2024年高考数学复习：函数的基本性质Ⅰ-单调性与最值（解析版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结(新高考通用)

第07讲函数的基本性质I.单调性与最值

(精讲)

题型目录一览

①函数单调性的判断与证明

②求函数的单调区间

③复合函数的单调性

④函数单调性的应用

⑤函数的最值(值域)

一、知识点梳理

1.函数的单调性

(1)增函数：若对于定义域/内的某个区间上的任意两个自变量为、/，当

西＜々时，都有/(再)＜/(/),那么就说函数/(X)在区间。上是增函数；

(2)减函数：若对于定义域/内的某个区间上的任意两个自变量西、/，当

X时,都有

/(x1)＞/(x2),那么就说函数/(x)在区间D上是减函数.

(3)【特别提醒】

①单调区间只能用区间表示，不能用不等式或集合表示.

②有多个单调区间应分别写，不能用符号连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”

连接.

2.函数的最值

(1)最大值：一般地，设函数＞=/(x)的定义域为/,如果存在实数M满足：

①对于任意的xe/,都有②存在使得

那么，我们称/是函数＞=/(x)的最大值.

(2)最小值：一般地，设函数＞=/(x)的定义域为/,如果存在实数加满足：

①对于任意的xe/,都有/(x)之加；②存在x°e/,使得/(%)=加.

那么，我们称加是函数＞=/(x)的最小值.

(3)函数最值存在的两个结论

①闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.②开区间上的“单峰”函数一定存在最大

(小)值.

【常用结论】

l.Vxi,x2er＞(xi#2),"*)―)＞0o/(x)在D上是增函数;八“)—，」2)〈09)

在。上是减函数.

2.对勾函数y=x+@(。＞0)的增区间为(一%—6］和［Ji,+oo),减区间为［一0)

x

和(0,4a］.

3.当4)，g(x)都是增(减)函数时，々)+g(x)是增(减)函数.

4.若左＞0,则饮x)与加)单调性相同；若左V0,则软x)与外)的单调性相反.

5.函数y=/(x)在公共定义域内与y=的单调性相反.

/(x)

6.复合函数y=/［g(x)］的单调性与函数了=/3)和"=g(x)的单调性关系是“同增异减”.

二、题型分类精讲

题型一函数单调性的判断与证明

畲策略方法1.定义法证明函数单调性的步骤

设元任取%],%£且％1<%2

作差/(%)-/(%)

晶籥亮花建芟的装芬林:帝沅亮芬装而

变形

一般要通分

定号面骊际二元G高定责...........

前藉由商薮7(£)茬要兔反面万工面箪诵

下结论

性

2.判断函数单调性的四种方法

(1)图象法;(2)性质法;(3)导数法;(4)定义法.

3.证明函数单调性的两种方法

(1)定义法；(2)导数法.

【典例1】设函数〃x)=土在x>2),指出了⑺在(2,+s)上的单调性，并证明你的结论.

x—2

【答案】"X)在(2,+8)上单调递增，证明见解析

【分析】设定义域内再>%>2,再计算/&)-/a)的正负判断即可.

【详解】"X)在(2,+8)上单调递增，证明如下:

,、~X+1—X+2—11TJ.crt,r

/r(x)=—~=一1—9取再>々>2,贝！]

x-2x-2x-2

11再-2-马+2X]-%

—

x2—2再—2(M—2)(X22)(再—2)(%2—2)

x_

因为西〉%>2,贝!|石一％2>0,(i2)(X2-2)>0,得

/(^)-/(^)>0,所以，/(X)在(2,+⑹上单调递增.

【题型训练】

一、单选题

西-x

1.设函数V=/(x)满足：对任意的士,乙eR都有2>。，则〃一3)与/(一兀)大

/(xj-/(x2)

小关系是()

A.〃-3)>〃-兀)B./(-3)>/(-7t)

C./(-3)</(-K)D./(-3)</(-7i)

【答案】A

【分析】根据已知条件确定函数的单调性，进而比较函数值大小即可.

【详解】因为〃；］；(/)>°'当国时/(否)>/(无2)；当X]<%2时/(%)</(%);

所以函数在实数R上单调递增，又-3>-兀，所以/(-3)>〃-兀).

故选：A

2.设函数/(&)的定义域为我，已知。"(x)为我上的减函数，q:3xi<x1,/(^)>/(x2),则

。是0的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据函数单调性与充分必要条件定义判断即可.

