河北省保定市2024届高三年级下册第二次模拟考试数学试题（解析版）

数学试题

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写

在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1设集合A={x|—3Kx<3},3={也无2+m—8)x—4a<0},且Ac8={x1-2<x<3},则。=

()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】

【分析】首先根据不等式的解集与对应方程的关系，求再进行验证，即可求解.

【详解】因为Ac3={x[—2<x<3},所以—2是方程2*+(。—8)x—4a=0,

即8-2(a-8)-4a=0,得a=4,

当a=4时，2炉—4x—16<0,解得：—2WxW4,此时5={.一2<%«4},

满足AcB={x|-2Kx〈3},所以。=4.

故选：C

2

2.若z=­2+i,贝U-------=()

zz-3

A.-l+-iB.l+-iC.l--iD.-1--1

2222

【答案】A

【解析】

—z

【分析】利用共轨复数的概念表示出z=-2-i，再代入计算即可.

zz—3

-2+i-2+i-2+i,1.

【详解】因为z=-2+i,所以「----------------------.....................=-------=-1----J

(-2+i)(-2-i)-3(-2)2-i2-35-32

故选：A.

3.函数/(x)=匕Ecos2x的部分图象大致为()

l+ex

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性判断即可.

【详解】设g(x)=L^,贝ijg(-x)=L^=^~-=-g(x

Ll+ex1'l+e-xl+ex<

所以g(x)为奇函数,

设/i(x)=cos2x,可知人(x)为偶函数,

所以〃x)=W4cos2x为奇函数，则B,C错误，

易知/(0)=0,所以A正确，D错误.

故选：A.

4.如图，在正四棱柱ABC。-中，则异面直线入遂与所成角的余弦值为

()

714168

B.D.

17171717

【答案】C

【解析】

【分析】根据异面直线的定义，由问题转化为求的余弦值，在VABC］中根据余弦定

理求解.

【详解】连接如图所示,

正四棱柱ABC。—44Goi中，有A3〃G2且A5=£2，四边形ABG2为平行四边形，

则有BCJ/AD,,则ZA.BQ就是异面直线AXB与ADX所成的角.

设AB=1,则BG=46=a，4C]=0,

cos/ABC=BCj+M-ACj_17+17-2「16

VA^G中，由余弦定理得8s31—2BC/AB—2x17-17.

故选：C.

22

5.已知双曲线C:1-券=1（。>0,6>0）的离心率为方程2炉—5%+2=0的解，则。的渐近线的斜率的

绝对值为（）

A.在B.—C.V2D.73

33

【答案】D

【解析】

【分析】求出方程的根得到离心率，再利用e2=l+4即可得到答案.

【详解】因为方程2d—5%+2=0的解为x=工或x=2,

2

且双曲线的离心率大于1,所以e=2.由e2=l+［。］=4,解得

ya）a

故选：D.

3COSOL

6.已知tana=-------,则cos2a-（）

sincr+11

7777

A.--B.-C.-D.——

8899

【答案】B

【解析】

【分析】利用切化弦和同角三角函数的关系，解出sine,再结合二倍角公式即可求解.

__,„_厂、，sincr3costz

【详解】因为-----=---------，

cosasincr+11

所以4sin2（z+1lsin（z-3=0，

解得sina=,或sina=-3（舍去），

4

,7

所以cos2tz=1-2sin«=—.

8

故选：B.

7.6名同学想平均分成两组进行半场篮球比赛，有同学提出用“剪刀、石头、布”游戏决定分组.当大家同

时展示各自选择的手势（剪刀、石头或布）时，如果恰好只有3个人手势一样，或有3个人手势为上述

手势中的同一种，另外3个人手势为剩余两种手势中的同一种，那么同手势的3个人为一组，其他人为

另一组，则下列结论正确的是（）

A.在进行该游戏前将6人平均分成两组，共有20种分组方案

B.一次游戏共有63种手势结果

C.一次游戏分不出组的概率为等

14420

D.两次游戏才分出组的概率为方厂

【答案】D

【解析】

【分析】根据平均分组模型判断A,根据分步乘法计数原理判断B,分3个人出一样的手势，再确定另外

2个人出其他两种手势中的一种，最后1个人出剩下的手势与个人出同一种手势，另外3个人出剩余两种

手势中的同一种两类后分别计算判断C,第一次分不出第二次分出同时发生的，由相互独立事件的乘法公

式判断D.

