2024年高中数学新高二暑期衔接-直线的倾斜角与斜率（七大题型）

复习材料

第08讲直线的倾斜角与斜率

【题型归纳目录】

题型一：直线的倾斜角与斜率定义

题型二：斜率与倾斜角的变化关系

题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数

题型四：直线与线段相交关系求斜率范围

题型五：直线平行

题型六：直线垂直

题型七：直线平行、垂直在几何问题的应用

【知识点梳理】

知识点一：直线的倾斜角

平面直角坐标系中，对于一条与X轴相交的直线，如果把X轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合

时所转的最小正角记为a,则。叫做直线的倾斜角.

规定：当直线和x轴平行或重合时，直线倾斜角为0。，所以，倾斜角的范围是(TWa<18(r.

知识点诠释：

1、要清楚定义中含有的三个条件

①直线向上方向；

②x轴正向；

③小于180。的角.

2、从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角.

3、倾斜角&的范围是0°Wa<180°.当a=0。时，直线与x轴平行或与x轴重合.

4、直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应.

5、已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直

线的位置.

知识点二：直线的斜率

1、定义:

倾斜角不是90。的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用左表示，即k=tana.

知识点诠释：

(1)当直线/与x轴平行或重合时，a=0。，Ar=tan0°=0；

(2)直线/与x轴垂直时，a=90。，左不存在.

由此可知，一条直线/的倾斜角a一定存在，但是斜率先不一定存在.

2、直线的倾斜角。与斜率人之间的关系

复习材料

由斜率的定义可知，当a在(0°,90。)范围内时，直线的斜率大于零；当a在(90。,180。)范围内时，直线的

斜率小于零；当&=0。时，直线的斜率为零；当a=90。时，直线的斜率不存在.直线的斜率与直线的倾斜

角(90。除外)为一一对应关系，且在［0。,90。)和(90。,180。)范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越

大则斜率越大，反之亦然.因此若需在［0。,90。)或(90。,180。)范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小

即可，反之亦然.

知识点三：斜率公式

已知点必)、P2(x2,y2),且［8与x轴不垂直，过两点［(再,弘)、的直线的斜率公式

k=y^.

%一再

知识点诠释：

1、对于上面的斜率公式要注意下面五点：

(1)当占=%时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角a=90。，直线与x轴垂直；

(2)左与耳、鸟的顺序无关，即必，力和再，马在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能

交换；

(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；

(4)当弘=%时，斜率左=0,直线的倾斜角a=0°,直线与x轴平行或重合；

(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到.

2、斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题：

(1)由片、鸟点的坐标求上的值；

⑵已知左及X”%，%,％中的三个量可求第四个量；

(3)已知人及耳、鸟的横坐标(或纵坐标)可求H巴|；

(4)证明三点共线.

知识点四：两直线平行的条件

设两条不重合的直线44的斜率分别为若/1/〃2，贝I"与4的倾斜角内与4相等.由%=%，

可得tanax=tana2,BPkx=k2.

因此，若4/4，则kx=k1.

反之，若左=心，则人/4•

知识点诠释：

1、公式4/40勺=心成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为配发2；②乙与4不重合；

2、当两条直线的斜率都不存在且不重合时，4与4的倾斜角都是90。，贝必/4.

知识点五：两直线垂直的条件

复习材料

设两条直线4,4的斜率分别为-若，则勺・&=-1.

知识点诠释：

1、公式4，乙O左•内=T成立的前提条件是两条直线的斜率都存在；

2、当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直.

【典例例题】

题型一：直线的倾斜角与斜率定义

例1.（2023•山东滨州•高二统考期末）直线5-3y+46=0的倾斜角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】A

【解析】因为直线-3y+4百=0的斜率为左=g,因此，该直线的倾斜角为300.

故选：A.

例2.（2023・高二课时练习）对于下列命题：①若。是直线1的倾斜角，则0。＜。＜180。；②若直线倾斜角为

a,则它斜率左=tana；③任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一直线都有斜率，但不一定有倾斜

角.其中正确命题的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】对于①：若。是直线的倾斜角，则0。＜9＜180。；满足直线倾斜角的定义，则①正确；

对于②：直线倾斜角为口且a#90。，它的斜率左=tana；倾斜角为90。时没有斜率，所以②错误；

对于③和④：可知直线都有倾斜角，但不一定有斜率；因为倾斜角为90。时没有斜率，所以③正确；④错误;

其中正确说法的个数为2.

