直线与圆的综合应用（八大题型）（解析版）-2025年高考数学一轮复习（新教材新高考）

重难点突破03直线与圆的综合应用

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................2

题型一：距离的创新定义.........................................................2

题型二：切比雪夫距离...........................................................6

题型三：曼哈顿距离'折线距离、直角距离问题....................................11

题型四：闵氏距离问题..........................................................15

题型五：圆的包络线问题........................................................17

题型六：阿波罗尼斯圆问题、反演点问题、阿波罗尼斯球问题........................20

题型七：圆中的垂直问题........................................................25

题型八：圆的存在性问题........................................................28

03过关测试....................................................................31

亡法牯自与.柒年

//\\

直线与圆的综合应用方法主要包括几何法和代数法。

题型一：距离的创新定义

【典例1-1】数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，很多代数问题可以转化为

几何问题加以解决，例如，与J(x-a)2+(y-6)2相关的代数问题,可以转化为点A(x,y)与点3(。力)之间

距离的几何问题.结合上述观点，可求得方程4+4x+5+4—4x+5=6的解是()

【答案】D

[解析]因为G+4x+5=7(X+2)2+1=7[%-(-2)]2+(1-0)2,

所以VX2+4X+5可以转化为“(*』)到N(-2,0)的距离，

同理，6-4x+5可以转化为知(x,1)到尸⑵0)的距离,

因为ylx1+4x+5+y/^-4x+5=6＞

所以M(x,l)到两定点N(-2,0)和尸(2,0)的距离之和为6,

所以/(x,1)在以点N(-2,0)和尸(2,0)为焦点的椭圆上，

22

设椭圆的标准方程为：3+2=1(。＞匕＞0),

ab

则，2a=6,

即a=3,

又〃=4,

所以。2=5,

22

所以椭圆的方程为：—+^=1,

95

由y=i,

r21

得上+L=1,

95

解得，x=±返

5

故选：D.

【典例1-21人脸识别中检测样本之间相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和

余弦距离.若二维空间有两个点4(%,%),3(和%>则曼哈顿距离为：d(A,B)=\xl-x2\+\y}-y2\>

余弦相似度为：cos(A,B)=A1.

余弦距离为1—cos(AB).

旧+y；

若A(—1,2)，B，则A,8之间的余弦距离为(

A.i_好B.1+@C.D.

5555

【答案】A

••.cos(AB)=’x(+弓x]=冬

所以A,8之间的余弦距离为i_cos(A5)=l—半.

故选：A.

【变式1-1】费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小120。时，

费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120。.根据

以上性质，已知4-2,0),8(2,0),C(0,4),尸为VABC内一点,记〃尸)=|二+|即+|尸。,则〃尸)的

最小值为()

A.2/B.4+2有

C.4+^/3D.2+^/3

【答案】B

【解析】设。(。，0)为坐标原点,由A(-2,0),8(2,0),C(0,4),

知|AC|=|BC|=2如，且VABC为锐角三角形，

因此，费马点M在线段OC上，设M(O,0,如图，

A

AO\Bx

则△M4B为顶角是120。的等腰三角形，故〃=|08|121130。=竿，

所以/'(尸)2f(M)=+|MC|=46+4—〃=4+26，

则“P)的最小值为4+2若.

故选：B

【变式1-2】以三角形边BC,CA,AB为边向形外作正三角形3C4',CAB',ABC,则A4',BB',

CC'三线共点，该点称为VABC的正等角中心.当VABC的每个内角都小于120。时，正等角中心点P满足

以下性质：

(1)?APB?APC?BPC120?；(2)正等角中心是到该三角形三个顶点距离之和最小的点(也即费

马点).由以上性质得Jd+(y-l)2+Jd+(y+l)2+7(%-2)2+/的最小值为

【答案】2+73

【解析】根据题意，在平面直角坐标系中，令点40,1),B(0,-1),C(2,0),

则J尤2+(y—l)2+"尤」+(y+l)2+"(x—2)2+y2表示坐标系中一点(X,了)到点A、B、C的距离之和，

因为2MBe是等腰三角形，AC=BC,

所以C'点在x轴负半轴上，所以CC'与x轴重合，

令ZL4BC的费马点为P(a,6),则尸在CC上，则6=0,

因为44BC是锐角三角形，由性质(1)得NAPC=120。，

所……所以＞6所以“邛，

...P(冬0)到A、B、C的距离分另|J为PA=P8=W，PC=2-^~,

所以yJx2+(y-V)2++(y+l)2+J(尤-2)2+y2的最小值，

即为费马点P到点A、B、C的距离之和，则尸A+PB+PC=2+8.

