山东省临沂市沂南县某中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（含答案）

九年级数学开学测试试题

一、选择题（每题3分，共10题，共30分）

1.下列方程中，是关于X的一元二次方程的是（）

A.ax2+bx+c=0（a,b,c为常数）B.x2-x-2—0

C.-4-+--2=0D.x2+2x=x2-1

XX

2.下列说法不能判定四边形是矩形的是

A.有一个角为90。的平行四边形B.四个角都相等的四边形

C.对角线相等的平行四边形D.对角线互相平分的四边形

3.直线y=3x+l不经过的象限是（

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.已知一次函数图象经过与（1,3）两点，则该函数的图象与/轴交点的坐标为（）

A.或B.[|,o]C.gD.

5.已知正比例函数y=（lF）x.若函数值y随x的增大而减小，则实数人的值可能是（）

A.-1B.0C.1D.72

6.直线y=x+。不经过第二象限，则关于x的方程办2+2x+l=0实数解的个数是（）.

A.0个B.1个C.2个D.1个或2个

7.已知多、工2是一元二次方程/-2x=0的两个实数根，下列结论错误的是（）

A.X?B.xf-2%j=0C.Xj+x2=2D.x1-x2=2

8.正比例函数（左NO）与一次函数y=x+左在同一平面直角坐标系中的图象可能是

（）

9.已知函数夕=。^-1）5+云+°.当》=2022时，函数值为1,并且6,。为整数,则当工=-2020

时，函数值不可能为（）

试卷第1页，共4页

A.-5B.2C.1D.7

10.如图1,将正方形/BCD置于平面直角坐标系中，其中AD边在x轴上，其余各边均与

坐标轴平行.直线/：＞=x-3沿x轴的负方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中,

该直线被正方形N8CD的边所截得的线段长为m,平移的时间为t（秒），m与t的函数图象

如图2所示，则图2中b的值为（）

二、填空题（每题3分，共6题，共18分）

11.请设计一个一次函数，使其满足以下条件：①图像经过点（0,5）；②》随着x的增大而

减小，这个函数的表达式可以是.

12.如图，菱形/BCD中，ABAD=60°,M是的中点，P是对角线NC上的一个动点,

若PM+PB的最小值是3,则48长为.

13.如图，菱形NBCZ）中，/£垂直平分8C,垂足为E,AB=4.那么菱形/BCD的面积

14.若解方程x+2=3x-2得x=2,则当x时，直线歹=x+2上的点在直线歹=3x-2上

相应点的上方.

试卷第2页，共4页

15.一元二次方程/+2x-8=0的两根为无1户2，贝1|三+2X1%+土=____________

再X?

16.如果关于x的一元二次方程办2+6x+c=0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根

的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有—（填序

号）.

①方程/-》-2=0是“倍根方程”；

②若&-2）（小+〃）=0是，倍根方程”，则+5mn+n2=0；

2

③若〃4满足P4=2,则关于x的方程px+3x+9=0是“倍根方程”；

④若方程加+bx+c=O是"倍根方程”，则必有2b2=9ac.

三、解答题（17题8分，18-21题每题10分，22-23题12分）

17.解方程.

（1）X2-4X-5=0

（2）2X2-2X-1=0

18.已知方程（相一2）xm'+（m—3）x+l=0.

（1）当加为何值时，它是一元二次方程？

（2）当加为何值时，它是一元一次方程？

19.已知一次函数的图像经过点（—2,-2）和点（2,4）

（1）求这个函数的解析式；

（2）求这个函数的图像与y轴的交点坐标.

20.如图所示，矩形/BCD中，4c与BD交于O点、,BE工4C于E,CFLBD于F,求证：

BE=CF.

21.已知关于x的一元二次方程x2-（2k-1）x+k2+k-1=0有实数根.

（1）求k的取值范围；

（2）若此方程的两实数根X1，X2满足X/+X22=11,求k的值.

22.如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12加的住房墙，另外三边用25m

长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1加宽的门，所围矩形猪舍

试卷第3页，共4页

的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80加2?

23.如图，四边形ABCD中，Z.A=ZBCD=9O°,BC=CD,CE1AD,垂足为E,求证:

AE=CE.