故选：B.

例3.（2023•福建福州•高二福建省连江第一中学校联考期中）已知倾斜角为。的直线/与直线x+Gy-3=0的

夹角为60。，则6的值为（）

A.30°或150°B.60°或0°C.90°或30°D.60°或180°

【答案】C

【解析】x+43y-3=0,BPy=-^y-x+^3,

设直线的倾斜角为夕，夕则tan0=-，，0=150°,

夹角为60。，故6=90。或6=30。.

故选：C.

例4.（2023•江苏南京•高二南京师范大学附属中学江宁分校校考期中）直线/经过/（TO）,8（1,2）两点，则

直线/的倾斜角是（）

复习材料

71712〃34

A.一B.一C.—D.—

6434

【答案】B

2-0

【解析】设直线的倾斜角为由已知可得直线的斜率k=t^na=--=1,

1+1

又ae[0,乃），所以倾斜角是5,

故选：B.

例5.（2023•新疆乌鲁木齐・高二乌鲁木齐市第四中学校考期中）已知直线经过点（1,0）,（4,6）,该直线的倾

斜角为（）.

5兀7C—兀2兀

A.—B.—C.—D.—

6363

【答案】c

【解析】因为直线过点2（4,6）,

所以直线的斜率为左；=等，

设直线的倾斜角为a,贝Utana=也，

3

TT

因为OWa（兀，所以

6

故选：C.

例6.（2023•湖南林B州•高二校考期中）直线n的倾斜角为150。，则它的斜率k=（）

A.—B.--C.V3D.-V3

33

【答案】B

【解析】它的斜率左=tan150。=-tan30。=-

3

故选：B

题型二：斜率与倾斜角的变化关系

例7.（2023•福建宁德•高二统考期中）已知直线过42,3）,8（1,加）两点，且倾斜角为45。，则机=（）

A.0B.3C.2D.5

【答案】C

【解析】因为直线过42,3）,8（1,加）两点，且倾斜角为45。，

所以三1=12!145。=1,解得〃7=2,

2—1

故选：C.

复习材料

例8.（2023•高二课时练习）若如图中的直线6,的斜率为3上2,%，贝1（）

A.kx<k2<k3B.k3<kx<k2C.k2<kx<k3D.k3<k2<kx

【答案】c

【解析】设直线/3/的倾斜角分别为"，，，显然一（0,3,夕”,旦&>夕,

所以&=tany>0,仆=tana<0,k2=tan/H<0,

又尸tanx在）€后,兀）上单调递增,故勺=tana>tan£=左2，

所以左2<瓦<%.

故选：C

例9.（2023•上海黄浦•高二上海市敬业中学校考期中）直线（/+1卜-2①+1=0的倾斜角的取值范围是（）

八兀［「兀兀［「兀3兀］「八TTI「3兀1

A.0,-B.C.D.0,-u--,7i

14」142」144」L4jL4）

【答案】C

TT

【解析】由题意知，若a=0，则倾斜角为6=1,

若"0,贝|]%=餐±1=;+；,

2a22a

①当a>0时，q+-1-22、田-1-=1(当且仅当。=1时，取“=

22aN22a

一C+*%本,士=-1（当且仅当。=-1时，

②当”0时,取“=”),

71371

^e(-co,-l]U[1,+℃),故。e7T7T

Z'52'T

71371

综上，了彳

故选：C.

例10.（2023・安徽六安•高二校考阶段练习）若过点/（3,4）,。（6,3a）的直线的倾斜角为锐角，则实数。的取

值范围为（）

复习材料

14,44、4

A.。<—B.—C.a>—D.一

3333

【答案】c

【解析】因为直线/。的斜率左=号3/7；-4=。-；4，

6-33

又因为直线AQ的倾斜角为锐角,

44

所以。一］>0,解得

故选：C

例11.（2023•山东青岛•高二统考开学考试）已知直线/的斜率为-1,则/的倾斜角为（）

A.30°B.45°C.60°D.135°

【答案】D

【解析】解:因为斜率为-1,设直线倾斜角为&,0Ya<180。，

所以tantz=—1，即a=135°.

