2025年高考数学一轮知识点复习：等比数列及其前n项和（原卷版）

6.3等比数列及其前n项和（原卷版）

一、单项选择题

1.已知等差数列｛服｝中，ai=l,公差d#0,如果ai,。2,。5成等比数列，

那么d等于（）

A.2或-2B.-2

C.2D.3

2.已知实数人为a,c（a》6Nc>0）的等差中项，若2c,b,2。成等比数列，

则此等比数列的公比为（）

A.2-小B.2+小

C.7-473D.7+4/

3.在等比数列｛外｝中，若a2a5=-弓，02+03+04+05=7,则;+；+；+・

=（）

354

A.1B.-aC.-§D.

4.已知等比数列｛。，｝的前〃项和S“满足的=l-A3"i（AGR）,数列｛况｝是

递增数列，且况=4?+珈，则实数3的取值范围为（）

A.-|,+8）B.[-1,+8）

C.（-1,+8）D.（一1,+s）

5.已知数列｛为｝的前〃项和为S”，且（也—1）的+以=g（〃GN*）.记儿=为服

+1,。为数列｛况｝的前〃项和，则使绘手成立的最小正整数为（）

A.5B.6C.7D.8

6.已知数列｛斯｝是等比数列，下列结论正确的是（）

A.若〃1。2>0,贝lj〃2。3<0

B.若+〃3<0,贝lja\+〃2<0

C.若〃2>m>0,贝lja\+〃3>2。2

D.若aia2<0,贝|J（Q2-Q1）（Q2-Q3）<0

7.公比qW-l的等比数列的前3项、前6项、前9项的和分别为S3,56,

S9,则下列等式成立的是（）

A.S3+5*6=S9

B.516=S3s9

C.S3+S6-5*9=56

D.4+W=S3（S6+S9）

8.已知数列｛。"｝为无穷等比数列，且公比q>l,记&为数列｛0,｝的前〃项

和，则下列结论正确的是（）

A.a2>ai

B.Ql+Q2>0

c.数列｛加｝是递增数列

D.S,存在最小值

二、多项选择题

9.数列｛词的前几项和为％,若ai=l,-+i=2%（〃WN*）,则有（）

A.S〃=3"T

B.｛a｝为等比数列

n1

C.an=2-3-

f1,n=l,

D.a=\、

n2■3”-2,7心2

10.设等比数列｛斯｝的公比为q,其前〃项和为S”，前〃项积为4,并且满

<77—1

足条件。1>1,。7。8>1,一不0.则下列结论正确的是（）

（78-1

A.0<q<1

B.a7a9<1

C.4的最大值为T7

D.S,的最大值为S7

11.已知数列｛斯｝的前〃项和为且ai=p,2sl-8-i=2p（心2,p为非

零常数），则下列结论正确的是（）

A.数列｛斯｝是等比数列

B.当夕=1时，$4二,

C.当P=1日寸，ClmCln=Clm+n

D.㈤+嗣=|tZ5|+|<76|

三、填空题

12.已知递增等比数列等目的前〃项和为江,02=2,S3=7,数列｛log2⑸

+1)｝的前〃项和为4,贝.

[2

13.已知必为等比数列｛Z｝的前〃项和，若。1=W,石=。6,贝IJS6=■

Cln+Cln_1Cln_1*

14.在正项数列｛防｝中，ai=3,=(〃>2,"CN"),右09

Cln+\~CLn_\Cln—Cln_1

=27,贝1Jaio=.

15.已知等比数列｛0｝满足a”>0,且a2a6=4,则logzai+log2a2+log2a3+…

+log2a7=.

四、解答题

16.设ai=2,。2=4,数列｛儿｝满足：bn=an+\-an,bn+i=2bn+2.

(1)求证：数列｛加+2｝是等比数列(要指出首项与公比)；

(2)求数列｛斯｝的通项公式.

17.已知数列｛外｝的前九项和Sn满足条件Sn=3如+2.

