江苏省射阳县2024-2025学年高考数学模拟试题（含解析）

江苏省射阳县2024-2025学年高考模拟考试试题（一）数学试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设a,夕是方程炉—x—1=。的两个不等实数根，记a“=a"+〃"（"eN*）•下列两个命题（）

①数列｛怎｝的任意一项都是正整数;

②数列｛a,,｝存在某一项是5的倍数.

A.①正确，②错误B.①错误，②正确

C.①②都正确D.①②都错误

2.国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造

业采购经理指数（PMI）如下图所示.则下列结论中错误的是（）

（%）50%表示与上月比较无变化

54

53

52

51

50

49

48

2018年10月UJII2JJ2D1W阴3月4）15月6月7月阴9月

1/1

A.12个月的PMI值不低于50%的频率为g

B.12个月的PMI值的平均值低于50%

C.12个月的PMI值的众数为49.4%

D.12个月的PMI值的中位数为50.3%

3.若直线2x+y+m=0与圆Y+2x+y2—2y—3=0相交所得弦长为2百，则机=（）

A.1B.2C.75D.3

4.过抛物线丁=2/（夕＞0）的焦点歹的直线与抛物线交于A、3两点，且衣=2丽，抛物线的准线/与％轴交于

C,AACF的面积为8后，则JIAB卜()

A.6B.9C.972D.6叵

5.已知尸是双曲线C:近2+V=4|Z|(改为常数)的一个焦点，则点F到双曲线C的一条渐近线的距离为()

A.2kB.4kC.4D.2

6.以下关于/(x)=sin2%-cos2x的命题，正确的是

A.函数/(%)在区间上单调递增

B.直线x=J需是函数y=/(x)图象的一条对称轴

O

C.点］是函数y=/(x)图象的一个对称中心

D.将函数y=/(x)图象向左平移需2个单位，可得到y=0sin2x的图象

8

7.已知全集。=R,函数y=ln(l—%)的定义域为"，集合N=｛小2—%<o),则下列结论正确的是

A.MCN=NB.MA®N)=0

C.M\JN=UD.

8.已知直线W和平面a,若772_La,贝!!“772J_八,'是“八〃e"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.不充分不必要

9.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打

造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设成果显著.如图是2015—2019年，我

国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是()

B.这五年，2015年出口额最少

C.这五年，2019年进口增速最快

D.这五年，出口增速前四年逐年下降

22

10.已知双曲线二-4=1（。>0,6>0）的左焦点为B，直线/经过点厂且与双曲线的一条渐近线垂直，直线/与双曲

ab

线的左支交于不同的两点A,B,若赤=2而，则该双曲线的离心率为（）.

「26

A・丹Vx•------D.73

3

11.记M的最大值和最小值分别为"max和"mm.若平面向量3、b>O满足同=^=£/=A（£+2^—"）=2,

则（）

A「一|G+A/7„I--|A/3--Ji

A.kz-c=-------------B.\a+c\=-------------

IImax2।Imax2

c.la-clD.|a+]=^!1

IImin2।Imin2

12.《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如图，则它的外接球的表面积为

（）

左视图

俯视图

8

A.4万B.8万C.6+4>/2D.—71

3

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如果抛物线丁=2四上一点4（4,加）到准线的距离是6,那么机=.

x+y<4

则2=筌的最大值为一一一,

14.已知实数%,y满足

y>0

15.已知函数/（%）=百5111（2%+0）-85（2尤+0）（0<0<兀）是定义在人上的奇函数，则f的值为

16.在AABC中，角A、B、。所对的边分别为。、b、c,若c=l,C=60°，则b的取值范围是

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知/(x)=21n(x+2)-(x+l)2,g(x)=k(x+l).

(1)求/(x)的单调区间；

(2)当k=2时，求证：对于以>—1,f(x)<g(x)恒成立;

(3)若存在天〉-1,使得当xw(-1,%)时，恒有/(x)>g(x)成立，试求上的取值范围.

