江苏省某中学2023-2024高一数学第二学期期末考试模拟试卷（二）

江苏省棠张高级中学20232024学年度第二学期高一数学期末考试

模拟卷（二）

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写

在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.在简单随机抽样中，下列关于其中一个个体被抽中的可能性说法正确的是（）

A.与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性更大一些

B.与第几次抽样有关，最后一次抽到的可能性更大一些

C.与第几次抽样无关，每次抽到的可能性都相等

D.与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性更小一些

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用简单随机抽样的意义逐项判断即得.

【详解】在简单随机抽样中，每个个体每次被抽中的可能性都相等，与第几次抽样无关，A,B,D错误，

C正确.

故选：C

2.设（a+2i）i=6—3i（a/eR）,其中i为虚数单位，则°+方=（）

A.-5B.-1C.1D.5

【答案】A

【分析】根据给定条件，结合复数乘法运算及复数相等求解即得.

【解析】由（a+2i）i=0-3i,得-2+oi=b—3i,而a,6eR,因此a=-3,6=-2,

所以。+6=-5.

故选：A

3.向量苕=（%，3）与向量（夹角为钝角，则实数上的取值范围是（）

A.k<3B.I<3日，——3

C.k>-3D.左>一3且左看3

【答案】B

【分析】根据向量数量积小于o,以及以B不共线可解.

【解析】由题可知无5=左-3<0，即4<3,

又向量不共线，所以-左/3,k#3

所以实数上的取值范围为左<3且左看-3.

故选：B

4.(2024・新课标I卷•4)已知cos(a+0=狐tanatan〃=2,贝i|cos(a-6)=()

772in

A.—3mB.---C.—D.3m

33

【答案】A

【分析】根据两角和的余弦可求cosacos/?,sincsin/?的关系，结合tanatan#的值可求前者，故可求

cos(c—尸)的值.

【解析】因为cos(a+/?)=a,所以cosccos/?—sinasin/7=m,

而tanatan〃=2,所以sinasin尸=2cosacos/?,

故cosacosp-2cosacosJ3=m§pcosacos0--m,

从而sincsin/?=-2根，故cos(a—/?)=—3根，

故选：A.

5.(2024•新课标I卷・5)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为石，则圆锥的

体积为()

A.2岛B.3岛C.6扃D.9扃

【答案】B

【分析】设圆柱的底面半径为小根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径r的方程，求出解后可求圆锥的体

积.

【解析】设圆柱的底面半径为广，则圆锥的母线长为+3,

而它们的侧面积相等，所以2TIFX-\/3=兀2《3+/即2>/3=/3+r,

故厂=3,故圆锥的体积为石=3指兀.

3

故选：B.

6.已知棱长为1的正方体ABC。—A4GA，M，N分别是AB和BC的中点，则MN到平面$6。的距离

为（）

&6口A/6「V3nJ

3322

【答案】C

【分析】延长MN交。C延长线于点。，连接4Q，GQ，由几何关系证明MN到平面AG。的距离即点

。到平面4G。的距离，再由等体积法%.A”=9-8G求出结果即可；

【详解】

延长交。。延长线于点Q,连接4Q，GQ，AC,

因为M,N分别是AB和BC的中点，则VN//AC,

由正方体的性质可得AC//4G，所以MN//AG,

又ACU平面4G。，MNU平面AC。，所以上w//平面AG。，

所以MN到平面的距离即点。到平面4G。的距离，设为介，

则%-4£>G=9-0℃1,

因为正方体的棱长为1,

所以DQ=g,4Q=DG=4G=及一

所以§S.4DG•/z=耳SQQG，4Q，即§xx(6")

3222

故选：C.

0)/(X)=/(X)=2^,|X-X|的最小值为年，

7.已知函数/(%)=2cos?④r+sin20%—l(G>1212则

乙J

0二()

B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】先由二倍角的余弦公式，辅助角公式化简了(%),再由y=sinx与y=1•相交的两个交点的最近距

离为葛一《=］，结合］(2叫+5-(20%2+；］］=2。上一%21mhi=,解出即可.