(1)求线段03的中点C的坐标.

(2)连接/C,过点。作于£,交AB于点、D.

①直接写出点E的坐标.

②连接CD,求证：ZECO=ZDCB.

试卷第4页，共4页

1.B

【分析】根据一元二次方程的定义逐一进行分析即可求得答案.

【详解】A.若a=0,则该方程不是一元二次方程，故A选项错误，

B.符合一元二次方程的定义，故B选项正确，

C.属于分式方程，不符合一元二次方程的定义，故C选项错误，

D.整理后方程为：2x+l=0,不符合一元二次方程的定义，故D选项错误，

故选B.

【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是

否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.

2.D

【分析】根据矩形的判定方法逐项分析即可.

【详解】A.有一个角为90。的平行四边形，正确；

B.四个角都相等的四边形，正确；

C.对角线相等的平行四边形，正确；

D,对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故不正确；

故选D.

【点睛】本题考查了矩形的判定方法：①有一个角的直角的平行四边形是矩形；②对角线

相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形；④对角线相等且互相平分

的四边形是矩形.

3.D

【分析】利用两点法可画出函数图象，则可求得答案.

【详解】在y=3x+l中，令y=0可得x=-g,令x=0可得y=l,

二直线与x轴交于点(-1,0),与y轴交于点(0,1),

其函数图象如图所示，

答案第1页，共15页

・•・函数图象不过第四象限，

故选D.

【点睛】本题主要考查一次函数的性质，正确画出函数图象是解题的关键.

4.C

【分析】本题考查求一次函数的解析式，一次函数图象与坐标轴的交点问题，待定系数法求

出函数解析式，令x=0,求出函数的图象与y轴交点即可.

【详解】解：设一次函数的解析式为：y=kx+b,把(-2,1)与(1,3)代入得:

k=-

-2k+b=13

k+b=3,解得：

b」

3

27

:.y=­xH—,

33

7

・•.当x=0时,y=—

3

.•.该函数的图象与y轴交点的坐标为

故选C.

5.D

【分析】由函数值歹随x的增大而减小，可得1-左＜0,然后可得左＞1,进而问题可求解.

【详解】解：由正比例函数＞=(A-k)x.若函数值V随龙的增大而减小，则有:

1一左v0,

左>1,

.,•符合题意的只有D选项;

故选D.

【点睛】本题主要考查正比例函数图象与性质，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题的

关键.

6.D

【分析】根据直线歹='+。不经过第二象限，得至再分两种情况判断方程的解的情

【详解】•・•直线＞=%+〃不经过第二象限,

•,.«<0,

,•,方程ax2+2%+1=0,

答案第2页，共15页

当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解，

当a<0时，方程为一元二次方程，

,■•A=Z>2-4ac=4-4。，

•­•4-4a>0,

.•.方程有两个不相等的实数根，

故选：D.

【点睛】此题考查一次函数的性质：利用函数图象经过的象限判断字母的符号，方程的解的

情况，注意易错点是a的取值范围，再分类讨论.

7.D

【分析】根据一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根的定义、一元二次方程根与系数

的关系逐一进行分析即可.

【详解】XI、X2是一元二次方程x2-2x=0的两个实数根，

这里a=l,b=-2,c=0,

b2-4ac=(-2)2-4x1x0=4>0,

所以方程有两个不相等的实数根，即再WZ，故A选项正确，不符合题意；

xi-2xj=0,故B选项正确，不符合题意；

b-1

x1+x==---=2,故C选项正确，不符合题意；

2a1

-x=-=0,故D选项错误，符合题意，

X12a

故选D.

【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，根的意义，根与系数的关系等，熟练掌握

相关知识是解题的关键.

8.C

【分析】根据一次函数自变量尤的系数为1,可判定一次函数的图象经过一、三象限，再对

一次函数歹=无+左和正比例函数>=履分类讨论，若k>0时，刚好符合题意的是C选项.

【详解】A选项，若一次函数的图象正确，贝蛛>0,此时正比例函数图象经过一、三象限,

但图上经过二、四象限，不正确；

B选项，一次函数的图象错误，不正确；

C选项，若一次函数的图象正确，贝雅>0,此时正比例函数图象经过一、三象限，正确；

答案第3页，共15页

D选项，若一次函数的图象正确，则左＜0,此时正比例函数图象经过二、四象限，但图上

经过一、三象限，不正确；

故选C.

