高考数学一轮复习：函数模型及其应用 专项练习（学生版+解析）

第07讲函数模型及其应用（核心考点精讲精练）

1.4年真题考点分布

4年考情

考题示例考点分析关联考点

对数的运算性质的应用

2023年新I卷，第10题,5分对数函数模型的应用

由对数函数的单调性解不等式

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他函数知识点考查，需要掌握函数的图

象与性质，难度中等偏下，分值为5分

【备考策略】1.会选择合适的函数类型来模拟实际问题的变化规律.

2.会比较一次函数、二次函数、塞函数、对数函数、指数函数增长速度的差异

3.了解函数模型（指数函数、对数函数、哥函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模

型）的广泛应用

【命题预测】本节内容通常考查给定实际问题选择用合适的函数解析式来模拟或求对应的实际应用值，是

新高考复习的重要内容

知识讲解

1.三种函数模型的性质

函数y=log。y"

性(。>1)3D(〃>0)

在（0,+8）上

单调递增单调递增单调递增

的增减性

增长速度越来越快越来越慢相对平稳

随X的增大逐渐表现为随X的增大逐渐表随n值变化而各有

图象的变化

与y轴平行现为与X轴平行不同

2.常见的函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型兀r)=ox+Z?(〃，为常数，aWO)

1

二次函数模型J(x)=ax+bx+c(<afb,c为常数，〃W0)

fix)=%b(k,。为常数且左WO)

反比例函数模型

指数函数模型fix)=bax+c(a,b,c为常数，〃>0且〃Wl,

对数函数模型fix)=b\ogax+c(a,b,c为常数，Q>0且/?W0)

嘉函数模型f(x)=axa+b(a,b,a为常数，〃W0,aWO)

3.解函数模型问题的步骤

(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型.

(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型.

⑶解模：求解数学模型，得出数学结论.

(4)还原：将数学问题还原为实际问题.

以上过程用框图表示如下：

考点一、指数函数模型

☆典例引领

1.(2023•重庆•校联考模拟预测)生物学家为了了解抗生素对生态环境的影响，常通过检测水中生物体内抗

生素的残留量来进行判断已知水中某生物体内抗生素的残留量》(单位：mg)与时间/(单位：年)近似

满足关系式V=2(1-3%)(2*0),其中几为抗生素的残留系数，当7=8时，＞=|力，则2=()

【答案】D

O

【分析】根据题意得］2=彳（1-3-8。，从而可求出九

【详解】解：因为抗生素的残留量y（单位：mg）与时间”单位：年）近似满足关系式>=4（1-3一"（彳/0）,

Q

当t=8时，j=-A,

O

所以，/=彳（1-3.），

9

11

所以3.=±=3-2,即_8；1=-2,解得彳=二

94

故选：D

2.（2023•福建漳州•统考三模）英国物理学家和数学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度变化的冷却模型.

如果物体的初始温度是仇，环境温度是为，则经过fmin物体的温度。将满足。=4+（4-4）小，其中人是

一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数.现有9（FC的物体，若放在1（TC的空气中冷却，经过lOmin物

体的温度为5（rc,则若使物体的温度为2（rc,需要冷却（）

A.17.5minB.25.5minC.30minD.32.5min

【答案】c

【分析】根据已知函数模型和冷却lOmin的数据可求得3再代入所求数据，解方程即可求得结果.

11

【详解】由题意得：5O=lO+（9O-lO）e-lo\即.•"=Aln2,

/、-—In2

.•.6=4+C）e10，

由20=10+（90-10）eKn2得：e*BP-^jln2=ln1=-31n2,解得：,=30’

若使物体的温度为2（TC,需要冷却30min.

故选：C.

