第06讲 有理数的乘方（解析版）七年级数学下册

第06讲平行线的性质课程标准学习目标①平行线的性质掌握两直线平行，同位角相等，并能够灵活应用。掌握两直线平行，内错角相等，并能够灵活应用。掌握两直线平行，同旁内角互补，并能够灵活应用。知识点01平行线的性质两直线平行，同位角相等：①性质内容：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简单说成两直线平行，同位角相等。②符号语言：若AB∥CD，则∠NEB＝∠NFD两直线平行，内错角相等：①性质内容：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简单说成两直线平行，内错角相等。②符号语言：若AB∥CD，则∠AEM＝∠NFD两直线平行，同旁内角互补：①性质内容：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简单说成两直线平行，同旁内角互补。②符号语言：若AB∥CD，则∠BEM＋∠NFD=180°【即学即练1】1．用一副三角板拼成如图所示的形状，使得两个三角形的直角边互相平行，则∠1与∠2相等的依据是（）A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，内错角相等 C．两直线平行，同旁内角互补 D．对顶角相等【分析】由两平行线，内错角相等，即可得到答案．【解答】解：∠1与∠2相等的依据是两直线平行，内错角相等，故选：B．【即学即练2】2．如图，直线l1∥l2，Rt△ABC中，∠B＝60°，直角顶点A在直线l上，顶点C在直线l2上，已知∠1＝25°，则∠2的度数为（）A．35° B．45° C．55° D．65°【分析】根据含30°角的直角三角形的性质和平行线的性质得出∠2的度数即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠B＝60°，∴∠ACB＝30°，∵l1∥l2，∴∠2＝∠ACB+∠1＝30°+25°＝55°，故选：C．【即学即练3】3．如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝48°，则∠2的度数是（）A．148° B．138° C．142° D．132°【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由邻补角的定义即可得出结论．【解答】解：∵a∥b，∠1＝48°，∴∠3＝∠1＝48°，∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣48°＝132°．故选：D．题型01根据平行线的性质计算【典例1】如图，a∥b，∠1＝42°，则∠2的度数为（）A．48° B．42° C．138° D．52°【分析】根据平行线的性质和对顶角相等解答即可．【解答】解：∵∠1＝∠3＝42°，a∥b，∴∠2＝∠3＝42°，故选：B．【变式1】如图，已知AE∥BC，∠BAC＝100°，∠DAE＝50°，则∠C＝（）A．10° B．20° C．30° D．40°【分析】根据邻补角定义得出∠DAC＝80°，根据角的和差求出∠CAE＝30°，根据平行线的性质即可得解．【解答】解：∵∠DAC+∠BAC＝180°，∠BAC＝100°，∴∠DAC＝80°，∵∠DAC＝∠DAE+∠CAE，∠DAE＝50°，∴∠CAE＝30°，∵AE∥BC，∴∠C＝∠CAE＝30°，故选：C．【变式2】如图，∠ECD＝50°，点M是EC上一点，过点M作AB∥CD，若MF平分∠AME，则∠AMF的度数为（）A．60° B．55° C．70° D．65°【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠EMB＝∠ECD＝50°，于是利用平角的定义可得∠AME＝130°，再根据角平分线的定义即可求解．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠EMB＝∠ECD＝50°，∴∠AME＝180°﹣∠EMB＝180°﹣50°＝130°，∵MF平分∠AME，∴∠AMF＝65°．故选：D．【变式3】如图，AB∥DE，BC∥EF，若∠E＝118°，则∠B的度数为（）A．