦点为（-2,0）和（2,0）,

根据定义有2a=|[（—3+2）2+（2V6-0）2-3-2）2+（2V6-0）2|=2,

.*.0=1,又02=〃+廿，所以。2=],c2=4,庐=3.

..2

・•.所求双曲线C的方程为X2—匕=1.

3

2

⑵因为双曲线C的方程为%2-^=1,所以渐近线方程为y=±43x,由

y=kx+2,

2消去y整理得（3—4丘一7=0.

%2--v=1,

3

①当3—产=0,即左=±百时，此时直线/与双曲线的渐近线平行，此时直线与

双曲线相交于一点，符合题意；

②当3—FW0,即左W土8时，由/=（一4左）?+4X7X（3一左2）=0,解得左=±近,

此时直线/与双曲线C相切于一点，符合题意.

综上所述：符合题意的实数左的所有取值为±百，±夕.

14.解：⑴因为点A（2,1）在双曲线C:1一小=1伍＞1）上，所以之一」一=

az-laza^—1

1,解得层=2,即双曲线。的方程为三一y2=l,由题意可知直线/的斜率存在，

y=kx+m,

2

设/:y=kx+m,P（xi,yi）,yi）,联立2得（1—2S）%—4加区一

g-必=1,

2m2—2=0,所以/=1