故答案为：2+6.

【变式1-3］已知平面上的线段/及点P,任取/上一点。，线段PQ长度的最小值称为点P到线段/的距离,

记作d(P,/).请你写出到两条线段心4距离相等的点的集合。={尸S(P，4)=〃(P，))},其中4=AB,

l2=CD,A,B,C,。是下列两组点中的一组.对于下列两种情形，只需选做一种，满分分别是①3分;

②5分.①A(l,3),8(1,0),C(-l,3),£»(-1,0)；②A(l,3),8(1,0),C(-l,3),D(T—2).你选择第

种情形，到两条线段乙，4距离相等的点的集合。=.

【答案】①，y轴②y轴非负半轴，抛物线/=4武-2励0),直线尸-彳-15>1)

【解析】根据题意从两组点的坐标中选一组，根据所给的四个点的坐标，写出两条直线的方程，从直线方

程中看出这两条直线之间的平行关系，得到要求的结果.

对于①，4L3),B(l,0),C(-l,3),。(-1,0)；

利用两点式写出两条直线的方程A3：x=l,CD：x=-l,

到两条线段4，乙距离相等的点的集合。={尸1或尸，4)="(尸，外},

根据两条直线的方程可知两条直线之间的关系是平行，

•••到两条线段4,k距离相等的点的集合为Q={(x,y)|x=0},

对于②，41,3),8(1,0),C(-l,3),D(-l,-2).

根据第一组作出的结果，观察第二组数据的特点，连接得到线段以后，可以得到到两条线段距离相等的点

是y轴的非负半轴，抛物线抛物线好=4x(-2触0),直线y=-x-l(x>l)

故满足条件的集合。={(x,y)|x=0旦yNO}［.{(x,y)|y2=4x,0<x<1,-21^0)।{(x,y)|y=>1}.

综上所述，①，Q={(x,y)|x=0}；②，Q={(x,j)|%=0JLy>0}

{(*，,)b2=4犬,04尤41,_2强40),1(x,y)|y=-x-l,x>l}.

题型二：切比雪夫距离

【典例2-1］在平面直角坐标系中，定义以4,3)=111故{|尤］-引,回一％|}为两点4(占,%)、3(%2，%)的“切比

雪夫距离”，又设点P及I上任意一点。，称"(P，。)的最小值为点P到直线I的“切比雪夫距离”记作d(尸,/)，给

出下列四个命题：

①对任意三点A,民C,都有d(C,A)+〃(C,3)24(43);

②已知点P(3,l)和直线/：2x-y-l=O,则d(P,/)=|；

③到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形；

其中真命题的是()