故选:D

例12.（2023・湖南湘潭•高二校联考期末）若直线/的斜率为左，且左2=3,则直线/的倾斜角为（）

A.30°或150°B.45°或135°C.60°或120°D.90°或180°

【答案】C

【解析】设直线/的倾斜角为a,00<a<180°

因为左°=3,所以后=±V^，

当左=K时，即tana=#!,则or=60°；

当人=_布）时，即tana=-A/3，则a=120°>

所以直线/的倾斜角为60°或120°.

故选：C.

题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数

例13.（2023•青海西宁•高二统考期末）经过点（18,8）,（4,-4）的直线的斜率为（）

48

AB.一D.

-17c77

【答案】c

【解析】人=次9126

18-4147

故选：C.

例14.（2023•广西南宁•高二统考开学考试）已知工（3,2）,5（-4,1）,则直线48的斜率为（）

AB.C.-7D.7

-47

复习材料

【答案】B

7_i1

【解析】因为/（3,2）,5（-4,1）,所以线4s的斜率为左=言：=：

故选：B.

例15.（2023•浙江杭州•高二浙江省杭州第二中学校考期末）已知直线斜率等于-1,则该直线的倾斜角为（）

A.30°B.45°C.120°D.135°

【答案】D

【解析】设该直线的倾斜角为a，则

由上=-1,得tana=-l,又0Wa<180°,所以<z=135。.

故选：D.

例16.（2023・广东汕尾•高二华中师范大学海丰附属学校校考阶段练习）若过两点/（3/）,N（0,6）的直线

的倾斜角为150。，则》的值为（）

A.GB.0C.-V3D.3

【答案】B

【解析】因为过两点河（3,力，N（0,6）的直线的倾斜角为150。，

所以直线九W斜率为％=H=tanl50。，即左=匕8=一",

333

解得N=0.

故选：B.

例17.（2023•湖北荆州•高二统考阶段练习）若直线经过两点/（用,1）,8（2-3机,2）,且其倾斜角为135。，则m

的值为（）

c1cl3

A.0B.—C.-D.一

224

【答案】D

【解析】经过两点』（加」），8（2-3%2）的直线的斜率为左=:=丁=，

2—3m—m2—4m

13

又直线的倾斜角为135。，.•.「1=-1,解得加=/

2-4m4

故选：D

例18.（2023•江苏连云港•高二统考期末）设。为实数，已知过两点3）,8（5,a）的直线的斜率为1,则a

的值为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】因为过两点工（。,3）,8（5,a）的直线的斜率为1,

复习材料

所以二=1,解得a=4.

故选：C

题型四：直线与线段相交关系求斜率范围

例19.（2023•广东梅州•高二校联考阶段练习）已知点/（-3,4）,8（5,10）,直线/过点。（0,0）且与线段48相交,

则直线/的斜率的取值范围是（）

~4~|（4-|

A.~~,2B.Iu[2,+”）

C.[2,+8）D.I-«=）5-y

【答案】B

4

【解析】直线的斜率分别为％=-§,%=2,

结合图形可知：直线/过点。（0,0）且与线段相交时，勺e,口[2,+⑹，

故选：B

例20.（2023・广东深圳•高二统考期末）已知/（2,-3）、5（2,1）,若直线/经过点尸（0,-1）,且与线段。3有交

点，则/的斜率的取值范围为（）

A.（-co,-2]U[2,+co）B.[-2,2]

C.(-oo,-l]u[l,+co)D.[-M]

【答案】D

【解析】过点尸作尸C1/2,垂足为点C,如图所示:

复习材料

当点〃在从点A运动到点C（不包括点C）时，直线/的倾斜角逐渐增大，

此时T=*<k<0；

当点M在从点C运动到点B时，直线/的倾斜角逐渐增大，此时04人（心8=1.

综上所述，直线/的斜率的取值范围是［-1』.

故选：D.