【解析】/(%)=2cos2cox+sin2a>x-1=cos2a>x+sin2a>x=42sin^2a)x+,

因为“%)=/(々)=孝，

所以sinj2a)xi+—|=sin|lcox2+—|=—,

iTT57r

因为当xe［0,2兀］时，sinx=—对应的x的值分别为一,一，

266

I5JTJr2JT

所以y=sin尤与>=不相交的两个交点的最近距离为一=,

2663

27

又上一马|的最小值为不r，

C兀

所以12G玉+—=—

2Gx2+~Imin3

Imin

2兀2兀1

即269X——=—n①二—

332

故选：A.

8.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c且满足JIsinAusiMC-B),则角A的最

大值为()

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】B

【分析】两边同乘sin(C+B),逆用正弦平方差公式、正弦定理化边，再利用余弦定理、基本不等式即可.

【解析】V\/2sinA=sin(C-B),

/.^2sinAsin(C+B)=sin(C-B)sin(C+,

由正弦平方差公式得V2sin2A=sin2C-sin2B,

由正弦定理得0a2=。2—〃，

当且仅当|1+c2,即人=

:0vAv万

TT

0<A<-,选B.

4

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知z-Z2都是复数，下列正确的是()

A.若4=Z2，则ZKeRB.若z/2eR,则马=z2

C.若㈤=肉|,则z；=z；D.若z；+z；=O,则团=团

【答案】AD

【分析】根据共辗复数的定义及复数的乘法运算即可判断A；举出反例即可判断BC；根据复数的乘法运算

及复数的模的计算公式即可判断D.

【解析】设Z]=a+bi,z2=c+di,(a,b,c,dGR),

对于A,若Z]=Z2，则马=。一修，故4Z2=。2+〃2eR,故A正确；

对于B,当Z]=z?=i时，z(z2=—1GR,z?=—iWZ],故B错误；

对于C,当z=l,Z2=i时，z；=l,z；=T,故C错误；

对于D,若z；+z；=O,则z；T，所以团斗z；卜团,

|zf|=|a2-b2+2例=J(42_/2)2+44/=J(42+,2)2=4+〃2=，

同理同=盟，所以上「=目2,所以㈤玉|，故D正确.

故选：AD.

10.棱长为2的正方体ABC。-A4CA中，点、E,F,G分别是棱44，4百，cq的中点.则下列说法

正确的有（）

A.8—平面4片。

B.AQ与&G所成的角为60°

C.平面9G截正方体ABC。-的截面形状是五边形

D.点尸在平面BB|GC内运动，且CP〃平面跳F,则3P的最小值为血

【答案】AC

【分析】对于A,利用CR〃AB,再证平面A耳。即可；

对于B,首先要利用平行线做出异面所成得角，再进行求解即可；

对于C,通过增补两个正方体，根据面面平行的性质，可以做出截面图；

对于D,首先利用CT//平面BE尸,确定尸点位置再线段CT上，再做出垂线CH,根据相似三角形定理即可

求得.

【解析】对于A,如下图，连接A出，易得AD，AB，A四，人民

又ADCA4=A,\B±平面AB,D，又CDJ/A,B,:.CDlY平面ABtD，故A正确.

°5

/I、/>**^1

/1'、、、/

\，x1

对于B,如下图，取用G、CCpAC的中点N、M、O,连接ON,OM,MN,

则OM//AC】,MN"B\C,又BtCH\D,MN//&D,

则NWO或其补角为4。与A。所成的角.

又正方体棱长为2,易求得MN=ROM=®ON=E

Jr

ON?=MN2+OA/2,则，ZNMO=-,故B错误.

对于c,如下图，增补两个正方体，取用,"d的中点z、y,连接zr,则G为zy的中点,

连接FY交BB］于M,连接EZ交于N，连接NG,MG，则得到截面为五边EFMGN.