【详解】若函数是R上的单调递减函数，贝！|叫<孙/区)>/(%),反之不成立，所以

〃是0的的充分不必要条件.

故选：A

二、填空题

3.若/(司=去，则函数在xe［O,l］上的值域是.

【答案】［05

【分析】先根据函数单调性的定义判断函数在［05上单调递增，进而即可求得值域.

2x+124+1+2

【详解】/(x)=—=()-(^)=26+1-2_4，

v7x+1x+1I7X+1

任取毛，x2G［0,1］,且王＜工2，

则小)-小)=含-台=%言瑞产＜。，

所以〃再)＜八/),

所以函数“X)在［0』上单调递增，

则/(力砧=/(。)=。，〃无。=〃1)=1，

所以函数在X«0,1］上的值域是［0,1］.

故答案为：［0』.

4.对于函数/(无)=/定义域内的任意占,三且占7%,给出下列结论：

(1)/(^+%2)=/(^)/(%2)

(2)f(xlx2)=f(xl)f(x2)

(3)也“®＞o

X］-x2

(4)〃3)+小)

其中正确结论为：

【答案】(2)(3)(4)

【分析】举反例否定(1);利用塞的运算性质判断(2)；利用塞函数单调性判断(3)；利

用求差法比较二者的大小判断(4).

【详解】(1)当网=1,%=2时，/(X1+X2)=/(3)=V3,/(oi)/(x2)=/(l)/(2)=V2

则小+々)片W®),故错误；

(2)/(无/)=7^="•后=/(再)/(々)，故正确；

(3)函数/(x)=£为增函数，则">0,故正确;

(4)由再工建可得>0,

2

贝uf［七t-尤)=-惠；《>o,故正确

故(2)(3)(4)正确.

故答案为：(2)(3)(4)

三、解答题

5.根据定义证明函数y=x+^在区间(1,+网上单调递增.

X

【答案】证明见解析

【分析】根据函数单调性的定义创建相关不等式证明即可.

【详解】VX］,x2e(l,+oo),且无］</，有

=(X]-x2)+%占=%>(xj-1).

由X1,X,e(l,+oo),得%>1,x2>1,所以再遍>1,xlx2-l>Q,

又由尤］<%，得再一/<0,于是土纹(再%-1)<。，即必〈外.

所以，函数y=x+^在区间(1,+⑹上单调递增.

X

6.已知函数〃"=筌,/⑴=；,/(0)=0.

⑴求/(x)的解析式；

⑵判断并证明函数/(x)在(f,-2)上的单调性.

【答案】(1)〃》)=金

(2)单调递增，证明见解析

【分析】⑴根据〃1)=；J(0)=0代入即可求得的解析式;

(2)先判断/"(x)的单调性，再利用单调性的定义证明即可.

/(o)=-=0

【详解】(1)解:由题意得2,

解得。=1,6=0,

(2)“X)在(f,-2)上单调递增，证明如下:

设任意网<马<-2,

则〃不)一〃工2)=^^一音

玉(％2+2)—％2(X1+2)

(再+2)(X2+2)

2(^.-^2)

(再+2)(X2+2)

由/<-2,

得石+2<0,%+2<0,玉一/<0,

即"再)<仆2),

故/(X)在(-8,-2)上单调递增.

7.设〃x)对任意的x,"R有/(x+力=/(0+/(力,且当x>0时,/(%)<0.

⑴求证〃力是R上的减函数；

(2)若〃1)=-：,求/(x)在［T3］上的最大值与最小值.

【答案】⑴证明见解析；

⑵〃1M=2

【分析】(D由递推关系得"0)=0、/(-x)=-/(x),利用单调性定义证明结论即可;

(2)由(1)知/(x)在［-3,3］上单调递减，结合递推关系和奇偶性求最值即可.

【详解】⑴令x=y=0,则有/(0+0)=/(0)+/(0)n/(0)=0,

令尸f,则/(0)=/(%)+/(-%)=0=>/(-%)=-/«,

设再,％€R且再</，则/(工2-尤1)=/(X2)+/(-尤1)=/(Z)-/(再)，

因为x>o时/(x)<0,所以/(%)-/(xJ<0,

所以〃尤)是R上的减函数.