18.(12分)已知三棱锥A-BCD中侧面的与底面3C。都是边长为2的等边三角形,且面ABD±面BCD,M,N

分别为线段AO、A5的中点为线段上的点，且MNLNP.

(1)证明：P为线段的中点；

(2)求二面角A—NP—M的余弦值.

19.(12分)在AA6c中，角AB,C的对边分别为“,仇c.已知。=舟，且

(a—b+c)(sinA—sinB—sinC)=csinC—2asinB.

(1)求cos。的值；

(2)若△ABC的面积是2&，求△ABC的周长.

2

20.(12分)如图，已知抛物线E：>2=4%与圆以：(%-3)+/=产(r>0)相交于A,B,C,。四个

(1)求厂的取值范围；

(2)设四边形ABC。的面积为S,当S最大时，求直线AD与直线的交点P的坐标.

21.(12分)随着改革开放的不断深入，祖国不断富强，人民的生活水平逐步提高，为了进一步改善民生，2019年1

月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：(1)个税起征点为5000元；(2)每月应纳税所得

额（含税）=收入一个税起征点-专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括①赡养老人费用②子女教育费用③继续教育

费用④大病医疗费用……等.其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元②子女教育费用：每个

子女每月扣除1000元.新个税政策的税率表部分内容如下：

级数一级二级三级四级

超过3000元超过12000元超过25000元

每月应纳税所不超过3000

至12000元的至25000元的至35000元的

得额（含税）元的部分

部分部分部分

税率（%）3102025

（1）现有李某月收入29600元，膝下有一名子女，需要赡养老人，除此之外，无其它专项附加扣除.请问李某月应缴

纳的个税金额为多少？

（2）为研究月薪为20000元的群体的纳税情况，现收集了某城市500名的公司白领的相关资料，通过整理资料可知，

有一个孩子的有400人，没有孩子的有100人，有一个孩子的人中有300人需要赡养老人，没有孩子的人中有50人需

要赡养老人，并且他们均不符合其它专项附加扣除（受统计的500人中，任何两人均不在一个家庭）.若他们的月收入

均为20000元，依据样本估计总体的思想，试估计在新个税政策下这类人群缴纳个税金额X的分布列与期望.

22.（10分）已知函数/（%）=/03工

（1）若x<0,求证：

（2）若x>0,恒有若（x）2（>+3）x+21nx+l,求实数上的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

利用韦达定理可得a+4=1,3=—1,结合。“=a"+，"可推出4+1=an+an_x，再计算出q=1,%=3，从而推出①

正确;再利用递推公式依次计算数列中的各项,以此判断②的正误.

【详解】

因为e,£是方程式_%_1=0的两个不等实数根，

所以<7+尸=1,。/?=一1,

因为4=["+，"，

所以a.M=a"+i+,"+i

=+夕，）a++吟°-/3na-an（3

=（a"+尸”）（a+尸）_初（优1+Q

=（俄+如+（―+8T）=a“+a…

即当〃N3时，数列｛an｝中的任一项都等于其前两项之和，

又％=a+/?=1,g=a?+£2_+,）2—2oc/3—3,

所以〃3=%+=4,〃4=4+%=7,%=%+〃3=11，

以此类推，即可知数列｛4｝的任意一项都是正整数，故①正确；

若数列｛a,J存在某一项是5的倍数，则此项个位数字应当为。或5,

由q=1,4=3，依次计算可知，

数列｛«„｝中各项的个位数字以1,3,4,7,1,8,9,7,639,2为周期，

故数列｛%｝中不存在个位数字为0或5的项，故②错误;

故选:A.

本题主要考查数列递推公式的推导，考查数列性质的应用，考查学生的综合分析以及计算能力.

2.D

【解析】

根据图形中的信息，可得频率、平均值的估计、众数、中位数，从而得到答案.