对于D,如下图，连接网>、ED,取8G得中点T,连接CT,过8作8HLCT,

：CTIIDE,CT<z平面BEF,.-.CT//平面BEF,

则点尸在线段CT上,BP最小值即为3".

BHCC,〜4,/5

又ACGP~ABS,.•.标=汽=2,又3c=2,二8"=2.故D错误.

11.在AABC中，点。满足丽=觉，当点E在线段AD上（不含A点）移动时，记通=尢砺+〃正,

则（）

A.2=2//B.丸=〃

4

C.丁y+4的最小值为1D.不+〃的最小值为4

【答案】BC

【分析】根据中点和向量共线，可得荏=:根（通+/）,进而可得力,〃的关系，然后根据基本不等式

以及对勾函数可求最小值.

【解析】:丽二觉,二。是817中点,则须=2（通+工）,又点石在线段40上,即42。三点共线,设

AE=mAD（O<m<1），故AE=MAD=；7〃（A8+AC）,彳=〃=："?.故B对A错.

1-+〃=二-+彳22、露二=L当且仅当，？=2时,即2=:，故C对.

4A42V424A2

44.f1117

丁+〃二丁+丸在丸£°n，彳上单调递减,当彳后取最小值（故D错.

故答案为：BC

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.设A,8是一个随机试验中的两个事件且尸⑷=5，P（B）=五,P（M+A2）=五，则P（A8）=.

【答案】|

O

【分析】根据对立事件的概率与互斥事件的概率计算公式求解即可.

1—13—111

【解析】因为析A）=7,P（B）=],故尸（A）=不P（B）=T，

224224

因为初与A否为互斥事件，故尸（M-A历=0,

所以P（Ifi+4）=尸（通）+2（4）=尸⑻-尸（AB）+尸⑷-尸（AB）

=:+1一2尸（&，）=（，故P（AB）=；,®P（AB）=P（B）-P（AB）=H-1=|.

52

13.（2024•新课标H卷•7）已知正三棱台ABC-A5]G的体积为了，AB=6，A用=2,则4/与平

面ABC所成角的正切值为.

【答案】1

【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高/1=生8,做辅助线，结合正三棱台的结构特征求

3

得.=殍，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台ABC-A与G补成正三棱锥

P-ABC,AA与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，根据比例关系可得=18,进而可求

正三棱锥尸-A5C的高，即可得结果.

【解析】解法一：分别取3C,4G的中点20，贝IJAD=3G，AA=百,

可知LBC=3义6*6义¥=9月,52©=gx2x/=7L

设正三棱台ABC-4与G的为h,

则匕BC—ABC=g（9指+V3+心瓦）'=F,解得人='

如图，分别过A，2作底面垂线，垂足为M,N,设AM=X,

则A4j=JAM?+4/=炉+《,DN=AD-AM-MN=26-x，

可得DD[={DM+DN=J（2g—+g，

结合等腰梯形BCG用可得BB；=（等）+DD；,

即必+?=（2石一xY+g+4,解得％=半，

所以AA与平面ABC所成角的正切值为tan?A.AD筹=1；

解法二：将正三棱台ABC-44G补成正三棱锥尸—A5C，

则4A与平面ABC所成角即为K4与平面ABC所成角,

因为g=她2，则匕山」，

PAAB3匕5027

2652

可知匕BC-431G=^P-ABC=9则Vp-ABC=18,

设正三棱锥尸—ABC的高为d，则匕，工x6x6x走=18,解得d=2百，

P-MC322

取底面A2C的中心为。，则PO_Z底面ABC,且A。=2若，

P0

所以B4与平面ABC所成角的正切值tanNPAO=—=1.

A0

14.在AABC中，角A,B,C的对边分别为b,c,若a=2,>（2+c）（sinA-sinC）=Z?（sinB-sinC）,则

边上的高的最大值为.

【答案】6

【分析】根据正弦定理边角互化可得4=会由基本不等式以及三角形的面积公式即可求解.