(2)由(1)：〃x)是R上的减函数，所以在［T3］上单调递减，

又〃3)=〃2)+41)=〃1)+〃1)+〃1)=3〃1)=一2,/(一3)=-/(3)=2,

所以小)四=〃一3)=2，/(尤)1mli=〃3)=-2・

题型二求函数的单调区间

畲策略方法求复合函数单调区间的一般步骤

(1)求函数的定义域(定义域先行).

(2)求简单函数的单调区间.

(3)求复合函数的单调区间，其依据是“同增异减”.

【典例1】已知函数"x)=|x|(x-2)

(1)画出函数图象

(2)结合图象写出函数的单调增区间和的单调减区间.

【答案】(1)图象见解析；

⑵增区间为(-*0)和(1,+8),减区间为(0,1).

【分析】(1)根据绝对值的性质，结合二次函数的性质作出图象即可;

(2)利用数形结合思想，结合函数单调区间的定义进行求解即可.

【详解】(1)因为〃x)=|x|(x-2)=卜;2：转0

[-x+2x,x<0

所以该函数的图象如下图所示：

(2)由(1)中的函数图象可知，该函数的增区间为(-%0)和(1,+8),

减区间为(0,1).

【题型训练】

一、单选题

1.函数了=V+x+2,xe(-5,5)的单调减区间为()

A.(一甩一!)B.(-^-,+oo)C.(一:，5)D.(-5,-1)

【答案】D

【分析】首先求出函数的对称轴，即可判断函数的单调性.

【详解】解：函数＞=/+工+2对称轴为x=-g,开口向上，

所以函数了=/+尤+2,X€（-5,5）的单调减区间为15,-£|.

故选：D

2.函数〃x）=--2同+5的单调增区间是（）

A.（0,1）B.（一叫一1）和（1,+8）

C.［TO］和口,+⑹D.卜1,0）和（0,1）

【答案】C

【分析】由〃x）可得/'（—）=（-4-2/耳+5=/卜），即〃x）为偶函数，贝！I当X20时，可

得〃x）的单调区间，进而得到xWO时，〃x）的单调区间，即可得到答案

【详解】解：由/（r）=（-x）2-2卜X|+5=X2_2M+5=/（X）,

则〃X）为偶函数，“X）的图像关于了轴对称.

当X20时,/（X）=X2-2X+5,对称轴为X=1,所以J（x）在口,内）上递增,在［0』递减；

则当xWO时，/（x）在卜1,0］递增,在（-巴-1］递减，

则有“X）的递增区间为［TO］,［1,+动.

3.如果函数了=/（x）在区间/上是减函数，且函数＞=4”在区间/上是增函数，那么称

X

函数＞=/（x）是区间/上的“可变函数”，区间/叫做“可变区间”.若函数〃x）=d-4x+2是

区间/上的“可变函数”，贝■］"可变区间”/为（）

A.~,-④］和2］B.|^V2,2J

C.(o/D.［1祠

【答案】A

【分析】根据题意，分析函数y=f(x)和y=f(x)的单调区间，结合“可变函数”的定义分析可得

答案.

【详解】因为/'(x)=%2-4尤+2的单调递减区间为(--2］,

了==x+2_4在［拒,+oo)和(-co,上为增函数，

XX

所以/'(X)=%2-4X+2的“可变区间，，/为［也,2］和(-00,-72］,

故选：A

【点睛】本题主要考查函数的单调性的判定以及应用，关键是理解“可变函数”，“可变区间”

的含义，属于中档题.

二、填空题

Y-L1

4.函数的单调减区间为__________.

x-2

【答案】(-8,2)和(2,+8)

【分析】分离参数，根据反比例函数的性质可得>=—3=的单调区间，进而可求解.

x-2

［详解】£±L=(x-2)+3=］+—,由于函数了=2的单调减区间为(一叫2)和

x-2x-2x-2x-2

(2,+℃).

故函数y=」的单调减区间为(-叫2)和(2,+网.

x-2

故答案为：(-8,2)和(2,+⑼

5.函数f(x)=\x-2\(x+1)的单调增区间是.

【答案】［一%;和［2,+8)

【分析】先分类讨论，去掉绝对值符号，然后利用二次函数的开口方向和对称轴判断单调

递增区间即可.