「3「3

【详解】对A,一共有」^=10种分组方案，A错误.

对B,每人有3种选择，所以一次游戏共有36种手势结果，B错误.

对CD,要分出组，有两类情况.第一类情况，首先确定3个人出一样的手势，再确定另外2个人出其他

两种手势中的一种，最后1个人出剩下的手势，所以能分出组的手势结果有（或x3）x（C；x2）种.

第二类情况，当其中3个人出同一种手势，另外3个人出剩余两种手势中的同一种时，能分出组的手势

「3

结果有蕾xA；=3或种,

6r3「2.31ATXi

所以一次游戏就分出组的概率为0亭j=一，所以一次游戏分不出组的概率为c错误.

363535

力出2八,f十位10314014420

两次游戏才分出组的概率为一1x——=———D正确.

3535310

故选：D

8.已知椭圆C:二+与=l（a〉6〉0）的左、右焦点分别为耳，耳，尸是C上的点，且在第一象限，Q4是

ab

“/线的角平分线，过点居作Q4的垂线，垂足为3,若归闾=狐|0同=回—力，则C的离心率为

（）

A6R#「娓NA/3

3399

【答案】B

【解析】

【分析】延长F/交尸写于点E,利用椭圆定义求出|巧|,再利用中位线表示出|。耳，由已知|。邳的表

达式，得到a=J%，从而求出离心率.

【详解】如图，延长交2居于点七，可知|尸闾=归目=私但周=2。—2W,

所以|。创=。一〃z=gb—zn,a=Jib,所以e=f

a

故选：B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下图是2023年5月1日至5月5日某旅游城市每天最高气温与最低气温（单位：。C）的折线图，则下

列结论正确的是（）

最高气温

最低气温

A.这5天的最高气温的平均数与最低气温的中位数的差为7℃

B.这5天的最低气温的极差为3℃

C.这5天的最高气温的众数是26℃

D.这5天的最低气温的第40百分位数是16℃

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据折线图计算平均值及中位数可判断A,计算极差判断B,由众数判断C,由百分位数概念判

断D.

【详解】对于A,这5天的最高气温的平均数为2——~--=24℃,最低气温的中位数为

17℃,它们的差为7℃,A正确.

对于B,这5天的最低气温的极差为6℃,B错误.

对于C,这5天的最高气温的众数为26°C,C正确.

对于D,最低气温从小到大排列为13℃,15℃,17℃,18℃,19℃,且5x04=2,所以这5天的最低气温的

第40百分位数是16℃,D正确.

故选：ACD

7T

10.已知直四棱柱ABC。-4月。2的侧棱长为3,底面ABCD是边长为2的菱形，“为

棱。2上的一点，且Affi>=l,P为底面ABCD内一动点（含边界），则下列命题正确的是（）

TT2兀

A.若PM与平面ABCD所成的角为一，则点P的轨迹与直四棱柱的交线长为一

43

B.若点A到平面PDM的距离为百，则三棱锥M-PAD体积的最大值为空

3

47r

C.若以。为球心的球经过点则该球与直四棱柱的公共部分的体积为一

9

D.经过5cM三点的平面截直四棱柱所得的截面面积为4

【答案】AD

【解析】

【分析】判断P点轨迹与直四棱柱的交线，根据弧长公式求解判断A,判断尸点位置求出体积最大值判断

B,计算球与直四棱柱公共部分体积判断C,利用求得BQ=2,得出四边形面积判断D.