【解析】由正弦定理可得（〃+。）（〃一。）=6（/?—。）=>〃2一。2=/一6。=>〃2+。2一〃2=历，

所以cosA=c功———=—,vAe（0,7i）,.\A=—,

2bc2v73

+c2=a2+bcN2bc=bcW4,当且仅当b=c=2时取等号，

故Sng='/?csinA=正Z?c«走x4=V§\故S^BC的最大值为石

△A"2224

设3C边上的高为九则，MC=；〃/Z=；X2/Z=/Z,要使力最大，则三角形的面积最大即可，故〃的最大值为

y/i）

故答案为：不

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在直角A/LBC中，AB=6,NA=90°，NB=60°，。为BC边上一点，且丽=3配.

（1）若AD上一点K满足灰=2丽，且次=》9+了无可，求x+2y的值.

⑵若P为AABC内一点，且网=1,求丽-例+定）的最小值.

7

【答案】（1）—

12

(2)2-2A/3

1a

【解析】（1）因为丽=3觉，则须—荏=3（〃—砺），即即=z丽+正，

因为诙=2/，则AK=aAO=a《AB+iAC=不46+7人。，

又因为AK=xAB+yAC,则％=—，y=—,故x+2y=----F2x—=—.

12412412

AC

⑵在AABC中，ABAC=90°^ZABC=60°，AB=5则A5=—―=1,

tan60°

以点A为坐标原点，AC,A5所在直线分别为X、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

则4（0,0）、网0,6）、C（3,0）,设点尸（九》）,则网=4+/=1,可得/+/=1,

设NC4P=6,若点P在上且使得1Aq=1,且尸为的中点，止匕时ZPAC=NACB=V，

7T

因为点尸在AABC内，所以，0＜。＜一,则％=85。，y=sin3,

6

PA=(-x,-y),PB=Qx,6-y),PC=(3-x,-y),

所以，PB+PC=(3—2x,6—2y),

所以，PA-(PB+PC)=-x(3-2x)-y^y/3-2y)=2x2+2y2-3x-y/3y=2-^3x-hy/3y)

二2一(百sin°+3cos6)=2—2gsin[9+,

因为o〈e<—，则一—<—，故当时，丽.（闻+定）取最小值2—26.

6332

16.在AABC中，角A,B,C所对的边分别为。，b,。，已知，=2,c2=BABC-2y/3S其中S

为AABC的面积.

（1）求角A的大小；

（2）设。是边BC的中点，若AB_LA£>,求AO的长.

【答案】（1）A=-TI

6

⑵2^1

13

【分析】（1）由向量的数量积和三角形的面积公式以及正弦定理化简已知等式可得

sinC=sinAcosB—^sinAsinB，再由两角和的正弦展开式结合特殊角的三角函数化简整理即可；

（2）法一：结合已知由正弦定理可得———,代入数据化简后可得

sin/CADsinC

sin3=*sin[6-,再由两角差的正弦展开式和同角三角函数关系求出sinB=坐，即可得到结

果；

法二：由三角形的面积公式结合已知可得°=正5,再在AABC中，据余弦定理得片+,2+屉°=4,

2

解出瓦c,然后在RtaMD中，据勾股定理解出结果即可；

法三：延长到点使得SLAB,由三角形中位线的性质结合勾股定理和三角函数定义关系求出

即可；

法四：延长AO到E，使4）=止，连结石5，EC,由已知结合三角函数的定义和勾股定理解出即

可；

【解析】（1）由/=BABC-2y/3S，可得/=c-a-cosB-2^/3xacsinB,

即c=acosB-y/3asinB，

结合正弦定理可得sinC=sinAcosB-^sinAsinB.

在AABC中，sinC=sin[TT-（A+=sin（A+=sinAcosB+cosAsinB,

所以sinAcosB+cosAsinB=sinAcosB-esinAsiaB，

整理得cosAsinB=-A/3sinAsinB.