A.①②B.②③C.①③D.①②③

【答案】D

【解析】①对任意三点A、B、C,若它们共线，设4不，%)、B(x-%),C(x3,%),如图，结合三角

形的相似可得“(CA),d(C,B),d(A,B)为AN,CM,AK,或CN,BM,BK,贝l|

d(C,A)+d(C,B)>d(A,B)；

若B,C或A,C对调，可得或。,&+或。,8)2或48)；

若A,B,C不共线，且三角形中C为锐角或钝角，如图，

由矩形CMNK或矩形BMNK,d(C,A)+d(C,B)>d(A,B)；

则对任意的三点A,B,C,都有或£&+或£8)*或48),故①正确；

②设点。是直线y=2x-l上一点，且。(x,2x-l),

可得d(P,Q)="x{|x-3],\2-2x\},

由|尤一3|2|2—2彳],解得一IVxV；,即有d(P,Q)4x-3|,

当x5时，取得最小值三4；

由|x-3]<]2-2x|,解得*或x<—l,即有4(尸,。)斗2尤-2|,

4

d(P,Q)的范围是(1,+8),无最值；

4

综上可得，P,。两点的“切比雪夫距离”的最小值为1;故②正确；

③由题，到原点。的“切比雪夫距离''的距离为1的点P(x,y)满足d(。,尸)=max{M|y|}=l,即弓:或

x<\y\,

,y=7,显然点尸的轨迹为正方形，故③正确；

故选：D

【典例2-2】在平面直角坐标系中，定义d(AB)=|芯-%1+1%-%1为两点4芯，％)、8区,巴)的“切比雪夫

距离”，又设点P及直线/上任意一点Q,称“(尸,2)的最小值为点尸到直线/的“切比雪夫距离”，记作或尸,/),

给出下列三个命题：

①对任意三点A、B、C,都有4。,4)+"。,2)2或4.3)；

4

②已知点P(3,l)和直线l:2x-y-l=0,则d(P,l)=1；

③定义0(0,0),动点尸(x,y)满足d(P,O)=l,则动点P的轨迹围成平面图形的面积是4；

其中真命题的个数()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】由新定义表示出三点AB,C两两之间的“切比雪夫距离”，然后根据绝对值的性质判断①，

由新定义计算出或尸，/),判断②，

根据新定义求出P的轨迹方程，确定其轨迹，求得轨迹围成的图形面积判断③.①设

A(xj,),B(X2,y2),C(x3,y3),则d(A3)=居一司+|%-%|>

d(AO+d(8,。=|百一&|+|乂一%|+"-司+昆一力|>

显然归一司+上一勾引(石一七)一(々-/)|=归一司,同理|%-%|+|为一为性|%一.|，

d(C,A)+d(C,B)>d(A,B),①正确；

②设P(x,y)是直线/上任一点，贝Uy=2x-1,

3x-5,x>3

4/(P,Z)=|x-3|+|y-l|=|x-3|+|2x-2|=x+l,l<x<3,易知d(P,0在[l,+oo)上是增函数，在(一8,1)上是减

5-3x,x<1

函数，.”=1时，6?(P,/)min=|l-3|+|2-2|=2,②错；

③由或尸。)=1得国+3=1,易知此曲线关于x轴，y轴，原点都对称，它是以(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)为

顶点的正方形，其转成图形面积为S=gx2x2=2,③错.

故选：B.

【变式2-1](2024・上海•二模)在平面直角坐标系中，定义d(A,B)=max{|占-%1，1%-％1}为两点4(%,%)、

8(3，%)的“切比雪夫距离”，又设点尸及/上任意一点2,称“(P，。)的最小值为点尸到

直线/的“切比雪夫距离”，记作d(R/),给出下列三个命题：

①对任意三点A、B、C,都有1。,出+或。,8)21(4,3)；

4

②已知点尸(3,1)和直线/：2x-y-l=0,则d(P,/)=g；

③定点与(一。，0)、舄(G0),动点尸(无,丫)满足|4(尸,耳)-或尸,玛)|=2〃(2c>2a>0),

则点尸的轨迹与直线>=后(％为常数)有且仅有2个公共点；

其中真命题的个数是

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】设4区,4)，3(/，为)，。(％，无)，由题意可得:

^(C,A)+^(C,B)=max{|xA-xc|,|yA-yc|}+max{|xs-xc|,|js-yc|}

>|JCA-XC|+|XB-XC|>|XA-JCB|,

同理可得：d(理司)+"(刈3月》一词，则:

J(C,A)+J(C,B)>max1|xA-xB|,|yA-yB|}=

命题①成立；

设点。是直线y=2x-l上一点，且。(x,2x-l),可得〃(「,。)=11^{卜-3|,|2-2才},

由,一3闫2-2龙I，解得-IWxvg,即有火尸,。)小-3|,当z=g时取得最小值3

由,一3k|2—2乂，解得x>|或x<—l,即有d(P,Q)=|2x—2|,

内，。)的范围是(3,+8)=无最小值.

4

综上可得，尸,0两点的“切比雪夫距离”的最小值为不

说法②正确.

定点耳(一。,0)、月(G0),动点尸(x,y)满足，(P，G)-d(P,乙)|=2a(2c>2a>0),则:

|max||.x+c|,|y|}-max{|x-c|,|j|||=2f?,

显然上述方程所表示的曲线关于原点对称，故不妨设定0,比0.

(1)当I时，有X+C-尤-C=2a,得：{；

\^x-c>y.....................[0<y<a-c

x+c<y

(2)当：时，有0=2a,此时无解；

x-c<y

x+c>y

⑶当时,有x+c—y=1a,a<x；

x-c<y

则点尸的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线.