☆即时检测

1.（2023•江西•校联考二模）草莓中有多种氨基酸、微量元素、维生素，能够调节免疫功能，增强机体免疫

力.草莓味甘、性凉，有润肺生津，健脾养胃等功效，受到众人的喜爱.根据草莓单果的重量，可将其从小到

大依次分为4个等级，其等级x（x=L2,3,4）与其对应等级的市场销售单价y（单位：元/千克）近似满足函

数关系式>=产+".若花同样的钱买到的1级草莓比4级草莓多1倍，且1级草莓的市场销售单价为24元/千克，

则3级草莓的市场销售单价最接近（）（参考数据：啦。1.26,班。1.59）

A.30.24元/千克B.33.84元/千克C.38.16元/千克D.42.64元/千克

【答案】C

【分析】由指数运算，可得5k=/=2,求得e3"〃的值.

4a+^

【详解】由题可知^^=03"=2,/=啦，由e"+“=24,贝u

e3a+b=e2a-ea+b=24e2a=24-^4»38.16.

故选：C.

2.（2023•山东德州•三模）2023年1月底，人工智能研究公司。M⑷发布的名为“。府6尸厂的人工智能聊

天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实

G

现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为£=4〃^,其中乙表

示每一轮优化时使用的学习率，4表示初始学习率，。表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，Go表示衰减

速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8,衰减速度为12,且当训练迭代轮数为12时，

学习率衰减为0.5.则学习率衰减到0.4以下（不含0.4）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：32。0.3010）

（）

A.16B.17C.18D.19

【答案】C

【分析】由题意求得£=0.8x（1,令0.8xc|六＜0.4,结合对数的运算公式，求得G＞17.7,即可得到答

案.

【详解】由题意知，初始学习率％=0.8,衰减速度G0=12,所以乙=0.8/^，

因为当训练迭代轮数为12时，学习率衰减为0.5,可得0.5=0.8£＞仃12，解得。=］5，

所以L=0.8x（土产,

8

令0.8x(|)五<0.4,可得(|产<g,G,5,1

贝nl1JRggVlg：；'

iZo2

⑵g;

-121g2________-12x0.3010

可得G>—

Ig5-31g2~(1-0.3010)-3x0.3010

lg8

所以至少所需的训练迭代轮数至少为18.

故选：C.

3.（2023・江苏盐城・盐城市伍佑中学校考模拟预测）中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地，茶文化是把茶、

赏茶、闻茶、饮茶、品茶等习惯与中国的文化内涵相结合而形成的一种文化现象，具有鲜明的中国文化特

征.其中沏茶、饮茶对水温也有一定的要求，把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是空气的

温度是％。C,经过f分钟后物体的温度为兔，满足公式。=稣+（4-幻/矽.现有一壶水温为92团的热水用

来沏茶，由经验可知茶温为52回时口感最佳，若空气的温度为12回，那从沏茶开始，大约需要（）分钟饮

用口感最佳.（参考数据；ln3=L099,In2«0.693）

A.2.57B.2.77C.2.89D.3.26

【答案】B

【分析】有题意，根据公式。=为+幽-4"""代入数据得52=12+（92-12）/6，变形、化简即可得出答

案.

【详解】由题意得e=%+（4-幻/矽，代入数据得52=12+（92-12）1矽，

整理得e"5，=J_,gp-0.25Z=In-=-In2«-0.693,解得年2.77；

22

所以若空气的温度为12回，从沏茶开始，大约需要2.77分钟饮用口感最佳.

故选：B.

4.（2023・全国•模拟预测）保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，

关系社会发展的潜力和后劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留

数量尸（单位：毫米/升）与过滤时间，（单位：小时）之间的函数关系为P=《-e'（/20）,其中％为常数，

上＞0,q为原污染物数量.该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%,那么

再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（）参考数据：0.585•

A.9%B.10%C.12%D.14%

【答案】C

£

【分析】根据题意可得兄二"=!兄，解得e-3*=gj,从而求得关于残留数量与过滤时间的函数关系式，

再将f=12代入即可求得答案.

【详解】因为前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%,所以4-e以=g4，即e"所以=[j.

4

再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为4©3=4xG）；gx0,585xEal2%《•

故选：C.

考点二、对数函数模型

☆典例引领

1.（2023•全国•统考高考真题）（多选）噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义

声压级4=20xlg二，其中常数％（p°>。）是听觉下限阈值，P是实际声压.下表为不同声源的声压级:

Po

声源与声源的距离/m声压级/dB

燃油汽车1060〜90

混合动力汽车1050〜60

电动汽车1040

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为P],P2，P3,则（）.