【详解】

41

对A,从图中数据变化看，耳〃值不低于50%的月份有4个，所以12个月的PA〃值不低于50%的频率为一=—,故

123

A正确；

对2,由图可以看出，值的平均值低于50%,故B正确；

对C,12个月的PA〃值的众数为49.4%,故C正确，；

对。，12个月的值的中位数为49.6%,故D错误

故选：D.

本题考查频率、平均值的估计、众数、中位数计算，考查数据处理能力，属于基础题.

3.A

【解析】

将圆的方程化简成标准方程，再根据垂径定理求解即可.

【详解】

圆Y+2x+V—2y_3=0的标准方程（X+1）2+（y—1）2=5，圆心坐标为（-1,1），半径为J5,因为直线2x+y+m=0

与圆必+2%+丁2—2丁一3=0相交所得弦长为2君,所以直线2x+y+m=0过圆心，得2x（—l）+l+〃z=0,即m=1.

故选：A

本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法，属于基础题.

4.B

【解析】

设点4（王，弘）、8（22），并设直线A5的方程为工=加y+微，由丽=2而得以=一2%，将直线的方程代

入韦达定理，求得|x|，结合AACF的面积求得。的值，结合焦点弦长公式可求得

【详解】

设点5（尤2，%），并设直线AB的方程为1孙+，

将直线A5的方程与抛物线方程联立<X~my+l,消去X得y2——/=0,

y2=2px

由韦达定理得M+%=2p加，

——；\p\-=*(D)uumUUL

4/=[耳—/，一％J,FB=\x2--,y2\,Q=2F3，二一%=2为，；J=-2%，

2

■.yiy2=-2yl=-p,可得昆|=/夕，氏|=2|%|=0〃，

抛物线的准线/与x轴交于C1-5,01

AACF的面积为:xpx应0=2°2=80，解得，=4,则抛物线的方程为/=8x,

52

所以'[A同=石+々+0=X+4=^—+p=9,

故选：B.

本题考查抛物线焦点弦长的计算，计算出抛物线的方程是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.

5.D

【解析】

分析可得k<0,再去绝对值化简成标准形式，进而根据双曲线的性质求解即可.

【详解】

2v2

当左之0时，等式kx2+y2^4\k\不是双曲线的方程；当k<0时，就2+/=41左|=一4左，可化为上一—匚=1,可得虚

-4k4

半轴长b=2,所以点P到双曲线C的一条渐近线的距离为2.

故选：D

本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题.

6.D

【解析】

利用辅助角公式化简函数得到/(x)=J5sin(2x-：),再逐项判断正误得到答案.

【详解】

f(x)=sin2x-cos2x=41sin(2x--)

fOA1Q

A选项，xe0,——2x--G(一■7,-7^-)函数先增后减，错误

I3J4412

B选项，x=gn2x-f=。不是函数对称轴，错误

84

C选项，x=-^2x--=-,不是对称中心，错误

444

D选项，图象向左平移需(个单位得到y=J^sin(2(x+|0—?)=后sin2x,正确

故答案选D

本题考查了三角函数的单调性，对称轴，对称中心，平移，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用，其中化简三

角函数是解题的关键.

7.A

【解析】

求函数定义域得集合M,N后，再判断.

【详解】

由题意M={x|x<l},?/={x10<x<1},：.M^\N=N.

故选A.

本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素.确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，

还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定.

8.B

【解析】

由线面关系可知根_L〃，不能确定〃与平面。的关系，若〃〃。一定可得m_L〃，即可求出答案.

【详解】

•/m±6Z,m±n,

不能确定〃ua还是〃<za,

nila,

当n//a时，存在aua,nila.,

由根_1_1=>根_1_〃，

又M/a,可得加，

所以“加_L〃”是“nlla”的必要不充分条件，

故选：B

本题主要考查了必要不充分条件，线面垂直，线线垂直的判定，属于中档题.

9.D

【解析】

根据统计图中数据的含义进行判断即可.

