广东省廉江市高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 利用导数研究函数的单调性教案 新人教A版选修2-2

广东省廉江市高中数学第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用利用导数研究函数的单调性教案新人教A版选修2-2授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间教学内容分析本节课的主要教学内容是利用导数研究函数的单调性。这是广东省廉江市高中数学第一章导数及其应用1.3节的内容，属于新人教A版选修2-2。本节课将引导学生利用导数研究函数的单调性，包括单调增函数和单调减函数的定义，以及如何利用导数判断函数的单调性。同时，还会介绍利用导数研究函数的极值和拐点，以及如何利用导数解决实际问题。

教学内容与学生已有知识的联系主要体现在以下几个方面：首先，学生需要掌握导数的基本概念和求导法则，这是研究函数单调性的基础；其次，学生需要了解函数的单调性及其应用，这是理解导数在研究函数中的应用的基础；最后，学生需要具备一定的逻辑思维能力和问题解决能力，以便能够灵活运用导数研究函数的单调性并解决实际问题。核心素养目标本节课的核心素养目标主要包括以下三个方面：逻辑推理、数学建模和直观想象。

首先，通过利用导数研究函数的单调性，学生需要运用逻辑推理能力，从导数的定义和性质出发，推导出单调增函数和单调减函数的判断条件，以及极值和拐点的求解方法。

其次，学生需要运用数学建模能力，将实际问题转化为数学问题，利用导数研究函数的单调性，并解决实际问题。例如，可以通过导数研究商品价格的变动趋势，或者通过导数研究人口增长的变化情况。

最后，学生需要运用直观想象能力，通过图形和图像的展示，直观地理解和把握函数的单调性，以及极值和拐点的性质和变化规律。学情分析本节课的授课对象为广东省廉江市高中二年级的学生，他们已经学习了导数的基本概念和求导法则，对函数的单调性有一定的了解。在学习本节课之前，他们需要掌握以下几个方面的知识和能力：

1.知识方面：学生需要熟练掌握导数的基本概念，如导数的定义、求导法则和导数的几何意义。此外，学生还需要了解函数的单调性、极值和拐点的概念。

2.能力方面：学生需要具备以下几种能力：（1）逻辑推理能力，能够从导数的定义和性质出发，推导出单调增函数和单调减函数的判断条件，以及极值和拐点的求解方法；（2）数学建模能力，能够将实际问题转化为数学问题，利用导数研究函数的单调性，并解决实际问题；（3）直观想象能力，能够通过图形和图像的展示，直观地理解和把握函数的单调性，以及极值和拐点的性质和变化规律。

3.素质方面：学生需要具备良好的学习习惯和自主学习能力，能够主动参与课堂讨论，积极完成课后作业。此外，学生还需要具备一定的合作意识，能够在小组讨论中与他人共同解决问题。

4.行为习惯方面：学生在学习过程中可能存在以下问题：（1）对导数的概念和性质理解不深，导致在推导单调性判断条件和求解极值拐点时出现错误；（2）在解决实际问题时，不能很好地将实际问题转化为数学问题，导致解题思路不清晰；（3）在学习过程中，缺乏自主探究和主动思考的习惯，容易依赖教师的引导和讲解。

针对以上学情分析，本节课的教学重点和难点如下：

1.教学重点：（1）导数在研究函数单调性中的应用；（2）利用导数判断函数的单调性、求解极值和拐点的方法。

2.教学难点：（1）如何引导学生从导数的定义和性质出发，推导出单调性判断条件；（2）如何将实际问题转化为数学问题，利用导数研究函数的单调性；（3）如何培养学生自主探究和主动思考的习惯。