A.A>p2B.p2>10p3

C.p3=100/70D.A<100p2

【答案】ACD

【分析】根据题意可知4«60,90]，4«50,60]，4=40,结合对数运算逐项分析判断.

【详解】由题意可知：LpiG[60,90],LP2G[50,60],LP3=40,

对于选项A：可得乙仍一£“2=2°xlg且—2°xlg4=2°xlga~,

PoPoPl

因为4M02,则为-J=20xlg且30,即Ig&zo,

PlPl

所以.21且0]，P2>0,可得pgPz，故A正确；

Pl

对于选项B：可得42-乙丹=20xlgR-20xlg2~=20xlg上，

PoPoPi

因为4一4=4；-4021°,则20xlgJ10,即lg%；,

，3，3,

所以国且0,2>0,可得％2而科，

当且仅当4?=50时，等号成立，故B错误；

对于选项C：因为乙冉=20xlg凸=40,即1g上=2,

PoPo

可得星=100,即p3=100p0,故C正确；

Po

对于选项D：由选项A可知：Ln-Lp2=20xlgA,

Pl

且y290—50=40,则20xlg且K40,

Pi

即电旦42,可得rV100,且p1,%＞。，所以RWlOOpz，故D正确;

PlP1

故选：ACD.

即时检测

1.（2023•山西朔州•统考二模）2022年6月5日上午10时44分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号F

运载火箭，将神舟十四号载人飞船和3名中国航天员送入太空这标志着中国空间站任务转入建造阶段后的

首次载人飞行任务正式开启.火箭在发射时会产生巨大的噪音，已知声音的声强级d（x）（单位：dB）与声

强无（单位：W/n?）满足d（x）=101g/.若人交谈时的声强级约为50dB,且火箭发射时的声强与人交谈

时的声强的比值约为103则火箭发射时的声强级约为（）

A.130dBB.140dBC.150dBD.160dB

【答案】B

【分析】设人交谈时的声强为4,从而得到占=10-7,求出火箭发射时的声强为109x10-7=102,代入解析

式求出答案.

【详解】设人交谈时的声强为4,则火箭发射时的声强为10晨「

则50=101g木，解得:%=10一7,

则火箭发射时的声强为109x10"=102,将其代入d（x）=ioig温中，得：

^（102）=101g^=140dB,故火箭发射时的声强级约为140dB.

故选：B

2.（2023•山东•烟台二中校联考模拟预测）地震震级是对地震本身能量大小的相对量度，用M表示，M可通

过地震面波质点运动最大值（4T）a进行测定，计算公式如下：M=lg（A/T）niax+1.661gA+3.5（其中A为

震中距）.若某地发生6.0级地震,测得（47）3=0.001,则可以判断（）.参考数据：2°-313«1.24,50313«1.65.

A.震中距在2000〜2020之间B.震中距在2040〜2060之间

C.震中距在2070〜2090之间D.震中距在1040〜1060之间

【答案】B

【分析】代入求值，得至HgA=3.313,进而求出答案.

【详解】依题意，6.0=lg0.001+1.661gA+3.5,

则5.5=L661gA,则IgA3.313,

1.66

^A«1O3-313=1O3X2°-313X50-313»1000xl.24xl.65=2046.

故选：B

3.（2023・吉林长春・东北师大附中校考模拟预测）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，

根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒

驾车.假设某驾驶员喝了一定量酒后，其血液中的酒精含量上升到了Img/mL.如果在停止喝酒以后，他血

液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那他至少经过（）小时才能驾驶.（参考数据怆2“0.301）

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【分析】由题意可得100x0.8*=20,由对数的运算性质求解即可.

【详解】解析：设该驾驶员x小时后100mL血液中酒精含量为ymg,

则>=100（1-20%）*=100x08,

当y=20时,有100x0®=20,即08=0.2,

13A1。1。.2=匹=3=3^。30一X7.206,

08lg0.8lg8-l31g2-l3x0.301-1

故选：D.