例2L（2023•安徽滁州•高二校考期中）已知点4（7,2）,5（2,—2）,C（0,3）,若点是线段45上的一

点。0）,则直线CM的斜率的取值范围是（）

』

A.-?1B..|,oU(o

C.D.-oo,u[l,+oo)

【答案】D

2-3-2-35

【解析】由斜率公式可得心。==1，得k=

-1-0BC2-02,

当/介于NO之间时,直线斜率的取值范围为［1,+8）,

5

当M介于AD之间时,直线斜率的取值范围为—oo.—

2

复习材料

|31,+0°)，

所以直线CN的斜率的取值范围为

故选：D.

例22.(2023•广东肇庆•高二校考期中)已知两点4-3,2),8(2,1),过点尸(0,-1)的直线与线段N5有交点，则

直线/的倾斜角的取值范围为()

兀3兀兀3兀

A.45TB.2'T

It717C3兀

u

C.D.25T

【答案】A

【解析】由题意：如下图所示:

=1,则左G(-QO,-1]U[1,+00),

TT3冗

若直线/的倾斜角同。㈤，则上i间所以。七中,

故选：A.

例23.(2023•江苏连云港•高二校考期末)经过点P(0,-l)作直线/,且直线/与连接点/(1,-2),8(2,1)的线

段总有公共点，则直线/的倾斜角々的取值范围是()

「兀371r「八兀r「3兀、

A・一B.[0,-]u[，n)

44T

_s兀、「3兀、

C.[0,—)u[—,71)D.[吟

【答案】B

【解析】由题知，直线/的倾斜角为a,则ae[0,7i),

-1+2==1,

•^PA0-10-2

且直线/与连接点(1,-2),8(2,1)的线段总有公共点,

如下图所示,

复习材料

S兀r「3兀、

aG[o,—]^[—,n）.

44

故选：B

例24.（2023・江苏盐城•高二盐城中学校考期末）已知4（2,0）、2（2,3）,直线/过定点尸（1,2）,且与线段”

相交，则直线/的斜率上的取值范围是（）

A.-2<k<\B.--<k<\C.kwlD.上4-2或左21

2

【答案】A

【解析】设直线/与线段N8交于点。（2/）,其中OV〉V3,

所以，左=曰=八24-25.

故选：A.

题型五：直线平行

例25.（2023•上海浦东新•高二校考期末）已知直线11：x+my—2m—2=0,直线12：mx+y—1—m=0,当%〃%

时，m=_________

【答案】1

【解析】因为乙〃小且，2斜率一定存在，所以发=左2，即-'=-优，，"=±1

m

又因为4为两条不同的直线，所以加W-1，所以机=1

故答案为：1

例26.（2023・江苏•高二专题练习）已知直线4的倾斜角为60。，直线4经过点/卜，石），川-2,-26），则直

线4与4的位置关系是.

【答案】平行或重合

【解析】由己知，得勺=tan6（T=JLk,=6—卜26）,

141-（-2）

■■-klt=k,2,但直线4在y轴上的截距不确定，

直线4与12的位置关系是平行或重合.

复习材料

故答案为：平行或重合.

例27.（2023•高二课时练习）直线4的倾斜角为45。，直线4过-2,-1）,8（3,4）,则直线4与的位置关系

为.

【答案】平行或重合

【解析】•・，倾斜角为45。的斜率勺=1

・・•/2过点/（-2,-1）,8（3,4）的斜率左2=三1=1

X=k2与12平行或重合

本题正确结果：平行或重合

例28.（2023•云南临沧•高二校考阶段练习）已知直线-3x+«^+1=0,l2；（a+2）x+y+。=0.当（'时,

CL—.

【答案】-3

「1x3=4（4+2）

【解析】当4〃4时，则需满足，\'，解得a=-3,

[3awa+2

故答案为：—3

2

例29.（2023・高二校考课时练习）已知两条直线＞=——x-1和y=（l-a）x+l互相平行，则正数a的值为

a

【答案】2

2

【解析】根据两条直线的方程可以得出它们的斜率分别是匕=-*,k2=1-a-

a

2

因为两条直线平行，所以有--=1-。，解得。=-1或。=2.

a

又因为。＞0,所以。=2.经检验符合题意

故答案为：2.

