2024-2025学年北京市西城某中学高三年级上册开学测试数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市西城外国语学校高三上学期开学测试数学试题

一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合A-{xeZ\(x+2)(x—1)<0},B={-2,-1),那么4UB=()

A.{-2,—1,0,1}B.{-2,-1,0}C.{-2,-1}D.{—1}

2.下列函数中，既是奇函数，又在(0,+8)上单调递减的是()

A./(%)=#B./(x)=-x\x\C./(%)=*yD./(%)=%3

3.在一段时间内，甲去博物馆的概率为0.8,乙去博物馆的概率为0.7,且甲乙两人各自行动.则在这段时

间内，甲乙两人至少有一个去博物馆的概率是()

A.0.56B.0.24C,0.94D.0.84

2

4.已知a=log20-2,b=2°-,c=0.2%则

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

5.已知数列{an}的前n项和Sn=n2,则{即}是()

A.公差为2的等差数列B.公差为3的等差数列

C.公比为2的等比数列D.公比为3的等比数列

6.已知x>0,y>0,久,a,hy成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则丝詈丝的最小值是

A.0B.1C.2D.4

7.已知偶函数/(%)在区间［0,+8)上单调递减.若贝k的取值范围是()

A七,1)B,(0焉U(1,+8)

C岛，1。)D.(0焉U(10,+8)

8.设{an}是公比为式q7-1)的无穷等比数列，Sn为其前n项和，句>0,则“q>0”是“S.存在最小值”

的()

A,充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

9.按照“碳达峰”、“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电

动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%,新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert于1898年提

出蓄电池的容量C(单位：Ah),放电时间t(单位：位与放电电流/(单位：4)之间关系的经验公式：C=产

-t,其中九为Peakert常数，为了测算某蓄电池的Penkert常数几，在电池容量不变的条件下，当放电电流

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/=204时，放电时间t=20/1；当放电电流/=3(M时，放电时间t=10瓦则该蓄电池的Peakert常数n大约

为()(参考数据：1g2ao.30,lg3«0.48)

A.々B.C.~D.2

10.若。<X1<%2<1，则()

X2X1X2X1

A.e+In%1>e+lnx2B.e+ln%i<e+lnx2

X1X1X2

C.x2e>汽1/2D.x2e<x^e

二、填空题:本题共5小题，每小题5分，共25分。

11.函数/'(X)=*的定义域为-

12.已知等差数列｛。九｝的前几项和为力,即=3—i-做=。3，则S九的最大值为.

Ar<n

13.已知函数/(%)=x八的值域为R,则实数。的取值范围是___.

2x—a,x>0

14.如果/(第)=mx-e”在区间(-1,0)上是单调函数，那么实数m的取值范围为.

15.已知函数f(x)=整+I'ax^>a给出下列四个结论：

①当a=—3时，/(%)存在最小值；

②当a=0时，/(%)存在唯一的零点；

③/(%)的零点个数为9(a),则函数g(a)的值域为｛0,1,2,3｝；

④当a21时，对任意打，X26R,八必)+八式2)22/(能与.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(本小题12分)

已知集合4=(x\x2-x-2<0｝,B=｛x||x-1|>|].

(1)求4UB,An(CRB)；

(2)记关于x的不等式.x2-(2m+4)x+m2+4m<0的解集为M,若BUM=R,求实数m的取值范围.

17.(本小题12分)

已知等比数列｛an｝满足由+=3,a4+a5=24.

(1)求｛%J的通项公式；

(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求数列｛%｝的前几项和S%

条件①:设怎=log2a271-1；

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条件②：设bn=a”+2n.