4.（2023•山西运城・统考二模）昆虫信息素是昆虫用来表示聚集、觅食、交配、警戒等信息的化学物质，是

昆虫之间起化学通讯作用的化合物，是昆虫交流的化学分子语言，包括利它素、利己素、协同素、集合信

息素、追踪信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等.人工合成的昆虫信息素在生产中有较多的应

用，尤其在农业生产中的病虫害的预报和防治中较多使用.研究发现，某昆虫释放信息素/秒后，在距释放

1k

处X米的地方测得的信息素浓度y满足111>=-已1111-：好+。，其中鼠。为非零常数.已知释放信息素1

秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为如若释放信息素4秒后，距释放处6米的位置，信息素浓

度为则6=（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】根据已知的浓度解析式，代入变量，结合对数的运算，化简求值.

〃71k

【详解】由题意Inm=+In一=—In4—b2+a,

224

所以］口m—111胃=_4女+。_1一；1114_5b2+Q））,

即一4%+月62=0.又左片0,所以〃=16.

4

因为b>0,所以6=4.

故选：B.

5.（2023•湖北荆州•沙市中学校考模拟预测）住房的许多建材都会释放甲醛.甲醛是一种无色、有着刺激性气

味的气体，对人体健康有着极大的危害.新房入住时，空气中甲醛浓度不能超过0.08mg/n?,否则，该新房

达不到安全入住的标准.若某套住房自装修完成后，通风x（x=l,2,3,…,50）周与室内甲醛浓度y（单位：mg/m3）

之间近似满足函数关系式丫=0.48-0.1〃龙）（工€产），其中〃同=0.卜（无2+2彳+1）]优＞0"=1,2,3「..,50）,

且〃2）=2,/（8）=3,则该住房装修完成后要达到安全入住的标准，至少需要通风（）

A.17周B.24周C.28周D.26周

【答案】D

【分析】由已知数据求得参数3然后解不等式〃尤）24即可得.

【详解】〃尤）=log“[Mx+l）2]=log5+21og0（x+l）,由〃2）=2,*8）=3,得log5+210g“（2+1）=2,

log”左+210g“（8+1）=3,

两式相减得log09=l,贝Ua=9,所以log5+2=3,k=9.

该住房装修完成后要达到安全入住的标准，则0.48-0.1〃x）W0.08,

则/（无）“，即l+21og9（x+l）N4,解得x226,

故至少需要通风26周.

故选：D.

考点三、建立拟合函数模型解决实际问题

☆典例引领

1.（2022•福建福州•统考模拟预测）折纸是我国民间的一种传统手工艺术.现有一张长10cm、宽8cm的长

方形的纸片，将纸片沿着一条直线折叠，折痕（线段）将纸片分成两部分，面积分别为岳,邑.若百：$2=1:3,

则折痕长的最大值为（）

A.«^9cmB.10cmC.2^/29cmD.2V34cm

【答案】C

【分析】由已知可确定20cm,分别在三种折叠方式下利用面积建立关于折痕的函数关系式，根据二次

函数和对勾函数的单调性可求得最值，由此可得结果.

【详解】由题意得：长方形纸片的面积为10x8=80（cnf）,又邑=1:3,

22

/.S]=20cm,S2=60cm；

①当折痕如下图所示时，

；孙=20

设AE=x,AF=y,贝lj<0<x<10,解得:

0<j<8

令Y=re[25,100],/(f)=f+-y^(25<r<100),

・■•/⑴在(25,40)上单调递减，在(40,100)上单调递增，

又〃25)=25+64=89,4100)=100+16=116,“40)=40+40=80,

/(f)e[80,116],后,2庄];

②当折痕如下图所示时，

；(x+y)x8=20

x+y=5

设AE=x,DF=y,贝I卜0<x<10,解得:

0<x<5f

0<y<10

.-,EF2=(.r-y)2+64=(2x-5)2+64,

ag(x)=(2x-5y+64(0〈xW5),则g(x)在上单调递减，在(g,5)上单调递增,

5

又g(0)=25+64=89,g64,^(5)=25+64=89,/.g(x)e[64,89],

.•.EPe[8,牺];

③当折痕如下图所示时,

1（x+j）xlO=2O

x+y=4-

设AF=x,BE=y,则<04x48,解得：

0<x<4

0<y<8

EF2=（x-»+100=（2x-4）2+100

/z（x）=（2.r-4）2+100（0<x<4）,则，z（x）在（0,2）上单调递减，在（2,4）上单调递增，

X^（0）=16+100=116,旗2）=100,.4）=16+100=116,/?（x）e[100,116],

.■.£Fe[10,2729]；

综上所述：折痕长的取值范围为[&2月）

•••折痕长的最大值为2标cm.