【详解】当x22时，/(x)=(x-2)(x+l)=x2-x-2,此时/(x)开口向上，对称轴为x=:，

因为x»2,所以在［2,+8)上单调递增；当x<2时，/(X)=(2-X)(X+1)=-X2+X+2,此时

/(x)开口向下，对称轴为x=:，因为x<2,所以在(-叱；单调递增；

故答案为：f-00,—和［2,+co)

三、解答题

6.已知二次函数/（x）的最小值为1,且满足/（力=/（-2-力，/（0）=2,点（3,£|在幕函数

g（x）的图像上.

（1）求/（X）和g（x）的解析式；

⑵定义函数试画出函数的图象，并求函数人⑴的定义域、

值域和单调区间.

【答案】（l）f（x）=x2+2x+2-g（x）=x-1

⑵作图见解析；定义域为（-8,0）U（0,+8）,〃（x）的单调递增区间为（-1,0）,单调减区间是

（-co,-1）,（0,+oo）,h（x）的值域为（T,0）u（0,+oo）

【分析】（D设二次函数/（耳=。（》-疗+左，g（x）=x〃，由待定系数法求解即可；

（2）由（1）结合题意求出，⑴1/x「l或x>0'画出函数图象求出函数〃（x）的

定义域、值域和单调区间.

【详解】⑴设二次函数/（力=次％-汗+后,g（x）=x\

因为〃x）的最小值为1，所以a=1;因为〃力=/（-2-司，所以〃=一1；

因为"0）=2,所以“=1.所以/"（x）=f+2x+2.

将点卜代入gG）=d,求得6=T,所以，g（x）=x]

（2）分别画出函数V=/（尤）和了=-8卜）的图象，观察图象可得,

x?+2,x+2,-1W%<0,

因为♦(%)=所以♦(x)=,

g(x),/(x)>-g(x),1或x)o

所以，函数力卜）的定义域为（-8,0"（0,+8）

作出函数〃（》）的图象如下:

由图象得，力⑴的单调递增区间为（TO）,单调减区间是（-叫-1）,（0,+8）.

Mx)的值域为(T0)u(0,+s).

7.已知函数/(x)=(x-a)|x|+l.1其中a>0)

(1)求函数/(x)的单调增区间；

⑵若对任意占用«-1,。-1],使得|〃西)-/d),2a恒成立，求实数0的取值范围.

【答案】(l)(f0)和已+8)

(2)4W(0,8]

丫2_C1~X+1v>0

;\.由分段函数的性质以及二

)-x+6ZX+1,x<0

次函数的单调性即可求解；

(2)由(1)可以对参数进行分类讨论0<aVI,当。>1时，需要讨论。-1与巴大小关系，

2

结合二次函数的图像和性质，分别求出函数的最值，列出关于。的不等式，求解即可得出答

案.

【详解】⑴/(x)=(x-a)Jx|+l=\X-£Zx+1'x-°

[-X+6ZX+l,x<0

因为。〉0

所以函数“X)为(-。,0)上为增函数，在(o,\上为减函数，在惇,+，|上为增函数，即其

单调增区间为(-8,0)和g+6.

⑵因为〃x)=(x-2

[-x+ax+l,x<0

①当0<a41时，a-140,由(1)可知/'(x)=x2-ar+l在上为增函数，所以

|/(占)_/(工2)|"("1)-/(T)=2a二ae(O,l]满足题设，

②当。>1时，由(1)可知，需要讨论与9大小关系，

(i)当l<aV2时，函数/⑺为[T0]上为增函数，在上为减函数，

所以/(x)最大值为"0)=1，最小值在两端点取，

所以[/J(")<2产储*2/4又1<屋2，

所以ae(l,2],

(ii)当“＞2时，函数/(x)为[TO]上为增函数，在0成上为减函数,

在|,«-1上为增函数，

又⑷=/⑼，

所以/(x)最大值为/'(0)=1，最小值在T或合处取，

/(0)-/(-1)＜2«11+4«2a

所以＞(0)一/修/匕♦

又。＞2,

所以。«2,8],

综上所述，ae(0,8],

8.已知函数/(x)=|x-a|,g(无)=£+2办+1(a为正常数)，且函数与g(x)的图象在y

轴上的截距相等.

