2024-2025学年度七年级数学上册第2章 有理数的运算 章末重难点检测卷（含答案）

第2章有理数的运算重难点检测卷

注意事项：

本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共24题.答卷前，考生务必用0.5

毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置

一、选择题（10小题，每小题2分，共20分）

1.下列计算结果最小的是（）

A.-22B.(-2)2

2.温州奥体中心主体育场总建筑面积705000000平方米，将承担2022杭州亚运会足球小组

赛比赛任务.将数705000000用科学记数法表示为（）

A.0.705xlO9B.7.05xl09C.7.05xl08D.70.5xl06

3.下列说法正确的是（）

A.一个正数与一个负数的和一定是0B.正数的绝对值大于负数的绝对值

C.两数相加，同号得正D.相加得零的两个数一定互为相反数

4.近似数3.50万精确到位；3.649用四舍五入法精确到十分位的近似数应为.（）

A.百；3.6B.百；3.65C.百分；3.6D.百分；3.65

5.6-2+5-8+12=（6+5+12）+（-2-8）是应用了（）

A.加法交换律B.加法结合律

C.分配律D.加法的交换律与结合律

6.一个天平配有重量分别为1,5,25,125,625克的祛码各5个，则为了准确称出重量为

2024克的某物品（祛码只能放一侧），所需祛码数量的值为（）

A.11B.12C.13D.14

7.按如图所示的流程图操作，若输入x的值是-7,则输出的结果是（）

8.甲乙丙三位同学合乘一辆滴滴车去顺路的三个地点，事先约定三人根据路程分摊车费,

试卷第1页，共6页

甲在全程的四分之一处下车，甲下车时，乙离下车点还有一半的路程，丙坐完全程.已知乙

支付了18元车费，则三人一共支付多少车费？（）

A.36元B.48元C.63元D.81元

9.求1+2+2?+23+…+22°18的值，:可令$=[,+2+22+23+…+22M8,则

25=2+22+23+--+22019,因此2S_S=220"_/.仿照以上推理，计算出

1+5+52+53+…+5刈$的值为（）

^2018_i^2019_1

A.52019-1B.52018-1C.-~~—D.-~~—

44

10.如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力.一

个小组尝试将数字-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6这12个数填入“六角幻星”图中，使6条边

上四个数之和都相等.部分数字已填入圆圈中，则。的值为（）

A.-4B.-3C.3D.4

二、填空题（6小题，每小题2分，共12分）

11.计算：2-（-1）=.

12.若a=4,16|=3,且a6<0,贝iJ.+6=

13.对于任意有理数a、b,规定一种新运算“◊"：aOb=a2-（a+b）,例:

205=22-（2+5）=-3,^（-3）02=.

14.如图所示，点A,3,C把一条300米环形跑道分为相等的3段.若甲、乙两人分别从

A,B两处同时相向出发，甲每秒跑3米，乙每秒跑2米.相遇后不改变方向，经过800秒

时，两人恰好第一次相遇.

试卷第2页，共6页

c

15.设加=2«+29+…+2"”,其中整数%,电，。3,…，见满足＜4("为整数),

则当〃=1,"?=8时，％=；当〃=3,0＜加＜200时，加的最大值为.

16.《算法统宗》是我国明代数学著作，它记载了多位数相乘的方法，如图1给出了

34x25=850的步骤：①将34,25分别写在方格的上边和右边；②把上述各数字乘积的十

位(不足写0)与个位分别填入小方格中斜线两侧；③沿斜线方向将数字相加，记录在方格

左边和下边；④将所得数字从左上到右下依次排列(满十进一).若图2中a,b,c,d均

为正整数，且c,d都不大于8,则6的值为,该图表示的乘积结果为.

20

56

三、解答题(8小题，共68分)

17.计算：

⑴(-3)-(-2)+(-4)；

⑵(一24«"+m；

(3)-14+(一|^x2-(-2)2+；.

