2025中考数学专项复习：四边形常见模型（六大题型）含答案

四边形常见模型（六大题型）2025中

考数学专项复习

四边形常见模型

目录

题型01中点四边形模型....................................................................1

题型02十字架模型........................................................................4

题型03对角互补模型......................................................................8

题型04半角模型.........................................................................11

题型05含60°的菱形模型..................................................................16

题型06三垂线模型.......................................................................20

题型01中点四边形模型

1.（23-24九年级上•山东枣庄•期中）若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定

是（）

A.矩形B.菱形

C.对角线相等的四边形D.对角线互相垂直的四边形

2.（23—24九年级上.山西朔州.期中）如图，四边形ABCD的对角线，8。于点。，点E,斤，G,H分别

为边4B,反7,CD和4D的中点，顺次连接EF,FG,GH和HE得到四边形石尸G8.若AC=10,B。

=12,则四边形即GH的面积等于（）

C.40D.60

3.（23-24九年级上•山东东营・期中）如图，把矩形ABCD沿直线47折叠，点B落在点E处，连接0E,则

顺次连接四边形AOEC各边中点,得到的四边形的形状一定是.

4.（23-24九年级上•河南信阳•期中）已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为夙F、G、顺次

连接EF、口G、GH、狼,得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）.

（1）求证：四边形EFGH的形状是平行四边形；

⑵当四边形ABCD的对角线满足条件时，四边形EFGH是矩形;

（3）当四边形ABCD的对角线满足条件时，四边形EFGH是菱形.

5.（23-24九年级上•福建泉州•期中）已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、顺次

连接ER、尸G、,HE,得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）.

（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；

（2）当四边形ABCD的对角线满足条件时，四边形EFGH是矩形？并说明理由.

题型02十字架模型

6.（23-24九年级上•黑龙江哈尔滨•期中）如图，将一边长为15的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至0c

边上的点E,使DE=8,折痕为PQ,则PQ的长为（）

A.15B.16C.17D.18

7.（23-24九年级上•四川成都・期中）如图,将边长为4的正方形纸片ABCD折叠,使得点A落在边CD的

中点E处,折痕为FG,点F、G分别在边4D、上,则折痕FG的长度为.

_____________眇

8.（23-24九年级上•江苏泰州•期中）如图，正方形纸片ABCD的边长为24,E是边CD上一点，连接AE、

折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B,得到折痕BF,点F在AO上，若。E=10,

则GE的长为

9.（23-24九年级上•陕西商洛•期中）如图，在正方形ABC©中，分别是的中点，CE,OR相

交于点G,连接AG,求证：

（1）CE±DF.

（2）4AGE=2CDF.

题型03对角互补模型

10.（23-24九年级上.江苏泰州.期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂

美"四边形ABCD,点后为对角线8。上任意一点，连接AB、CE.若48=5,及7=3,则4^一侬2

等于（）

D

A.7B.9C.16D.25

11.（23—24•山东淄博・期中）如图，在△ABC中，AD,BE分别是BC,AC边上的中线，且AD，跳;，垂足

为点设BC=a,/C=b,=c，则下列关系式中成立的是（）

A.a2+b2=5c2B.a2+62=4c2C.a2+b2=Sc2D.a2+fe2=2c2

12.（23-24九年级上.河北石家庄.期中）已知对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形,现有如图所示

的“垂美"四边形4BCD,对角线47,8。交于点O.

(1)若48=5,OA=3,OC=4,则；

(2)若入。=方，口。=滤，则AB2+C©2=.

⑶若AB=m,BC=n,CD=c,AD=d，则m,n,c,d之间的数量关系是

13.（23-24九年级上•安徽芜湖•期中）如图甲，我们把对角线相互垂直的四边形叫做垂美四边形.

图乙

（1）【概念理解】我们已经学习了①平行四边形、②菱形、③矩形、④正方形,在这四种图形中是垂美四边

形的是（填序号）.

（2）【性质探究】小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”,即,如图甲，在四边形ABCD中，若

AC±BD,则AB2+CD2=AD2+BO?.请判断小美同学的猜想是否正确，并说明理由.