例30.（2023・上海静安•高二校考期中）已知直线4：x+ay=l,4：ax+y=l,若叫,则实数。=.

【答案】-1

【解析】因为直线4：x+ay=1,4：ax+y=l,且〃/配

所以/=lxl,解得a=l或a=-l,

当。=1直线4：x+y=l,/2：x+V=l,两直线重合，故舍去.

故答案为：-1

题型六：直线垂直

例31.（2023・高二课时练习）直线4过点4（机」）和点5（-1,7”），直线过点6（〃7+〃,〃+1）和点。（〃+1,〃-加）,

则直线4与4的位置关系是.

复习材料

【答案】垂直

【解析】①当加=1时，直线4过点/(I/)和点8(7,1),

直线4过点c(i+*”+i)和点。+

此时直线4的斜率左=0,直线4的斜率不存在，因此4^/2;

②当加=_1时，直线4过点和点直线4过点C(T+〃,"+l)

和点。5+1,“+1).此时直线4的斜率不存在，直线4的斜率与=0,因此4斗2；

③当机7±1时，直线4的斜率勺=牛」，直线4的斜率左2=子二，

-l-ml-m

此时k、%=T,.LZ2.

故答案为：垂直.

例32.(2023・全国•高二期中)已知/(5,-1),如,1),C(2,3)三点，则aABC为三角形.

【答案】直角

【解析】如图，猜想是直角三角形，

由题可得边所在直线的斜率的B=-；,边3C所在直线的斜率程c=2,

由左族BC=T，得_L8C,即14BC=90。，

所以V/8C是直角三角形.

故答案为：直角.

例33.(2023・高二课时练习)已知两条直线//的斜率是方程3/+如-3=0(加€7?)的两个根，贝也与4的位

置关系是

【答案】垂直

【解析】解析由方程3x2+sx-3=0,矢口A=冽2-4x3x(-3)=机？+36>0恒成立.

故方程有两相异实根，即4与/2的斜率勺,%2均存在.

设两根为再，三，则快=玉工2=-1,所以/J/?

复习材料

故答案为：垂直

例34.（2023•山东滨州•高二统考期末）已知直线⑪-2y-1=0与直线（。-1）x+即-1=0垂直，则实数a的值

为.

【答案】0或3

【解析】因为直线ox-2y-l=0与直线（a-l）x+ay-l=0垂直，

贝皿a-1）-2a=a（a-3）=0,解得a=0或3.

故答案为：0或3.

例35.（2023・广东广州•高二广州市培正中学校考期中）已知经过点/（-2,0）和点2（1,3）的直线h与经过点

尸（O,T）和点。-2a）的直线4互相垂直，则实数。=.

【答案】1

3-0

【解析】因为-2,0）,8（1,3）,所以无曲=丁/残=1,

1一（一，）

因为两条直线相互垂直，所以直线尸。的斜率必然存在，

又尸（0,-1）,0（。,-2a）,则"0,左=3±1,

a

又所以ix3±l=-i,解得。=i.

a

所以a=1

故答案为：1.

例36.（2023•高二课时练习）已知直线4经过点N（3,a）,5（a-2,3）,直线4经过点C（2,3）,D（T,a-2）,若4，

则a的值为.

【答案】0或5

【解析】因为直线4经过点C（2,3）,O（-l,a-2）,且2工-1,所以4的斜率存在，

而4经过点/（3,。）,2（"2,3）,则其斜率可能不存在，

当4的斜率不存在时，"2=3,即。=5,此时人的斜率为0,则4^/2,满足题意；

当4的斜率存在时，a-2丰3,即aw5,此时直线心4的斜率均存在，

由4乜得贴2=T,即一m•一^=-1，解得。=。；

（2-2-3-1-2

综上，a的值为0或5.

故答案为：0或5.