⑴求证：数列｛斯｝为等比数列；

⑵求数列他"｝的通项公式及前〃项和Sn.

18.已知数列｛所｝的前〃项和为S”，且ai=2,an+i=Sn.

(1)求数列｛圆｝的通项公式；

⑵设bn=1噌诙,求数列小；的前n项和Tn.

6.3等比数列及其前n项和（解析版）

一、单项选择题

1.已知等差数列｛服｝中，ai=l,公差d#0,如果ai,。2,。5成等比数列，

那么d等于（）

A.2或-2B.-2

C.2D.3

答案C

解析因为<22,成等比数列，所以。2=0。5,即3+J）2=ai（ai+4J）,

因为0=1,所以（1+42=1（1+44，解得d=23=0舍去）.故选C.

2.已知实数6为a,c（a》6Nc>0）的等差中项，若2c,b,2。成等比数列，

则此等比数列的公比为（）

A.2-小B.2+S

C.7-473D.7+44

答案B

解析因为实数6为。，c（a26Nc>0）的等差中项，所以20=a+c①，又

2c,b,2a成等比数列，所以序=2o2c=4ac②，联立①②，得=4ac,

即。2一14丝+°2=0,所以，）-14-^+1=0,解得孩=7±4小.设等比数列的公比

为q,由题意，知£>1,/=端=?=7+4/，所以q=2+小.故选B.

3.在等比数列伍"｝中，若a2a5=-日，42+43+44+45=],则J

।1IA-JL4-J

=（）

354

A.1B.-1C.D.8

答案C

解析因为数列｛。，｝是等比数列，a2a5=-^=。3。4,s+必+。4+公=不所

5

”1上1上1上1一2+a5a3+4—W__5

以。2十。3a4+。5一a2a5。3。4一_3一一3以磔J

-4

4.已知等比数列｛或｝的前〃项和S,满足的=1-A3〃+i(A©R),数列｛为｝是

递增数列，且况=A/+B〃，则实数3的取值范围为()

A.-|,+8)B.[-1,+8)

C.(-1,+8)D.+8)

答案C

解析因为等比数列｛而｝的前〃项和S“满足S〃=1-A3/1(ACR),所以0

=Si=l-9A,t/2=S2-Si=(l-27A)-(l-9A)=-ISA,a3=S3-52=(1-81A)

-(1-27A)=-544,在等比数列｛飙｝中，因为例=a©,所以(-18A)2=(1-94)(-

544).解得A=]或A=0(舍去)，所以劣=$2+3几因为数列｛及｝是递增数列，所

1121

以b〃+1-。九=](〃+1)2+B(n+1)——BTI>Q,所以B>——，又〃£N,所以

5>-1.故选C.

5.已知数列｛所｝的前〃项和为S〃，且他一l)Sn+a”=y/i(neN*).记b”=出小

+i,4为数列｛况｝的前〃项和，则使乙>喈成立的最小正整数为()

A.5B.6C.7D.8

答案C

解析由(6-1设+酸=啦,可知(啦-i)s+i+斯+1=6,所以(啦-i)(s”

+i-Sn)+an+i-an=0,即也斯+i=a".当”=1时,因为(也-l)ai+ai=巾,所以

an+i、叵、叵

ai=lf所以酸W0,所以二1二冷，所以数列｛板｝是以1为首项，冷为公比的等

2

bn1ClnlCln2Cln21、历

比数列，所以丁+=---+----+=—+=V=5.又bl=am=与,所以数列｛为｝

OnanCln+1Cln7乙J乙乙

、历121-⑸/_小〃

是以勺为首项，2为公比的等比数列，所以〃=------J—=也1一&•又

-一1-2

"坐,所以>g)>H,即&*=g),所以〃>6.又“©N*,所以"的最

小值为7.故选C.