18.阅读下面题目解题过程，并回答问题：

计算：(一15)[：；卜6

=(T5)]-：jx6①

=(-15)^(-1)②

=-15③

(1)上面解题过程中，开始出错的步骤是(填序号);

试卷第3页，共6页

(2)请写出正确的步骤.

19.已知五个数分别为-5,卜L5|,-31,-(-3),4

(1)在如图所示的数轴上表示各数，并用“〈”号把这些数连接起来.

-----11----1I1----11»11---1

=5-4-3-2-1012345

・•.(用“〈”号把这些数连接).

⑵填空：以上五个数，选择其中三个数相乘可得到的最大乘积为.

20.对于有理数4，b,定义新运算“△”，规则如下：a^b=ab-a-b+4,如

3A5=3X5-3-5+4=11.

⑴求3从-4)的值.

(2)请你判断交换律在“△”运算中是否成立？并给出证明.

21.每天锻炼一小时，健康生活一辈子.小杨计划每天1分钟跳绳180个，但实际每天1分

钟跳绳数与原计划相比有出入，下表是小杨某一周每天1分钟跳绳情况(每天按1分钟跳绳

个数最多记录，超过180个记为正，不足记为负.单位：个)：

星期日一二三四五六

跳绳个数+4-3-5+14-8+21-6

(1)根据表中的数据，可知前三天小杨共跳绳个；

(2)根据记录的数据，可知跳绳最多的一天比跳绳最少的一天多跳多少个？

(3)小杨所在学校跳绳项目的积分制度如下：当天跳绳1分钟可以积10分，每天按1分钟跳

绳个数最多记录，若跳绳个数超过180个，超过部分每个可以再积0.1分；跳绳个数不足

180,不足部分每个积-0.1分.请帮助小杨计算这一周跳绳项目一共积多少分？

22.(概念学习)

规定：求若干个相同的有理数(均不等0)的除法运算叫做除方，如2+2+2,

(-3)+(-3)+(-3)+(-3)等.类比有理数的乘方，我们把2+2+2记作2®，读作“2的圈3次

方”，(-3)+(-3)+(-3)+(-3)记作(_3片，读作"-3的圈4次方”.一般地，把

…+a(a*0)记作a®,读作“a的圈n次

2®=24-24-24-2=2x-x-x-=f->|

方

220

试卷第4页，共6页

除方乘方累的形式

（初步探究）（1）关于除方，下列说法错误的是

A.任何非零数的圈3次方都等于它的倒数.

B.对于任何正整数〃，1®=1.

C.3®=4®.

D.负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数.

（深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法

运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？

⑵算一算3—

23.在2022年“全民读书周”中，衢州市新华书店推出“券礼优惠”活动.

11-1

；6折：；7折：20元30元

；限使用一次，：限使用一次：

折满后30元彳蜘折满后60元使用

•111

1_______________________________1

（备注：抵扣券每次结算限使用一张）

小柯领了四种优惠券各一张，选购了3本书，标价分别为100元，43元，a元.为享受最大

优惠，小柯付款时打算采取两次结算

【任务1］若。=67,付款方法及金额如下:

方法金额

A（100+43）x0.6-30=55.8（元），67x0.7-20=26.9（元）,合计82.7元.

B（43+67）x0.6-30=36（元）,100x0.7-20=50（元），合计86元.

C

（1）请计算方法C的金额，并说明哪种付款方法最优惠.

【任务2】

（2）若a大于43,当最优惠的付款金额为88.1元时，请列方程求出a的值.

（3）若。=40,请你设计最优惠的付款方法，并求出最优惠的付款金额.

