河南省南阳市南召县2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（含答案）

九年级开学摸底练习

数学

一、选择题（每小题3分；共30分）

1.若分式—有意义，贝口满足的条件是（）

x—5

A.xwOB.x=5C.x#5D.x>5

2.宋朝•杨万里有诗曰：“只道花无十日红，此花无日不春风.一尖已剥胭脂笔，四破犹包

翡翠茸”.月季被誉为“花中皇后，，，月季也是南阳市的市花，具有非常高的观赏价值.某品

种的月季花粉直径约为0.0000352米，则数据0.0000352用科学记数法表示为（）

A.3.52x10-5B.0.352x10-5

C.3.52x10-6D.35.2x10-6

3.如图，枫叶遮盖了一点尸，则点尸的坐标可能是（）

斗

~O.*

A.（3,2）B.（-3,2）C.（3,-2）D.（-3,-2）

4.某中学规定：学生的学期体育综合成绩满分为100分，其中，期中考试成绩占40%,期

末考试成绩占60%,小海同学这个学期的期中、期末成绩（百分制）分别是80分、90分,

则小海这个学期的体育综合成绩是（）

A.88.5分B.86分C.87分D.87.5分

5.小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺/8C的一边NC贴着直尺推移到44G的

位置，这时四边形就是平行四边形.小明这样做的依据是（）

试卷第1页，共6页

A.有两组对边分别平行的四边形是平行四边形

B.有两组对边分别相等的四边形是平行四边形

C.有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

D.对角线互相平分的四边形是平行四边形

6.已知点（石，-2）,（%1）,（与4）都在反比例函数了=於的图象上,则占,无2，W的大小

X

关系是（）

A.x2<x3<B.x3<x2<C.x3<xx<x2D.x2<xx<x3

7.如图，菱形4BC。的对角线4C,BD交于点、O,AC=12,BD=6,将绕点。顺

时针方向旋转得到MOE,连接CF.若点。的对应点£恰好落在线段上，则ABC厂的

m6

8.已知关于x的分式方程/一+4=1的解是非负数，则加的取值范围是（）

X—11—X

A.m>5B.m>5C.加25或加。6D.加>5或加。6

9.如图，射线。4、08分别表示买牛肉和买猪肉所需费用》（单位：元）与购买数量x（单

位：千克）的关系，已知买牛肉每千克所需的费用比买猪肉每千克所需的费用的3倍少20

元，设买猪肉每千克所需的费用为〃元，则可列方程为（

300120300120

A.-----=----------B.-----

a3a-20a3a+20

300_120300_120

D.

3(2+20a3Q-20a

试卷第2页，共6页

10.如图，尸是正方形/BCD对角线BD上一点，PELDC,PF1BC,E、尸分别为垂足,

若CF=3,CE=4,则4P的长是（）

A.3B.4C.4.8D.5

二、填空题（每小题3分；共15分）

11.写出一个分式，并保证无论字母取何值分式均有意义.

12.9名学生的鞋号由小到大是：20,21,21,22,22,22,22,23,23,这组数据的平均数、中位数

和众数中，指标是鞋厂最感兴趣的（填“平均数”或“中位数”或“众数”）.

13.直线y=2x+l向下平移3个单位所得到的直线不经过的象限是.

14.如图，在平行四边形N8CD中，NA4D的平分线交8c于点£,乙48c的平分线交

于点尸，若2尸=12,48=10,则/£的长为.

15.如图，反比例函数＞="的图象经过口/BCD对角线的交点P,已知点4C、。在坐标

x

轴上，BD1DC,口/BCD的面积为10,则左=.

三、解答题（10+9+9+9+9+9+10+10=75分）

16.（1）计算：（一2厂-g）+（万-2024）°；

（2）化简：+1]+字

\a-2J6Z-4

17.快递业为商品走进千家万户提供了极大便利，不同的快递公司在配送速度、服务、收费

试卷第3页，共6页

和投递范围等方面各具优势.网店店主小刘打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为

此，小刘收集了10家网店店主对两家快递公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：

①配送速度得分（满分10分）：

甲：7,6,9,6,7,10,8,8,9,9；

乙：8,8,6,7,9,7,9,8,8,9.

②服务质量得分统计图（满分10分）：

o12345678910店上搐门

③配送速度和服务质量得分统计表：

配送速度得分服务质量得分

统计量快递公司

平均数中位数众数平均数方差

甲7.9mn75甲

乙7.98874

根据以上信息；回答下列问题:

⑴填空：加=,比较大小：s看4

（2）综合上表中的统计量，你认为小刘应选择哪家公司？请说明理由.

