分式的运算【十大题型】（举一反三）（华东师大版）（原卷版） 八年级数学下册

专题16.2分式的运算【十大题型】【华东师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1已知分式恒等式确定分子或分母】 ②运算顺序中，加减运算等级较低。若混合运算种有乘除或乘方运算，先算乘除、乘方运算，最后算加减运算。【题型1已知分式恒等式确定分子或分母】【例1】（2023上·湖南长沙·八年级校联考阶段练习）已知6x3+10xx4+x2+1=Ax+Bx2+x+1+Cx+Dx2−x+1，其中A，B【变式1-1】（2023·山东烟台·八年级统考期末）若3x−4(x−1)(x−2)=K【变式1-2】（2023上·上海黄浦·八年级上海市民办立达中学校考期中）已如3x2−7x+2x−1x+1【变式1-3】（2023上·云南昆明·八年级昆明市第三中学校考阶段练习）阅读下列材料：若1−3xx2−1=A解：等式右边通分，得A根据题意，得A+B=−3−A+B=1，解之得A=−2仿照以上解法，解答下题．(1)已知x+6x+12x−3=Mx+1−N2x−3（其中(2)若12n−12n+1=a2n−1−b(3)计算：11×3【题型2比较分式的大小】【例2】（2023下·江苏南京·八年级南师附中树人学校校考期中）比较两个数的大小时，我们常常用到“作差法”：如果a−b>0，那么a>b；如果a−b=0，那么a=b；如果a−b<0，那么a<b．（1）已知2x>y>0，且A=xy，B=x+1y+2，试用“作差法”比较（2）比较两数1999199820212020和19991999（3）对于正x，y，A=xy，B=x+1y+2，如果A=B，则【变式2-1】（2023上·福建福州·八年级统考期末）已知：P=x+1，Q=4xx+1(1)当x>0时，判断P-Q与0的大小关系，并说明理由；(2)设y=3P−Q2【变式2-2】（2023上·湖南常德·八年级常德市第七中学校考期中）(1)若a、b为正数，且a<b，直接判断1a与1(2)若a、b为正数，且a≠b，试比较ba(3)若1a+1b=1【变式2-3】（2023下·江苏南京·八年级统考期中）已知b＞a＞0．(1)比较大小：aba+1(2)若c＞0，比较ab与a+c(3)下列结论正确的是（写出所有正确结论的序号）．①若n＞m＞0，则m+2n+2②若n＞m＞2，则m−2n−2③若n＞m＞2，则m−2n−2④若n＞m＞2021，则m+2022n+2022【知识点2整数指数幂的运算】1.整数负指数幂：a−n2.若am=an，且a≠0，则m=n；反之，若a≠0，且m=n，则am=【题型3负整数指数幂】【例3】（2023下·浙江宁波·八年级校考期末）已知x=1+7n，y=1+7−n，则用x表示A．x+1x−1 B．x+1x+1 C．xx−1【变式3-1】（2023下·辽宁阜新·八年级阜新实验中学校考期中）若a=0.32，b=−3−2，c=−13−2，则【变式3-2】（2023上·陕西·八年级校考阶段练习）已知x=3−q，y−1=21−p，z=4p27【变式3-3】（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）若x2−12x+1=0，则x4【题型4利用科学记数法表示小数】【例4】（2023·河北邯郸·校考一模）把0.00258写成a×10n（1≤a<10，n为整数）的形式，则a+n为（A．2.58 B．5.58 C．−0.58 D．−0.42【变式4-1】（2023下·江苏苏州·八年级苏州市立达中学校校考期末）某种细胞的直径是5×10－4毫米，这个数是（）A．0.05毫米 B．0.005毫米 C．0.0005毫米 D．0.00005毫米【变式4-2】（2023上·重庆渝中·八年级统考期末）人类进入5G时代，科技竞争日趋激烈．据报道，我国某种芯片的制作工艺已达到28纳米，居世界前列．已知1纳米＝1×10﹣9米，则28纳米等于多少米？将其结果用科学记数法表示为．【变式4-3】（2023下·江苏镇江·八年级校考期末）去年11月，在巴黎举行的第27届国际计量大会中宣布引进4个新单位词头，新增的4个词头分别是ronna，quetta，ronto和quecto，其中1ronto−10−27，此前，国际单位制最小单位词头为“幺”（1幺−10−24．一个光子的质量约为1.1×10−23【题型5分式的混合运算】【例5】（2023上·山东菏泽·八年级统考期中）计算：(1)3(2)x−y【变式5-1】（2023下·河南南阳·八年级统考期中）计算a2a−b−a−b【变式5-2】（2023上·湖南岳阳·八年级校考阶段练习）当x分别取−2023，−2022，−2021，…，−2，−1，0，1，12，1A．−1 B．1 C．0 D．2023【变式5-3】（2023上·广西贵港·八年级统考期中）下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．x2=x+3=x−3=2x−6=2x−6−=2x−6−2x+1=−5任务一：填空：以上化简步骤中，第步是进行分式的通分，通分的依据是或填为：；第步开始出现错误，这一步错误的原因是；任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果是；任务三：根据小明同学进行分式化简的过程：完成下列分式的计算：1a+1【题型6分式的化简求值】【例6】（2023上·湖南岳阳·八年级统考期末）已知abc=1，a+b+c=2，a2+b【变式6-1】（2023上·河北唐山·八年级统考期中）已知x2−x−2=0求代数式【变式6-2】（2023下·浙江宁波·八年级校考期末）若abc=1，a+b+c=2，a2+b2【变式6-3】（2023·全国·八年级假期作业）已知正实数x，y，z满足：xy+yz+zx≠1，且(x2−1)(y2【题型7分式加减的应用】【例7】（2023上·湖北武汉·八年级统考期末）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为m米m>1的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为m−1米的正方形，两块试验田的小麦都收获了n千克．设“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量分别为P千克/米2和Q千克/米2．下列说法：①P>Q；②P=Q；③P<Q；④P是Q的m−1m+1倍．其中正确的个数有（