故选：C.

即时检测

1.（2022・广东•模拟预测）在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数.当基本传染数高

于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数量指数级增长.当基本传染数

持续低于1时，疫情才可能逐渐消散.广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数.假设某种传染病的基本传

染数为％,1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N人中有V个人接种过疫苗（三称为接种率），

那么1个感染者新的传染人数为个■（N-V）.已知新冠病毒在某地的基本传染数%=2.5,为了使1个感染者传

染人数不超过1,该地疫苗的接种率至少为（）

A.40%B.50%C.60%D.70%

【答案】C

【分析】由题意列不等式2.5（：-一W1,即可求出结果.

N

（

【详解】由题意可得：-25-N--V-^}<1=>2.5^-2.5V<2V=>—V>—15=60%

NN2.5

故选：c.

2.（2022・云南曲靖•统考二模）某大型家电商场，在一周内，计划销售A、8两种电器，已知这两种电器每

台的进价都是1万元，若厂家规定，一家商场进货8的台数不高于A的台数的2倍，且进货8至少2台，而

销售A、B的售价分别为12000元/台和12500元/台，若该家电商场每周可以用来进货A、8的总资金为6万

元，所进电器都能销售出去，则该商场在一个周内销售A、5电器的总利润（利润=售价一进价）的最大值

为（）

A.1.2万元B.2.8万元C.1.6万元D.1.4万元

【答案】D

【分析】设卖场在一周内进货8的台数为x台，则一周内进货A的台数为（6-同，根据题意可得出关于x的

不等式，解出X的取值范围，再写出y关于X的函数关系式，利用函数的单调性可求得y的最大值.

【详解】设该卖场在一周内进货B的台数为无台，则一周内进货A的台数为（6-力，

设该卖场在一周内销售A、8电器的利润为＞万元，

（x＞2

由题意可得「＜2（6_,，可得2WxW4,且xeN,

y=0.2（6-x）+0.25x=0.05x+1.2,

函数y=0.05x+L2随着x的增大而增大，^ymax=0.05x4+1.2=1.4（万元）.

故选：D.

3.（2023,浙江•统考二模）绍兴某乡村要修建一条100米长的水渠，水渠的过水横断面为底角为120。的等腰

梯形（如图）水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米100元，为了提高水渠的过水率，要使过水横断面

的面积尽可能大，现有资金3万元，当过水横断面面积最大时，水果的深度（即梯形的高）约为（）（参

考数据：73-1.732）

【答案】B

【分析】如图设横截面为等腰梯形ABC。，于E,求出资金3万元都用完时A5+BC+AD,设BC=x,

再根据梯形的面积公式结合二次函数的性质即可得解.

【详解】如图设横截面为等腰梯形A3CD，BELCD于E,ZBAD=ZABC=120°,

要使水横断面面积最大，则此时资金3万元都用完，

贝也OOxlAB+BC+AZ^xlOOnBOOOO,解得AB+BC+AD=3米，

设BC=x,贝IAB=3—2尤,BE=且无,CE='x,故CD=3-x,且0＜x＜』，

222

X

梯形ABCD的面积c

2

当x=l时，£ax=¥

止匕时=0.87,

2

即当过水横断面面积最大时，水果的深度（即梯形的高）约为0.87米.

故选：B.

【基础过关】

一、单选题

1.（2023•福建宁德•校考模拟预测）已知一种放射性元素最初的质量是500g,按每年10%衰减，则可求得这

种元素的半衰期（质量变到原有质量一半所需的时间）为（）（已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,结果精确到

0.1）

A.7.6年B.7.8年C.6.2年D.6.6年

【答案】D

【分析】按每年10%衰减，得出每年剩余90%,列出方程，根据对数运算得出结果.