结合图象可知，点尸的轨迹与直线、=左(左为常数)有且仅有2个公共点，命题③正确.

综上可得命题①②③均正确，真命题的个数是3.

本题选择D选项.

【变式2-2](2024.高三.上海浦东新•期中)在平面直角坐标系中，定义d(AB)=max{k-电为两

点A(W，X)、8G,%)的“切比雪夫距离”，又设点尸及/上任意一点。，称"(P，。)的最小值为点P到直线/

的“切比雪夫距离”，记作d(P/)，给出四个命题，正确的是—.

①对任意三点A、B、C,都有d(C,A)+d(C,8)24(48)；

②到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形；

4

③已知点尸(3,1)和直线/：2x-y-l=0,则4月,/)=1；

④定点耳(-c，0)、月(G。)，动点P(x,y)满足，(尸，4)-d(P,g)|=2a(2c>2a>0),则点尸的轨迹与直线

y=k(左为常数)有且仅有2个公共点.

【答案】①②③④

【解析】①对任意三点A、B、C,若它们共线，设人(和乂)、35，％)、。(七,%)，

如下图，结合三角形相似可得d(C,A)=4V或CN,d(C,B)=CM或BM,d(A,3)=必或BK,贝U

d(C,A)+d(C,8)=d(A,B)；

若B、C或A、C对调,可得d(C或)+d(C,3)>d(A3)；

若A、B、C不共线，且2L4BC中C为锐角或钝角，由矩形CT3K或矩形

d(C,A)+d(C,B)>d(A,B).

则对任意的三点A、B、C,都有d(C,A)+d(C,B)Nd(4,B),命题①正确；

②到原点的“切比雪夫距离”等于1的点，即为max{MW}=l,若可2阵则3=1；

若|y|<W，则|x|=l,故所求轨迹是正方形，命题②正确；

③设点。是直线y=2x-l上一点，且。(x,2x-l),可得"(尸,。)=11^肛-3|,|2-2司},

由次一3闫2-2不解得一IVxvg,即有"(P,QHX-3|.

54

当尤=：时，〃(P,Q)取得最小值];

由打一3|<|2—2乂，解得尤<一1或x>g,即有d(P,Q)=|2-2x|,

〃(尸,。)的取值范围是(3,+8)[++[=*，+，!，无最值，

4

所以，P、。两点的“切比雪夫距离”的最小值为I,命题③正确；

④定点E（-c，。）、入（G。），动点尸（无,y）,满足|d（P,4）-d（P,g）|=2a（2c>2a>0）,

可得尸不在V上，P在线段4鸟间成立，可得x+c-（c-x）=2a,解得x=〃.

由对称性可得x=-〃也成立，即有两点尸满足条件；

若尸在第一象限内，满足|"（P，G）-d（尸,乙）|=2a,即为x-y+c=2a,为射线,

由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线，

则点P的轨迹与直线>=左（左为常数）有且仅有2个公共点，命题④正确.

故答案为：①②③④.

题型三：曼哈顿距离、折线距离、直角距离问题

【典例3-1］（多选题）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐

标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点4（%,必）,矶马,%）的曼哈顿距离

d（A,B）=\xl-x2\+\yl-y2\,则下列结论正确的是（）

A.若点P（2,4）,Q（-2,1）,则d（P,Q）=7

B.若点M（-1,O）,N（1,O）,则在x轴上存在点尸,使得d（P,M）+d（P,N）=l

C.若点M（2,l）,点尸在直线x-2y+6=0上，则d（P,M）的最小值是3

D.若点M在圆好+产=4上，点N在直线2x-y+8=0上，则d（M,N）的值可能是4

【答案】ACD

【解析】对于A选项，由曼哈顿距离的定义可知d（尸,0）=|2+2卅4-1|=7,则A正确；

—2x,x<—1

对于B选项，设尸（x,0）,则〃仍,"）+"（尸川）=卜+1+•一1|=<2,-探皿1,从而d（P,M）+d（尸,N）..2,

2x,x<\

故B错误；

对于C选项，作轴，交直线尤一2、+6=0于E,过尸作尸垂足为H.