62° B．72° C．102° D．118°【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求得∠1＝50°，再两直线平行，内错角相等可得∠1＝∠B．【解答】解：∵AB∥DE，∴∠1+∠E＝180°，∵∠E＝118°，∴∠1＝62°，∵BC∥EF，∴∠B＝∠1＝62°．故选：A．题型02平行线与直角三角板【典例1】如图，将直尺与含45°角的直角三角形叠放在一起，若∠2＝35°，则∠1的度数为（）A．35° B．45° C．55° D．65°【分析】根据余角的定义和平行线的性质即可得到结论．【解答】解：如图，∵∠ACB＝90°，∠2＝35°，∴∠3＝90°﹣∠2＝90°﹣35°＝55°，∵直尺对边平行，∴∠1＝∠3＝55°．故选：C．【变式1】如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝60°15′，则∠2的大小为（）A．60°15′ B．39°45′ C．29°85′ D．29°45′【分析】根据平行线的性质得出∠3，进而利用互余解答即可．【解答】解：如图，由直尺两边平行，可得：∠1＝∠3＝60°15'，∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣60°15'＝29°45'，故选：D．【变式2】如图，直角三角板的直角顶点放在直线b上，且a∥b，∠1＝55°，则∠2的度数为（）A．35° B．45° C．55° D．25°【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由两角互余的性质求出∠2的度数即可．【解答】解：∵a∥b，∠1＝55°，∴∠3＝∠1＝55°，∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣55°＝35°．故选：A．【变式3】将等腰直角三角形ADE和直角三角形ABC（其中∠C＝30°）按如图所示的方式摆放，点D在BC上，若AE∥BC，则∠DAC的度数是（）A．12° B．15° C．20° D．25°【分析】根据“两直线平行，内错角相等”求出∠CAE＝30°，再根据角的和差求解即可．【解答】解：∵AE∥BC，∠C＝30°，∴∠CAE＝∠C＝30°，∵∠DAE＝45°，∴∠DAC＝∠DAE﹣∠CAE＝15°，故选：B．题型03平行线与折叠【典例1】如图，纸片的边缘AB，CD互相平行，将纸片沿EF折叠，使得点B，D分别落在点B'，D'处．若∠1＝80°，则∠2的度数是（）A．50° B．60° C．70° D．80°【分析】根据平行线的性质可得∠AEB′＝80°，从而利用平角定义求出∠BEB′＝100°，然后根据折叠的性质进行计算即可解答．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠AEB′＝80°，∴∠BEB′＝180°﹣∠AEB′＝100°，由折叠得：∠2＝∠FEB′＝∠BEB′＝50°，故选：A．【变式1】如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E．若∠1＝35°，则∠2的度数为（）A．20° B．30° C．35° D．55°【分析】已知四边形ABCD是矩形，则可得AB∥CD，∠C＝90°；联系折叠的性质易得∠BDC′、∠DC′B的度数，由平行线的性质可求出∠ABD的度数；接下来在△BC′D中利用三角形内角和即可求出∠2．【解答】解：由题意可知：∠C＝90°，AB∥CD，∴∠ABD＝∠1＝35°由折叠的性质可知：∠BDC′＝∠1＝35°，∠DC′B＝∠C＝90°．∴∠2＝180°﹣∠DC′B﹣∠ABD﹣∠BDC′＝20°．故选：A．【变式2】如图，矩形纸片ABCD，M为AD边的中点将纸片沿BM、CM折叠，使A点落在A1处，D点落在D1处，若∠1＝32°，则∠BMC＝（）A．74° B．106° C．122° D．148°【分析】利用折叠的性质，相重合的角相等，然后利用平角定理求出角的度数．【解答】解：∵∠1＝32°，∠AMA1+∠1+∠DMD1＝180°，∴∠AMA1+∠DMD1＝180°﹣32°＝148°．