⑶【问题解决】如图乙，在△4BC中，8C=3,49=4,D,E分别是4。，8。的中点,连接/瓦8。,有

人七_1m,求48.

14.（23-24九年级上•福建福州•期中）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

（1）在我们学过:①平行四边形、②矩形、③菱形、④正方形，能称为垂美四边形的是；（只填序号）

（2）如图，垂美四边形ABGD的对角线交于点O,AB=2,BC=3,4,求CD的长度.

题型04半角模型

15.（23—24九年级上•四川眉山•期中）（半角模型）如图，正方形4BCD中，E是AB上的点，歹是8c上的

点，且/石。尸=45°.求证：AE+CF=EF.

日

a11~1X1»

16.（23-24九年级上•广西南宁•期中）【探索发现】如图①，四边形4BCD是正方形，河，N分别在边CD、

BC上,且NMAN=45°,我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用

的方法.如图①，将△4D河绕点A顺时针旋转90°,点。与点8重合，得至［JZVIBE,连接AM.AN、

MN.

M

图①图②

⑴试判断ZW,BN,AW之间的数量关系，并写出证明过程.

⑵如图②,点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD的延长线上，NMAN=45°,连接肱V,请写出

AW、。河、之间的数量关系，并写出证明过程.

17.（23—24九年级上.广东汕尾.期中）如图，在边长为6的正方形4BCD内作/3斤=45°,AE交BC于点、

E,4万交CD于点巴连接EF,将△AD尸绕点4顺时针旋转90°得到4ABG.

（1）求证：△EAG三/\EAF；

⑵若。尸=3,求BE的长.

18.（23—24九年级上•黑龙江齐齐哈尔•期中）【问题情境】神奇的半角模型

在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型.截长补

短法是解决这类问题常用的方法.

如图1,在正方形ABCD中，以A为顶点的/区4F=45°,AE、/斤与BC、CD分别交于E、F两点，为了

探究EF、BE、。斤之间的数量关系,小明的思路如下：

如图2,延长到点H,使=。m连接AH,先证明△AD尸笃/XABH，再证明4AHE笃/XAFE.从

而得到班\BE、OF之间的数量关系.

（1）提出问题：EF、BE、。尸之间的数量关系为.

（2）知识应用：如图3,4B=AD,=/。=90°,以A为顶点的ABAD=120°,AEAF=60°,AE.AF

与BC、CD分别交于E、F两点,你认为⑴中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立,请

说明理由.

___________F

⑶知识拓展:如图4,在四边形ABC。中，4B=4D=a,BC=b,CD=c.NABC与互补，AE、

人尸与8。、CD分别交于E、尸两点，且NEA尸=义乙BAD,请直接写出尸。的周长=.（用

含Q、b、c的式子表示.）

题型05含60°的菱形模型

19.（2024•上海•期中）菱形ABC©的边长为2瓜,/口=60°,AB，于E,人尸，GD于尸，那么△AEF周

长为___

20.（23-24九年级上•重庆沙坪坝•开学考试）如图，菱形ABCD的边长为4,ABAD=60°,过点B作班;，

AB交CD于点E,连接AE,尸为AE的中点,连接CF,CF交BE于点、G,则GR的长为.

21.（23—24九年级上•上海•期中）如图，菱形ABCD中，AB=3,4D/LB=60°,AE=1,点P为对角线AC

上的一个动点，则PE+PB的最小值为.

22.（23-24九年级上•广西钦州•期中）如图，已知菱形ABCD的边长为8,点M是对角线AC上的一动点,

且AADC=120°，则AM+MB+的最小值是.

23.（23—24九年级上.四川绵阳.开学考试）如图，△48。中，ABCA=90°,D是斜边AB的中点，若CE//

AB,0E〃BC,且。E交人。于点O,连接AE.

（1）求证：四边形ADCE是菱形；

（2）若60°,BC=6,则四边形ADCE的面积=.

24.（23-24九年级上•浙江杭州•开学考试）如图，在△ABC中，D、E分别是48、AC的中点，BE=2DE,延

长到点尸,使得EF=BE,连接CF.