【详解】如图，

对于A,可知P的轨迹是以3为圆心，半径为1的圆，所以点P的轨迹与直四棱柱的交线为圆弧，圆弧

长为27?rxl=2—7t,故A正确.

33

对于B,可知点尸在线段3。上，所以当点P与点8重合时，三棱锥M—D4D体积最大，且最大值为

-x-x2x73xl=^,所以B错误.

323

4出

对于C,可知该球的半径为1,球与直四棱柱的公共部分的体积为一兀义13132兀，所以C错

31x—x^-=——

22719

误.

对于D,经过民CM三点的平面截直四棱柱所得的截面为平行四边形其中4V=1，可得

BN=e设MN的中点为Q,AD的中点为。，连接QQO5Q5,可得6cl平面BOQ,所以

BCLBQ,求得BQ=2,所以S四边形BCMN=3CBQ=2X2=4,D正确.

故选：AD

11.已知定义域为R的函数满足/(孙)=)<y(x)+x3/(y),则()

A./(0)=0

B./(-1)=-1

C.Cx)是奇函数

D.存在函数/⑴以及%,使得了'(5)的值为4e?

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据题意，利用赋值法对选项逐一分析，即可判断A,B,C,D.

【详解】由/(肛)=，/(“+三/(力取x=y=O,得“0)=0,A正确.

取x=y=l,得/⑴=2/(1),解得/⑴=0.

取x=y=—l,得/(1)=-2/(-1)=0,

所以/(—1)=0,B错误•

取y=—1，得/(-%)=_/(%)+d/

所以〃龙)是奇函数，C正确.

当孙W。时，在f(xy)=(%)+%3/(丁)两边同时除以刀3、3,

,/(xy)f(x)f(y)

付亨「丁丁，

人II.\Inlx1Lx^O

令勺=1巾，则，(x)=Jn,

x[0,x=0

当尤>0时，/(x)=jr3lnx,

所以/7(x)=炉•(31nx+1),

所以/，(e)=e2(31ne+l)=4e2,D正确.

故选：ACD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量a力的夹角的余弦值为:，忖=1,且（2a—/?）-/?=—14,则卜卜.

【答案】4

【解析】

【分析】利用向量数量积的定义，由已知得。电=（忖，代入（2a—b）/=—14,求何的值.

【详解】向量的夹角的余弦值为:，时=1,则

由（2a—人）必=2a2—/=g忖=_14,解得忖=4（负值舍去）.

故答案为：4.

13.在等比数列｛%｝中，3a5=a2a$,=-27，则/=.

【答案】-3

【解析】

【分析】根据给定条件，利用等比数列性质，结合通项公式求解即得.

【详解】设等比数列｛。“｝的公比为4,由=。2。6，。1。3。5=。2。6，得卬=1,

由a4a13=-27,得q，.q"=q"——27,

所以4=45=-3.

故答案为：-3

14.已知点P为圆G：（x—5）2+/=4上位于第一象限内的点，过点尸作圆。2：炉+/—2℃

+/—a+2=0（2<a<5）的两条切线PM,PN,切点分别为〃、N,直线PMPN分别交为轴于

\PA\

A（1,O）,8（4,0）两点，则局=，\MN\=.

【答案】①.2②.百

【解析】

ACIPA

【分析】设月（々），兀）直接计算可得品，由角平分线定理可得斯=•1万，由此求出a，得出N点

坐标，再由直角三角形求出M点坐标即可得解.

【详解】圆。2的标准方程为（％—a）2+V=a—2（a>2）,圆心G（a，0），

则PC2为/APS的角平分线，所以

\BC2\\PB\

设夕（孙兀），贝1J（%—5丫+尤=4,

附_g。-1）2+常2k^=2J-L?

所以

阿厂再产Fk^一忸Q「

即〃一1二2(4—〃)，解得a=3,则G：(%—3)~+丁=1,

所以点N与5（4,0）重合,

此时|。2〃|=1，4仅。2=3。，可得

所以|MN|=A/3.