∴∠BMA1+∠CMD1＝74°．∴∠BMC＝∠BMA1+∠CMD1+∠1＝74°+32°＝106°．故选：B．【变式3】如图，将一条两边互相平行的纸带折叠，下列正确的是（）A．若∠1＝∠2，则∠1＝40° B．若∠1＝∠2，则∠1＝55° C．若∠1＝2∠2，则∠1＝80° D．若∠1＝3∠2，则∠1＝108°【分析】先根据已知条件画出图形，再根据平行线的性质证出∠ABC＝∠1，再由折叠性质证出2∠2+∠1＝180°，最后按照证出的∠1和∠2的关系式，根据各个选项的中的已知条件，求出∠1的度数，进行判断即可．【解答】解：如图所示：由平行线的性质可得：∠ABC＝∠1，由折叠性质可得：∠CBD+∠ABD＝180°，即∠2+∠2+∠ABC＝180°，∴2∠2+∠ABC＝180°，∴2∠2+∠1＝180°，A．若∠1＝，则，∠1＝36°，故此选项不符合题意；B．若∠1＝∠2，则3∠1＝180°，∠1＝60°，故此选项不符合题意；C．若∠1＝2∠2，则4∠2＝180°，∠2＝45°，∠1＝90°，故此选项不符合题意；D．若∠1＝3∠2，则5∠2＝180°，∠2＝36°，∠1＝108°，故此选项符合题意；故选：D．题型04平行线间的拐点【典例1】如图，直线m∥n，含有45°角的三角板的直角顶点O在直线m上，点A在直线n上，若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．15° B．25° C．35° D．45°【分析】过B作BK∥m，推出BK∥n，由平行线的性质得到∠OBK＝∠1＝20°，∠2＝∠ABK，求出∠ABK＝∠ABO﹣∠OBK＝25°，即可得到∠2＝25°．【解答】解：过B作BK∥m，∵m∥n，∴BK∥n，∴∠OBK＝∠1＝20°，∠2＝∠ABK，∵∠ABO＝45°，∴∠ABK＝∠ABO﹣∠OBK＝45°﹣20°＝25°，∴∠2＝∠ABK＝25°．故选：B．【变式1】如图，直线m∥n，△ABC是直角三角形，∠B＝90°，点C在直线n上．若∠1＝50°，则∠2的度数是（）A．60° B．50° C．45° D．40°【分析】根据平行线的性质可以得到∠1＝∠BDC，然后直角三角形的性质，即可求得∠2的度数．【解答】解：延长AB交直线n于点D，∵m∥n，∠1＝50°，∴∠1＝∠BDC＝50°，∵∠ABC＝90°，∴∠CBD＝90°，∴∠2＝90°﹣∠BDC＝90°﹣50°＝40°，故选：D．【变式2】如图，AB∥CD，则图中∠1、∠2、∠3关系一定成立的是（）A．∠1+∠2+∠3＝180° B．∠1+∠2+∠3＝360° C．∠1+∠3＝2∠2 D．∠1+∠3＝∠2【分析】首先过点E作EF∥AB，由AB∥CD，可得EF∥AB∥CD，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠AEF＝∠1，∠CEF＝∠3，继而可得∠1+∠3＝∠2．【解答】解：过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠AEF＝∠1，∠CEF＝∠3，∵∠2＝∠AEF+∠CEF＝∠1+∠3．故选：D．【变式3】如图，AB∥CD，则∠A、∠C、∠E、∠F满足的数量关系为（）A．∠A+∠C+∠F＝∠E B．∠A+∠C+∠E+∠F＝360° C．∠A+∠C+∠E﹣∠F＝180° D．∠A+∠C﹣∠E+∠F＝180°【分析】过E作EM∥AB，过F作FN∥AB，得到EM∥FN∥CD，因此∠A+∠AEM＝180°，∠MEF＝∠NFE，∠NFC＝∠C，得到∠MEF＝∠EFC﹣∠C，故∠AEM＝∠AEF+∠C﹣∠EFC，于是得到∠A+∠AEF+∠C﹣∠EFC＝180°．【解答】解：过E作EM∥AB，过F作FN∥AB，∵AB∥CD，∴EM∥FN∥CD，∴∠A+∠AEM＝180°，∠MEF＝∠NFE，∠NFC＝∠C，∴∠C+∠MEF＝∠NFE+∠NFC＝∠EFC，∴∠MEF＝∠EFC﹣∠C，∵∠AEM＝∠AEF﹣∠MEF＝∠AEF+∠C﹣∠EFC，∴∠A+∠AEF+∠C﹣∠EFC＝180°．故选：C．【变式4】如图，已知AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，点G，H在两条平行线AB，CD之间，∠AEG与∠FHG的平分线交于点M．