针对学生的学情特点，本节课的教学策略如下：

1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中发现问题、提出问题，激发学生的学习兴趣和求知欲；

2.利用多媒体课件和图形展示，直观地展示函数的单调性、极值和拐点的性质和变化规律，帮助学生理解和把握；

3.注重启发式教学，鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生的逻辑推理能力和数学建模能力；

4.布置具有挑战性的课后作业，引导学生自主探究和主动思考，培养学生的自主学习能力；

5.针对学生的行为习惯问题，加强课堂管理，及时纠正学生的错误，培养学生的自律意识。教学方法与策略针对本节课的教学目标和学情特点，我选择以下教学方法与策略：

1.教学方法：

（1）讲授法：在课堂上，教师以讲解导数的基本概念、性质和应用为主线，引导学生掌握导数在研究函数单调性中的应用方法。

（2）案例研究法：教师选取具有代表性的实际问题，引导学生将其转化为数学问题，利用导数研究函数的单调性，培养学生的数学建模能力。

（3）小组讨论法：教师组织学生分组讨论，让学生在合作中思考和解决问题，提高学生的逻辑推理能力和团队合作能力。

（4）实验法：教师利用多媒体课件和图形展示，让学生直观地观察和分析函数的单调性、极值和拐点的性质和变化规律，提高学生的直观想象能力。

2.教学活动设计：

（1）导入环节：教师通过展示实际问题，引导学生思考如何利用导数研究函数的单调性，激发学生的学习兴趣。

（2）新课讲解环节：教师以讲解导数的基本概念、性质和应用为主线，结合案例分析，让学生掌握导数在研究函数单调性中的应用方法。

（3）课堂练习环节：教师布置具有针对性的练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。

（4）小组讨论环节：教师组织学生分组讨论，让学生在合作中思考和解决问题，培养学生的逻辑推理能力和团队合作能力。

（5）总结环节：教师对本节课的主要内容进行总结，强调导数在研究函数单调性中的应用方法和注意事项。

3.教学媒体和资源使用：

（1）PPT：教师利用PPT展示导数的基本概念、性质和应用，以及实际问题的案例分析，帮助学生直观地理解和把握知识。

（2）视频：教师播放有关导数和函数单调性的实验动画，让学生直观地观察和分析函数的性质和变化规律。

（3）在线工具：教师引导学生利用在线工具，如数学软件或在线数学平台，进行函数单调性的分析和实际问题的解决。

（4）教材和辅导资料：教师引导学生利用教材和辅导资料，加深对导数及其应用的理解，提高自主学习能力。教学流程（一）课前准备（预计用时：5分钟）

学生预习：

发放预习材料，引导学生提前了解导数在研究函数单调性的学习内容，标记出有疑问或不懂的地方。

设计预习问题，激发学生思考，为课堂学习导数在研究函数单调性内容做好准备。

教师备课：

深入研究教材，明确导数在研究函数单调性的教学目标和导数在研究函数单调性的重难点。

准备教学用具和多媒体资源，确保导数在研究函数单调性教学过程的顺利进行。

设计课堂互动环节，提高学生学习导数在研究函数单调性的积极性。

（二）课堂导入（预计用时：3分钟）

激发兴趣：

提出问题或设置悬念，引发学生的好奇心和求知欲，引导学生进入导数在研究函数单调性学习状态。

回顾旧知：

简要回顾上节课学习的导数的基本概念、性质和应用，帮助学生建立知识之间的联系。

提出问题，检查学生对旧知的掌握情况，为导数在研究函数单调性新课学习打下基础。

（三）新课呈现（预计用时：25分钟）

知识讲解：

清晰、准确地讲解导数在研究函数单调性的知识点，结合实例帮助学生理解。

突出导数在研究函数单调性的重点，强调导数在研究函数单调性的难点，通过对比、归纳等方法帮助学生加深记忆。

互动探究：

设计小组讨论环节，让学生围绕导数在研究函数单调性问题展开讨论，培养学生的合作精神和沟通能力。

鼓励学生提出自己的观点和疑问，引导学生深入思考，拓展思维。

技能训练：

设计实践活动或实验，让学生在实践中体验导数在研究函数单调性知识的应用，提高实践能力。

在导数在研究函数单调性新课呈现结束后，对导数在研究函数单调性知识点进行梳理和总结。

强调导数在研究函数单调性的重点和难点，帮助学生形成完整的知识体系。

（四）巩固练习（预计用时：5分钟）

随堂练习：

随堂练习题，让学生在课堂上完成，检查学生对导数在研究函数单调性知识的掌握情况。

鼓励学生相互讨论、互相帮助，共同解决导数在研究函数单调性问题。

错题订正：

针对学生在随堂练习中出现的导数在研究函数单调性错误，进行及时订正和讲解。

引导学生分析错误原因，避免类似错误再次发生。

（五）拓展延伸（预计用时：3分钟）

知识拓展：

介绍与导数在研究函数单调性相关的拓展知识，拓宽学生的知识视野。

引导学生关注学科前沿动态，培养学生的创新意识和探索精神。

情感升华：

结合导数在研究函数单调性内容，引导学生思考学科与生活的联系，培养学生的社会责任感。

鼓励学生分享学习导数在研究函数单调性心得和体会，增进师生之间的情感交流。