18.已知等腰三角形周长为20.

（1）写出底边长》关于腰长x的函数解析式（x为自变量）；

⑵写出自变量的取值范围；

（3）在直角坐标系中，画出函数图象.

19.如图，在RtZ\48C中，ZACB=90°,过点C的直线〃23,。为边上一点，过

点。作交直线于E,垂足为尸，连接CD、BE.

试卷第4页，共6页

\f

⑴求证：CE=AD；

(2)当。在中点时，四边形8ECD是什么特殊四边形？说明你的理由；

(3)若。为中点，则当NN的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？说明你的理

由.

20.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=^x+〃与反比例函数＞=勺的图象在第一象

限内交于“(。,4)和3(4,2)两点，直线4B与x轴相交于点C,连接

(1)求一次函数与反比例函数的表达式；

k

(2)当久＞0时，请结合函数图象，直接写出关于x的不等式+的解集；

X

(3)尺圆作图：过点B作助〃龙轴，交04于点。(保留作图痕迹，不写作法)，并直接写出

梯形。C8。的面积.

21.某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本.已知甲种类型的电脑的单价比乙种类型的

要便宜10元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样.

(1)求甲乙两种类型笔记本的单价.

(2)该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则

购买的最低费用是多少.

22.【教材呈现】

下图是华师版八年级下册数学教材第75页练习的部分内容：

如图，如果直线那么△/台。的面积和△O2C的面积是相等的.请你证明这个结论.

试卷第5页，共6页

A

【方法探究】

如图，在口NBCD中，点E在边8c上，若8E=2EC,则邑碑与心3之间的关系为

【方法应用】

4

如图，已知四边形。4BC是菱形，CDLx轴，垂足为。，函数y=—的图象经过点C,且与

x

AB交于点E.若。〃=2,求4。废的面积.

23.［特例感知］如图I,在正方形N8CZ)中,点瓦厂分别为的中点，DE、CF交于

点G.

图1

(1)证明：DELCF.

(2)［初步探究］如图2,在正方形/8C。中，点£为边上一点，FGLDE分别交BC

于尸、G,垂足为0.求证：FG=DE.

(3)［基本应用］如图3,将边长为8的正方形/BCD折叠，使得点A落在边CD的中点M处,

折痕为尸0,点尸、。分别在边/。、8c边上，求出折痕尸。的长.

试卷第6页，共6页

1.c

【分析】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无

意义今分母为零；（2）分式有意义=分母不为零；（3）分式值为零O分子为零且分母不为

零.

根据分母不为零，分式有意义进行选择即可.

3

【详解】解：当分母x-5w0,即x/5时，分式一「有意义,

故选：C.

2.A

【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：axlO"（1<|^<10,〃为正整数）,

先确定”的值，再根据小数点移动的数位确定〃的值即可解答，根据科学记数法确定。和”

的值是解题的关键.

【详解】解：0.0000352=3.52x10^,

故选：A.

3.C

【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的

关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+,+）;第二象限（-,+）;第三象限

第四象限（+,-）.

根据图形可得点尸在第四象限，再根据第四象限内的点的坐标符号为（+,一）进而得出

答案.

【详解】解：由图形可得：点P的坐标可能是（3,-2）.

故选：C.

4.B

【分析】本题考查了加权平均数，利用加权平均数计算公式计算即可求解，掌握加权平均数

计算公式是解题的关键.

【详解】解：小海这个学期的体育综合成绩为80x40%+90x60%=32+54=86分，

故选：B.

5.C

【分析】本题考查了平移，平行四边形的判定，熟练掌握一组对边平行且相等的四边形是平

行四边形是解题的关键.

答案第1页，共16页

【详解】根据平移的性质，得到/切|44,4台=44，

故选：c.

6.A

【分析】本题考查了反比例函数的性质：比较反比例函数值或自变量的大小，先把

（孙-2）,（x2,l）,（孙4）都代入昨W，算出X1,X”退的值，再作比较，即可作答.

【详解】解：•••（孙-2）,的1）,伍,4）都在反比例函数昨心的图象上，

X

.•.把（冲-2）,（x2,l）,（玉，4）都代入了=’，

X

再=—44-（—2）=2,x?=—4+1=—4,9=—4+4=—1,

・•・x2<x3<x1

故选：A

7.B

【分析】本题主要考查了菱形的性质，旋转的性质，先由菱形对角线互相垂直平分得到

OA=OC=—AC=6>OB=0D=—BD=3,ACJ.BD,再由旋转的性质可得

22

OF=OA=6,ZEOF=ZAOD=90°,则尸、B、。三点共线，据此根据三角形面积计算公式

求解即可.