(1)求a的值；

⑵求函数/(x)+g(x)的单调递增区间；

【答案】(1)。=1;(2)[--,+℃)；

【详解】(1)由/(0)=g(0)得|。=1,又。＞0,所以。=1；

(2)fW+g(x)—\x-l\+x2+2x+\,

尤21时，〃x)+g(x)=/+3x,它在口,+s)上是增函数，

尤＜1时，/(x)+g(x)=x2+x+2,它在上是增函数，

所以函数〃x)+g(x)的增区间是[-J,+8);

题型三复合函数的单调性

畲策略方法集合运算三步骤

产兔集者手葩元豪友虞函定而■秦祥:如菌累

归国一1的定义域、值域，一元二次不等式的解集等！

J

瓶施元豪满定咫秦祥擀为瘪豆示挛装，得百元素

信含］一；满足的最简条件，将集合清晰地表示出来：

J

忸引J布丽交集最笄篥而定爻重解,必荽后司应即

|求解数轴或Venn图来直观解决；

【典例1】函数/(工)=历，_2工-3)的单调递减区间是()

A.(-oo,-l)B.(-<»,1)C.(1,+℃)D.(3,-Ko)

【答案】A

【分析】根据函数定义域和复合函数的单调性求解.

【详解】/(x)=ln(x2-2x-3),函数有意义，贝！J有一-2》-3>0,得x<—l或x>3,

设“一2X-3,则当时，u关于x单调递减，当xe(3,+s)时，u关于x单调

递增，

又因为函数了=山“在定义域内单调递增，由复合函数单调性知可知"X)的单调递减区间为

(-00,-1).

故选：A

【题型训练】

一、单选题

1.函数〃x)=G7的单调递增区间为()

A.［0,1］B.1*;C.D.0,1

【答案】D

【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性的判断法则：“同增异减”即可

求解.

【详解】^t=x-x2>0,解得/卜卜人与7的定义域为［0』

/=--+丫在卜，「上递增，在上递减，函数y=〃在［0,+句上为增函数

.•・函数〃X)=G7的单调增区间为0，；

故选：D

2.已知=在[1,3]上是减函数，则实数0的取值范围为（）

A.（-℃,1]B.[1,2]C.[2,3]D.[3,-Ko）

【答案】A

【分析】利用复合函数的单调性即可求解.

【详解】令1一2"，贝!）砌=（；1,

因为/'（可在[1,3]上是减函数，由复合函数的单调性知，

函数-2"与W）U的单调性相反；

又因为单调递减，

所以:=/-2a无需在[1,3]上单调递增.

函数/=的对称轴为x=a,所以只需要

故选:A.

【答案】A

rA诉】曲提题音相提〃、槎蛇尸徂到fSJ（0r，a,俎捉怎加

【分析】根据题意，根据/（%）,转换后得到歹二/（2-％）=r7，根据复合函数

-ln（2-x）,x<l.

的单调性，可求得了（2-x）的单调性，进而可得正确选项.

【详解】函数/(x)=<(®)L,则y=/(2-x)=.(亚)，X-1,

-lnx,x>1,|^-ln(2-x),x<l.

根据复合函数的单调性，

当x21时，函数/'(2-x)单调递减；

当x<l时，函数〃2-x)单调递增，只有A符合.

故选：A.

二、填空题

4.函数y=logz(l-x)(x-2)的单调递减区间是.

【答案］

【分析】根据复合函数的单调性原则即可由"=(1-刈。-2),y=log”,的单调性进行求解.

【详解】令(I)(x-2)>0,解得l<x<2,

贝!|y=log2(l-x)(x-2)的定义域为(1,2),

3

记1/=(1—x)(x-2),y=log2u,由于〃=(1_x)(x-2)的对称轴为x,

故其在［1,2］上单调递减，而>=i°gz"在定义域内单调递增，

由复合函数单调性的原则可知：”1幅(1-月(》2)在］|,2］单调递减，

故答案为：

5.已知/'(x)=log/3-依)在［0,2］上是严格减函数，则实数a的取值范围是.

【答案】(I，：

【分析】由题意利用复合函数的单调性，结合对数函数和一次函数的性质，求得实数a的

取值范围.

【详解】已知/■(x)=log/3-ax)在［0,2］上是严格减函数，

由。>0,函数=3-"在［0,2］上是严格减函数，所以函数y=log/在定义域内是严格增函

数，则有。>1,

又函数”3-"在［0,2］上最小值3-2“>0,解得a<5，

所以实数a的取值范围是［I(：

故答案为：fh|］

6.已知函数/(x)=/4-*+匕>0且。w1)在区间［一g,2j上单调递减，则实数a的取值范

围是.