【详解】

对A项，由统计图可得，2015年出口额和进口额基本相等，而2016年到2019年出口额都大于进口额，则A正确；

对B项，由统计图可得，2015年出口额最少，则B正确；

对C项，由统计图可得，2019年进口增速都超过其余年份，则C正确；

对D项，由统计图可得，2015年到2016年出口增速是上升的，则D错误；

故选：D

本题主要考查了根据条形统计图和折线统计图解决实际问题，属于基础题.

10.A

【解析】

b

直线I的方程为x=—y-c,令和双曲线方程联立，再由通=2而得到两交点坐标纵坐标关系进行求解即可・

a

【详解】

b

由题意可知直线I的方程为x=-y-c，不妨设a=l.

a

则》=力一。，且"=°2一1

4

将X=纱—C代入双曲线方程好一方=1中，得至仅4—]),2—2b3“+b=0

设

„2b3cy

则n乂+%=「*•%=时

2盼c

一—一%=仃

由A尸=2/fi，可得％=-2%，故｛4

〔A』

,1

则8氏2=1_",解得

贝!1C="2+1=

3

cTio

所以双曲线离心率

a3

故选：A

此题考查双曲线和直线相交问题，联立直线和双曲线方程得到两交点坐标关系和已知条件即可求解，属于一般性题目.

11.A

【解析】

设6•为％、B的夹角，根据题意求得6然后建立平面直角坐标系，设Z=厉=(2,0),b=OB=(l,s/3),

c=OC=(%,j),根据平面向量数量积的坐标运算得出点C的轨迹方程，将归-4和卜+(转化为圆上的点到定点距

离，利用数形结合思想可得出结果.

【详解】

由已知可得a4=Hjqcose=2,则cos9=；,QO<0<TV,:.0=^,

建立平面直角坐标系，设日=砺=(2,0),^=05=(1,73),c=OC=(x,y),

由c-(a+2B-c)=2,可得(x,y)-(4-2x,2G-2y)=2,

即4x-2八2底-2/=2,

化简得点C的轨迹方程为(x—+y—当=|,则"卜J(x_2,+y2,

=；上的点与点(2,0)的距离，.[£—4卜।n16=6+疗

2Imax

7

币-6

2~

转化为圆a=；上的点与点(—2,0)的距离，

H.="曰［小迤F

1ImaxAlI.2)221u12)22

故选：A.

本题考查和向量与差向量模最值的求解，将向量坐标化，将问题转化为圆上的点到定点距离的最值问题是解答的关键,

考查化归与转化思想与数形结合思想的应用，属于中等题.

12.B

【解析】

由三视图判断出原图，将几何体补形为长方体，由此计算出几何体外接球的直径，进而求得球的表面积.

【详解】

根据题意和三视图知几何体是一个底面为直角三角形的直三棱柱，底面直角三角形的斜边为2,侧棱长为2且与底面垂

直，因为直三棱柱可以复原成一个长方体，该长方体外接球就是该三棱柱的外接球，长方体对角线就是外接球直径，

则(2R)2=4W=2?+2?=8,那么S外接球=4兀咫=8万.

故选：B

本小题主要考查三视图还原原图，考查几何体外接球的有关计算，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.±4A/2

【解析】

先求出抛物线V=2px的准线方程，然后根据点4(4,到准线的距离为6,列出4+^=6,直接求出结果.

【详解】

抛物线V=2°x的准线方程为

由题意得4+'=6,解得p=4.

2

•.•点A(4,m)在抛物线y2=2px上，

nr—2x4x4>**•m=+4^/2，

故答案为：±4®.

本小题主要考查抛物线的定义，属于基础题.

4

【解析】

作出不等式组所表示的平面区域，将目标函数看作点尸（-2,-1）与可行域的点所构成的直线的斜率，当直线过4（2,2）

时，直线的斜率取得最大值，代入点A的坐标可得答案.