因为3£（0,兀），sinB>0,故cosA=-J§sinA，即tanA=-（^,

又AE（0,兀），所以A=。兀.

6

⑵

BC

D

法一：因为。是边BC的中点，a=2,所以5D=CD=1.

在△?1££）中，ABI.AD,则AD=BDsinB=sinB.

在AACD中，

^CAD=^-|=jC=TI---B=--B,CD=1,

66

]AD

CDAD

,即.兀

据正弦定理可得,sin—

sin/CWsinC3

2

所以AD=]|rsin

2

所以sm3=nsin*,即sinB=—cosB-sinB，

222

所以cosB=2，

又sir^B+cos%=1，BG,

j，解得s即当

所以sin23+（2出sin3）

所以人。=史

13

法二：因为。是边3C的中点，故S»m=S.As，

所以Lc・AD=Lb・AD・sin/Z>AC,即4。=工6-AD-sinn5兀

22221

J3

整理得C=。①

2

在AABC中，据余弦定理得,a2=b2+c2-2bccosNBAC，

即/+/+瓜?=4②

联立①②，可得6=/，。=芝.

V13屈

1

在中，据勾股定理得，AD~=BD12-AB2=1-

13

所以人。=史.

13

法三：延长54到点使得8,A3.

H

在RtZ\CHB中，AD±AB，CH1.AB,^AD//CH,

又。是BC的中点，所以A是5〃的中点，

所以A//=AB=c,CH=2AZ),且HB?+女。2="=4.

571

在Rt^CHA中，ZCAH^Ti-ZBAC=11一一兀=一，AC=Z?,AH=c,

66

1、6

所以S=Ain/C4H=—b,且c=6cos/C4”=组6

22

"解得人普

（负舍）,

所以AD=工67/=—X—&=-b.

222413

法四：延长AO到E,使4）=。石，连结石5,EC.

因为D是5c的中点，且AD=。后，

故四边形A5EC是平行四边形，BE=AC=b.

557i

又NBAC=—兀，所以NABE=7i—NR4C=TI——兀=—.

666

兀

在RtZ\ft4E中，ABA.AD,NABE=—,AB=c,BE=AC=b,

6

1J3

所以A£；=BEsin/ABE=-b,且。=BE,cosZABE=—Z?.

22

在Rt^BAD中，AB±ADAB=c,AD=—AE=—b,BD=—a=l

242f

据勾股定理452+402=3/52,可得c2+\“=1,

将C=YE/,代入上式，可得6=Ml(负舍)，

213

所以AD=—b=——.

413

17.每年的3月14日为国际数学日，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节，其中一项活动是“数学知识

竞赛”，竞赛共分为两轮，每位参赛学生均须参加两轮比赛，若其在两轮竞赛中均胜出，则视为优秀，已

43

知在第一轮竞赛中，学生甲、乙胜出的概率分别为彳，在第二轮竞赛中，甲、乙胜出的概率分别为

P,4.甲、乙两人在每轮竞赛中是否胜出互不影响.

(1)若。=£,求甲恰好胜出一轮的概率；

O

(2)若甲、乙各胜出一轮的概率9为甲、乙都获得优秀的概率为看6.

⑴求乙q,的值；

5)求甲、乙两人中至少有一人获得优秀的概率.

【答案】⑴3

(2)(i)p=2,q=_.(ii)—

34300

【分析】(1)利用互斥事件和独立事件的概率公式求解即可.

(2)(i)利用对立事件和独立事件的概率公式表示出P(D)和P(E),即可求解；(ii)利用对立事件和独

立事件的概率公式即可求解.

【解析】(1)设“甲在第一轮竞赛中胜出”为事件A,

“甲在第二轮竞赛中胜出"为事件4，

“乙在第一轮竞赛中胜出”为事件与，

“乙在第二轮竞赛中胜出”为事件B2,

则A，4,耳，与相互独立,

4Q

且尸(4)=二，尸(4)=，P(B,)=-,p⑻=q.