4

【答案】0<a<-^a>6

【分析】先明确/(x)=g>0且。片1)可看作由函数了=心〃=x?-(a-2)尤+1复合

而成，分类讨论。>1和根据复合函数的单调性的判断，即可求得实数a的取值范

围.

【详解】由题意可知/(X)=屋"("2)用(a>0且aw1)可看作由函数了=。〃,〃=尤2一①一2)x+1

复合而成，

当a>l时，>=a〃为R上的增函数，

若函数〃x)=JY7)㈤①>0且aw1)在区间上单调递减，

需满足〃=--(a-2)x+1在1-|,21上单调递减，即922,二a26；

当0<a<l时，y=a"为R上的递减函数，

若函数/(x)=@+匕>o且。w1)在区间2)上单调递减，

需满足〃=公-(”2)尤+1在上单调递增,即则o<a.,

\J’NJJJ

4

故实数a的取值范围是0<aV《或。26.

4

故答案为：0<。4］或。>6.

三、解答题

2—

7.已知函数〃x)=bg1一不为奇函数.

3x-2

(1)求常数上的值；

⑵判断函数/(X)在(2,+向上的单调性.

【答案】⑴左=7

⑵函数/。)在(2,+网上单调递增

【分析】(1)由奇函数的定义可知对于定义域内任意x有/'(》)+/(-x)=0恒成立，由此即

可求出答案；

(2)设〃(x)=V(x>2),由函数单调性的定义易知〃(x)在(2,+对单调递减，利用复合函

x-2

数的单调性判断“同增异减”，则说明函数/(X)在(2,+8)上单调递增.

【详解】(I)•.•函数"x)=logi-7为奇函数，

3x-2

,,、,2—kx,2+kx八

二/(x)+/(-x)=0恒成立，即log1―-+log1------=0,

§%—23—%—2

,(2-kx2+Ax\11

•••logi―7X----7=bg|l，

八%—2-x-2J1

则log],=logj,贝！J//-4=/一4恒成立，解得后=±i.

3尤一4?

2—x

当左=1时，/(x)=log|-舍去；

3x-2

x+2

当左=-1时，/(x)=lo-满足题意.

gl3X-2

故左二—1.

x+2

(2)由⑴知"加嗔二P

设〃(无)=¥y+2(彳>2),

x-2

任取巧，x2e(2,+oo),且再A%，

4(

x2+2七一为)

/z(xt)-/z(x2)=1^|

%-2(%1-2)(x2-2)

*/x1>x29x2-xl<0,

又；X],%e(2,+8),(X]-2)(尤2-2)>0,

:./z(x1)</z(x2)

...函数力(X)在(2,+网上单调递减.

又；函数尸题;在(1,+s)上单调递减，

:.函数f(x)在(2,+W上单调递增.

8.已知函数/(x)=一依(0-0)

,1a

(1)若。＞0,求/(x)的定义域.

⑵若函数在区间(0,1]上是减函数，求实数〃的取值范围.

【答案】(l)(f-](a＞0)

a

(2)ae(-oo,0)u(0,1]

【分析】(1)由题意，1-GN0,结合。＞0解不等式即可；

(2)分。＞0,。＜0两种情况讨论，由复合函数单调性以及函数定义域，分析即得解.

【详解】(1)由题意，a>0,\-ax>0ax—

a

故函数的定义域为(-〉o)

a

(2)当Q>0时，，=1-⑪在(OJ是减函数，y=〃在［0,+s)是增函数.

.〃x)=YEW在(o,i］上是减函数，

a

且%min=1一。0/.0<6Z<1

当。<0时，”1-"在(0,1］是增函数，了=〃在［0,+◎是增函数.

，函数Vi=而在(0,1］是增函数.

y=/(x)=XEE在(0,1］是减函数，y1>1,Vxe(0,l］恒成立.

a

：.a<0时，/(x)在(0,1］是减函数.综上，在a©(-8,0)50』时，/")在(0』上是减函数

题型四函数单调性的应用

畲策略方法1.比较函数值大小的解题思路

比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质,

转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图

象法求解.