【详解】

画出二元一次不等式组所表示的平面区域，如下图所示，由得点4（2,2）,

目标函数z=表示点P（-2,-1）与可行域的点所构成的直线的斜率，

x+2

当直线过A（2,2）时，直线的斜率取得最大值，此时z=£1的最大值为

,3

故答案为：一

本题考查求目标函数的最值，关键在于明确目标函数的几何意义，属于中档题.

15.-V2

【解析】

先利用辅助角公式将/（尤）=Gsin（2x+o）—cos（2x+°）转化成/（X）=2sin12x+o—d

，根据函数是定义在E

上的奇函数得出（P=彳,从而得出函数解析式，最后求出/[―即可•

【详解】

解：f（x）=Gsin（2x+e）-cos（2x+e）=2sin|Ix+cp--,

又因为/（%）定义在R上的奇函数,

则/(O)=2sin[2xO+9-W]=°，

则夕一£=左乃，又因为

所以9=$,/(x)=2sin(2x),

6

所以=2sin]—(x2]=一虚.

故答案为：—叵

本题考查三角函数的化简,三角函数的奇偶性和三角函数求值，考查了基本知识的应用能力和计算能力，是基础题.

【解析】

计算出角3的取值范围，结合正弦定理可求得b的取值范围.

【详解】

QC=60°.则0。<3<120。，所以，0<sinBWl,

b

由正弦定理sin8

因此，b的取值范围是

故答案为:

本题主要考查了正弦定理，正弦函数图象和性质，考查了转化思想，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)单调减区间为(_2,士好)，单调增区间为(士好,+oo)；(2)详见解析；(3)(-oo,2).

22

【解析】

试题分析：⑴对函数/(九)求导后，利用导数和单调性的关系，可求得函数/(%)的单调区间.⑵构造函数

/i(x)=/(x)-g(x),利用导数求得函数/i(x)在(—1,+8)上递减，且网―1)=0,则/z(x)<0,故原不等式成立.(3)

同⑵构造函数〃(x)=/(x)—g(x),对上分成左(2,左=2,#2三类，讨论函数〃(%)的单调性、极值和最值，由此

求得上的取值范围.

试题解析：

2

⑴/'W=~~2(x+l)

■X十乙

-2(X2+3X+1)

=一---------(x>-2)，

x+2

当/'(X)<0时，X2+3X+1>0.

解得4〉.13歧.

当/"(x)＞。时，解得—2＜丁＜一3；二.

(_3+6

所以/(%)单调减区间为-2,—,

I2J

「3+有)

单调增区间为一片，+8-

\7

(2)设&⑺=/(%)—g(%)

=21n(x+2)-(x+l)——左(尤+l)(x〉一l),

当左=2时，由题意，当xe(-l,”)时，

/z(x)<0恒成立.

-2(X2+3X+1)

”(%)=

x+2

-2(x+3)(x+l)

x+2

.•.当x＞-l时，"(％)＜0恒成立，力⑺单调递减.

又可―1)=0,

.•.当xe(-l,+oo)时，人(％)<〃(一1)=0恒成立，即/(x)-g(x)<o.

对于Vx>—1,y(x)<g(x)恒成立.

(3)因为〃，(力=

x+2

2%2+(k+6)x+2k+2

~x+2.

由(2)知，当左=2时，/(x)<g(x)恒成立，

即对于Vx>—1,21n(x+2)-(x+l)2<2(x+l),

不存在满足条件的天；

当左>2时，对于Vx>—1,x+l>0,

此时2(x+l)<%(x+l).

，21n(x+2)-(x+l)-<2(x+l)<左(九+1),

即/(x)<g(x)恒成立，不存在满足条件的尤。；

当左<2时，令/(X)=—2%2—(左+6)x—(2左+2),

可知，(九)与"(九)符号相同，

当xe(%o，+so)时，/(%)<0,/:'(%)<0,

网力单调递减.