若∠EGH＝84°，∠HFD＝20°，则∠M的度数为（）A．64° B．54° C．42° D．32°【分析】过点G，M，H作AB的平行线，容易得出∠AEG+∠GHF＝104°，EM和MH是角平分线，所以∠AEM+∠MHF＝52°，进一步求∠M即可．【解答】解：如图所示，过点G，M，H作GN∥AB，MP∥AB，KH∥AB，∵AB∥CD．∴AB∥GN∥MP∥KH∥CD，∵GN∥AB．∴∠AEG＝∠EGN，∵GN∥KH，∴∠NGH＝∠GHK，∵KH∥CD，∴∠HFD＝∠KHF，∵∠EGH＝84°，∠HFD＝20°，∴∠AEG+∠GHF＝104°，∵EM和MH是角平分线，∴∠AEM+∠MHF＝52°，∵∠HFD＝∠KHF＝20°，∴∠AEM+∠MHK＝32°，∵MP∥AB∥KH，∴∠EMP＝∠AEM，∠PMH＝∠MHK，∴∠EMP+∠PMH＝32°，即∠EMH＝32°．故选：D．题型05平行线的判定与性质求值【典例1】如图，已知∠1＝∠2，下列结论正确的是（）A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠4 C．∠B＝∠5 D．∠D＝∠5【分析】根据内错角相等，两直线平行可得AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得结论．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴AD∥BC，∴∠D＝∠5．故选：D．【变式1】如图，已知a⊥c，b⊥c，若∠1＝65°，则∠2等于（）A．65° B．90° C．25° D．70°【分析】先根据a⊥c，b⊥c，可得a∥b，根据平行线的性质可得∠1＝∠3，再根据对顶角的性质即可得出答案．【解答】解：因为a⊥c，b⊥c，所以a∥b，所以∠1＝∠3＝65°，所以∠2＝∠3＝65°．故选：A．【变式2】如图，直线a，b与直线c，d相交，已知∠1＝∠2，∠3＝76°，则∠4＝（）°A．76 B．104 C．114 D．14【分析】由∠1＝∠2，证出a∥b，由平行线的性质即可得出∠4＝∠3＝76°．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴a∥b，∴∠4＝∠3＝76°，故选：A．【变式3】如图，若∠1＝55°，∠3+∠4＝180°，则∠2的度数为（）A．115° B．120° C．125° D．135°【分析】由∠3+∠4＝180°，得到AB∥CD，推出∠5＝∠1＝55°，即可求出∠2＝125°．【解答】解：∵∠3+∠4＝180°，∴AB∥CD，∴∠5＝∠1＝55°，∵∠5+∠2＝180°，∴∠2＝125°．故选：C．题型06平行线的判定与性质证明【典例1】将下面的解答过程补充完整：如图，已知DE∥BC，EF平分∠CED，∠A＝∠CFE，那么EF与AB平行吗？为什么？解：因为DE∥BC（已知），所以∠DEF＝∠CFE（两直线平行，内错角相等①），因为EF平分∠CED（已知），所以∠DEF＝∠CFE②（角平分线的定义），所以∠CFE＝∠CEF（等量代换③），因为∠A＝∠CFE（已知），所以∠A＝∠CEF④（等量代换），所以EF∥AB（同位角相等，两直线平行⑤）．【分析】先根据两直线平行，内错角相等，得到∠DEF＝∠CFE，再根据角平分线得出∠DEF＝∠CEF，进而得到∠CFE＝∠CEF，再根据∠A＝∠CFE，即可得出∠A＝∠CEF，进而根据同位角相等，两直线平行，判定EF∥BC．【解答】解：因为DE∥BC（已知），所以∠DEF＝∠CFE（两直线平行，内错角相等①），因为EF平分∠CED（已知），所以∠DEF＝∠CFE②（角平分线的定义），所以∠CFE＝∠CEF（等量代换③），因为∠A＝∠CFE（已知），所以∠A＝∠CEF④（等量代换），所以EF∥AB（同位角相等，两直线平行⑤）故答案为：两直线平行，内错角相等，∠CFE．等量代换，∠CEF，同位角相等，两直线平行．【典例2】如图，已知∠ABC＝180°﹣∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于E．（1）求证：AD∥BC；（2）若∠ADB＝36°，求∠EFC的度数．