24.定义：对于任意的有理数a,。㊉6=g（|a-6|+a+6）

⑴探究性质：

试卷第5页，共6页

(J)例：3㊉2=；2㊉3=；(-3)㊉2=；(-3)㊉(-2)=

②可以再举几个例子试试，你有什么发现吗？请用含。，6的式子表示出。㊉6的一般规律；

(2)性质应用：

①运用发现的规律求【(-92.5)㊉16.33】㊉【(-33.8)㊉(-4)】的值；

②将-11,-10,-9,-8……,7,8这20个连续的整数，任意分为10组，每组两个数,

现将每组的两个数中任一数值记作。，另一个记作6,求出。㊉6,10组数代入后可求得10

个。㊉6的值，则这10个值的和的最小值是.

试卷第6页，共6页

1.A

【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，以及有理数的大小比较，先计算出结果然后

比大小即可得出答案.

【详解】解：-22=-4，（一2『=4,（一：=：，一（一；；=一:，

，114

-4<—<—<4,

44

计算结果最小的是-22,

故选：A.

2.C

【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键.

将一个数表示成axlO"的形式，其中〃为整数，这种记数方法叫做科学记数法,

据此即可求得答案.

【详解】解：705000000=7.05xl08,

故选：C.

3.D

【分析】本题考查了有理数的加法、相反数、绝对值等知识点，理解加法法则是解决本题的

关键.

可通过举反例的办法判断对错.

【详解】解：例如+3与-5的和是-2不等于0,故选项A错误；

|+3|<|-5|,故选项B错误；

两个负数相加，其和为负，故选项C错误；

互为相反数的两数的和是0,故选项D正确.

故选：D.

4.A

【分析】本题主要考查近似数，掌握近似数的精确度是解题的关键.

先将3.50万还原，然后确定0所表示的数位即可；把3.649精确到十分位就是对这个数的十

分位后面的数进行四舍五入即可.

【详解】解：近似数3.50万精确到百位，3.649用四舍五入法精确到十分位的近似数应为

3.6；

答案第1页，共11页

故选：A.

5.D

【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算律是解答本题的关键.

【详解】

解：6—2+5—8+12=(6+5+12)+(—2—8)是应用了力口法的交换律与结合律，

故选：D.

6.B

【分析】本题考查的是有理数的混合运算的实际应用，理解题意是解题关键，按照从大到小

的顺序逐步确定祛码的数量即可；

【详解】解：,••625X3<2024<625X4,

.•.625克的祛码需要3个；

2024-3x625=149,

•■•125<149<125x2,

・•.125克的祛码需要1个；

.-.149-125=24,

­.-24=4x5+1+1+1+1,

・•.5克的祛码需要4个；1克的祛码需要4个；

••・所需祛码数量的值为3+1+4+4=12(个)；

故选B

7.D

【分析】本题考查了有理数的运算，解题的关键是根据流程图的意思列出算式.

【详解】解：输入的x的值是-7,

则(-7+7)2=0<5,返回继续运算，

(0+7)2=49>5,输出结果，

故选：D.

8.C

【分析】本题考查了有理数的除法的实际应用，根据题意得到甲乙丙的路程比，即可求得总

车费.

【详解】解：由题意得甲乙丙三人的路程比为1:2:4,

答案第2页，共11页

2

，三人一共支付车费18+-^=63（元），

1+2+4

故选：C.

9.D

【分析】根据给出的运算方法，令5=1+5+52+5'+…+5励巴则:

5S=5+52+53+54+--+52019,用5S-S,进行计算即可.

【详解】解:令S=l+5+5?+53+…+5戈巴

贝!15s=5+5?+53+54+…+52019,

.•.55-5=52019-1，

52019-1

贝US=

152+53+--+52018的值为丈二1;

即:+5+

故选：D.

【点睛】本题考查有理数的混合运算.理解并掌握题干中给出的运算方法，是解题的关

键.

10.B

【分析】共有12个数，每一条边上4个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两

遍，这12

个数共加了两遍后和为12,所以每条边的和为2,然后利用这个原理将剩余的数填入圆圈中，

即可得到结果.