【点睛】本题考查正比例函数＞=丘(4*0)和一次函数了=履+久后/0)中左、b对图象的影

响，熟练掌握左、6决定函数图象过的象限是解决本题的关键.

9.B

【分析】本题考查函数值，解题的关键是根据已知条件与所求的函数值建立关系.由当

x=2022时，函数值为1,可得至!]-20215a=20226+c-l,再代入当x=-2020时的函数值中,

即可求解.

【详解】解：..,函数y=a(x-l)5+6x+c,当x=2022时，函数值为1,

..l=a(2022-1)5+20226+c,

整理可得：一20215a=2022b+c-l,

.,.当x=-2020时，

y=a(-2020-l)5-2020b+c=-202l5a-2020b+c=2022b+c-l-2020b+c=2(b+c)-l,

b,c为整数，

，2伍+c)-l一定为奇数，

..•函数值不可能是2,

故选：B.

10.A

【分析】根据题意可分析出当t=2时，1经过点A,从而求出OA的长，1经过点C时，

t=12,从而可求出a,由a的值可求出AD的长，再根据等腰直角三角形的性质可求出BD

的长，即b的值.

【详解】解：连接BD,如图所示：

答案第4页，共15页

直线y=x-3中，令y=0,得x=3；令x=0,得y=-3,

即直线y=x-3与坐标轴围成的AOEF为等腰直角三角形，

・••直线/与直线8。平行，即直线/沿x轴的负方向平移时，同时经过8,。两点，

由图2可得，/=2时，直线/经过点力,

.♦.AO=3-2x1=1,

••.A（1,0）,

由图2可得，/=12时，直线/经过点C,

［当t=2+2=7时,直线/经过B,D两点，

•••AD=（7-2）xl=5,

在等腰RdABD中，BD=5V2，

即当a=7时，b—55/2.

故选A.

【点睛】一次函数与勾股定理在实际生活中的应用是本题的考点，根据题意求出AD的长是

解题的关键.

11.y=-x+5

【分析】本题考查一次函数的性质，掌握一次函数的相关性质是解题的关键.一次函数

y=kx+b（k^Q）,若V随着x的增大而减小，贝|左＜0；若图像经过（0,5）,将其代入求得6

的值.

【详解】解：设该一次函数的解析式为了=依+6（&/0）,

y随着》的增大而减小，

）＜0,则左可取-1,

/.y=-x+bf

・•・图像经过（0,5）,

5=0+6,

:•b=5,

，这个一次函数的解析式可以是＞=r+5.

故答案为：V=r+5（答案不唯一）.

12.26

答案第5页，共15页

【分析】先根据轴对称性质和两点间线段最短，确定MD是PM+PB的最小值的情况，再利

用特殊角60。的三角函数值求解.

【详解】连接PD,BD,

•••四边形ABCD是菱形,

•••AC垂直平分BD,

.-.PB=PD,

••.PM+PB=PM+PD,

连接MD,交AC的点就是P点，根据两点间直线最短，

・•・这个P点就是要求的P点，

又•••NBAD=60。，AB=AD,

.■.△ABD是等边三角形，

•••M为AB的中点，

•••MD1AB,

•■•MD=3,

•••AD=MD-sin60°=3-—=2V3，

2

,AB=2V3•

故答案为2囱.

【点睛】本题考查的是平行四边形的性质及特殊角的三角函数值，属中等难度.

13.

【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，菱形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌

握并运用相关知识.根据线段垂直平分线的性质和菱形的性质得到NC、CE的长，再根据

勾股定理求得/£的值，最后根据S菱物Rs=2S..C解题即可.

【详解】解：•••/£垂直平分BC,

AB=AC,BE=CE=—BC,

2

答案第6页，共15页

•••四边形为菱形,

AB=AC=BC=4,BE=CE=2

AE=^AC2-CE2=25/3，

S菱形ABCD=25^=2X1^.^=273X4=873.

故答案为：8省.