题型七：直线平行、垂直在几何问题的应用

例37.（2023・高二课时练习）在平面直角坐标系xQy中，设三角形/3C的顶点分别为工（0,〃），8伍,0）,

C（c,0）,点尸（0,p）是线段上的一点（异于端点），设。也c,p均为非零实数，直线分别交

复习材料

【解析】由点8(仇0)和点尸(O,p),知直线BP的斜率为-r,

由点/(O,a)和点C(c,0),知直线AC的斜率为-巴,

C

因为跖，4C,所以-1即pa=-be；

由点C(c,0)和点尸(0,p),知直线CP的斜率为-£,

C

由点4(0,4)和点8(女0),知直线AB的斜率为,

则直线CF与AB的斜率之积为1-41-M=詈==T，

VcbJbebe

所以CV14瓦

例38.(2023•高二课时练习汨知”(1,3),3(5,1),C(3,7),A,B,C,D四点构成的四边形是平行四边形，求

点D的坐标.

【解析】由题，，(解),8(5,1),C(3,7),

所以必C=2,kAB=-1,kBC=T,

设。的坐标为(x,y),分以下三种情况：

①当8c为对角线时，有kCD=kAB,kBD=kAC,

所以，砧=七|=2'3三

2

得x=7,产5,即。(7,5)

②当/C为对角线时，有kCD=kAB,kAD=kBC,

V一3歹一7]_

所以，k=—3,k=

ADx-\CDx-32

得X=-1,y=9,即。(-1,9)

③当N2为对角线时，有kBD=kAC,kAD=kBC

所以号》=匕==2，kAD=--1=-3,

x-5X-L

复习材料

得x=3,y=~3,即。(3,-3)

所以。的坐标为(7,5)或(-1,9)或(3,-3).

例39.(2023•全国•高二专题练习)在平面直角坐标系中，四边形。夕跳的顶点按逆时针顺序依次是。(。⑼,

尸(1J),Q(l-2f,2+f),其中fe(0,+8),试判断四边形OPQR的形状，并给出证明.

【解析】四边形。尸是矩形.证明如下：

。尸边所在直线的斜率自户=t,

QR边所在直线的斜率k==t,

QR1一：；；自)

OR边所在直线的斜率自欠=，

尸。边所在直线的斜率kPQ=言及=-p

所以k°p=%R,k0R=kPQ,所以OP//QR,OR//PQ,

所以四边形OPQR是平行四边形.

又期儿&='x=T,

所以。OR,所以四边形。尸。灭是矩形.

乂_匚五，PL,，

令koQ.kpR=-\,即"j~~—=-1,无解，

1-2/1+2/

所以0。与依不垂直，故四边形OPQR是矩形.

例40.(2023•全国•高二专题练习)已知4(1,2),5(5,0),C(3,4).

(1)若A,B,C,。可以构成平行四边形，求点。的坐标；

(2)在(1)的条件下，判断A,B,C,。构成的平行四边形是否为菱形.

【解析】(1)由题意得心B=0-2'=-：1，

5—12.

4-24-0/、

kAc=VT=1,后BC=^~^=_2，设D(a,6).

3—1J—J

若四边形48CQ是平行四边形，则3=心，kAD=kBC,

6-4_1

即:一:2,解得即。(T6).

b—2\b=6

----二—2、

、Q—1

若四边形/&JC是平行四边形，

=

则kcD=kAB，^BDk』C，

复习材料

b—4_1

zy-O_7{a=l/、

即";，解得L、，即。亿2).

b-0[\b=2

—5

若四边形/COD是平行四边形，

则kcD=k/B,kBD=kAC,

._0一

即::，解得八°,BPO3,-2.

o-l0[b=-2

------二—z、

.a-1

综上，点。的坐标为(・1,6)或(7,2)或(3,-2).

(2)若。的坐标为(-1,6),

因为心c=l，心°=便三二一1，

所以的c.《》=T，所以

所以平行四边形/8C。为菱形.

若。的坐标为(7,2),

2-2

因为kBC=—2,kAD——一-=0,

7—1

所以怎c•七。=0XT，所以平行四边形ABDC不是菱形.

若。的坐标为(3,-2),因为直线C。的斜率不存在，所以平行四边形/C3D不是菱形.