（1）求证：四边形BCFE是菱形；

（2）若CE=4,NBCF=120°,求菱形BCEE的面积.

题型06三垂线模型

25.（23—24九年级上.浙江嘉兴.期中）如图，在正方形ABCD中，点G为CD边上一点，以CG为边向右作

正方形CE尸G,连接AF,BD交于点P,连接8G,过点尸作FH〃交8C于点连接AH,交BD于

点K,下列结论中错误的是（）

A.HE=CDB.A4H斤是等腰直角三角形

C.点P为人尸中点D.PK=BK+DP

26.（23-24九年级上•广西贵港•期中）如图，在△ABC中，乙4cB=90°,AC=8,BC=7,以斜边AB为边

向外作正方形垂直于C4的延长线于斤，连接CE,则CE的长为（）

A.13B.15C.17D.20

27.（23-24九年级上•辽宁盘锦・期中）如图，正方形4BCD的边长为3,点E在4B上，点斤在8c的延长线

上，且AE=CR，则四边形EBFD的面积为:___.

一W

D

BC

28.（23-24九年级上•陕西西安•期中）已知：点E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边中点，顺次连接

EF、FG,GH、得到四边形有下列说法：

①四边形EFGH是平行四边形；

②当四边形ABCD为平行四边形时，四边形EFGH是菱形;

③当四边形为矩形时，四边形班GH是菱形；

④当AC，8。时，四边形EFGH是矩形；

⑤若四边形即G8是正方形，则四边形ABCD一定是正方形.其中正确的是（）

D

B

A.①③④B.①②⑤C.①③④⑤D.②④⑤

29.（23—24九年级上.山东泰安・期中）如图，菱形ABCD中，乙8=60°,/1口=2q11,后、尸分别是8。、（3©的

中点，连接人尸，则的周长为（）

A

C

A.2V3cmB.3V3cmC.4V3cmD.3cm

30.（23—24九年级上.江苏无锡.期中）如图，在正方形ABCD中，48=4,点E是边人。的中点，将/XDCE

沿着CE翻折,得到△DCE，延长BD,交CE的延长线于点

31.（23—24九年级上.山西太原.期中）如图，在正方形4BCD中，48=3,点E是反7边上一点，且CE=

2班?,连接入£,点干是48边上一点，过点尸作尸3，人£；交。。于点3,连接班，七3,AG,则四边形

AFEG的面积为.

AD

32.（23—24九年级上.山西吕梁•期中）如图，正方形4BCD的周长为16cm，顺次连接正方形各边中点E、

F、G、H,得到四边形EFGH的面积等于cm2.

33.（23-24九年级上.山东东营•升学考试）如图，在平面直角坐标系中，菱形0aBe的边长为2,点口在"轴

上，NAOC=60°,则点B的坐标为.

34.（23—24九年级上•湖北咸宁•期中）在正方形ABCD中，点E,斤分别在边8C,CD上，且45°.

EA交BD于M,AF交BD于N.

________________________________

AD

图①图②

（1）作/\APB笃A4ND（如图①），求证：A4PM■笃AANM；

（2）求证：MN2=BM2+DN2；

⑶矩形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，/MAN=ZCMN=45°,（如图②），请你直接写出线段

MN,BM,DN之间的数量关系.

35.（23—24九年级上.四川成都.期中）如图，在平行四边形ABCD中，点分别在边40上，CE=

。尸，=AE与相交于点O,连接即.

（1）求证：四边形ABEF是菱形；

（2）若平行四边形ABCD的周长为22,CE=DF=3,/ABE=60°,求AE的长.

四边形常见模型

目录

题型01中点四边形模型...........................................................................I

题型02十字架模型...............................................................................4

题型03对角互补模型.............................................................................8

题型04半角模型................................................................................11

题型05含60°的菱形模型........................................................................16

题型06三垂线模型..............................................................................20

题型01中点四边形模型

1.（23-24九年级上•山东枣庄•期中）若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定

是（）

A.矩形B.菱形

C.对角线相等的四边形D.对角线互相垂直的四边形

【答案】。

【详解】解:如图，设点E,F,分别是四边形ABCD各边的中点，

•.•四边形是菱形，

：.EF=FG=GH=EH,

•：BD=2EF,AC=2FG,

：.BD=AC.

r.原四边形一定是对角线相等的四边形.