【分析】（1）求出∠ABC+∠A＝180°，根据平行线的判定推出即可；（2）根据平行线的性质求出∠DBC，根据垂直推出BD∥EF，根据平行线的性质即可求出∠EFC．【解答】（1）证明：∵∠ABC＝180°﹣∠A，∴∠ABC+∠A＝180°，∴AD∥BC；（2）∵AD∥BC，∠ADB＝36°，∴∠DBC＝∠ADB＝36°，∵BD⊥CD，EF⊥CD，∴BD∥EF，∴∠DBC＝∠EFC＝36°【变式1】如图，∠B＝∠BGD，∠BGC＝∠F．试说明∠B+∠F＝180°．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论根据．解：∵∠B＝∠BGD（已知），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．∵∠BGC＝∠F（已知），∴CD∥EF（同位角相等，两直线平行）．∴AB∥EF（平行于同一直线的两直线平行）．∴∠B+∠F＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．【分析】由平行线的判定条件可得AB∥CD，CD∥EF，再利用平行线的性质即可得到AB∥EF，从而可证得∠B+∠F＝180°．【解答】解：∵∠B＝∠BGD（已知），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．∵∠BGC＝∠F（已知），∴CD∥EF（同位角相等，两直线平行）．∴AB∥EF（平行于同一直线的两直线平行）．∴∠B+∠F＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．故答案为：AB；内错角相等，两直线平行；EF；同位角相等，两直线平行；AB；EF；两直线平行，同旁内角互补．【变式2】请把以下证明过程补充完整，并在下面的括号内填上推理理由：已知：如图，∠1＝∠2，∠A＝∠D．求证：∠B＝∠C证明：∵∠1＝∠2，（已知）又：∵∠1＝∠3，对顶角相等∴∠2＝∠3，（等量代换）∴AE∥FD同位角相等，两直线平行∴∠A＝∠BFD两直线平行，同位角相等∵∠A＝∠D（已知）∴∠D＝∠BFD（等量代换）∴AB∥CD内错角相等，两直线平行∴∠B＝∠C两直线平行，内错角相等．【分析】先根据题意得出∠2＝∠3，故可得出AE∥FD，故∠A＝∠BFD，再由∠A＝∠D可得出∠D＝∠BFD，故可得出AB∥CD，进而可得出结论．【解答】证明：∵∠1＝∠2（已知），又∵∠1＝∠3对顶角相等，∴∠2＝∠3（等量代换），∴AE∥FD（同位角相等，两直线平行），∴∠A＝∠BFD（两直线平行，同位角相等）．∵∠A＝∠D（已知），∴∠D＝∠BFD（等量代换），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．∴∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等）．故答案为：对顶角相等；∠3；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；∠BFD；AB，内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．【变式3】如图，已知AD∥FE，∠1＝∠2．（1）试说明DG∥AC；（2）若∠BAC＝70°，求∠AGD的度数．【分析】（1）只要证明∠2＝∠DAC即可．（2）利用平行线的性质解决问题即可．【解答】解：（1）∵AD∥EF，∴∠1＝∠DAC，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠DAC，∴DG∥AC．（2）∵DG∥AC，∴∠AGD+∠BAC＝180°，∵∠BAC＝70°，∴∠AGD＝110°【变式4】已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DF∥CA，∠FDE＝∠A；（1）求证：DE∥BA．（2）若∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，求∠B的度数．【分析】（1）根据平行线的性质与判定方法证明即可；（2）设∠EDC＝x°，由∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC可得∠BFD＝∠BDF＝2x°，根据平行线的性质可得∠DFB＝∠FDE＝2x°，再根据平角的定义列方程可得x的值，进而得出∠B的度数．