【详解】最初的质量是500g,经过一年后，质量变为500（1-10%）=500x0.9,

经过2年后，质量变为500x0.92,

经过f年后，质量变为500x09,

令500x0.9'=250,则09=0.5,

lnO5-lg2-0.3010

则/In0.9=ln0.5,~6.6.

In0.9-21g3-l-2x0.4771-1

则这种元素的半衰期6.6年.

故选：D.

2.（2023•安徽合肥•二模）Malthus模型是一种重要的数学模型.某研究人员在研究一种细菌繁殖数量N⑺与

46z

时间r关系时，得到的Malthus模型是N⑺=7Voe°-，其中N。是r=办时刻的细菌数量,e为自然对数的底数.若

f时刻细菌数量是％时刻细菌数量的6.3倍，则f约为（）.（ln6.3R.84）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】由条件可知，N°e°*63N。,结合指对互化，即可求解.

OM,046

【详解】当N=r时，N（f）=Noe=63N0,即e--=6.3,

贝lj0.46/=In6.3“1.84,得/”4.

故选：C

3.（2023•山东•沂水县第一中学校联考模拟预测）某款电子产品的售价，（万元/件）与上市时间x（单位:

月）满足函数关系y=10"+6（a,6为常数，且beN*）,若上市第2个月的售价为2.8万元，第4个月的

售价为2.64万元，那么在上市第1个月时，该款电子产品的售价约为（）（参考数据：

V3~1.732,V5®2.236,lg2«=0.3010）

A.3.016万元B.2.894万元C.3.048万元D.2.948万元

【答案】B

【分析】由已知可得104“一1。2，，+0.16=0,解得1。2。=0.2或10〃=0.8,分别求出匕的值，判断是否满足8eN*,

即可得。的值，从而可求得上市第1个月时，该款电子产品的售价.

【详解】由题得IO?"+8=2.8,10而+6=2.64,W104fl-10^+0.16=0,MW102s=0.2^4102fl=0.8,

当1。2"=0.2时，6=2.6,不合题意舍去，

当1。2"=0.8时，b=2,则10"=血R,所以y=（而§/+2,

当x=l时，y=75^+2=2+¥^2.894,

所以在上市第1个月时，该款电子产品的售价约为2.894万元.

故选：B.

4.（2023・陕西西安•校考模拟预测）为研究每平方米平均建筑费用与楼层数的关系，某开发商收集了一栋住

宅楼在建筑过程中，建筑费用的相关信息，将总楼层数x与每平米平均建筑成本了（单位：万元）的数据整

理成如图所示的散点图：

4每平米平均建筑成本/万元

20-

15-

10-.

5-,

01020*3040楼层数/层

则下面四个回归方程类型中最适宜作为每平米平均建筑费用y和楼层数x的回归方程类型的是（）

A.y=a+bxB.y=a+bQx

b72

C.y=a+—D.y=a+bx

x

【答案】C

【分析】通过观察散点图并结合选项函数的类型得出结果.

【详解】观察散点图，可知是一个单调递减的曲线图，结合选项函数的类型可得回归方程类型是反比例类

型，故C正确.

故选：C.

5.（2023・河北•统考模拟预测）斯特林公式（Stirling'sapproximation）是由英国数学家斯特林提出的一条用

来取〃的阶乘的近似值的数学公式，即加士屈其中兀为圆周率，e为自然对数的底数.一般来说，

当”很大的时候，〃的阶乘的计算量十分大，所以斯特林公式十分好用.斯特林公式在理论和应用上都具有重

要的价值，对于概率论的发展也有着重大的意义.若利用斯特林公式分析100!计算结果，则该结果写成十进

制数时的位数约为（）

（参考数据：1g2«0.301,lg7i«0.497,Ige®0.434）

A.154B.158C.164D.172

【答案】B

【分析】求解Igl。。!，再根据对数公式代入数据化简求解即可.