由曼哈顿距离的定义可知刈2,"）=|「川+|四|

当尸不与E重合时，因为直线十一2、+6=0的斜率为:，所以归川＞怛川，所以

\PH\+\MH\＞\EH\+\MH\^\ME\­

当P与E重合时，\PH\=\EH\.

综上，怛叫..但即，则d（P,M）=|PM+|MH|..|£H|+|血M=|腔|=3.故C正确.

对于D选项，若M（0,2）,N（-2,4）,则d（MN）=4,故D正确.

【典例3-2】（2024.高三.江苏无锡・开学考试）“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如

下：设4（%,%）,8（%,%）,则A,3两点间的曼哈顿距离〃（48）=卜-引+|%-%|•已知M（4,6）,点N

在圆。:/+/+6工+4丫=0上运动，若点P满足d（M,P）=2,则归时的最大值为.

【答案】V149+A/13/V13+V149

【解析】由题意得，圆C:（x+3）2+（＞+2）2=13,圆心C（—3,-2）,半径/二&3，

设点P（%o，yo），则|尤0-4|+|%-6|=2,

故点尸的轨迹为如下所示的正方形，其中4（4,8）,8（6,6）,

贝I」|AC|=J（4+3）2+（8+2『=,|BC|=J（6+3『+（6+2）2=,

则|PA^|<|AC|+r=V149+至，即\PN\的最大值为阿+岳.

故答案为：7149+713.

【变式3-1]在平面直角坐标系中，定义d（P,。）引玉-马|+|乂-%|为两点。（马，%）之间的“折

线距离”，则圆（*-4）2+5-3）2=4上一点与直线工+、=0上一点的“折线距离”的最小值是—.

【答案】7-272

【解析】将直线无+y=0平移到与圆相切，求出此时的直线方程为x+y-7+20=0,利用结论二可知，

圆（%-4）2+（了-3）2=4上一点与直线工+〉=0上一点的“折线距离”的最小值是7一2夜.

【变式3-2]（2024•广东广州•二模）在平面直角坐标系xQy中，定义1（45）=.—司+帆一%|为4（%，%），

3（%，%）两点之间的“折线距离''.已知点。。，0），动点P满足d（Q，P）=1，点M是曲线>=3上任意一点，

2x

则点P的轨迹所围成图形的面积为,1（RM）的最小值为

13（-\

【答案】1/0.5万任一1

【解析】设P（x,y）,d（Q,P）=\x-]\+\y\=^,

13

当％之1,>20时，则％—l+y=5，gPx+）7--=0,

13

当121,y<0时，贝ljx—l_y=5，^X_y_-=0,

当x<l,y<0时，贝！Jl-%-,二4，gp%+j--=0

22

当x<l,y>0时，贝ljl_%+y=5，x—y——=0,

故点P的轨迹所围成图形如下图阴影部分四边形ABC。的面积:

1

D

-J->

-1oe2x

B

-1

贝W4=L

2222

如下图，设河(冷必)，显然网>%,%>%,

d(P,M)=|占一无o|+M-%I=%-5+%-%=占+%-(%+%),

求d（尸,M）的最小值，即天+必的最小值，%+%的最大值,

3

又（%+为>曲=火，下面求再+M的最小值，

令丁=%+%=玉+』，y=i一~'=为32=0,即％=2’，

玉玉玉1

11

令y>o,解得：%]>23,令y<o,解得：西<23,

<1A<1>

所以V在-e,23上单调递减，在21+8上单调递增，

\7\7

1_3

所以x=23时，y有最小值，且八in=3，

'23

所—=：子/-1]

题型四：闵氏距离问题

【典例4-1】(2024•全国.模拟预测)闵氏距离(M词swskidistance)是衡量数值点之间距离的一种非常常

见的方法，设点A、B坐标分别为(孙外)，(％%)，则闵氏距离

Dp(A3)=(k(peN*).若点A、B分别在y=e'和y=x-l的图像上，则R,(AB)的最

小值为()

A.2l/pB.2PC.e1/pD.ep

【答案】A

【解析】由题意得，设解看,1),8(%马-1),

因为点A、8分别在函数y=e*和y=x-l的图象上，

Px,p11

助以Dp(A,B)=(|xj-x2\+|e-x2+11)>|(x(-x2)-(e-x2+1)1=|(%-e*-1)「，

A1

当且仅当-％)(e-x2+l)>0时等号成立.