6.已知数列｛斯｝是等比数列，下列结论正确的是()

A.若〃1〃2>0,贝［I42。3Vo

B.若+〃3<0,贝lja\+ai<0

C.若a2>a\>0,贝ljai+a3>lai

D.若〃1。2<0,贝|J(Q2-。1)(。2-Q3)V0

答案C

2__

解析数列｛所｝是等比数列,对于A,tzi<72>0,即aq>0,可得q>0,则a2a3

=a\q3>0,故A不正确；对于B,tzi+a3=<21(1+q2)<0,可得〃i<0,由于ai+〃2

=ai(l+q),当q<-l时，ai+〃2>0,故B不正确；对于C,a2>m>0,可得4>1,

所以QI+〃3-2a2=(21(1-2q+所=<71(1-q)2>0,故ai+a^>2ai,C正确；对于D,

由aiQ2<0,可得aiq<0,可得g<0,所以(〃2-ai)(ai-s)=a\｛q-l)(q-q2)=-aiq(q

-l)2>0,故D不正确.故选C.

7.公比qW-l的等比数列的前3项、前6项、前9项的和分别为S3,S6,

S9,则下列等式成立的是()

A.S3+S6=S9

B.56=S3s9

C.S3+S6—S9=£

D.S3+S^=S3(S6+S9)

答案D

解析由等比数列的性质可知，S3,S6-S3,S9-S6成等比数列，所以。6-

S3)2=S3(S9r6),整理，得士+£=S3(S6+S9).故选D.

8,已知数列｛诙｝为无穷等比数列,且公比01,记S〃为数列｛为｝的前〃项

和，则下列结论正确的是（

A.ai>a\

B.a\+〃2>0

7

c.数列｛诙｝是递增数列

D.&存在最小值

答案C

解析因为数列｛m｝为无穷等比数列，且公比q>l,但首项的正负不确定，

所以ci2=aiq与ai的大小关系不能确定,ai+。2=m（l+q）也不一定大于0,故A,

B错误；对于C,因为恁=山（1广1,所以数列｛诙｝是首项为0>0,公比为/的

等比数列，所以片+1-弁=忧等2）"-忧@）—=忧（才）”1（/_1）>0,所以数列｛揄

是递增数列，c正确；对于D,因为S,为数列｛服｝的前”项和，所以S〃+1-S〃=

an+i=a\q〃,因为首项的正负不确定，所以S,的增减性不确定，故Sn不一定存在

最小值，故D错误.故选C.

二、多项选择题

9.数列｛如｝的前。项和为若m=l,呢+i=2S,（〃©N*）,则有（）

A.S”=3"T

B.｛&｝为等比数列

C.呢=231

1,n=l,

2-3n-2,n>2

答案ABD

解析由题意,数列｛m｝的前〃项和满足以+I=2SGGN*）,当〃三2时，an

=2Sn_1,两式相减，可'得+1-a”=2(S”-S”_1)=，可"［导an+1=3t?",即，

3（〃三2）,又由ai=l,当〃=1时，s=2Si=2ai=2,所以a=2,所以数列的通

1,n=l,an+i2-3〃T

项公式为an=cc—c当"三2时，Sn=^~=-5—=3"一，又由〃

2-3"/,„>2；

时，Si=m=l,适合上式，所以数列｛斯｝的前〃项和为S,=3"T；又由方丁=正

=3,所以数列｛S〃｝为公比为3的等比数列.综上可得，选ABD.

10.设等比数列｛劣｝的公比为q,其前〃项和为S,前〃项积为。，并且满

cn-\

足条件ai>l,a7a8>1,—f<0.则下列结论正确的是（）

48—1

A.Q<q<\

B.〃7。9<1

C.〃的最大值为T7

D.8的最大值为S7

答案ABC

_<77-1

解析因为。1>1,a7a8>1,---7<0,所以。7>1,0<<78<1,所以0<q<l,故

（28-1

—2

A正确；a7a9=或<1,故B正确；。7>1,0<。8<1,所以77是T”中的最大项，故C

正确；因为。1>1,0<^<1,所以S,无最大值，故D错误.故选ABC.