18.(本小题12分)

2022年11月，因受疫情的影响，北京高中全都采用网络授课的方式进行在线教学.北京35中的某老师在

高一任教高一1班和高一2班两个班级，其中1班共有学生28人，2班共有学生29人.为了研究学生的学习

主动性是否会受到疫情的影响，该名老师统计了连续6天的交作业人数情况，数据如下表：

班级/天123456

1班(人数)252520212221

2班(人数)272625242522

(1)从两班所有人当中，随机抽取1人，求该生在第6天作业统计当中，没有交作业的概率；

(2)在高一2班的前3天的作业统计当中，发现只有小明和小华两位同学，是连续3天未交作业，其他人均只

有一天未交作业.从高一2班前3天所有未交作业的人中，随机抽取3人，记只有一天未交作业的人数为X,

求X的分布列和期望；

(3)在这6次数据统计中，记高一1班每天交作业的人数数据的方差为肾，每天没交作业的人数数据的方差

为W，记高一2班每天交作业的人数数据的方差为黄，每天没交作业的人数数据的方差为或，请直接写出

sj,sj,sj,S宠的大小关系.

19.(本小题12分)

已知函数/'(X)=/士

(1)求函数/(尤)的极值；

(2)求证：当％6(0,+8)时，/(%)>+1;

(3)过原点是否存在曲线/(久)的切线，若存在，求出切线方程；若不存在，说明理由.

20.(本小题12分)

已知函数f(x)=In(l-x)+fcln(l+x),请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，解答下面的

问题.

条件①:/(%)+/(-%)=0；

条件②：/(%)-/(-%)=0.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

(1)求实数k的值；

(2)设函数FQ)=+x¥，求函数尸(x)的单调区间；

(3)设函数g(x)=/(x)+如+2|k|,指出函数g(x)在区间(—1,0)上的零点个数，并说明理由.

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21.(本小题12分)

已知函数/'(x)=alnx+xex—e,其中aER.

(1)当a=0时，求曲线y=/(均在点(1/(1))处的切线方程;

(2)当a>0时，判断f。)的零点个数，并加以证明；

(3)当a<0时，证明：存在实数m,使人万)26恒成立.

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参考答案

1.5

2.B

3.C

4.B

5.4

6.D

7.C

8.4

9.5

10.C

ll.(O,l)U(l,+<x>)

12.6

13.a>1

14.(-oo,1]u[L+8)

15.②③

16.(1)因为%2一%一2<0,解得一IV%<2,所以/={x|-l<x<2},

又因为|2%—5]>3,解得工〉4或久<1,所以8=(-8,1)u(4,+8),

所以AU8=(-00,2)U(4,+oo)；

又因为CRB={x\l<x<4},所以ZnQRB={X\1<X<2]

(2)因为％2—(2m+4)x+m2+4m<0«(x—m)[x—(m+4)]<0,

所以M={x\m<x<m+4},

若BUM=R,则{北乎：“，解得OWwWl,

所以根的取值范围是{m[0<m<1].

17.解：(I)根据题意，设等比数列{册}的公比为q,

若。1+即=3,a4+a5=24,则q3=：：*：：=8,解可得q=2,

又由+敢=+aiQ=3,则有=1,

故册=。1中一1=2九T,

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(n)根据题意,

若选择条件①：贝Qn=log2a2n-i=2n-2,此时Sn=0+2+4+6+……+2n-2=（°十2：2）x”_/

n

若选择条件②：则以=an+2n=2t+2n,

此时Sn=(1+2)+(2+4)+(4+6)+……+(2"T+2n)=(1+2+4+……+2"-1

)+(2+4+6+……+2n)

=2n—1+n2+n.

18.(1)解：两个班级第6天应交作业的总人数为28+29=57,

未交作业的人数为7+7=14,

所以从两个班级所有人中，随机抽取1人，其未交作业的概率为差.