设g(x)=k-e*-l[,h{x)=x-ev-1,则〃(x)=l-e”，

令//(尤)>0=>x<0,h'(x)<0n尤>0,

所以函数〃(x)在(-8,0)上单调递增，在(0,+功上单调递减，

所以/心)皿、=〃(。)=一2,即〃(x)V-2,所以g(x)=|/z(x)|j(x)N2,

ii

即q(A,B)H所以2(AB)的最小值为2P.

故选：A.

【典例4-2】(2024・高三・安徽阜阳•期末)闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义.设两

组数据分别为A=(q,%…和3=侑也,•小)，这两组数据间的闵氏距离定义为

“⑷=后|，-时T，其中q表示阶数•现有下列四个命题：

_k=l_

①若A=(1,2,3,4),8=(0,3,4,5),则dAB(1)=4；

②若A=(a,a+l),8=(6-l,Z>),其中a,6cR,则d加。)=<«(2)；

③若A=(a,6),B=(c,d),其中a,友c,dcR,则“⑴2“(2)；

④若4=(a,/),8=(七，-1),其中a,6eR,则"M。)的最小值为主&.

8

其中所有真命题的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】对于①:dAB（y）=|1-0|+|2-3|+|3-4|+|4-5|=4,故①正确.

对于②：dAB（y）=2\a-b+\\,d^{2}=42\a-b+\\,故②错误.

对于③：dAB（X）^a-c\+\b-d\,dAB（l）^^a-cf+（b-df,不妨设I。一。1="，/一"1=N,

（M+N）2>^M2+N2^,且M,N均为非负数，所以M+N2JM2+N2故③正确.

对于④：构造函数”x）=x2,g（x）=x-l,则"，（2）=-%，4«（2）的最小值即两曲线动

点间的最小距离，设/（x）=d与直线g（x）=x-l平行的切线方程为y=x+6,联立,得：

［y=x+b

x2-x-b=O,令△=1+46=0得，b=-\,所以切线方程为y=x-g：g（x）=x-l与y=x+1之间的距离

444

4一回所以最小值为处，故④正确.

m8

故选C.

【变式4-1］（2024•全国•模拟预测）在直角坐标系X0Y中，已知点A«，x）,*%,%），记

外（43）=（|玉-々:+也-%「），其中P为正整数，称©（A,8）为点A,8间的河距离.下列说法正确的

是（）.

A.若4（O,A）=l,则点A的轨迹是正方形

B.若4（4,3）=4（43）,则A与B重合

C.d^A,B）<42d2{A,B）

D.6?2（AB）>4（AB）

【答案】A

【解析】由4（O,A）=1得归|+|%|=1,所以点A的轨迹是以。为中心的正方形，故A正确；

记，"=,-刈，〃=瓦-%贝IJmNO,n>0,

若4（AB）=4（43）,则加+〃=>+〃2,显然有山=0,〃=1满足此等式，可取点4（1,1）,3（1,2）,显然

A与3不重合，故8错误；

取点4（0,1）,8m4（4,8）=；,J2（A,B）=1则邑（48）=走，

此时4（AB）>0d2（AB）,故c错误，也可得。错误.

故选：A.

【变式4・2］（多选题）闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义.设两组数据分别为

A=(q,和8=3也,…也)，这两组数据间的闵氏距离定义为"，其中q表示

_k=l_

阶数.下列命题中为真命题的是()

A.若A=(l,2,3,4),8=(0,3,4,5),则⑴=4

B.若A=(a,a+1),B=(b-l,b),其中a,beR,则41s⑴=4棋2)

C.若A=(a,b),B=(c,d),其中a,b,c,deR,则心⑴2“⑵

D.若A=(a,〃)，B=(b,b-1),其中a,beR,则%^2)的最小值为述

8

【答案】ACD

【解析】对于A：^(1)=|1-0|+|2-3|+|3-4|+|4-5|-4,故A正确.

对于B：九⑴=2|°-6+1],dAB(2)=42\a-b+]\,故B错误.

对于C：%(1)=|。一。|+性+0，“(2)=J(a-c)2+(b-d)2,不妨设心一|=",\b-d\=N,因为

M>0,N>0,所以2ACVN0,所以“+管+2肱V2"+N2,所以(M+N)?2"+解，所以

M+N>^JM2+N2'故c正确.