故选：C.

2.（23-24九年级上•山西朔州•期中）如图，四边形的对角线47,8。于点O,点瓦凡G,H分别

为边48,8C,CD和4D的中点，顺次连接斯，9G,GH和HE得到四边形跳1GH.若AC=10,B。

=12,则四边形EFGH的面积等于（）

A.30B.35C.40D.60

【答案】A

【详解】解：•.•点E,F分别为边AB,BC的中点,

.♦.EF是AABC的中位线，

:.EF"AC,EF=[AC,

•：47=10,

.,.EF=/AC=5,

同理，可得：HG〃人C,HG=]_AC=5,

：.EF//HG,EF^HG,

•:点、E,H分别为边AB,AD的中点，

AEH是△ABD的中位线，

EH//BD,EH=^-BD=6,

同理，可得：FG//BD,FG=^-BD=6,

:.EH//FG,EH=FG,

四边形EFGH是平行四边形，

AC±BD,

：.EF±EH,

：.NFEH=90°,

：.平行四边形EFGH是矩形,

矩形EFGH的面积为：6X5=30,

即四边形EFGH的面积为30.

故选:A.

3.（23-24九年级上•山东东营•期中）如图，把矩形ABCD沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接0E,则

顺次连接四边形4OEC各边中点,得到的四边形的形状一定是.

【答案】菱形

【详解】解：：把矩形ABCD沿直线力。折叠，点B落在E处,

：.CD=AE=AB,

•：顺次连接四边形ADEC各边中点，

H、F分别是DE、AD的中点，

；.HF=《AE.

同理FM=；CD,NH=[CD,MN=~^AE,

又：DC=AE,

：.HN=HF=FM=MN,

四边形是菱形.

.•.得到的四边形的形状一定是：菱形.

故答案为：菱形.

4.（23-24九年级上•河南信阳•期中）已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、R、G、H,顺次

连接EF、尸G、GH、HE,得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）.

（1）求证：四边形EFGH的形状是平行四边形；

⑵当四边形的对角线满足条件时，四边形班GH是矩形;

（3）当四边形ABCD的对角线满足条件时，四边形班GH是菱形.

【答案】（1）证明见解析

（2）互相垂直

（3）AC^BD

【详解】（1）证明：如图，连接AC、BD,

•••点E、F、G、H分别为AB,BC、CD、AD的中点，

:.EF、GH分别为△48。、4ADC的中位线，

：.EF=^-AC,EF//AC,GH=^-AC,GH//AC,

：.EF=GH,EF//GH,

：.四边形EFGH的形状是平行四边形；

（2）解：当AC_LB。时，四边形EFGH是矩形,

•：EF//AC,FG//BD,AC±BD,

：.EF±FG,

：.平行四边形EFGH是矩形,

故答案为：互相垂直；

（3）解：当AC=BD时，四边形EFGH是爰形,

•：EF=^AC,FG=^BD,AC=BD,

：.EF=FG,

：.平行四边形EFGH是爰形,

故答案为：相等.

5.（23-24九年级上.福建泉州.期中）已知：如图，四边形ABC©四条边上的中点分别为E、尸、G、H,顺次

连接EF\FG、GH,HE,得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）.

A

H

D

⑴求证：四边形EFGH是平行四边形;

⑵当四边形ABCD的对角线满足条件时，四边形EFGH是矩形？并说明理由.

【答案】（1）见详解

（2）4。，BD,见详解

【详解】⑴解:连接力。，如图，

四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H,

：.HG//AC,HG=^-AC,EF//AC,EF=^-AC,

:.HG//EF,HG=EF,

四边形EFGH是平行四边形;

（2）解：理由如下：

连接

•/四边形4BCD四条边上的中点分别为E、F、G、H,

：.HG//AC,EH//BD.