14.<2

【分析】若解方程x+2=3x-2得x=2,即当x=2时，直线y=x+2与直线y=3x-2相交,

作出函数的大致图象，就可以得到结论.

【详解】由于方程x+2=3x-2的解为：x=2；

因止匕直线y=x+2与直线y=3x-2的交点横坐标为x=2；

由图可知：当x<2时，直线y=x+2上的点在直线y=3x-2上相应点的上方.

【点睛】本题考查了一次函数和二元一次方程组，正确作出两个函数的大致图象，是解决本

题的关键，可以结合一次函数与方程的关系解决问题.

【分析】根据根与系数的关系表示出西+尤2和毛即可;

【详解】x2+2x-8=0,

**•67—1,b=2,c——8

.,.x+x=——b=e-2,x^x=。—=-c8,

1aa

2.2

A—+2x^2+—=—------+2xJx2,

再x2XxX2

答案第7页，共15页

+2XJ%2，

(-2)--2x(-8)17

=+2x(-8)=-y

故答案为---.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，准确利用知识点化简是解题的关

键.

16.②③④

【分析】①求出方程的根，再判断是否为“倍根方程”；

②根据“倍根方程”和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m,n之间的关系；

③当。，4满足网=2时，有0r+3元+q=(px+D(x+q)=。，求出两个根，再根据pq=2代

入可得两个根之间的关系，讲而判断是否为“倍根方程”;

④用求根公式求出两个根，当士=2无2或2占=々时，进一步化简，得出关系式，进行判断

即可.

【详解】①解方程/一-2=0,得再=2,x2=-l,

西w2X2,

方程/一X一2=0不是“倍根方程”.故①不正确；

②V(x-2)(mx+n)=0是“倍根方程”,且占=2,

因此马=1或工2=4.

当％=1时，机+〃=0,

当％=4时，4m+n=0,

4m2+5mn+n2=(m+n)(4m+")=0,故②正确；

③"4=2,

/.px2+3x+q=(px+l)(x+^)=0,

1

%----，x?——q,

P

答案第8页，共15页

%2二一q二-2七，

P

因此px2+3x+g=0是“倍根方程”，故③正确；

④方程a?+加+c=0的根为X1=-b+小-4知,打=-b7b—ac,

2a2a

若%=2X2,则-bjb。-4ac=-b7bjacx2,

2a2a

日口—b+yjb2—4cic—b—y/b2—4cic

即-----------------------------------x2=0，

2a2a

6+3”2-4〃c.

,------------二0，

2a

b+3飞b2-4/c=0，

3y1b2-4ac=-b，

22

.\9[b-4ac)=bf

2b2=9ac，

若2&=x2,则-bMb-ac*2=-Ib-ac,

2a2a

-b+3yJb2-Aac„

-------------------=0，

2a

-b+3y1b2-4ac=0，

b=3y1b2-4ac，

b1=9(〃-4〃c),

2b2=9ac.故④正确,

故答案为：②③④.

【点睛】本题考查了解一元二次方程以及一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意

义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键.

17.⑴再=5,x2=-1

1+G1-V3

(2)(=

22

答案第9页，共15页

【分析】(1)根据因式分解法求解即可;

(2)根据公式法求解即可.

【详解】(1)解：X2-4X-5=0,

.-.(x-5)(x+l)=0,

x-5=0或x+l=O,

*,•芭=5,%2~1；

(2)解：2X2-2X-1=0

a=2,b=-2,c=—\,

.•.A=Z>2-4ac=(-2)2-4x2x(-l)=12,

,_-b士而-4ac_-(-2)土配_1±道

2a2x22

1+V31-V3

,,X]=,X)-

1222

【点睛】本题考查了解一元二次方程，常见的解法有：直接开平方法，配方法，公式法，因

式分解法，灵活选择适当的方法进行求解是解题的关键.

18.(1)m=±^2(2)机=2或加=±1或加=0

【分析】(1)根据一元二次方程的定义解答本题；

(2)根据一次方程的定义可解答本题.