【详解】由题意lglOO!Blgj27ixlOo[®]=lg10A/2^+1001g—=l+^（lg2+lg7t）+100（2-lge）

«1+1（0.301+0.497）+100（2-0.434）=1+0.399+156.6=157.999工158,

即IglOO!。158,即100!写成十进制数时的位数约为158.

故选：B

6.（2023•福建福州・统考模拟预测）为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村振兴"的目

标，银行拟在乡村开展小额贷款业务.根据调查的数据，建立了实际还款比例产关于贷款人的年收入x（单

-0.9680+fcc

位：万元）的Logistic,模型：P（x）=]：e«.968o+A，已知当贷款人的年收入为8万元时，其实际还款比例为

50%.若银行希望实际还款比例为40%,则贷款人的年收入为（）（精确到0.01万元，参考数据：In3«1.0986,

ln2~0.6931）

A.4.65万元B.5.63万元C.6.40万元D.10.00万元

【答案】A

【分析】先根据题中数据代入计算函数尸（X）中参数％的值，然后计算P（x）=40%时X的值即可.

0-0.9680+8后

【详解】由题意尸（8）==50%=-”.968。+8人=1即—0.9680+8^=0,得无=0.121,所以

]+-0.9680+8A2

e-0.9680+0.121x

PM=]+«—S9680+Q121X

-0.9680+0.121x

令P(X)==40%=-

]+«—Q9680+0.121x5

彳日^^-0.9680+0.12lx=2C(/l1+.e0.9680+0.121%

2

得屋.9680+0.121%

3

2

得-0.9680+0.12lx=In§

In2-In3+0.9680…

得了=---------------®4.65.

0.121

故选：A.

7.（2023•浙江•校联考二模）提丢斯一波得定则，简称"波得定律"，是表示各行星与太阳平均距离的一种经

验规则.它是在1766年德国的一位中学教师戴维•提丢斯发现的.后来被柏林天文台的台长波得归纳成了一个

如下经验公式来表示：记太阳到地球的平均距离为1,若某行星的编号为小则该行星到太阳的平均距离表

示为a+6x2〃T,那么编号为9的行星用该公式推得的平均距离位于（）

行星金星地球火星谷神星木星土星天王星海王星

编号12345678

公式推得值0.711.62.85.21019.638.8

实测值0.7211.522.95.29.5419.1830.06

A.（30,50）B.（50,60）C.（60,70）D.（70,80）

【答案】D

【分析】代入数据计算的值即可.

「。+6义20=0.7]。=0.4„./、

【详解】由表格可得,,,n,na+6x29T=77.2e70,80,

[a+6x2=1[b=0.3

故选：D

8.（2023•广东广州,华南师大附中校考三模）在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数.

当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染1个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数呈指数级增

长.当基本传染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消散.接种疫苗是预防病毒感染的有效手段.已知某病毒的基

本传染数4=5,若1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N人中有V个人接种过疫苗（三V称为

接种率），那么1个感染者新的传染人数为为了有效控制病毒传染（使1个感染者传染人数不

超过1）,我国疫苗的接种率至少为（）

A.75%B.80%C.85%D.90%

【答案】B

V

【分析】根据已知条件可得出关于三的不等式，由此可得出结果.

N

V

【详解】由题意可得5,（,"/『x。-后尸,解得无舌4，因此，

该地疫苗的接种率至少为80%.

故选：B.

9.（2023•江苏无锡•校联考三模）“青年兴则国家兴，青年强则国家强"，作为当代青少年，我们要努力奋斗,

不断进步.假设我们每天进步1%,则一年后的水平是原来的10产5。37.8倍，这说明每天多百分之一的努力,

一年后的水平将成倍增长.如果将我们每天的"进步"率从目前的10%提高到20%,那么大约经过（）天后,

我们的水平是原来应达水平的1500倍.（参考数据：lg2，0.301,lg3=0.477,图区1.041）

A.82B.84C.86D.88

【答案】B

【分析】利用对数的运算性质结合估算即可求得结果.