故答案为：2；73

lACd\PA

【点睛】关键点点睛：根据角平分线定理，可转化为京4=匕7,建立方程求出参数。，得到圆的圆心、

16c21

半径，求出M的坐标是解题的关键.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在ABC中，角A、B、C的对边分别为a,4c,已知acosB-Z2cosA=-a-c.

（1）求3；

（2）若a=21=2近，。为AC边的中点，求的长.

【答案】（1）B=—

3

（2）5

【解析】

【分析】（1）根据正弦定理边化角，再结合两角和差公式求解;

（2）根据余弦定理求出c边，再根据向量运算求

【小问1详解】

因为acosB-bcosA--a-c,

根据正弦定理，得sinAcos5-cosAsin5=-sinA-sinC=-sinA-(sinAcos8+cosAsinB),

化简得2sinAcosB=-sinA，因为sinA>0,所以cosB=—,

2

2兀

因为Be（O,兀），所以3=《，

【小问2详解】

1—2兀

ABC中，由余弦定理得(2r)2=2?+c2—2x23os—,

3

所以°2+2C—24=0，解得C=4.

_.,,,,,,,一一,UUUIULIUUU

因为BD为ABC的中线，所以=+，

___2兀

所以4|BD\^=c2+片+2^C-COS—,

因为a=2,c=4,所以4|8。|2=12,解得心”=

16.某青少年跳水队共有100人，在强化训练前、后，教练组对他们进行了成绩测试，分别得到如图1所

示的强化训练前的频率分布直方图，如图2所示的强化训练后的频率分布直方图.

4；

0.0301....................0.032

0.028

9uI

AUQao2O

An9O16

O.

1).006

0.0040.004

405060708090100成绩/分5060708090100成绩

图I图2

（1）根据表中数据，估计强化训练后平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）与成绩

的中位数（中位数精确到0.01）.

（2）我们规定得分80分以上（含80分）的为“优秀”，低于80分的为“非优秀”.

优秀人数非优秀人数合计

强化训练前

强化训练后

合计

将上面的表格补充完整，依据小概率值。=0.005的独立性检验，能否据此推断跳水运动员是否优秀与强

化训练有关？

2

2n(ad-be).

附：/==〃++c+d

"(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.050.0100.0050.001

Xa3.8416.6357.87910.828

【答案】(1)83.13

(2)表格见解析，认为跳水运动员是否优秀与强化训练有关.

【解析】

【分析】(1)根据已知条件，结合平均数和中位数的公式，即可求解；

(2)结合独立性检验公式即可求解.

【小问1详解】

强化训练后的平均成绩约为55x0.04+65x0.16+75x0.2+85x0.32+95x0.28=81.4.

由于前三列概率之和为0.04+0.16+0.2=0.4,

设中位数为80+x,则0.032%=0.1,

解得x=3.125,所以中位数约为83.13.

【小问2详解】

零假设为H。:跳水运动员是否优秀与强化训练无关.

补充完整的表格为

优秀人非优秀人合

数数计

强化训练

4060100

刖

强化训练

6040100

后

合计100100200

2_200x(40x40-60x60)2

100x100x100x100'

根据小概率值。=0.005的独立性检验，我们推断不成立，即认为跳水运动员是否优秀与强化训练有

关.

17.如图，在四棱锥尸―ABCD中，底面ABCD是菱形，/53=60°,£,尸分别为4。,43的中点，且

(1)证明：AC±PF.

(2)若上4=。£)=45,求平面尸与平面P£>尸夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；

⑵匹

13

【解析】

【分析】(1)连接根据线面垂直的判定定理可得AC，平面？即，从而得证；

(2)先证明跳，平面ABC。，从而建立空间直角坐标系，利用空间向量法求两平面夹角的余弦值.