•：AC±BD,

：.HG±EH,

：.ZEIIG=9Q°,

：.平行四边形EFGH是矩形.

故答案为：力C_LBD.

题型02十字架模型

6.（23-24九年级上•黑龙江哈尔滨•期中）如图，将一边长为15的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC

边上的点E,使AE=8,折痕为PQ,则PQ的长为（）

A.15B.16C.17D.18

【答案】。

【详解】解:过点P作PM±BC于点、M,

由折叠得到

/fiAE+/APQ=90°,

又NDAE+AAED=90°,

：.NAED=NAPQ,

•：ADIIBC,

：.NAPQ=NPQM,

则/PQM=AAPQ=NAED,ND=NPMQ,PM=AD

：.△PQM■空△ADE

PQ=AE=A/82+152=17.

故选：C.

【点睛】本题考查正方形的折叠问题，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，平行线的性质等知

识，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小

不变，如本题中折叠前后角相等.

7.（23-24九年级上•四川成都・期中）如图,将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边CD的

中点E处,折痕为FG,点、F、G分别在边AD.BC上,则折痕FG的长度为.

【答案】2方

【详解】解:如图，过点G作GH_LAD于H,则四边形ABGH中，=AB,

由翻折变换的性质得GF±AE,

•：ZAFG+ADAE=90°,NAED+2DAE=90°,

NAFG=NAED,

•.•四边形4BCD是正方形，

AD—AB,

:,HG=AD,

(AGHF=ZD

在/\ADE和4GHF中，(/AFG=ZAED,

[GH=AD

：./XADE上^GHF(AAS),

：.GF=AEf

・・,点石是CD的中点，

:.DE=^CD=2,

在Rt^ADE中，由勾股定理得，AE=-JAD2+DE2=V42+22=275,

.♦.GF的长为2面.

故答案为：2函.

【点睛】本题考查翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相应的直角三

角形利用勾股定理求解是解决本题的关键.

8.（23-24九年级上•江苏泰州•期中）如图，正方形纸片ABCD的边长为24,E是边CD上一点，连接AE、

折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B,得到折痕W,点F在AD上，若。E=10,

则GE的长为

【答案】等

J.O

【详解】解：•.•四边形ABCD为正方形，

AAB=AD=24,/皿。=/。=90°,

由折叠及轴对称的性质可知，△ABF空△GBF,垂直平分AG,

：.BF±AE,AH=GH,

ZBAH+NABH=90°,

又•/ZFAH+ZBAH=90°,

NABH=NFAH,

：.△ABFWAD4E(AS4),

AF=DE=10,

在RtAABF中，

BF=y/AB2+AF2=V242+102=26,

SAABF=yAB-AF=-j-BF•AH,

：.24X10=2648,

”=些

13，

/.AG=2AH=^-,

-LO

,：AE=BF=26f

：.GE=AE-AG=26-^-=^

J.OJ.O

故答案为：黑.

lo

【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段的长度

等，解题关键是能够灵活运用正方形的性质和轴对称的性质.

9.（23-24九年级上.陕西商洛.期中）如图，在正方形4BCD中，E,尸分别是4B,反7的中点，尸相

交于点G,连接AG,求证：

___________F

AD

（1）CE±DF.

⑵NAGE=NCDF.

【答案】（1）见解析；

（2）见解析.

【详解】（1）,/四边形是正方形，

:.AB=BC=CD=AD,NB=/BCD=90°,

；E,F分别是AB,的中点，

BE=^AB,CF=-j-BC,

:.BE=CF,

在△CBE与△DOF中，

（BC^CD

lZB=AFCD,

[BE=CF

：./\CBE2ADCF（SAS）,

：.NECB=ZFDC,

•：ABCE+ZECD=ABCD=90°,

：.NECD+ZCDF=90°,

：.4CGD=90°,

：.CE±DF.