【解答】解：（1）证明：∵DF∥CA，∴∠DFB＝∠A，又∵∠FDE＝∠A，∴∠DFB＝∠FDE，∴DE∥AB；（2）设∠EDC＝x°，∵∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，∴∠BFD＝∠BDF＝2x°，由（1）可知DE∥BA，∴∠DFB＝∠FDE＝2x°，∴∠BDF+∠EDF+∠EDC＝2x°+2x°+x°＝180°，∴x＝36，又∵DE∥AB，∴∠B＝∠EDC＝36°．1．如图所示，直线a∥b，直线l与a，b相交，若∠1＝110°，∠2的度数为（）A．110° B．55° C．70° D．80°【分析】由推出平行线的性质推出∠1+∠3＝180°，又∠1＝110°，求出∠3＝70°，由对顶角的性质得到∠2＝∠3＝70°．【解答】解：∵a∥b，∴∠1+∠3＝180°，∵∠1＝110°，∴∠3＝70°，∴∠2＝∠3＝70°．故选：C．2．如图，直线l1∥l2，AB＝AC，∠BAC＝36°，则∠1+∠2的度数是（）A．66° B．72° C．78° D．82°【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ABC的度数，再由平行线的性质即可得出结论．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴∠ABC＝＝72°，∵直线l1∥l2，∴∠1+∠ABC+∠2+∠BAC＝180°，即∠1+72°+∠2+36°＝180°，∴∠1+∠2＝72°．故选：B．3．如图，直线l1∥l2，Rt△ABC中，∠B＝60°，直角顶点A在直线l1上，顶点C在直线l2上，已知∠1＝25°，则∠2的度数为（）A．35° B．45° C．55° D．65°【分析】由直角三角形的性质求出∠ACB＝30°，得到∠BCD＝∠ACB+∠1＝55°．由平行线的性质推出∠2＝∠BCD＝55°．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠B＝60°，∴∠ACB＝90°﹣∠B＝30°，∵∠1＝25°，∴∠BCD＝∠ACB+∠1＝55°，∵l1∥l2，∴∠2＝∠BCD＝55°．故选：C．4．如图两直线m、n与△ABC的边相交，且m、n分别与AB、BC平行．根据图中所示角度，可知∠B的度数为（）A．52° B．58° C．70° D．72°【分析】由两直线平行，同旁内角互补可得出∠A和∠C的度数，再根据三角形内角和可得出∠B的度数．【解答】解：因为m、n分别与AB、BC平行，所以∠C+122°＝180°，∠A+110°＝180°，所以∠C＝58°，∠A＝70°，所以∠B＝180°﹣∠C＝∠A＝52°．故选：A．5．如图，烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行，光线EF从液体中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，已知∠HFB＝20°，∠FED＝60°，则∠GFH的度数为（）A．20° B．40° C．60° D．80°【分析】先利用平行线的性质可得∠FED＝∠GFB＝60°，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：∵AB∥CD，∠FED＝60°，∴∠FED＝∠GFB＝60°，∵∠HFB＝20°，∴∠GFH＝∠GFB﹣∠HFB＝40°，故选：B．6．如图，直线AB∥CD，GE⊥EF于点E．若∠EFD＝32°，则∠BGE的度数是（）A．62° B．58° C．52° D．48°【分析】过点E作AB的平行线HI，利用平行线的性质即可求解．【解答】解：过点E作直线HI∥AB．∵AB∥CD，AB∥HI，∠EFD＝32°，∴CD∥HI，∴∠HEF＝∠EFD＝32°，∵GE⊥EF于点E，∴∠GEF＝90°，∴∠GEH＝∠GEF﹣∠HEF＝90°﹣32°＝58°，∵AB∥HI，∴∠BGE＝∠GEH＝58°．故选：B．7．如图，直线a∥b，直线AB⊥AC，若∠1＝50°，则∠2＝（）A．