二当XG(-l,Xo)时，入(％)>〃(-1)=0,

即/(九)—g(x)>0恒成立.

综上，左的取值范围为(f,2).

点睛：本题主要考查导数和单调区间，导数与不等式的证明，导数与恒成立问题的求解方法.第一问求函数的单调区间,

这是导数问题的基本题型，也是基本功，先求定义域，然后求导，要注意通分和因式分解.二、三两问一个是恒成立问

题，一个是存在性问题，要注意取值是最大值还是最小值.

18.(1)见解析；(2)眄

5

【解析】

(1)设。为中点，连结OC,先证明3。，AC,可证得5D,假设尸不为线段BC的中点，可得BD±

平面ABC,这与NDfiC=60°矛盾，即得证；

(2)以。为原点，以OB,OC,Q4分别为X，V，z轴建立空间直角坐标系，分别求解平面ANP,平面跖VP的法

向量的法向量，利用二面角的向量公式，即得解.

【详解】

（1）设。为班）中点，连结。4,OC.

：.OA±BD,OCLBD,

又04。。。=。

•••比），平面。1C,

ACu平面。4C,

:.BDLAC.

又M,N分别为ADA3中点，

MN//BD,又MN上NP,

:•BD1NP.

假设P不为线段的中点，

则NP与AC是平面内ABC内的相交直线，

从而80,平面ABC,

这与NDfiC=60°矛盾，所以P为线段的中点.

（2）以。为原点，由条件面A3DL面BCD,

/.AO±OC,以OB,OC,Q4分别为％，丁，z轴建立空间直角坐标系,

(Ji。®〕JI百。〕

则A倒,0时,M

222222

AN

122J

P2V=[o,-—

I22,W=(1,0,0).

7

设平面A/VP的法向量为用=(%,y,z)

1石c

—x------z=0

m-AN—022

所以《__.n

m•PN=0-2+乌=。

22

取y=l,则z=l,x=60m=

同法可求得平面MNP的法向量为n=(0,1,1)

/ffi-fi2A/10

/.cos(m,""丽=标=可

由图知二面角A—NP—M为锐二面角,

二面角A—NP—M的余弦值为®.

5

本题考查了立体几何与空间向量综合，考查了学生逻辑推理，空间想象，数学运算的能力，属于中档题.

19.(1)cosC=—;(2)2+2A/3+2A/2

3

【解析】

(1)由正弦定理可得,(a—b+c)(a-b-c)^c2-2ab，化简并结合a=£b，可求得a,b,c三者间的关系，代入余弦定理

可求得cosC;

(2)由(1)可求得sinC,再结合三角形的面积公式,可求出口,b,c,从而可求出答案.

【详解】

(1)因为(a—Z?+c)(sinA-sinB—sinC)=csinC-2asinB,

所以(a-b+c)(a-b-c)=。2一2",整理得:〃+〃二?/.

因为a=y/3b，所以4b2=2c2，所以c=yf2b.

，

/h2_23b2+b2-2b2_V3

由余弦定理可得cosC=—-

2ab2x后2-3

（2）由（1）知cosC=g，则sinC=Jf

因为△ABC的面积是2J5,所以g。匕sinC=2J5,

即、技2义迈=2应，解得b=2，则a=2s/3,c=2^/2.

23

故△ABC的周长为:2+2有+2

本题考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，考查了三角形面积公式的应用,属于基础题.

20.（1）2A/2<r<3（2）点P的坐标为（一；,0）

【解析】

（1）将抛物线方程丁=4%与圆方程（x-3）2+V=/联立，消去y得到关于x的一元二次方程，抛物线E与圆"有

四个交点需满足关于X的一元二次方程在（0,+8）上有两个不等的实数根，根据二次函数的有关性质即可得到关于厂的

不等式组，解不等式即可.