对于D：构造函数〃尤)=尤2,g(x)=x-l,则^^2)的最小值即两曲线动点间的最小距离，设直线

/、ofy=x+mi

y=x+7"与曲线〃x)=x-相切，则由,得尤2-无一根=0,由/=1+4根=0,得加=-“所以切

线方程为y=x_1,

1--广

所以两曲线动点间的最小距离为〃43V2,故D正确.

V28

故选：ACD

题型五：圆的包络线问题

【典例5-1】(多选题)设有一组圆C«：(》_左+1)2+(了-3左)2=2/(左一*).下列四个命题中真命题的是

A.存在一条定直线与所有的圆均相切

B.存在一条定直线与所有的圆均相交

C.存在一条定直线与所有的圆均不相交

D.所有的圆均不经过原点

【答案】BD

【解析】圆心为c式上-1,3外，半径为久=0公，

£(0,3),钎&，C2(l,6),%=4五,|C©=jF+32=加<40-0=3&,圆C1与圆C2是内含关系,

因此不可能有直线与这两个圆都相切，从而A错误；

易知圆心在直线y=3(x+l)上，此直线与所有圆都相交，B正确；

若左取无穷大，则所有直线都与圆相交，C错；

将(0,0)代入圆方程得(4-1)2+9左2=2/,即10/_2左+1=2/,等式左边是奇数，右边是偶数，因此方程

无整数解，即原点不在任一圆上，D正确.

故选：BD.

【典例5-2】(多选题)设有一组圆Ck：(x-l)2+(yT)2=/(左€N*).下列四个命题正确的是

A,存在左,使圆与尤轴相切

B.存在一条直线与所有的圆均相交

C.存在一条直线与所有的圆均不相交

D.所有的圆均不经过原点

【答案】ABD

【解析】根据题意得圆的圆心为(1,k),半径为k2,

选项A,当k=r,即k=l时，圆的方程为(尤=1,圆与x轴相切，故正确；

选项B,直线x=l过圆的圆心(1,%),x=l与所有圆都相交，故正确；

选项C,圆心圆心(1,左)，半径为N,圆4+1：圆心(1,左+1),半径为(4+1)

两圆的圆心距d=l,两圆的半径之差R-r=2k+1,(R-r>d),Ck含于。左+1之中，

若左取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，故错误；

选项D川各(0,0)带入圆的方程，则有1+N=R,不存在依N*使上式成立，

即所有圆不过原点，正确.

故选ABD

【变式5-1](多选题)已知圆环(x-l-cos6>)2+(y-2-sin6)2=l,直线/：kx-y-k+2=0,下面五个命

题，其中正确的是()

A.对任意实数左与仇直线/和圆M有公共点；

B.对任意实数人与仇直线/与圆M都相离；

C.存在实数左与仇直线/和圆M相离；

D.对任意实数左，必存在实数仇使得直线/与圆M相切：

E.对任意实数仇必存在实数也使得直线/与圆M相切；

【答案】AD

【解析】选项，由题意知圆"的圆心为点M(l+cos6,2+sine),半径为-1,

直线/的方程可写作>=左(尤-1)+2,过定点41,2),因为点A在圆上，

所以直线/与圆M相切或相交，任意实数人与仇直线/和圆M有公共点，A正确8错误；

C选项，由以上分析知不存在实数上与仇直线/和圆M相离，C错误；

。选项，当直线/与圆M相切时，点A恰好为直线/与圆M的切点，故直线AM与直线/垂直,

①当左=0时，直线AM与x轴垂直，则l+cosO=l,

IT

即cos6=0,解得e=w+Z»(%eZ),存在6,使得直线/与圆M相切;

②当发片0时，若直线AM与直线/垂直，则cos。/。,

2+sin6—2_sin。

直线AM的斜率为^=cote,

1+cos^-lcos。

所以原M•左=T,即cotd=-；,

k

此时对任意的左wo,均存在实数0,使得cote=-L,则直线AM与直线/垂直.

k

综上所述，对任意实数上必存在实数仇使得直线/与圆M相切刀正确.

|k-cos。一sin。|

E选项,点M(1+cos0,2+sin6)到直线/的距离为"=

“2+1

令0=0,当左=0时，d=0,；当发片0时，d==1'

即此时d<l恒成立，直线/与圆M必相交，

故此时不存在实数k,使得直线/与圆M相切.E错误.