因此，平行四边形ABCD为菱形，平行四边形ABDC,ACBD不是菱形

例41.(2023・全国•高二专题练习)已知四边形ABCD的顶点8(6,1),C(3,3),。(2,5),是否存在点A,使

四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由.

r_i___-18

y—53—2x

【解析】设点/(x,y).若"〃")，则卜一?2-3，解得."T

y-5_i29'

—y—__

lx-225

18

•••上点Z,冒2力9)

fy，-5—3_-_1___.2fJQ—86__

若AD//BC,则a；13,解得；：，...点

y-1325<1313)

'—y—

lx-62I13

【过关测试】

一、单选题

1.(2023•江西萍乡•高二统考期末)若直线4:"+3y+2=0与直线人：.L(a+l)y+Q=0垂直，贝快数Q=()

复习材料

33

A.0B.1C.—D.—

42

【答案】D

【解析】直线4：ax+3y+2=0与直线/2：x-(°+l).v+a=0垂直，

3

贝|a_3(a+l)=0,解得0=__.

2

故选：D.

2.(2023・高二课时练习)已知直线1的倾斜角为135。，直线4经过点43,2),5(«,-1),且《与1垂直，直线

2

4：p=一三》+1与直线4平行，贝Ua+6等于()

b

A.-4B.-2C.0D.2

【答案】B

【解析】由题意知：^z=tanl350=-l,而<与/垂直，即勺=1,

22

又直线4"=-1与直线4平行，则-：=1，故6=-2,

bb

又4经过点N(3,2),7?(a,-l),则勺=二1。=1,解得a=0,

a-3

所以。+b=—2.

故选：B.

3.(2023•广东汕头•高二金山中学校考期中)已知两条直线4：办+("2)>-1=0,4：3%+即+2=0,则/口4

是°=-1的()

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】当a=T时，4：N=3x+2,4=-gx-；,kek2=-3x1=-l,所以(U；

当/K时，可得3xa+a(a-2)=a(a+l)=0,解得a=T或a=0,

所以〃2”是=-l”的必要不充分条件.

故选：A.

4.(2023・高二课时练习)以4-2,-1)*(4,2),C(2,6),。(-3,1)为顶点的四边形是()

A.平行四边形，但不是矩形B.矩形C.梯形，但不是直角梯形D.直角梯

形

【答案】D

【解析】

复习材料

在坐标系中画出点，大致如上图，其中左"二口；：-凝

/BCD2,c=M=k,AD//BC,

—5+22—4BC

卜,钙=4+2=]也B%C=_1,4B_LBC,

所以四边形是直角梯形;

故选：D.

。为VZ5C的边ZC上

一动点，则直线助斜率左的变化范围是（）

A.B.(-oo,0]o

C.D.(-oo,0]u[V3,+8)

【答案】D

【解析】如图所示,

心6=匕1=0,后回1二1=百，

AB1+1BC2-1

因为。为V48C的边/C上一动点，

所以直线2。斜率上的变化范围是（-8,0］。［鱼+可.

复习材料

故选：D.

6.（2023•安徽六安•高二校考阶段练习）已知4（2,0）,5（4,4）,若。（九在线段48上,则4加一3”的最小

值为（）

A.-8B.8C.-4D.4

【答案】D

【解析】因为点力）在线段上，

所以幻8=七2，且％e[2,4],

即把=注，所以〃=2机一4,

4-2m—2

设z=4加一3〃=4Hz—3（2加一4）二一2加+12,

所以当机=4时，=-2x4+12=4.

故选：D.

7.（2023・安徽六安•高二校考阶段练习）若过点/（3,4）,。（6,3a）的直线的倾斜角为锐角，则实数。的取值范

围为（）

4444

A.。<—B.a4—C.a>—D.Q2一

3333

【答案】C

【解析】因为直线/。的斜率左=邛3a一-4？=。-4；,

6-33

又因为直线AQ的倾斜角为锐角，

44

所以。一I〉。，解得。＞§.

故选：C

8.（2023•福建福州•高二福建省连江第一中学校联考期中）已知倾斜角为。的直线/与直线%+岛-3=0的夹

角为60。，则0的值为（）

A.30°或150°B.60°或0°C.90。或30°D.60。或180。

【答案】C

【解析】x+VSy—3=0,即歹=+,

设直线的倾斜角为夕，好[0,71）,则tan°=-，，0=150。，

夹角为60。,故