（六）课堂小结（预计用时：2分钟）

简要回顾本节课学习的导数在研究函数单调性内容，强调导数在研究函数单调性的重点和难点。

肯定学生的表现，鼓励他们继续努力。

布置作业：

根据本节课学习的导数在研究函数单调性内容，布置适量的课后作业，巩固学习效果。

提醒学生注意作业要求和时间安排，确保作业质量。拓展与延伸1.拓展阅读材料：

（1）教材以外的导数应用实例，如经济学中的边际成本、边际效用，生物学中的种群增长模型，物理学中的加速度和速度等。

（2）关于导数的历史发展，如牛顿和莱布尼茨对导数的贡献，以及导数在其他数学分支中的应用。

（3）导数在实际问题中的应用案例，如股票价格的预测、气象数据的分析、工程设计中的优化问题等。

2.课后自主学习和探究：

（1）学生可以自主选择一个导数应用的实例，深入了解其背景、原理和应用，并在课堂上分享自己的研究成果。

（2）学生可以尝试解决一些实际问题，如优化生产流程、设计最佳路线等，利用导数进行分析和求解。

（3）学生可以阅读一些关于导数的高级教材或参考书，如《高等数学》、《数学分析》等，加深对导数理论的理解和掌握。

（4）学生可以参加一些数学竞赛或科研项目，如数学建模竞赛、大学生创新项目等，将导数应用于实际问题的解决。课堂小结，当堂检测（一）课堂小结

1.回顾本节课的主要内容：本节课我们学习了利用导数研究函数的单调性，包括单调增函数和单调减函数的定义，以及如何利用导数判断函数的单调性。同时，我们还介绍了利用导数研究函数的极值和拐点，以及如何利用导数解决实际问题。

2.强调本节课的重点和难点：本节课的重点是利用导数研究函数的单调性，难点是判断函数的单调性以及求解极值和拐点。

3.总结本节课的学习方法和策略：本节课我们采用了问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中发现问题、提出问题，激发学生的学习兴趣和求知欲。同时，我们还注重启发式教学，鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生的逻辑推理能力和数学建模能力。

4.布置课后作业：根据本节课学习的利用导数研究函数的单调性，布置适量的课后作业，巩固学习效果。

（二）当堂检测

1.判断题：

（1）导数的定义是导函数在某一点的函数值。（错）

（2）函数在某一点的导数为正，则该函数在该点单调递增。（对）

（3）函数在某一点的导数为零，则该函数在该点一定是极值点。（错）

2.选择题：

（1）下列函数中，哪个函数的导数是常数？（A）y=x^2，（B）y=x^3，（C）y=lnx，（D）y=e^x

（2）已知函数f(x)=x^2-2x+1，则f'(x)等于（A）2x-2，（B）x-1，（C）x+1，（D）2x+1

3.填空题：

（1）函数f(x)=x^2在x=1处的导数是______。

（2）已知函数f(x)=x^3-3x，则f'(x)在x=0处的值是______。

4.解答题：

（1）已知函数f(x)=x^3-3x，求f(x)的导数f'(x)，并判断f(x)在x=0处的单调性。

（2）已知函数f(x)=lnx，求f(x)的导数f'(x)，并判断f(x)的单调性。板书设计1.利用导数研究函数的单调性

（1）单调增函数和单调减函数的定义

（2）如何利用导数判断函数的单调性

2.利用导数研究函数的极值和拐点

（1）极值和拐点的概念

（2）如何利用导数求解极值和拐点

3.利用导数解决实际问题

（1）导数在经济学、生物学、物理学等领域的应用

（2）如何利用导数解决实际问题

（二）板书设计

1.导数的基本概念

（1）导数的定义

（2）导数的几何意义

（3）导数的计算方法

2.导数的应用

（1）导数在研究函数单调性中的应用

（2）导数在研究函数极值和拐点中的应用

（3）导数在解决实际问题中的应用

（三）板书设计

1.导数的求导法则

（1）幂法则

（2）和差法则

（3）乘积法则

（4）链式法则

2.导数的应用案例

（1）经济学中的边际成本

（2）生物学中的种群增长模型

（3）物理学中的加速度和速度

（四）板书设计

1.导数在实际问题中的应用

（1）优化生产流程

（2）设计最佳路线

（3）股票价格的预测

（4）气象数据的分析

（五）板书设计

1.导数的历史发展

（1）牛顿和莱布尼茨对导数的贡献

（2）导数在其他数学分支中的应用

（六）板书设计

1.课后作业

（1）利用导数研究函数的单调性

（2）利用导数研究函数的极值和拐点

（3）利用导数解决实际问题典型例题讲解例题1：已知函数f(x)=x^3-3x，求f(x)的导数f'(x)，并判断f(x)在x=0处的单调性。

解答：首先，我们求出f(x)的导数f'(x)。根据导数的定义和幂法则，我们有：

f'(x)=d/dx(x^3-3x)=3x^2-3

f'(0)=3*0^2-3=-3

因为f'(0)<0，所以f(x)在x=0处是单调递减的。

例题2：已知函数f(x)=lnx，求f(x)的导数f'(x)，并判断f(x)的单调性。

解答：首先，我们求出f(x)的导数f'(x)。根据导数的定义和自然对数函数