（2）延长CE,交ZM的延长线于H,

在正方形ABCD中，AD〃BC,

AAHE=ABCE,

•.•点E是AB的中点，

/.AE=BE,

・・・ZAHE=/BCE,/AEH=/CEB,AE=BE,

：./XAEH^ABEC（AAS）,

・・.AH=BC,

・.・在正方形ABCD中，AD=BC,

・・.AH=ADf

•：CE±DF

：.AHGD=90°,

：.AG是Rt^HGD斜边的中线,

・•AG=^-DH=AD,

--AADG=ZAGD,

VAAGE+AAGD=AHGD=90°,/CDR+/ADG=/CDA=90°,

--NAGE=NCDF.

【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰

三角形的性质等，综合性很强，解题的关键是能够综合运用上述知识.

题型03对角互补模型

10.（23-24九年级上.江苏泰州.期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂

美"四边形点E为对角线口。上任意一点，连接AB、CE.若AB=5,3,则人炉一无2

等于（）

A.7B.9C.16D.25

【答案】。

【详解】解:如图所示:连接AC,与BD交于点O,

•.•对角线互相垂直的四边形叫做''垂美”四边形，

AC±BD,

在Rt/\AOE中,AE2=AO2+OE2,

在Rt/\COE中，CE?=+OE2,

：.AE2-CE2=AO2-CO2,

在Rt/\AOB中，AO2=AB2-OB2,

在Rt/\COB中，CO?=BC2_OEz,

AO2-CO2=AB2-BC2=52-32=16,

：.AE2-CE2=16,

故选：C.

【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练运用勾股定理是解题关键.

11.（23—24.山东淄博・期中）如图，在△ABC中，AD,BE分别是BC,AC边上的中线，且AD，BE,垂足

为点F,设BC=a,，则下列关系式中成立的是（）

A.a2+b2=5c2B.a2+b2=4c2C.a2+b2=3c2D.a2+b2=2c2

【答案】A

【详解】设EF=c,DF=",根据三角形重心的性质得AF=29，BF=2EF=22,利用勾股定理得到利z+4y2

=c2,4a?+y2=^-b2,x2+4才=然后利用加减消元法消去，、V得到a、6、c的关系.

【解答】解：设E尸=c,DF=v,

1.•AD,BE分别是BC,AC边上的中线，

.•.点F为△48。的重心，AF=。AC=,

/.AF=2DF=2y,BF-2EF-2x,

•：AD±BE,/.AAFB=AAFE=ABFD=90°,

在Rt^AFB中，4d+4y2=c?,①

在Rt/\AEF中,4d+7=卡,②

在Rt^BFD中,/+4才=Xo2,③

②+③得5谈+5娟=X(«2+%,5+4婿=-l(a2+b2),@

45

①—④得02—5g2+/)=0,即a2+/=5c2.

5

故选：A.

【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1.也考查了勾股

定理.

12.(23-24九年级上.河北石家庄•期中)已知对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形,现有如图所示

的，，垂美，，四边形ABC©,对角线A。，BD交于点O.

（1）若AB=5,OA=3,OC=4,则BC=；

（2）若人。=0，BC=滤，则AB2+CD2=.

⑶若AB=m,BC=n,CD=c,AD=d，则m,n,c,d之间的数量关系是

【答案】4V27m2+c2=n2+d2

【详解】（I）；AC±BD,

：.NBOC=2cOD=ZDOA=ZAOB=90°,

：.OB^y/AB2-O^

=A/52-32

=4,

：.CB^y/OB2+OC2

=V42+42

=4V2.

故答案为4V2.

⑵由⑴得：

OB2+OC2=BC2,OA2+OD2=AD2,OB2+OA2=AB2,OC2+OD2=CD2,：.AB2+5=OB2+OA2

+OC2+OD2=BC2+AD2,

,:AD=®，BC=A,

：.AB2+GD2=（V2）2+（V5）2

=7.

故答案为7.

⑶由⑵得:

A&+CEPBC2+A£>2,

：.rri2+c2=n2+d2.

故答案为m2+c2—n2+d2.

【点睛】本题考查勾股定理的应用问题，熟练利用勾股定理和等量代换是解题的关键.

13.（23-24九年级上•安徽芜湖•期中）如图甲，我们把对角线相互垂直的四边形叫做垂美四边形.