【小问1详解】

连接5。,"，因为底面ABCD是菱形，E,尸分别为4D,AB的中点，

所以ACLBD,EF〃BD,所以AC_LEF,

又AC上PE,PEEF=E,PE,EFu平面PEF,

所以AC,平面P即，因为P/u平面？砂，所以ACLPF.

【小问2详解】

因为PA=PZ>,E是A。的中点，所以

又AC_LPE,ACcAD=A,AC,u平面ABC。，所以PE,平面ABCZ）.

连接EB,以E为坐标原点，E4,EB,EP的方向分别为羽％z轴的正方向建立空间直角坐标系,

如图所示，设上4=?D=A3=2，则E5=PE=有,

P（0,0,^）,D（-l,0,0）,B（0,V3,0）,0,

（22

7、

C,PF=,-V3,

7

PB=（0,A-73）,PC=（-2,A/3,-73）.

%•PD-0,

设％=(X，X，zJ是平面PD产的法向量，由＜

Y\PF-0,

一%—=0,

得《]6厂取Z[=l,可得勺

^玉-J3Z]=0,

设巧=(X2，%，Z2)是平面PBC的法向量，

%•0'=（）,,得＜A/3^2—A/3Z2=0,

由＜LL取Z2=l,可得%=（0,1,1）,

n2-PC-0,—2々+—J3z2—0,

々•%_4_2A/26

所以叼=

cos4,713x72-13'

所以平面PBC与平面PDF夹角的余弦值为之叵.

13

18.已知抛物线C:y2=2px(p＞0)的焦点为JF,过尸作互相垂直的直线，分别与C交于A,3和

D,E两点、(A,。在第一象限)，当直线4的倾斜角等于45°时，四边形ADBE的面积为32.

(1)求C的方程;

(2)设直线A。与3E交于点Q,证明：点。在定直线上.

【答案】(1)丁=4%

(2)证明见解析.

【解析】

【分析】(1)由抛物线的对称性知|人耳=|。耳，由四边形的面积求出|4耳=8,又A3的方程为y=x-言，

联立直线与抛物线方程，利用韦达定理及焦点弦公式求出P,即可得解；

(2)设直线乙的方程为丁=左(1—1)优wo),则直线6的方程为y=—^(x—1),设

k

A5(%,%)，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，表示出直线A。、鹿的方程，

联立解得x=—1,即可得证.

【小问1详解】

当直线4的倾斜角等于45时，直线4的倾斜角等于135，

直线AB的方程为y=x—g,由抛物线的对称性知=|。目，

所以枭.=曰人割0闵=32,得|AB|=8.

_P_2

联立方程组厂一=xX—5,消去y得好―3川+2-=0.

'2=2opx4

设A,3两点的横坐标分别为乙,乙，贝必=8°2〉0,XA+XB=3p.

又|AB|=/+XB+P=4P=8,所以夕=2,所以C的方程为/=4x.

【小问2详解】

由(1)知*1,0),依题意，可设直线乙的方程为丁=左(%—1)仅wO),

则直线，2的方程为y=—：(》—1).

K

y=k(x-\\.4

联立方程组I/消去x得/―9―y—4=0,显然A>0,

y=4x,k

设A(%，X)，3(%，%)，则%+%=［，%%=一4.

设£)(七,%)，£(%4，%)，同理可得%+%=_4左,为乂=_4，

k.X———X-%.44

AD

所以石―&y：y%+%，同理可得7E=•

T-T…

4

直线AD的方程为y-%=x-

(2、

4

即y二------X--+另=

41

\r)X+%X+%

同理，直线助的方程为

16

y=---%+%"=—4x+-产)

%+%y+y_£_±_£_±

24%+%M+%

%%%为

4%%

两直线方程联立得------x+上工解得》=一1,

Ji+%%+%%+%%+%

即直线AD与班交点。在定直线x=-1上.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为（石,%）、（九2，%）；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于X（或y）的一元二次