2.求解含7"的函数不等式的解题思路

先利用函数的相关性质将不等式转化为/(g(x))>/(〃(x))的形式，再根据函数的单

调性去掉，丁，得到一般的不等式g(x)〉〃(%)(或g(x)<〃(%)).此时要特别注意函数

的定义域.

3.利用单调性求参数的范围(或值)的策略

(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与

已知单调区间比较求参数.

(2)解决分段函数的单调性问题，要注意上、下段端点函数值的大小关系.

【典例1］已知函数〃x)=f-Ax-8在［1,4］上单调，则实数左的取值范围为()

A.［2,8］B.［-8,-2］C.(―°0,—8］U［—2,+oo)D.(―°°,2］u［8,+oo)

【答案】D

【分析】根据二次函数的性质即可求解.

【详解】〃幻=--6一8的对称轴为x=。，

若"x)=x2-质-8在口,4］上单调递增，则gwi,解得上42,

若〃x)=--履-8在［1,4］上单调递减，贝！］：N4,解得斤28,

所以实数k的取值范围为(-*2］38,+旬.

故选：D.

10g3X+6ZX>1

【典例2】已知函数〃x)=3-+工x<i，若〃。)=1，贝U不等式一8)<〃2x)的解

+yX<

集为()

A.(-2,4)B.(-2,+oo)C.«2)D.(-1,4)

【答案】A

【分析】先由/(。)=1,求得“X),再判断其单调性，然后由/(/-8)<〃2x),利用其单

调性求解.

10g3X+4ZX>1

【详解】解：因为函数/(x)="_22,且/⑷=1,

3+-x<l

I3

当a21时，log3a+a=l,解得q=l,

当a<l时，3力+§=1,解得。=1(舍去)，

log3x+l,x>1

所以〃X)=2,

JH---,A<1

I3

当时，〃X)=log3X+l单调递增；

当X<1时，fM=y-2+-,单调递增，且1呜1+1=3修+9

所以/(X)在R上递增，

因为/-8)<〃2X),

所以％2_8<2X,BPX2-2X-8<0,

解得-2<x<4,故选：A

【题型训练】

一、单选题

1.是“〃x)=x+巴在(0,+co)上单调递增”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】充分性直接证明，必要性举特值验证.

【详解】Qa<2J(x)=x+?在(0,+⑼单调递增，充分性成立，

若。=-1时/(x)=x+q在(0,+功单调递增，但是不满足。<-2,所以必要性不成立.

故选：A

2.若函数/(#=］-：+加在［2,4］上单调递增，则实数加的范围为()

111

A.m>1B.m>—C.—<m<\D.m<—

222

【答案】A

【分析】通过换元转化为熟悉的二次函数，则所给区间即为已知函数单调区间的子集，即

可求得相的取值范围.

【详解】令工=g则tel，(］,贝!|g(/)=/-加+加，对称轴为/=-?=_?=F，则函

x1_42」2a22

数的单调递减区间为因为V」为减函数，且/(力=3-3+机在［2,4］上单调递

I2」xxx

增，所以［-巩;，则台;，解得机"

所以实数冽的范围为〃?N1.

故选：A

3.已知函数/(尤)=log“(3-")在［0』上是减函数，则实数°的取值范围是()

A.(0,1)B.(1,3)

C.(O,l)U(l,3)D.(0,3)

【答案】B

【分析】根据单调区间是定义域的子集可知：3-办>0在［0』上恒成立，然后再将原函数

看成一个对数和一个一次函数的复合函数，根据复合函数的单调性特性可得答案.

【详解】依题意3-办>0在［0,1］上恒成立且a>0,aw1,

3-a>0ae(O,l)u(l,3)

又/(x)可看成y=log“",w=3-ax的复合函数，"=3-ax单调递减，欲使/(x)是减函数，

只需y=log/递增，ae(l,3).

故选：B

f(3a-l)x+4a,x<1f(x^

4.已知函数/(x)=;满足对任意乙,当无尸一时都有八"'〃>0成

[x-ax+6,x>1xt—x2

立，则。的取值范围是()

A.[2,+℃)B.Q,2C.Q,1D.[1,2]

【答案】C

【分析】利用增函数的定义求解即可.

【详解】对任意不多，当尤।9时都有"x„2)>0成立，

国-x2

所以函数/(x)=2/：,在R上是增函数，

[x-ax+6,x>1

3d—1>0

所以“1,解得(<。41,所以实数。的取值范围是.