图甲图乙

（1）【概念理解】我们已经学习了①平行四边形、②菱形、③矩形、④正方形,在这四种图形中是垂美四边

形的是（填序号）.

（2）【性质探究】小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等"，即，如图甲，在四边形中，若

AC,则/口2++请判断小美同学的猜想是否正确,并说明理由.

⑶【问题解决】如图乙，在△4BC中，及7=3,AC=4,D,E分别是4。，及7的中点，连接有

【答案】⑴②④；⑵猜想正确，理由见解析；（3）AB=

【详解】解：（1）V菱形、正方形的对角线相互垂直，

菱形和正方形符合垂美四边形的定义，

故答案为：②④；

（2）猜想正确，理由如下：

四边形ABCD中,AC±BD,

：.AAOB=4cOD=ABOC=AAOD=90°,

AB2=OA2+OB'2,CD2=OC2+OL>2,BC2=OB2+OC2,AD2=OA2+OL>2,

222222

/.AB+5=OA2+OB2+OC2+OD2,BC?+AD=OB+OC+OA+OD,

2

/.AB+CD?=AIf+BC?.

（3）•••BC=3,47=4,。、E分别是AC.BC的中点，

1131

・・.AD=yAC=2,BE=^-BC=^,DE=^-AB,

•：AE_LBDf

：.AB2+ED2=AD2+BE2,

_______________________________~

•••小=4+,

/.AB=V5.

14.（23-24九年级上•福建福州•期中）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

（1）在我们学过:①平行四边形、②矩形、③菱形、④正方形，能称为垂美四边形的是;（只填序号）

⑵如图，垂美四边形ABCD的对角线交于点0,4B=2,=3,=4,求CD的长度.

【答案】（1）③④

⑵何

【详解】（1）解：•.•菱形和正方形的对角线相互垂直，矩形和平行四边形的对角线不一定垂直，

二.只有正方形和菱形能称为垂美四边形，

故答案为：③④；

（2）vAC±BD,

：.AB2=AO2+BO2,BC2=BO2+CO2,DC?=DO2+CO2,Ad2=AO2+DO2,

AB2+DC2=AO2+BO2+DO2+CO2,BC2+AD2=AO2+BO2+DO2+CO2,

：.AB2+DC2=BC2+AD2-,

48=2,30=3,40=4

CD2=32+42-22=9+16-4=21

CD=V21.

题型04半角模型

15.（23—24九年级上•四川眉山・期中）（半角模型）如图，正方形ABCD中，E是AB上的点，尸是上的

点，且/即F=45°.求证：4E+CF=EF.

【答案】见解析

【详解】证明：如图，在的延长线上截取。C=AE,

•.•四边形4BCD是正方形，

：.AD=CD,ZA=AADC=ABCD=2DCG=90°,

/\ADE空△COG(SAS),

：.DE=DG,2ADE=/CDG.

•：=45°,则AADE+ZCDF=Z.ADC-ZEDF=45°

ZFDG=ZCDF+ZCE>G=45°.

4EDF=AFDG.

在△DEF和△OGF中

(DE=DG

1/EDF=/FDG,

[DF=DF

：.丛DEFm丛DGF(SAS)

：.EF=GF.

即EF=GC+CF

：.AE+CF=EF.

16.（23-24九年级上•广西南宁・期中）【探索发现】如图①，四边形Z8CD是正方形，M,N分别在边CD、

8。上，且/AMN=45。,我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用

的方法.如图①，将绕点Z顺时针旋转90°,点。与点8重合，得到△ABE,连接⑷11、AN、

MN.

⑴试判断2W,BN,MN之间的数量关系，并写出证明过程.

⑵如图②，点河、N分别在正方形ABCD的边BC、CD的延长线上，AMAN=45°,连接MN,请写出

7WN、ZW、8N之间的数量关系，并写出证明过程.