（2）不妨设抛物线E与圆M的四个交点坐标为A（42喜），3（%,-2禽），Cg,-2后,D®,2后,据此可

表示出直线AO、的方程，联立方程即可表示出点尸坐标，再根据等腰梯形的面积公式可得四边形A5CD的面积S

的表达式，令t=4区,由t=,9-户及⑴知0</<1对关于t的面积函数进行求导，判断其单调性和最值，即可求出

四边形A3CD的面积取得最大值时f的值，进而求出点P坐标.

【详解】

y=4x,

（1）联立抛物线与圆的方程、2,,

［（x-3）-+/=r2,

消去V,得龙2一2%+9—产=0.

由题意可知V—2%+9-r=0在（0,+。）上有两个不等的实数根.

A=4-4（9-r2）>0,广

所以<,'解得20<13，

9-r2>0,

所以r的取值范围为re（2夜,3）.

（2）根据（1）可设方程炉一2%+9-r2=0的两个根分别为再，%（0<%!<x2）,

则4（七,2"），,。（龙2，-2«"）,。（%2,28"），

且再+%=2,=9一产，

所以直线AO、的方程分别为

y—2嘉=2嘉-2仄

再一九2

y+2惠J?喜+2衣（尸xj,

Xif

联立方程可得，点p的坐标为（-7^7,0）,

因为四边形A3CD为等腰梯形，

所以s=5（|AB|+|CD）（X2-%）=5（4^"+4^^"）（々—xj

=2J%]+々+2J%]/,X]+工21-4X]/=2J2+219-厂,《4―4（9一厂），

令”的-/«0,1）,贝|/（/）=S2=4（2+2r）（4—4产）=—32（/+产—1）,

所以广⑺=—32（3/+27—1）=—32Q+1）⑶—1）,

因为0<f<l,所以当0</<；时,/'（。>0；当g</<l时,

所以函数/■«）在（0,1）上单调递增，在（1,1）上单调递减，

即当。=」时，四边形ABC。的面积S取得最大值，

3

因为-J?%=一/，点P的坐标为（-5司4,0）,

所以当四边形ABCD的面积S取得最大值时，点P的坐标为（-50）.

本题考查利用导数求函数的极值与最值、抛物线及其标准方程及直线与圆锥曲线相关的最值问题；考查运算求解能力、

转化与化归能力和知识的综合运用能力;利用函数的思想求圆锥曲线中面积的最值是求解本题的关键;属于综合型强、难

度大型试题.

21.（1）李某月应缴纳的个税金额为2910元，（2）分布列详见解析，期望为1150元

【解析】

（1）分段计算个人所得税额；

（2）随机变量X的所有可能的取值为990,1190,1390,1590,分别求出各值对应的概率，列出分布列，求期望即可.

【详解】

解：（1）李某月应纳税所得额（含税）为：29600-5000T000-2000=21600元

不超过3000的部分税额为3000x3%=90元

超过3000元至12000元的部分税额为9000x10%=900元，

超过12000元至25000元的部分税额为9600x20%=1920元

所以李某月应缴纳的个税金额为90+900+1920=2910元，

(2)有一个孩子需要赡养老人应纳税所得额(含税)为：20000-5000-1000-2000=12000元,

月应缴纳的个税金额为：90+900=990元

有一个孩子不需要赡养老人应纳税所得额(含税)为：20000-5000-1000=14000元，

月应缴纳的个税金额为：90+900+400=1390元；

没有孩子需要赡养老人应纳税所得额(含税)为：20000-5000-2000=13000元，

月应缴纳的个税金额为：90+900+200=1190元；

没有孩子不需要赡养老人应纳税所得额(含税)为：20000-5000=15000元，

月应缴纳的个税金额为：90+900+600=1590元；

3

P(X=990)=-,

P(X=1190)=：,

P(X=1390)=1,

P(X=1590)=—

所以随机变量X的分布列为:

X990119013901590

3111

p

5io510

3111

E(x)=990x-+1190x—+1390x-+1590x—=1150.

510510