【详解】解：因为共有12个数，每一条边上4个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都

加了两遍，这12个数共加了两遍后和为12,所以每条边的和为2,

所以-5,-1,5这一行最后一个圆圈数字应填3,

则。所在的横着的一行最后一个圈为3,

这一行第二个圆圈数字应填4,

目前数字就剩下-4,-3,0,6,

1,5这一行剩下的两个圆圈数字和应为-4,则取-4,-3,0,6中的-4,0,

-2,2这一行剩下的两个圆圈数字和应为2,则取-4,-3,0,6中的-4,6,

这两行交汇处是最下面那个圆圈，应填-4,

所以1,5这一行第三个圆圈数字应为0,

则。所在的横行，剩余3个圆圈里分别为2,0,3,要使和为2,则“为-3

答案第3页，共11页

故选：B

【点睛】本题主要考查了幻方的应用，找到每一行的规律并正确进行填数是解题的关键.

11.3

【分析】本题考查了有理数的减法运算，根据减去一个负数就是加上它的相反数，直接运算

即可.

【详解】解：2-(-1)=2+1=3,

故答案为：3.

12.1

【分析】本题考查了有理数的乘法，绝对值的性质，求得6的值是解题的关键.

由绝对值的性质先求得b的值，然后代入计算即可.

【详解】解：ab<0,a=4,\b\=3,

•••b=-3,

••・Q+6=4-3=1.

故答案为：1.

13.10

【分析】本题考查新定义运算.掌握相关定义是解题关键.根据定义列式计算即可求解.

【详解】解：由题意得：(一3)O2=(-3)2-(-3+2)=9+1=10.

故答案为：10.

14.14

【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用；

分别求出第一次相遇的时间和之后每次相遇所需时间，再进行计算即可.

【详解】解：由题意得：两人第一次相遇的时间为300x；+(2+3)=20秒，

之后每次相遇所需时间为300+(2+3)=60秒，

所以第一次相遇后又相遇了(800-20)+60=13次，

所以经过800秒时，两人恰好第14次相遇，

故答案为：14.

15.3196

【分析】本题考查有理数的乘方，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

答案第4页，共11页

根据有理数的乘方法则，计算即可.

［详解］解：当a=1,m=8时，则8=2"1,

23=8,

%=3,

当〃=3,0<加<200时，则机=2"，+2%+2"3

•••27=128,28=256,

**•，。2，“3中9取大达J7,

••,整数生,外，%，…，。”满足0<。1<。2，

当%=3,%=6,%=7时，m=23+26+27=8+64+128=200,

267

当q=2,a2=6,%=7时，w=2+2+2=4+64+128=196<200,

二机的最大值为2?+2^+27=196.

故答案为：196.

16.2或3728

【分析】如图2所示，由题意得，5a+e+f=6,由此可得。=1,进而求出e=0,h=6,

/=1；如图2-1所示，56的结果十位数为1,贝Ub=2或6=3,由此讨论6的值求解即可.

【详解】解：如图2所示，由题意得，5a+e+f=6,

•.&e、/都是自然数，且

•e•-1,

e=0fh=6,

•1•/=1;

如图2-1所示，：5b的结果十位数为1,

二b=2或6=3,

当b=2时，g=l，c=2,<7=0,不符合题意；

当b=3时，g=l,c=8,d=5符合题意；此时的乘积为56x13=728；

故答案为：2或3；728

答案第5页，共11页

图2

【点睛】此题主要考查有理数运算的应用，解题的关键是根据题意找到运算特点进行求

解.

17.(1)-5

(2)24

⑶一12

【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键.

(1)先去括号，再加减即可求解；

(2)运用乘法分配律去括号，再加减即可求解；

(3)先乘方，乘除，再加减即可求解.

【详解】⑴解：(-3)-(-2)+(-4)

=-3+2-4

=-5；

(2)解：(-24)XL1-1+^

I4o12J

=18+20-14

=24；

=-l+(-3)-4x2

=-4-8

=—12.

18.⑴②

(2)见解析

答案第6页，共11页

【分析】本题主要考查了有理数混合运算，熟练掌握相关运算法则和运算顺序是解题关

键.