【详解】解：(1)・・・方程(冽-2)-+(加-3)%+1=0为一元二次方程，

.Jm2=2

解得：m-±A/2，

所以当加为我或-亚时,方程方程(加-2)、/+(加-3卜+1=0为一元二次方程；

(2);方程(加-2)/+(加-3)x+l=0为一元一次方程，

fm-2=0、、

\c八或加2=1或m=o

[加一3。0

解得，加=2或加=±1,m=0,

故当加为2或±1时，方程方程(加-2)xZ+(m-3)x+l=0为一元一次方程.

【点睛】本题考查一元一次方程的定义、一元二次方程的定义，解题关键是理解一元一次方

答案第10页，共15页

程的定义和一元二次方程的定义，尤其是要注意一元一次方程的各种情况要考虑全面.

3

19.（1）y=-x+l；（2）（0,1）

【分析】设函数关系式为了=丘+人，由图像经过点（一2,-2）和点（2,4）根据待定系

数法即可求得这个函数的解析式，再把x=0代入求得的函数解析式即可得到这个函数的图

像与y轴的交点坐标.

【详解】解：（1）设函数关系式为了6

・••图像经过点（一2,-2）和点（2,4）

（a

\-2k+b=-2k=-

二,解得2

12左+8=4,,

1[b=1

3

・•.这个函数的解析式为=+

3

（2）在了=5》+1中，当x=0时，y=l

二这个函数的图像与y轴的交点坐标为（0,1）.

点睛：待定系数法求函数关系式是初中数学的重点，是中考中比较常见的知识点，一般难度

不大，需熟练掌握.

20.见解析

【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，证明△80E丝△CO尸（AAS）,

即可得出结论.

【详解】证明：•••矩形/2C。，

OA=OB=OC=OD,

•:BEL4C于E,于尸,

ZBEO=ZCFO=90°,

在△BOE和ACO尸中

'NBEO=NCFO

NEOB=NFOC

BO=CO

△BOE"ACOF(AAS),

BE=CF.

21.(1)k<-；(2)k=-1.

8

答案第11页，共15页

【详解】【分析】(1)根据方程有实数根得出△=[-(2k-1)]2-4xlx(k2+k-1)

=-8k+5>0,解之可得；

(2)利用根与系数的关系可用k表示出Xi+X2和X1X2的值，根据条件可得到关

于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍.

【详解】(1)•.・关于X的一元二次方程X2-(2k-1)x+k2+k-1=0有实数根，

.•,A>0,即[-(2k-1)]2-4xlx(k2+k-1)=-8k+5>0,

解得kJ；

o

2

(2)由根与系数的关系可得xi+x2=2k-1,xix2=k+k-1,

.,.XI2+X22=(X1+X2)2-2x1X2=(2k-1)2-2(k2+k-1)=2k2-6k+3,

22

,.,XI+X2=11，

.-.2k2-6k+3=ll,解得k=4,或k=-1,

5

o

•••k=4(舍去)，

•••k=-1.

【点睛】本题考查了根的别式、根与系数的关系，利用完全平方公式将根与系

数的关系的代数式变形是解题中一种经常使用的解题方法.

22.所围矩形猪舍的长为10加、宽为8加时，猪舍面积为80小

【分析】可以设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm,可以得出平行于墙的一边的长为

(25-2X+1)加，由题意得出方程x(25-2x+l)=80求出边长的值.

【详解】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm,可以得出平行于墙的一边的长为

(25-2x+1)m,

由题意得x(25-2x+l)=80,

化简，得X2-13X+40=0,解得：无1=5,%=8,

当x=5时，25-2x+l=25-2x5+l=16>12(舍去)，

当x=8时，25-2x+1=25-2x8+1=10<12,

答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m.

【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次

方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键.

23.证明见解析.

答案第12页，共15页

【分析】过点B作BF1CE于F,根据同角的余角相等求出NBCFND,再利用“角角边”证明

△BCF和4CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=CE,再证明四边形AEFB是矩

形，根据矩形的对边相等可得AE=BF,从而得证.

-CE1AD,

.・"+〃。£=90。，

・"")=90。，

；ZBCF+〃)CE=90。

:/BCF=5,

在△BC厂和中，

'NBCF=ZD

<ZCED=ABFC=90°

BC=CD

•••△BCFmACDE(AAS),

：.BF=CE,

又♦山=90。，CELAD,BFLCE,

・•・四边形必是矩形，

：.A