11.已知数列｛m｝的前〃项和为的，且ai=p,2Sn-S"_i=2p（n》2,p为非

零常数），则下列结论正确的是（）

A.数列｛斯｝是等比数列

B.当p=l时，54=y

=

C.当p/时，ClmCln—Clm+n

D.\as\+\as\=|。5|+㈤

答案ABC

解析对于A,在数列｛或｝中，因为ai=p,2SLSJ\=2P（G2,2为非零

常数）①，

当7?=2时，2（<22+P）-p=2p,解得«2=2，当"三3时，2S"_i-Sn_2=2P②,

由①-②，得功-叽1=0,gp—=1,又因为,"，所以数列3｝是首

un_1乙N

1nf-1

项为P，公比为]的等比数列，因此A正确；对于B,由A项，得斯=?｛之,

(1、"-11-15

因此当P=1时，如=0,S4=----------二=9，B正确；对于C,由A项，得

用“T、1flf①机①〃由"+〃

Cln=P'y2JJ因此当p=5时，。"二'aman~\2j'y2j=6J=am+n5因

此C正确；对于D,由A项，得z=pg),因此|向|+陵|=|夕|•!!)+|冰8

733dI?_

=Ip卜市，|讨+|。6|=I川•⑸+加1,⑸=加卜市，所以|。3|+嗣＞依|+|。6|,D不正

确.故选ABC.

三、填空题

12.已知递增等比数列｛丽｝的前“项和为S”，一=2,53=7,数列口噌⑸

+1)｝的前〃项和为Tn,则T"=.

.._n(n+1)

答案一2一

2

解析设等比数列｛为｝的公比为q,由奥=2,S3=ai+42+。3=7,W-+2

+2q=7,即2q2—5q+2=0,解得q=2或q=](舍去)，贝ljm=^=]=l,所以

1一2〃n(n+1)

Sn-~~=2"—1.令bn=log2(Sz?+1),贝lj6〃=R)g22〃=n,所以A=-.

1—21

12

13.已知S,为等比数列｛a”｝的前〃项和，若ai=,，而=。6,贝1JS6=.

364

答案—

解析设等比数列｛为｝的公比为q,则由如=燃,得(。应3)2=a应列即aiq=1,

|x(1-36)

因为所以q=3,所以S6=r---j773----=丁，

Un+4〃_1Cln_l.

14.在正项数列｛外｝中，0=3,---------=--------("22,n€N),若ai9

(In+1—Un_1Cln-Cln_\

-27,贝ljmo=.

答案9

Cln+Cln-1Cln_12222

角牛因为=jkA恁_i=+1。九一i—_ij^FfkA=

Cln+1~Cln_\Cln_Cln_1

2

a”_i,a4+i(〃22),故数列｛aa｝为等比数列,所以aio=aiai9=81,又说>0,所以

<710=9.

15.已知等比数列｛斯｝满足an>0,且〃2。6=4,贝ljlog2al+log2®+log2a3+…

+log2a7=.

答案7

_2

解析由已知可得aiai=a2a6=03a5=a：=4,所以。4=2,所以log2al+log2a2

+log2a3+…+log2a7=log2(aia2a3…。7)=log2(27)=7.

四、解答题

16.设ai=2,<22=4,数列｛bQ满足:bn=an+i-an,bn+i=2bn+2.

(1)求证：数列｛况+2｝是等比数列(要指出首项与公比);

(2)求数列｛a〃｝的通项公式.

解(1)证明:因为%+1=2瓦+2,两边同时加2,得%+1+2=2(瓦+2),

又。1=。2-。1=2,61+2=4,

所以数列｛瓦+2｝是首项为4,公比为2的等比数列.

(2)由(1)可知，瓦+2=4-2"T=2〃+I.

所以仇=2”+1-2.

贝1J+1—a”=2"+1—2.

〃=1,2,,,1,n—1,

贝＜72—Gl=2-—2,(13-＜722,-2,,,■,dn-Cln_12"-2,

将上式相加，得an=(2+22+23+…+2")—2(〃-1)=2/1-2—2〃+2=2n+1

-2n,

所以a〃=2"i-2九

17.