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式7-1】（2023下·四川遂宁·八年级统考期末）一辆货车送货上山，并按原路下山．上山速度为a千米/小时，下山速度为b千米/小时，则货车上、下山的平均速度为（

）A．a+b2 B．ab2 C．a+b2ab【变式7-2】（2023下·江苏扬州·八年级统考期中）数学来源于生活，生活中处处有数学，用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证发现一些数学结论．现有a克糖水，其中含有b克糖(a>b>0)，则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为ba(1)糖水实验一：加入m克水，则糖水的浓度为_____________．生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡，由此可以写出一个不等式_____________，我们趣称为“糖水不等式”．(2)糖水实验二：将“糖水实验一”中的“加入m克水”改为“加入m克糖”，则糖水的浓度为____________．根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”____________．(3)请结合（2）探究得到的结论尝试证明：设a、b、c为△ABC三边的长，求证：ca+b【变式7-3】（2023上·福建厦门·八年级统考期末）某海湾城市有A，B两个港口、有两条航线能够连接A，B两个港口，两条航线的路程都是150km，已知货轮在静水中的最大航速为vv>5(1)若该货轮在水流速度为5km/h的航线上航行，用含v的式子表示货轮顺流航行和逆流航行的最大速度；(2)航运公司计划用该货轮将一批货物以最大航速从A港送往B港，再从B港返回A港．根据海流预报：航线1位于外湾，受潮汐影响，水流速度为5km/h，且从A港到B港为顺流航行；航线2位于内湾，水流速度忽略不计．为了使送货的往返的总时间更短，请通过计算说明航运公司应当选择哪一条航线．【题型8分式运算的规律探究】【例8】（2023上·辽宁大连·八年级期末）观察下列式子：11−3+55−3=2，4按照上面式子的规律，完成下列问题：(1)再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的式子：①，②；(2)设第一个数为x，则这个规律可用字母x表示为x()(3)验证这个规律．【变式8-1】（2023·安徽·校联考三模）观察以下等式：第1个等式：23第2个等式：44第3个等式：65第4个等式：86第5个等式：107按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式：___________；(2)写出你猜想的第n个等式：__________（用含n的等式表示），并证明．【变式8-2】（2023下·湖南永州·八年级校考期中）阅读理解：阅读下列过程因为2×21=4，因为3×32=9因为4×43=16因为5×54=25…………………．．(1)根据上面规律填空，8×8(2)根据你观察的特点，用含n的公式表示上面的规律为______________(3)证明你得到的公式是否正确．【变式8-3】（2023·安徽合肥·统考三模）观察以下等式：第1个等式：12第2－个等式：12第3个等式：12第4个等式：12……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第5个等式：__________________；(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．【题型9分式中的新定义问题】【例9】（2023下·江苏扬州·八年级统考期末）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即A−B=AB，则称分式B是分式A“友好分式”．如1x+1与1x+2，因为1x+1所以1x+2是1(1)分式22y+5______2(2)小明在求分式1x设1x2+y2∴1x∴N=1请你仿照小明的方法求分式xx−3(3)①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式bax+b②若n+2mx+m2+n是【变式9-1】（2023下·浙江湖州·八年级校考期末）新定义：若两个分式A与B的差为n（n为正整数），则称A是B的“n分式”．例如：xx−1−1x−1=1，则称分式xx−1是分式1A．4x+3x+2是x−3x+2的“3B．若a的值为−3，则12+x3+2x是ax+63+2x的“2C．若2aba2−4b2是D．若a与b互为倒数，则5aa+b2是−5b【变式9-2】（2023下·浙江绍兴·八年级统考期末）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即M−N=MN，则称分式N是分式M的“互联分式”．如1x+1与1x+2，因为1x+1−1x+2=(1)判断分式3x+2与分式3(2)小红在求分式1x设1x2+y2∴1x2请你仿照小红的方法求分式x+2x+5(3)解决问题：仔细观察第（1）（2）小题的规律，请直接写出实数a，b的值，使4a−2bx+b是4b+2【变式9-3】（2023下·江苏南京·八年级南京五十中校联考期中）定义：若两个分式A与B满足：A−B=3，则称A与B(1)下列三组分式：①1a+1与4a+1；②4aa+1与a−3a+1；③a2a−1(2)求分式a2a+1(3)若分式4a2a2−b2与aa+b互为“美妙分式”，且【题型10分式中的阅读理解类问题】【例10】（2023下·江苏徐州·八年级统考期中）【阅读】在处理分式问题时，由于分子的次数不低于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式与一个分式的和（差）的形式，通过对简单式子的分析来解决问题，我们称之为分离整式法．例：将分式x2解：设x+2=t，则x=t−2．原式=∴x2这样，分式x2−3x−1x+2就拆分成一个整式(x−5)【应用】(1)使用分离整式法将分式2x+4x+1(2)将分式x2【拓展】(3)已知分式x2−x+7x−3【变式10-1】（2023上·山东泰安·八年级统考期中）阅读下面的解题过程：已知：xx2+1解：由xx2+1=13知所以x4故x2x4(1)上题得解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：xx2−5x+1(2)已知aba+b=6，bcb+c=9，【变式10-2】（2023上·湖南益阳·八年级统考期末）阅读下列材料：【材料一】我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式当分子的次数大于或等于分母的次数时我们称之为“假分式”：当分子的次数小于分母的次数时我们称之为“真分式”．如x−1x+2,x类似的假分式也可以化为带分式．如：x−1x+2【材料二】问题：用