【详解】解：,••菱形A8CD的对角线/C,BD交于点O,AC=U,BD=6,

..Q=0C=1/C=6,0B=0D=LBD=3,AC1BD,

22

•.•将绕点。顺时针方向旋转得到XFOE，点D的对应点E恰好落在线段0A上，

OF=OA=6,ZEOF=ZAOD=90°,

:.F、B、O三点共线，

：.BF=OF—OB=3,

.t.S^BCF=gBF-OC=—x3x6=9,

故选：B.

8.C

【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解，解分式方程可得》=加-5,即得

m-5>0,得到加25,又由x-lwO得至1］小力6,据此即可求解，正确求出分式方程的解是

解题的关键.

答案第2页，共16页

【详解】解：分式方程去分母得，m-6=x-l,

解得工=加-5,

m6

•••分式方程的解是非负数，

x-11-x

m-5>0,

m>5,

又・・・x-lwO,即加一6。0,

••・加w6,

・••加25且加w6,

故选：C.

9.D

【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系是解题的关键.设买猪

肉每千克所需的费用为。元，则每千克牛肉需要(3。-20)元，再结合图像列出方程即可.

【详解】解：设买猪肉每千克所需的费用为。元，则每千克牛肉需要(3。-20)元,

300120

根据题意可得:

3”20a

故选：D.

10.D

【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性

质，连接CP,可得尸之ACOP(SAS),得到“P=C尸，由勾股定理得

EF7CE°+CF2=5,再证明四边形尸ECE为矩形，得到仃=£尸=5,据此即可求解，正

确作出辅助线是解题的关键.

【详解】解：连接“，

•.•四边形/2CD是正方形，

；./ADP=/CDP=45°,AD=CD,ZC=90°,

■.DP=DP,

...“0尸2ACDP(SAS),

AP=CP,

CF=3,CE=4,

答案第3页，共16页

•••EF=yJCE2+CF2=A/42+32=5，

vPEI.DC,PFLBC,

APEC=ZPFC=ZC=90°,

.•.四边形尸ECF为矩形，

CP=EF=5,

：.4P=CP=5,

故选：D.

【分析】根据分式的分母不等于零，结合分式的概念解答即可.

【详解】••・无论字母x取何值，x2+l>0,

・••三二是一个分式，并无论字母X取何值分式均有意义，

X+1

故答案为：F二（答案不唯一）.

X+1

【点睛】本题考查了分式有意义的条件和分式的概念，解题的关键利用偶次方的非负性列一

个代数式使分母不等于零.

12.众数

【分析】本题考查了众数，众数是数据中出现最多的数，即代表销售量最多的鞋号，据此即

可求解，掌握众数的意义是解题的关键.

【详解】解：这组数据的平均数、中位数和众数中，鞋厂最感兴趣的是众数，

故答案为：众数.

13.二

【分析】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数的图象，根据一次函数图象的平移规律

求出平移后直线的解析式，再根据解析式即可求解，掌握一次函数图象平移规律和性质是解

题的关键.

答案第4页，共16页

【详解】解：把直线>=2x+l向下平移3个单位得到的函数解析式为y=2x+l-3=2x-2,

•・,左=2>0,/)=-2<0,

直线y=2x-2经过第一、三、四象限，不经过第二象限，

故答案为：二.

14.16

【分析】首先利用平行四边形的性质和角平分线的定义得出四边形即是菱形，然后利用

菱形的性质求解即可.

••・四边形ABCD是平行四边形,

ADHBC,

NAFB=ZEBF.

•；BF平分NABC,

NABF=NEBF,

ZAFB=ZABF,

AF=AB,

同理可得48=BE,

AF=BE,

•••四边形ABEF是平行四边形.

四边形4BEF是菱形,

AE1BF,AG=GE=-AE,BG=GF=-BF=6,

22

A8=10,

AG=^AB--BG-=8，

:.AE=16,

故答案为：16.

【点睛】本题主要考查平行四边形和菱形的性质，掌握平行四边形和菱形的性质及勾股定理

是关键.

答案第5页，共16页

15.-5

【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，矩形的判定和性

质，由平行四边形的性质可得S.ca=；S/BCD=g，AB=CD,N8〃x轴，进而可得

NBAO=90°,又由BOLDC,可得CDPD=5,ZBDO=90°,设点尸的坐标为(龙/),则

OD=-x,PD=y,由四边形48。。是矩形得即得到CO=0O=-x,得到

xy=-5,据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键.