30° B．40° C．45° D．50°【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠1，根据垂直的定义和余角的定义列式计算得到∠2．【解答】解：∵直线a∥b，∠1＝50°，∴∠1＝∠3＝50°，∵直线AB⊥AC，∴∠2+∠3＝90°．∴∠2＝40°．故选：B．8．如图，已知AB∥CD，BE，DE分别平分∠ABF和∠CDF，且交于点E，则（）A．∠E＝∠F B．∠E+∠F＝180° C．2∠E+∠F＝360° D．2∠E﹣∠F＝180°【分析】过点E作EM∥AB，利用平行线的性质可证得∠BED＝（∠ABF+∠CDF），可以得到∠BED与∠BFD的关系．【解答】解：过点E作EM∥AB，如图：∵AB∥CD，EM∥AB∴CD∥EM，∴∠ABE＝∠BEM，∠CDE＝∠DEM，∵∠ABF的平分线与∠CDF的平分线相交于点E，∴∠ABE＝∠ABF，∠CDE＝∠CDF，∴∠BED＝∠BEM+∠DEM＝（∠ABF+∠CDF），∵∠ABF+∠BFD+∠CDF＝360°，∴∠ABF+∠CDF＝360°﹣∠BFD，∴∠BED＝（360°﹣∠BFD），整理得：2∠BED+∠BFD＝360°．故选：C．9．图1是长方形纸条，∠DEF＝α，将纸条沿EF折叠成折叠成图2，则图中的∠GFC的度数是（）A．2α B．90°+2α C．180°﹣2α D．180°﹣3α【分析】由折叠得∠GEF＝α，由长方形知FC∥GD，AE∥BG，从而得到∠FGD，再由平行线的性质得到∠GFC的度数．【解答】解：由折叠和∠DEF＝α，得∠GEF＝α，由长方形得，C∥GD，AE∥BG，∴∠GFC+∠FGD＝180°，∠EFB＝∠DEF＝α，∴∠FGD＝∠GEF+∠EFB＝2α，∴∠GFC＝180°﹣2α，故选：C．10．平面镜在光学仪器中有广泛的应用．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图①．一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则∠1＝∠2．如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，反射光线CD与AB平行，当∠ABM＝30°时，∠DCN的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．70°【分析】由题意得∠ABM＝∠CBO，∠BCO＝∠DCN，根据平角的定义可求出∠ABC的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BCD的度数，从而求出∠DCN的度数．【解答】解：由题意得∠ABM＝∠CBO，∠BCO＝∠DCN，∵∠ABM＝30°，∴∠CBO＝30°，∴∠ABC＝180°﹣∠ABM﹣∠CBO＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝60°，∵∠BCD+∠BCO+∠DCN＝180°，∴∠DCN＝60°，故选：C．11．为增强学生体质，望一观音湖学校将“跳绳”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学跳绳时的一个瞬间．数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝70°，∠ECD＝105°，则∠AEC＝35°．【分析】过E作EF∥AB，则EF∥AB∥CD，利用平行线的性质求得∠FEA＝110°，∠FEC＝75°，进而可求解．【解答】解：过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠EAB+∠FEA＝180°，∠ECD+∠FEC＝180°，∵∠EAB＝70°，∠ECD＝105°，∴∠FEA＝110°，∠FEC＝75°，∴∠AEC＝∠FEA﹣∠FEC＝35°，故答案为：35°．12．如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，BC∥DE，若∠A+∠B＝100°，则∠FEC＝20°．【分析】根据折叠的性质、平行线的性质和三角形内角和，即可得到结论．