设“甲恰好胜出一轮”为事件C,

则。=44+44，A4，A&互斥.

当P=W时，尸(C)=P(AH+4A)=尸(4可)+尸(44)

=尸(4)尸区)+尸(&尸(4)

431517

二——x—+—x—=——.

585840

所以当P=]5，甲恰好胜出一轮的概率为1六7.

840

(2)由(1)知，(i)记事件。为“甲、乙各胜出一轮”，

事件后为“甲、乙都获得优秀”，

所以Z)=(A4+A4)(男星+用星)，E=.

因为甲、乙两人在每轮竞赛中是否胜出互不影响，

所以p(£>)=p(A4+A4)j(瓦瓦+瓦与)

=[P(A4)+尸伍[尸(片瓦)+尸(瓦⑷]

=[p(A)产区)+尸(4)尸(4)][尸(4)尸(瓦)+尸(瓦)尸(刀)]

=|(I-^)+|PJ|(I-^)+|^=[,

436

P(E)=P(A即”2)=尸(A)尸(男)尸(4)尸(与)=六*4=云,

21

24-8g-18p+6网-9=0p=—p=—

则1，解得，或，(舍去).

pq--33

2q=—q=—

1i4r2

综上，2叱卞3

(ii)设事件G为“甲获得优秀”，事件a为“乙获得优秀”，

于是GuH="两人中至少有一人获得优秀”,

29

且P(G)=P(A4)=丘P(H)=P(B1B2)=-,

所以尸@=1-P(G)=1-&=W，P(H)=1-P(H)=1-911

2020

所以P(G")=1一尸(阚=1一P©P⑻=1一»盖

故甲、乙两人中至少有一人获得优秀的概率为

18.在三棱柱ABC-ABiG中，侧面ACGAJL平面ABC,AC_LCB且CA=C2=C£,E,尸分别为棱

AB,AG的中点.

⑴证明：4E〃平面CBP；

（2）若AC=2,ZACC,=60°,求点A到平面CB尸之间的距离.

【答案】（1）证明见解析；

c、2后

⑵〒.

【分析】（1）设点G为BC的中点，连接EG,证明AE//FG,根据线面平行判定定理证明结论;

（2）利用等体积法求点A到平面CBF之间的距离.

【解析】（1）设点G为3C的中点，连接EG

因为E,尸分别为棱A8,AC的中点，

11

所以EG〃AC,EG=-AC,=

又AG=AC，AB//AC,

所以A///EG,Ap=EG,

所以四边形EGE4,为平行四边形，

所以AE//尸G,

又AEN平面CBF,尸Gu平面CBF,

所以A?〃平面CB7L

(2)因为侧面ACC14_L平面ABC,ACLCB,

平面ACGAn平面ABC=AC,ACu平面ABC,

所以CB,平面ACGA，又bu平面ACC0,

所以CBLCF,

连接AC1；

由已知AG=M,NA4c=ZACQ=60°

所以AAAC为等边三角形，又点尸为AG的中点，

所以A尸，AG，又AC〃AG，

所以A万JLAC,又侧面ACG41平面ABC,

平面ACGan平面ABC=AC,■<=平面4?。必，

所以AR_L平面ABC,

设点A到平面BCF的距离为d,

则;邑比/4=匕一BCFB-ACF3S，

即S^cpd-SMCFBC,

在尸中，明=2,Ab=1，所以4产=石，

在Rtz^AC5中，AF=6，AC=2,所以C尸=J7,

又BC=2,

所以lBB=g2C.b=占，S^ACF=^AF-AC=S/3,

所以V7d=2g,

所以“=酒，

7

所以点A到平面CB歹之间的距离为2叵.

7

19.已知:

①任何一个复数2=。+历都可以表示成r(cos6+isin6)的形式.其中，•是复数z的模，，是以x轴的非负半

轴为始边，向量无所在射线(射线0Z)为终边的角，叫做复数