【详解】解：•••四边形/BCD是平行四边形，

・'•SACDP=^邑8<»=*xl0=］，4B=CD,轴，

.­.ZBAO=lS00-90°=90°,

•••BD1DC,

S.CDP=-CDPD=-,ABDO=90°,

KDP22

CDPD=5,

设点P的坐标为(xj),则OZ)=-x,PD=y,

•••ZBAO=ZBDO=ZAOD=90°,

.•・四边形/BD。是矩形，

AB=OD,

CD=OD=—x,

.•・-xy=5,

即a二—5,

•・•点p在反比例函数y=-的图象上，

X

,-.k=xy=-5,

故答案为：-5.

3

16.(1)—；(2)。+2

4

【分析】本题主要考查了分式的混合计算，零指数累，负整数指数塞：

(1)先计算零指数鼎，负整数指数募，再计算加减法即可；

(2)先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可.

【详解】解：(1)原式=12+1

4

答案第6页，共16页

_3

="4；

3+Q—26z+1

(2)原式-a-2，(a+2)("2)

_Q+1(Q+2)(Q-2)

a—2Q+1

=a+2.

17.(1)8,<

(2)小刘应选择甲公司，理由见解析

【分析】(1)根据中位数和方差的概念即可解答；

(2)综合分析表中的统计量，即可解答；

本题主要考查了中位数、众数和方差的概念，理解并掌握它们的概念和意义并能结合题干分

析问题是解题的关键.

【详解】⑴解:将甲数据从小到大排列为:6,6,7,7,8,8,9,9,9,10,

从中可以看出一共10个数据，第5个和第6个数据均为8,

所以这组数据的中位数为(8+8)+2=8,即加=8,

从折线统计图中可以看出，甲的服务质量得分分布于5-8,乙的服务质量得分分布于4-10,

从中可以看出甲的数据波动更小，数据更稳定，

即总〈s；；

故答案为：8,<.

(2)解：小刘应选择甲公司，理由如下：

配送速度方面，甲乙两公司的平均分相同，中位数相同，但甲的众数高于乙公司，这说明甲

在配送速度方面可能比乙公司表现的更好，

服务质量方面，二者的平均相同，但甲的方差明显小于乙，说甲的服务质量更稳定，因此应

该选择甲公司.

18.(l)y=-2x+20

(2)5<x<10

⑶见解析

【分析】(1)根据等腰三角形的周长=两腰之和+底边的长，建立等式就可以求出函数解析

答案第7页，共16页

式.

(2)根据三角形的三边关系建立不等式，就可以求出自变量的取值范围.

(3)运用描点法，通过列表、描点、连线的步骤，就可以画出函数的图象.

【详解】(1)解：•・•等腰三角形周长为20,底边长为腰长为工,

y+2x=20,

移项，得：y=-2x+20,

底边长V关于腰长》的函数解析式是：>=-2x+20；

f2x<20

(2)由题意得：，

\2x>—lx+20

解得：5cx<10,

，自变量的取值范围是5<x<10；

(3)V(1)(2)中已求出函数解析式为y=-2x+20(5<x<10),

，取值时，x要在5~10之间，若x=5,贝U〉=10；若x=10,则y=。,

•.•(5,10),(10,0)这两点是取不到的，

1

0

9

8

7

6

5

4

3

2

1

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系的运用.对于实际问题中的函数

关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义，此时的函数图

象可能是线段或射线等.

19.(1)见解析

(2)菱形，见解析

(3)当4=45。时，四边形8EC。是正方形，理由见解析

答案第8页，共16页

【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、正方形的判定、等腰三

角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.

(1)由题意得出结合血W〃/8证明四边形/DEC是平行四边形即可得出结论；

(2)先证明四边形3ECD是平行四边形，结合。EL3c即可得出四边形3ECA是菱形；

(3)当44=45。时，求出乙43c=45。，结合菱形的性质求出/CDS=90。，即可得解.

【详解】(1)证明：•.•44c8=90。，DE1BC,

NACB=ZDFB=90°,

.-.AC//DE,

■■■MN//AB,

.•.四边形ADEC是平行四边形，

CE=AD■,

(2)解:四边形BECD是菱形，理由如下：

•.•四边形ADEC是平行四边形，

CE=AD,

-ZACB=90°f。在中点，

・•・BD=AD,

・•.BE=CE,

•・•CE〃BD,

・•・四边形BECD是平行四边形，

-DE1BC,

.•・四边形3ECO是菱形；

(3)解:当乙4=45。时，四边形3EC。是正方形，理由如下：

•••//=45°,NACB=90°,

ZABC=45°,

•.•四边形BECO是菱形，

CD=BD,

:"DBC=ZDCB=45。，

ZCDB=180°-ZDBC-NDCB=90°,

・•・四边形BECD是正方形.