【解答】解：由题意可得，∠AED＝∠DEF，∵DE∥BC，∴∠AED＝∠C，∠DEF＝∠EFC，∴∠C＝∠EFC，∵∠A+∠B＝100°，∴∠C＝180°﹣100°＝80°，∴∠EFC＝80°，∵∠C+∠EFC+∠FEC＝180°，∴∠FEC＝180°﹣80°﹣80°＝20°，故答案为：20°．13．如图是两把完全相同的长方形直尺，一把直尺压住射线OB，且与射线OA交于点C，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，连接OP，已知∠POB＝40°，则∠ACP的度数是80°．【分析】根据两把完全相同的长方形直尺，可知OP平分∠AOB，又∠POB＝40°，进而可得∠AOB的度数．再由长方形直尺可得CP∥OB，利用平行线的性质可求解．【解答】解：由题意，得OP平分∠AOB，∴∠AOB＝2∠POB＝2×40°＝80°，由长方形直尺可知：CP∥OB，∴∠ACP＝∠AOB＝80°，故答案为：80°．14．如图，∠1＝37°，∠2＝37°，∠D＝54°，那么∠BAE＝54°．【分析】根据平行线的判定与性质求解即可．【解答】解：∵∠1＝37°，∠2＝37°，∴∠1＝∠2，∴AE∥CD，∴∠BAE＝∠D＝54°，故答案为：54．15．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动至图2位置的过程中，使两块三角尺至少有一组边互相平行，则∠CAE其余符合条件的度数为60°或105°或135°．【例如：图3，当∠CAE＝15°时，BC∥DE】．【分析】分四种情况进行讨论，分别依据平行线的性质进行计算即可得到∠CAE的度数，再找到关于A点中心对称的情况即可求解．【解答】解：如图3，当BC∥DE时，∠CAE＝45°﹣30°＝15°；如图，当AE∥BC时，∠CAE＝90°﹣30°＝60°；如图，当DE∥AB（或AD∥BC）时，∠CAE＝45°+60°＝105°；当DE∥AC时，如图①，∠CAE＝45°+90°＝135°．综上所述，旋转后两块三角板至少有一组边平行，则∠CAE（0°＜∠CAE＜180°）其它所有可能符合条件的度数为60°或105°或135°，故答案为：60°或105°或135°．16．一副三角尺按如图所示的方式摆放，∠B＝∠EDF＝90°，点E在AC上，点D在BC的延长线上，EF∥BC，∠A＝30°，∠F＝45°，求出∠CED的度数．【分析】由直角三角形的性质求出∴∠ECB＝60°，∠FED＝45°，由平行线的性质推出∠FEC＝∠ECB＝60°，即可求出∠CED＝∠FEC﹣∠FED＝15°．【解答】解：∵∠B＝90°，∠A＝30°，∴∠ECB＝90°﹣∠A＝60°，∵EF∥BC，∴∠FEC＝∠ECB＝60°，∵∠EDF＝90°，∠F＝45°，∴∠FED＝90°﹣∠F＝45°，∴∠CED＝∠FEC﹣∠FED＝60°﹣45°＝15°．17．如图，AB∥CD，∠A＝40°，∠C＝∠E，求∠C的度数．【分析】根据AB∥CD，则∠A＝∠1＝40°，再根据三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠A＝∠1＝40°，∵∠C+∠E＝∠1，∠C＝∠E，∴2∠C＝40°，∴∠C＝20°．18．如图，点M在CD上，已知∠BAM+∠AMD＝180°，AE平分∠BAM，MF平分∠AMC，请说明AE∥MF的理由．解：因为∠BAM+∠AMD＝180°（已知），∠AMC+∠AMD＝180°（平角的定义），所以∠BAM＝∠AMC（等量代换）．因为AE平分∠BAM，所以∠BAM（角平分线的定义）．因为MF平分∠AMC，所以∠AMC，得∠1＝∠2（等量代换），所以AE∥MF（内错角相等，两直线平行）．【分析】根据角平分线的定义，平行线的判定定理完成填空即可求解．【解答】解：因为∠BAM+∠AMD＝180°（已知），∠AMC+∠AMD＝180°（平角的定义），所以∠BAM＝∠AMC（等量代换）．因为AE平分∠BAM，所以∠BAM（角平分线的定义）．因为MF平分∠AMC，所以∠AMC，得∠1＝∠2（等量代换），所以AE∥MF（内错角相等，两直线平行）故答案为：已知；平角的定义；等量代换；∠BAM；角平分线的定义；∠AMC；∠1＝∠2；等量代换；AE∥MF；内错角相等，两直线平行．19．