类型二与切线有关证明计算

类型二与切线有关的证明与计算一、与全等三角形结合典例精讲例2（2014威海10分）如图，在△ABC中，∠C=90°,∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆.（1）求证：AC是⊙O的切线;（2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：CD=HF.例2题图（1）【思路分析】连接OE，由于BE是角平分线，则有∠CBE=∠OBE；而OB=OE，就有∠OBE=∠OEB，等量代换有∠OEB=∠CBE，那么利用内错角相等，两直线平行，可得OE∥BC；又∠C=90°，所以∠AEO=90°，即AC是⊙O的切线.证明：连接OE，如解图，∵OB=OE,∴∠OBE=∠OEB,………….（2分）∵BE是△ABC的角平分线,∴∠OBE=∠EBC,∴∠OEB=∠EBC,∴OE∥BC,……………（4分）∵∠C=90°，∴∠AEO=∠C=90°,∴AC是⊙O的切线.…..（5分）（2）【思路分析】连接DE，先根据AAS证明△CDE≌△HFE，再由全等三角形的对应边相等即可得出CD=HF．证明：连接DE,如解图，∵∠CBE=∠OBE,EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，∴EC=EH，∵∠CDE+∠BDE=∠180°，..（8分）∠HFE+∠BDE=180°，∴∠CDE=∠HFE.∴△CDE≌△HFE（AAS），∴CD=HF.…………(10分)二、与三角函数结合典例精讲例3如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F.（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，

，求BF的长.例3题图（1）【思路分析】连接OD，AB是⊙O的直径得∠ADB=90°，由AB=AC，根据等腰三角形性质得AD平分BC，即DB=DC，则OD为△ABC的中位线，所以OD∥AC，而DE⊥AC，则OD⊥DE,然后根据切线的判定定理即可得到结论.证明：如解图，连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°,∵AB=AC,∴AD垂直平分BC，即DC=DB,∴OD为△BAC的中位线，∴OD∥AC.而DE⊥AC,∴OD⊥DE,∴EF是⊙O的切线.例3题解图（2）【思路分析】由∠DAC=∠DAB,根据等角的余角相等得∠ADE=∠ABD，在Rt△ADB中，利用解直角三角形的方法可计算出AD=8,在Rt△ADE中可计算出AE，然后由OD∥AE,得△FDO∽△FEA，再利用相似比可求出BF的长.解：∵∠DAC=∠DAB,∴∠ADE=∠ABD,在Rt△ADB中，sin∠ADE=sin∠ABD=,而AB=10,∴AD=8,在Rt△ADE中，sin∠ADE=，∴AE=,∵OD∥AE,∴△FDO∽△FEA,∴,即,∴.三、与相似三角形结合典例精讲例4（2014襄阳10分）如图，A，P，B，C是⊙O上的四点，∠APC＝∠BPC＝60°，过点A作⊙O的切线交BP的延长线于点D.（1）求证：△ADP∽△BDA；（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若AD=2，PD＝1，求线段BC的长.例4题图（1）【思路分析】首先作⊙O的直径AG，连接PG，利用圆周角定理及切线性质得出∠PAD=∠G进而得出答案.证明：如解图，作⊙O的直径AG，交BC于点E，连接PG，∵AG是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，∴∠DAE＝∠APG＝90°,∴∠PAD+∠PAE=∠PAE+∠G=90°,∴∠PAD=∠G,∵∠PBA＝∠G，∴∠PAD=∠PBA，∵∠PAD＝∠PBA，∠ADP＝∠BDA，∴△ADP∽△BDA.……….（3分）（2）【思路分析】首先在线段PC上截取PF=PB，连接BF，进而得出△BPA≌△BFC（AAS）即可得出PA+PB=PF+FC=PC.解：PA+PB=PC，证明：如解图，在线段PC上截取PF=PB，连接BF，∵PF=PB，∠BPC=60°，∴△PBF是等边三角形，∴PB=BF，∠BFP=60°,∴∠BFC=180°－∠PFB=120°，∵∠BPA=∠APC+∠BPC=120°，∴∠BPA＝∠BFC，在△BPA和△BFC中，∠PAB=∠FCB∠BPA=∠BFC,

PB=BF∴△BPA≌△BFC（AAS），……….（5分）∴PA＝FC，AB=BC，∴PA+PB=PF+FC＝PC.……………..（6分）（3）【思路分析】利用△ADP∽△BDA，得出

，求出BP的长，则

，则AP2＝CP·PD求出AP的长，即可得出答案.解：∵△ADP∽△BDA，∴，∵AD=2，PD=1，∴BD=4，∴BP=BD-DP=3，∵∠APD=180°-∠BPA=60°，∴∠APD=∠APC,∵∠P