【卷案】(1)MN=DM+BN.证明见解析

⑵MN=BN—DM.证明见解析

【详解】⑴解：7W=ZW+BN.证明如下：

由旋转，可知：AE=AM,BE=DM,ZEAM=90°./ABE=ZD=90°

・・・点七、8、。共线

・・・/MAN=45°

・・・/EAN=/EAM—/MAN=45°=AMAN

在△EAN和△M4N中

(AE=AM

1/EAN=/MAN

[AN=AN

：.LEANmAMAN(SAS)

・・.EN=MN

•：EN=BE+BN

：.MN=DM+BN

⑵解：MN=BN-DM,证明如下：

在BC上取跳;=AiD.连接AS,

・・・AB=AD,ZB=/ADM,/EAM=90°

・・・/XABE空AADM(SAS)

・・.AE=AM,/BAE=/MAD

・・・4MAN=45°

NEAN=AEAM-AMAN=45°=AMAN

在△E4N和△AMN中，

(AE^AM

\/LEAN=AMAN

[AN=AN

：.AEWN竺AMAN(SAS')

：.EN=MN

•：EN=BN-BE

【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，利用全等三角形的性质进行等量转化是解题的关

键.

17.(23—24九年级上.广东汕尾.期中)如图，在边长为6的正方形ABCD内作/区4斤=45°,AE交BC于点

E,AF交CD于点F,连接EF,将ZVLDF绕点人顺时针旋转90°得到△ABG.

（1）求证：^EAG会/XEAF；

⑵若L>F=3,求BE的长.

【答案】（1）见解析

⑵BE=2

【详解】（1）证明：•.•四边形ABCD是正方形，

ZBAD=90°;

由旋转的性质可知：AGAB=ADAF,AG^AF,

•：ABAD=90°,ZEAF=45°,

NR4F+/BAE=45°,

AAGAB+NBAE=AGAE=45°,

.,./GAE=/EAF=45°,

（AF=AG

在岫AG和/\EAF中,{4GAE=NEAF,

[AE^AE

：.^EAG=^EAF（SAS）.

⑵解：•.•DF=3,CD=6,

：.CF^3,

由⑴可知：GE=EF,BG=DF,

:.CG=9,

:.CE+EF=9,

在Rt^EFC中，由勾股定理得：CE2+CF2=EF2,

即您2+32=（9-您）2,

解得：CE=4,

:.BE=BC—CE=6—4=2.

18.（23-24九年级上•黑龙江齐齐哈尔•期中）【问题情境】神奇的半角模型

在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型.截长补

短法是解决这类问题常用的方法.

如图1,在正方形ABCD中，以A为顶点的/区4斤=45°,人后、4尸与8。、8分别交于后、干两点，为了

探究EF、BE、0斤之间的数量关系，小明的思路如下：

如图2,延长CB到点H,使8H=。尸,连接,先证明AADF笃/XABH，再证明/\AHE笃/\AFE.从

而得到E尸、BE.OF之间的数量关系.

（1）提出问题：EF、BE、OF之间的数量关系为.

⑵知识应用：如图3,AB=4D,=/。=90°,以A为顶点的ABAD=120°，ZEAF=6Q°,AE.AF

与BC、CD分别交于E、尸两点，你认为⑴中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程;若不成立，请

说明理由.

（3）知识拓展:如图4,在四边形ABCD中，AB=4D=a,BC=b,CD=c.N4BC与/。互补，AB、

AF与BC、CD分别交于E、尸两点，且2瓦4斤=｝乙BA。,请直接写出尸C的周长=.（用

含a、b、c的式子表不.）

【答案】⑴EF=DF+BE

（2）（1）中的结论还成立，证明见解析

（3）6+c

【详解】（1）解:延长CB到点〃，使连接

•.•四边形4BCD是正方形，

AB=AD,AD=NABC=NABH=ABAD=90°,

AADF^AABH,

：.ZDAF=ABAH,AH=AF,

•：/EAF=45°,

/BAE+ZDAF=90°-ZEAF=45°,

NEAH=ABAE+ZBAH=45°,

/EAH=NEAF,

,：AE-AE,

^AHE^/XAFE,

:.EF=EH,

•：EH^BE+BH,

：.EF-DF+BE;

故答案为：EF