(2)解：根据题意知，2班前三天由2人连续三天未交作业，3人只有一天未交作业，

所以随机变量X的可能取值为1,2,3,

又5人中3人有量=10种抽法，

所以P(X=1)=余P(X=2)=^=|,P(X=3)=A

所以X的分布列为：

X123

331

P

10510

所以，期望为E(X)=lx■+2x|+3x^=：

(3)解：根据数据方差的性质，可得：

1班交作业的人数数据的方差为没交作业的人数数据的方差为属，可得£=sg；

2班每天交作业的人数数据的方差为受，每天没交作业的人数数据的方差为或，可得s'=s3

根据表格中的数据，可得1班数据的波动性更大一些，所以£=s9>s孑=sa

ex-(x+l)ex-x

19o.(1)/(%)=一后一=萩，

则当久6(—8,0)时，当X6(0,+8)时，f'(x)<0,

即/(X)在(—8,0)上单调递增，在(0,+8)上单调递减，

故/(久)有极大值/(0)=*=1,无极小值；

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(2)令gQ)+x6(0,+oo),

则g'Q)=W+x=比(1_白)，

由xG(0,+oo),贝！|1一白>0,故g(x)>。在xG(0,+8)上恒成立,

故g(x)在(0,+8)上单调递增，

n_|_"11

则gO)〉g(o)=-^-+万义o2-i=o,

1

即当Xe(0,+8)时，以x)>一#+1，

(3)不存在，理由如下：

假设曲线/(切存在过原点的切线，且切点坐标为10,嗡口，

由广(无)=U，则该切线斜率为/'(血)=高，

即该切线方程为y-暗=/(比一比0)，

即有。—嗡1=金(0一为)，整理得就+通+1=0,

/=1-4=-3<0,该方程无解，

故过原点不存在曲线f。)的切线.

20.(1)选①：/(%)+/(-%)=0,

即ln(l—%)+fcln(l+%)+ln(l+x)+fcln(l—%)=0,

所以(k+l)ln(l+x)+(fc+l)ln(l—%)=0,(fc+l)ln(l—x2)=0,

当k+1=0时，上式恒成立，故k=-1；

选②：/(%)-/(-%)=0,

即ln(l—%)+fcln(l+%)—ln(l+x)-kln(l-x)=0,

所以(l-k)ln(l-%)+(fc-l)ln(l+x)=0,故(l—k)ln*=0,

当l-k=0时，上式恒成立，故k=1；

(2)选①，尸(久)=祟，定义域为(―8,—l)U(—1,+8),

则尸'(久)=T工，厂)=(1+1)2＜。在无e(-CO-1)U(-1,+8)恒成立,

故F(X)=急单调递减区间为+8),无递增区间；

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选②，F(x)=(l-x)(l+x)=l-x2,定义域为R,为二次函数，开口向下，

对称轴为y轴，

故单调递增区间为(-8,0),递减区间为(0,+8);

(3)选①，9(久)在区间(-1,0)上的零点个数为1,理由如下：

］一x>0

g(%)=ln(l—%)—ln(l+%)4---12,令1+%>0,解得—1<x<0或0<%<1,

x(%W0

故定义域为(-1,0)u(0,1),

111

g'(x)=-六一+-专<o在(TO)上恒成立，

故g(%)在(-1,0)上单调递减，

又g(-=ln3—2+2=ln3>0,g(一目=5+2=ln^—3<0,

由零点存在性定理可得(-，，一5，使得g(x)=0,

故g。)在区间(-1,0)上的零点个数为1；

选②，9(久)在区间(-1,0)上的零点个数为1,理由如下：

g(x)-In(l-x)+ln(l+x)+x+2,令｛；，无马，解得一1<工<1，

故定义域为(-1,1),

“㈤=-土+++1=弓竽1="卡>。在(TO)上恒成立，

故贝久)在(-1,0)上单调递增，

又。(—与=尾+|>0,当久趋向于—1时’g(x)趋向于—8,

由零点存在性定理可得故26(-1,-，，使得90)=0,

故9。)在区间(-1,0)上的零点个数为1.

21.(1)解：由题知a=0,

/(%)=xex—e,

f'(x)=Q+l)e\

f(l)=0,f'(l)=2e,

故/(x)