答案第9页，共16页

o

20.(1)一次函数的表达式为＞=-尤+6,反比例函数的表达式为＞=—；

x

(2)2＜x＜4；

(3)作图见解析，梯形0C2D的面积为9.

【分析】(1)把3(4,2)代入丁=£可求出反比例函数的表达式，进而求出点A坐标，再利用

待定系数法可求出一次函数解析式；

(2)根据函数图象解答即可求解；

(3)作乙=即可得到直线BD,再求出点C、。坐标即可求出梯形0C8。的面积;

本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数的几何

应用，根据题意正确画出图形是解题的关键.

【详解】(1)解：把网4,2)代入＞=人得，2=4，

x4

••・左二8,

Q

・••反比例函数的表达式为y=2,

X

QQ

把刈。,4)代入y=。得，4=工

xa

••a—2,

・•・4(2,4),

把4(2,4)、8(4,2)代入丫=/％+外得,

[4=2m+n

\2=Am+n'

[m=-1

解得女，

，一次函数的表达式为^=-x+6；

k

(2)解：由函数图象可得，当2Vx«4时，加x+〃三一，

x

・•・关于X的不等式加X+〃一上之。的解集为24X44；

x

(3)解：如图所示，直线即为所求；

答案第10页，共16页

设直线04的解析式为＞=Px,把4(2,4)代入得，4=2夕，

・•・直线的解析式为歹=2x,

•・・5Z)〃x轴,

二点B、D的纵坐标相同，

・••点。的纵坐标为2,

把＞=2代入y=2%得，2=2x,

•,・%=1,

.・.助=4-1=3,

把片0代入＞=r+6得，0=-x+6,

•••x=6,

.-.C(6,0),

OC=6,

^WOCBD=-X(3+6)X2=9.

21.(1)甲类型的笔记本单价为110元，乙类型的笔记本单价为120元

⑵最低费用为11000元

【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的运用等知识,

根据题意，列出方程和函数解析式是解题的关键.

答案第11页，共16页

对于（1），设甲类型的笔记本单价为X元，则乙类型的笔记本单价为（X+10）元，根据用110

元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样列方程，从而可解决问题;

对于（2）,设甲类型笔记本购买了。件，费用为卬元，则乙类型的笔记本购买了（100-。）件,

列出w关于。的函数解析式，由一次函数的性质可得答案.

【详解】（1）解：设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本单价为（x+10）元，

解得x=110,

经检验x=110是原方程的解，且符合题意，

，乙类型的笔记本单价为x+10=120（元），

答：甲类型的笔记本单价为110元，乙类型的笔记本单价为120元；

（2）设甲类型笔记本购买了。件，费用为w元，则乙类型的笔记本购买了件,

・•・购买的乙的数量不超过甲的3倍，

•••lOO-o<3aM100-a>0,,

解得254。4100,

根据题意得卬=110。+120（100—。）=110。+12000—120。=一10。+12000,

v-10<0,

随。的增大而减小，.•・。=100时，W最小值为-1000+12000=11000（元）,

答：最低费用为11000元.

22.教材呈现：证明见解析；方法探究：S.ABE=2S.CDE；方法应用：2应.

【分析】教材呈现：如图，过点A作/初,人于M，过点。作于H，则

AM//DH,可得四边形是平行四边形，得到=再根据三角形的面积公式

即可求证；

方法探究：过点A作NG,8c于G,过点。作DR，3c的延长线于点尸，

同理教材呈现可得AG=DF,再根据三角形的面积公式即可求解；

方法应用：连接/C,由教材呈现可得，S&ocE=SSOCA,由CD_Lx轴可得

S®c=g°DCZ»=g冏=2，/ODC=90。,得到CD=2,再根据勾股定理得

答案第12页，共16页

oc=\IOD2+CD2=2V2＞进而根据菱形的性质得。1=OC=2四,再根据三角形的面积公

式即可求解.

【详解】教材呈现：如图，过点A作于过点。作。〃_L/2于H,贝IJ

AM//DH,

•:lx//12,

四边形AMHD是平行四边形，

•••AM=DH,

S△A,BRCC=2-BC-AM,5=-2BCDH,

即A/BC的面积和4DBC的面积相等;

BMCH4

方法探究：如图，过点A作/GJ.8c于G,过点。作。尸，3C的延长线于点尸，

同理教材呈现可得4