(1)根据有理数的乘除法则即可确定错误步骤的序号；

(2)根据有理数加减和乘除运算法则求解即可.

【详解】(1)解：计算(-15)+[：卜6,应先进行除法运算，再进行乘法运算,

所以，解题过程中，开始出错的步骤是②.

故答案为：②；

(2)正确的步骤如下：

原式二(一15”卜!卜6

=15x6x6

=540.

19.⑴见解析；一5<-3；<卜1.5]<-(一3)<4

(2)70

【分析】本题考查了有理数在数轴上的的大小比较，有理数的乘法，

(1)先在数轴上表示出各个数，再比较即可；

(2)根据有理数的乘法法则求出即可.

能正确在数轴上表示出各个数是解答此题的关键.

【详解】(1)解：

7三日，，，1.5厂厂)4.>.,-5<-3|<|-1.5|<-(-3)<4,

-5-4-3-2-1012345

故答案为：-5<-3；<卜1.5]<-(-3)<4

(2)解：选择-5,-3；,4可得最大乘积，

为-5x1-3：卜4=70,

故答案为：70.

20.(1)-7

(2)成立，见解析

答案第7页，共11页

【分析】本题考查了有理数的混合运算；

(1)根据新定义进行计算即可求解；

(2)根据交换律结合新定义进行计算即可求解.

【详解】(1)3A(-4)=3x(-4)-3-(-4)+4=-12-3+4+4=-7

(2)交换律在运算中成立

证明如下：

,/a^b=ab-a-b+4

b^a=ba-b-a+4=ab-a-b+4

a4b="即交换律在”运算中成立.

21.(1)536

(2)29个

(3)71.7分

【分析】本题考查了正数与负数，有理数加减混合运算的应用，混合运算的应用，读懂表格

数据，根据题意准确列式是解题的关键.

(1)由计划量乘以3,再加上超过或不足的量即可；

(2)由超过最多的减去不足最多的量即可；

(3)由7x10再加上超过或不足的量乘以0.1即可得到答案.

【详解】(1)解：前三天小杨共跳绳180X3+(+4)+(-3)+(-5)=540-4=536(个)；

(2)21-(-8)=29.

答：跳绳最多的一天比跳绳最少的一天多跳29个.

(3)7x10+(4-3-5+14-8+21-6)x0.1

=70+17x0.1

=70+1.7

=71.7(分).

答：小杨这一周跳绳项目一共积71.7分.

22.(1)C；(2)—32—

答案第8页，共11页

【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解除方的定义，掌握相关运算法则是解题关

键.

（1）根据除方的定义逐一判断即可;

（2）根据除方的定义，结合有理数的混合运算法则计算即可.

【详解】解（1）A、设则=说法正确，不符合题意；

aaa

B、1®代表"个1相除，结果仍为1,说法正确，不符合题意；

C、3③=3+3+3」，4@=4+4+41一，即好=4©,说法错误，符合题意；

316

D、负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，说法正确，不符合题意,

故答案为：C；

)))

=144+Jx(-3x(-3x(-3)xHJx(-2)x(-2)-f-1jx(-3)x(-3x(-3)+81

=144+9x(-2)-9+81

-32--

9

-321

23.（1）方法C的金额为80.3元，方法C最优惠；（2）80；（3）将标价为100元和43元

的书一起付款，标价为40元的书单独付款最优惠，付款金额为63.8元

【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是:

（1）选择标价100元和67元合并后，按照题目的优惠方式付款，标价43元单独按照题目

的优惠方式付款即可;

（2）若。大于43,选择标价100元和。元合并后，按照题目的优惠方式付款，标价43元

单独按照题目的优惠方式付款，列出方程求解即可;

（3）按照任务一中/、B、C三种方式计算，然后比较即可.

【详解】解：（1）方法C：（100+67）x0.6-30=70.2（元），43x0.7-20=10.1（元），合计

80.3元,

•・•80.3<82.7<86,