【详解】设大约经过x天后，我们的水平是原来应达水平的1500倍，

可得1.2*=Ll*xl500，两边取对数得xlgl.2=xlgl.l+lgl500,

x（lgl2-l）=x（lgll-l）+lgl5+2,

%=Jgl5+2

■ign-igir

又因为Igl5=lg（3x5）=lg3+lg5=lg3+l-lg2

-0.477+1-0.301=1.176,

又因为Igl2=lg3+lg4=lg3+21g2

®0.477+0.602=1.079,

g、，_/15+21.176+23.176

所以x---------------~-----------------=--------a84.

Igl2-lgll1.079-1.0410.038

故选：B.

二、多选题

10.（2023•浙江绍兴•统考模拟预测）预测人口的变化趋势有多种方法，"直接推算法”使用的公式是

匕=4（1+幻"伏＞-1）,其中月为预测期人口数，1为初期人口数，上为预测期内人口年增长率，〃为预测

期间隔年数，则（）

A.当则这期间人口数呈下降趋势

B.当左则这期间人口数呈摆动变化

C.当左=^,匕22兄时，〃的最小值为3

D.当左=4时，〃的最小值为3

【答案】AC

【分析】由指数函数的性质确定函数的增减性可判断A,B；分别代入左=g和左=-：，解指数不等式可判断

C,D,

【详解】Po>O,O<l+k<l,由指数函数的性质可知：匕=4（1+幻"（左>-1）是关于〃的单调递减函数，

即人口数呈下降趋势，故A正确，B不正确；

k=^,Pn=P0［^>2P0,所以所以心log/MwN）,

log,2G（2,3）；所以"的最小值为3,故C正确；

3

左=。4=片］|［交，所以I）弓，所以〃「log|；（〃eN）,

logz|=log32e（l,2）,所以〃的最小值为2,故D不正确；

故选：AC.

【能力提升】

一、单选题

1.（2023•全国•模拟预测）大西洋鞋鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究发现鞋鱼的游速（单位：m/s）

可以表示为v=^log3备，其中Q表示鞋鱼的耗氧量.则鞋鱼以0.5m/s的速度游动时的耗氧量与静止时的

耗氧量的比值为（）

A.3B.27C.300D.2700

【答案】A

【分析】根据题中函数关系式，令v=0和0.5,分别求出对应的。，即可得出结果.

【详解】因为鞋鱼的游速（单位：向$）可以表示为旷=543卷，其中。表示鞋鱼的耗氧量的单位数，

当一条鞋鱼静止时，v=0,止匕时0=；1吗悬，则熹=1，耗氧量为。=1。。；

当一条鞋鱼以0.5m/s的速度游动时，v=0.5,此时0.5=glog3盖，

所以logs焉=1,贝U磊=3,即耗氧量为。=300,

因此鞋鱼以0.5m/s的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为器=3.

故选：A.

2.（2023•重庆•重庆南开中学校考模拟预测）"学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收"（明•《增

广贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的"进步”率都是1%,那么一年后是（1+1%严=1.01365；如果每

天的''退步〃率都是1%,那么一年后是（1-1%产5=0.99365.一年后〃进步〃的是〃退步〃的

1Hi3651ni

土/=（W_）36521481倍.如果每天的"进步"率和"退步"率都是20%,那么大约经过（）天后"进步”的是

0.993650.99

“退步”的一万倍.（馆2土0.3010,lg320.4771）

A.20B.21C.22D.23

【答案】D

【分析】根据题意可列出方程10000x（1-0.2）*=1.2,，求解即可，

【详解】设经过x天"进步"的值是"退步"的值的10000倍，

则10000x（1-02）』鬻,

12

即（一一0000,

篇比上1g3Tg20.1761

°0.8°2

故选：D.

3.（2023•安徽滁州•安徽省定远中学校考一模）等额分付资本回收是指起初投资P,在利率。回收周期数”

为定值的情况下，每期期末取出的资金A为多少时，才能在第〃期期末把全部本利取出，即全部本利回收，

其计算公式为：A=尸•萼察】某农业种植公司投资33万元购买一大型农机设备，期望投资收益年利率为

10%,若每年年底回笼资金8.25万元，则该公司将至少在（