3d—1+4。41—Q+6

故选：C

5.已知函数〃尤)是定义域为(0,+司的减函数，若/(2-2加)>/(1+加)，则实数机的取值

范围是()

A.1+"B.(-ool]C.[/[D.[一1,4

【答案】C

【分析】根据函数的定义域和单调性得到0<2-2"<1+",解得答案.

【详解】函数/(x)是定义域为(0,+功的减函数,因/(2—2%)>/(1+加),

故0<2—2加<1+加,解得加<1,

3

故选：C

6.已知函数｛x)的图象关于y轴对称，且外)在(一叫0]上单调递减，则满足了(3x+l)</[；]

的实数x的取值范围是()

A-R'4)B.[一力c卜:「D-1一卜力

【答案】B

【分析】根据条件，可得函数/(x)是偶函数，且在区间(。,+⑼上是增函数，然后将问题转

化为含绝对值的一次不等式来求解即可.

【详解】函数/(x)的图象关于y轴对称，・・・/(x)为偶函数，.•J(x)]/(|x|),

:.不等式fax+i）＜/（|）可变为/（|3x+i|）＜/（!）,

•••偶函数”X）在区间（-8,0］上单调递减，

.・/（X）在区间（0,+⑹上单调递增，

11

/.13x+11<—,解得-一<x<——

26

故选：B.

7.已知偶函数“X）的定义域为R,且对于任意西广2«-8,0］卜产马）均有史上5＜。

%2一项

成立，若/（l-。）〉/（2”1）,则实数。的取值范围是（）

2

A.(-8,0)B.—,+00

3

C.°4D.°5

【答案】c

【分析】由题意可得“X）在（-8,0］单调递减，又函数"X）为偶函数，故〃尤）在［0,+司单

调递增,所以不等式〃1-。）＞〃2"1）等价于/（|1-硝＞/（|2。-1|）,即"同＞|2"1|解出

即可.

【详解】因为/（x）的定义域为R,且对于任意再,马€（-8,0］（工产马）

均有/仁）-"%）＜0成立，

x2-xx

可得/（X）在（-巩0］单调递减，

又函数〃x）为偶函数，

所以〃无）在［0,+司单调递增，

所以/（一）＞/（2"1）等价于川1-硝＞/（|2"1|）,

所以卜力区一：1|,

即（1一°）2＞（2°-1）2,

即3a2—2。＜0,

2

解得：0＜O!＜y,

所以实数。的取值范围是:

故选：C.

8.已知函数/(x)=\^,若/g+l)</(3-2a),则实数。的取值范围是(

）

A.MW

C.（4,+oo）

【答案】B

14

【分析】判断/(》)=/+$的奇偶性与单调性，并用奇偶性与单调性解不等式，要注意定

义域的限制.

【详解】/(x)=：+：为偶函数，且在(0,+8)上递减.

V/(a+l)</(3-2fl),

|a+l|>|3—2司,.1(°+1)>(3-2a)

a+10,3—2a/0,a—1S.ci,二0

故选：B

9.已知〃x)是定义在(-1,1)上的偶函数，且在［0,1)上单调递增，则/(x)</(x-l)的解集

为()

A..川B.C.陷D.g

【答案】C

【分析】根据偶函数的性质和函数单调性的性质化简不等式求不等式/'(x)</(x-l)的解

集.

【详解】因为〃x)是定义在上的偶函数，

所以当xe(T,l)时，/(x)=/(-x)=/(|x|),

所以不等式/(x)＜/(x-i)可化为卜1＜》＜1

又〃X)在［0,1)上单调递增,

所以国且0<x<l,

解得0<x<；,

所以不等式;的解集为(o,£|.

故选：C.

二、填空题

10.已知函数/'(》)=-/+2依与8(%)=质在区间［1.2］上都是减函数,那么。€.

【答案】(0』.

【分析】二次函数在区间［1,2］单减，则区间［L2］在二次函数的减区间范围内，从而求得。的

范围；反比例型函数在区间［L2］单调递减，得。>0,取交集即可.

【详解】根据二次函数的表达式可知，/。)=-^+2G的对称轴为工=.,开口向下，若/*)

在区间［1,2］上是减函数，则

g(x)==是反比例型函数，若g(x)在区间［1,2］是减函数，则。>0,所以0<aWl.

所以