故选：AD

【变式5-2](多选题)己知圆M：(x-1-cos6,)2+(_y-sin6()2=1,直线/：kx-y-k=0,下面命题中正

确的是()

A.对任意实数人与。，直线/和圆M有公共点；

B.对任意实数人与。，直线/与圆M都相离；

C.存在实数上与6,直线/和圆M相交；

D.对任意实数3必存在实数凡使得直线/与圆M相切.

【答案】ACD

【解析】对于A,圆M：(x-l-cosOy+ly-sinO)?=1的圆心为(l+cos6,sin。)，半径为厂=1；无论。取何

值，都有(lT-cosd)2+(sin0)2=l,.•.圆过定点(1,0)；

又直线/：履一丁一左=0可化为左"一1)一>=0,过定点(1,0)；

・•・直线/和圆M有公共点。,0),A正确;

kcos6-sin0\

对于B,圆心M到直线/的距离为d==|sin(6,-cif)|<l=r,其中tan(z=%；：.d<r,故B错

J-+i

误;

根据B的分析，可得C、D正确.

故选：ACD

题型六：阿波罗尼斯圆问题、反演点问题、阿波罗尼斯球问题

【变式5-31(多选题)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学

三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A,B的距离之比为定值4(彳＞0,且彳R1)的点的轨迹是圆,

PA1

此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy中，A(-2,0),8(4。，点尸满足用=.设点p的轨迹为

曲线C,则下列说法正确的是()

A.C的方程为(x+4)2+_/=16

B.点A8都在曲线C内部

C.当A民尸三点不共线时，则=

D.若。(2,2),则|尸口+21Pq的最小值为46

【答案】ACD

【解析】设尸(x,y),(P不与A,8重合)，

由A(-2,0),8(4,0),有|R4|="(x+2)2+y\,\PB\=^x-4)2+y2,

\PA\：1即能与化简得(x+4)»=6,

\PB\~2

所以点尸的轨迹曲线C是以C(T,0)为圆心，半径厂=4的圆，如图所示,

对于A选项，由曲线C的方程为(x+4)2+y2=16,选项A正确;

对于B选项，由BC=8,点8在曲线C外，选项B错误；

对于C选项，由|。*=2,|OB|=4,有僚=；=黑，

|OD|Z|rD|

则当A,B,P三点不共线时，由三角形内角平分线定理知，PO是，APB内角—APB的角平分线,

所以NAPO=/BPO,选项C正确;

II]

对于D选项，由品=5,^\PB\=2\PA\,

则|尸8|+2|尸。|=2|9|+2|「。|=2(|9|+|如|)。2|>1£>|=2><"(-2-2)2+(0-2)2=46,

当且仅当尸在线段45上时，等号成立，

则|即+2|包)|的最小值为4百，选项D正确.

故选：ACD.

【变式5-4】圆的反演点：已知圆。的半径是「，从圆心。出发任作一条射线，在射线上任取两点M,N,

若•|ON|=/，则M,N互为关于圆。的反演点.圆的反演点还可以由以下几何方法获得：若点河在圆

。外，过M作圆的两条切线，两切点的连线与的交点就是点M的反演点；若点M在圆。内，则连接

OM,过点M作OM的垂线，该垂线与圆两交点处的切线的交点即为M的反演点.已知圆0：/+/=4,

点M(l,3),则M的反演点的坐标为.

【解析】圆O：尤2+^=4,圆心0(0,0),半径厂=2,

点OM=」f+32=画>2,点M在圆。外，

过M作圆的两条切线，两切点为则48在以为直径的圆上,

与圆。：/+_/=4的交点,

两圆方程相减，得公共弦A3所在直线的方程为x+3y-4=0,

x+3y-4=0

又直线0M的方程为y=3x,由，解得

y=3尤

26

所以M的反演点的坐标为

555

【变式5-5】阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠,

他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数2（A>0,且儿wl）,那么点P的轨迹为圆,

这就是著名的阿波罗尼斯圆.已知圆C：/+>2=24,点M（2,2）,平面内一定点N（异于点M）,对于圆

上任意动点A,都有比值为定值，则定点N的坐标为—.

【答案】（6,6）

【解析】设N的坐标为动点