重庆市某中学校2023-2024学年高二年级下册期末考试数学试题（含答案解析）

重庆市第一中学校2023-2024学年高二下学期期末考试数学试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知M,N均为R的子集，若存在无使得尤eM,且xe'N,贝I]（）

A.McN手0B.McNC.N^MD.M=N

2.若函数/（2x-l）的定义域为[-3,1],则.=/（=："）的定义域为（）

Vx-1

A.{1}B.[1,|]C-[|4]D'■

3.已知aB,C是三个随机事件，“aB,c两两独立”是“尸（NBC）=尸（⑷尸（3）尸（c）”的

（）条件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

4.近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，Peukert

于1898年提出蓄电池的容量C（单位：Ah）,放电时间f（单位：h）与放电电流/（单位:

A）之间关系的经验公式：C=I"t,其中"为Peukert常数.为测算某蓄电池的Peukert常数

n,在电池容量不变的条件下，当放电电流/=30A时，放电时间/=15h；当放电电流/=40A

时，放电时间/=8h.若计算时取lg2”0.3,1g3go.477,则该蓄电池的Peukert常数〃大约为

（）

A.1.25B.1.75C.2.25D.2.55

5.将5本不同的书（2本文学书、2本科学书和1本体育书）分给甲、乙、丙三人，每人至

少分得1本书，每本书只能分给一人，其中体育书只能分给甲、乙中的一人，则不同的分配

方法数为（）

A.78B.92C.100D.122

6.一堆苹果中大果与小果的比例为9:1,现用一台水果分选机进行筛选.已知这台分选机

把大果筛选为小果的概率为5%,把小果筛选为大果的概率为2%.经过一轮筛选后，现在

从这台分选机筛选出来的“大果”里面随机抽取一个,则这个“大果”是真的大果的概率为（）

试卷第1页，共6页

,855857—1719

A.——B.-------C.D.—

857100020010

7.设函数/（x）=d-x,正实数0力满足/⑷+/伍）=_26,若/+2/wi,则实数彳的最

大值为（）

A.2+2后B.4C.2+V2D.272

8.在农业生产中，自动化控制技术的应用有效提高了农业生产效率.如图所示，在某矩形试

验田MAP。中，MQ=2MN=4,R为MN中煎,尸为中点，三角形区域种植小麦,

梯形心PQ区域种植玉米.为提高劳动效率，节约用水，现采用自动浇水机器人（忽略机器

人的面积）对试验田进行灌溉.已知该机器人沿着以尸为焦点，"0为准线的抛物线运动，

且向以自身为圆心，半径为:的圆形区域内浇水.记小麦田能够被机器人灌溉的面积为S,则

O

（）（若直线/与抛物线£相切于点A,平行于/的直线「与E交于反C两点，记与E围

成的图形面积为几△45。的面积为S2,贝I」3H=4邑）

B.

4192

4949

C.S=——D.S>——

192192

二、多选题

9.为研究光照时长x（小时）和种子发芽数量y（颗）之间的关系，某课题研究小组采集

了10组数据，绘制散点图如图所示，并进行线性回归分析，若去掉点P后，下列说法正确

的是（）

试卷第2页，共6页

A.相关系数r变小B.经验回归方程斜率变大

C.残差平方和变小D.决定系数灯变小

10.已知2"=log]Q,log2b=,则(

A.a+2a=b+2-bB.a+b=2b+2-a

C2"+l>e"D-2">e吃

11.定义在R上的函数/'(x)同时满足①/'(x+1)-/(x)=2x+2,xeR；②当xe[0,l]时,

则()

A./(0)=-1B./（X）为偶函数

C.BneN,,使得/(")>2024〃D.VxeR,|/(x)|<x2+|x|+3

三、填空题

ax+a3

12.若（工一2）4=%/+。3、3+。2,+。科+。0，贝!J。0=：

%+出+%

13.设/'（x）是定义在R上的单调增函数，且满足〃-l-x）+/（x）=-7,若对于任意非零实

数x都有//(x)+--x----+2=-4,贝I]/(2024)=

/(x)+3x

14.设函数〃对=卜--办+1|+办2,若函数y=与直线？="有两个不同的公共点，则

。的取值范围是.

四、解答题

15.一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本，为了调查年技术创

新投入x（单位：千万元）对每件产品成本y（单位：元）的影响，对近10年的年技术创新

试卷第3页，共6页

投入X,和每件产品成本%(i=l,2,3,…,10)的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得:

101I10；"1”,g10vf

x=6.8，10,g-=3'=350

八每件产品成本/元

250-

200

150-•

100-•

50-•••.

••••

_____।।।_____I_____।_______।।______

02468101214

年技术创新投入/千万元

⑴根据散点图可知，可用函数模型y=g+a拟合y与X的关系，试建立V关于X的回归方程;

(2)已知该产品的年销售额加(单位：千万元)与每件产品成本y的关系为

加=一总+1+£^+10°.该企业的年投入成本除了年技术创新投入’还要投入其他成本

io千万元，根据(1)的结果回答：当年技术创新投入尤为何值时，年利润的预报值最大？

(注：年利润=年销售额一年投入成本)

参考公式：对于一组数据(%,匕)、(％%)、L、其回归直线V=C+例的斜率和截

/__

X%匕-nuv

距的最小乘估计分别为：2=咛-------,a=v-pu.

-nu

i=\

16.已知函数/(x)=bgjWT］的图象恒过定点(L°)，其中。>。且

(1)求实数机的值，并研究函数y=/(x+1)的奇偶性；

(川+*+2、

⑵函数g(x)=10g“X+--——2(左+1),关于X的方程〃x)=g(x)恰有唯一解，求实数后

的范围.

17.已知函数/豆)=胧吗\

⑴求/(x)的单调区间；

⑵若函数g(无)=|〃幻+尸4,xe(0,+划存在最大值，求。的取值范围.

22

18.如图，双曲线G：与-4=l("0,b>0)的左,右焦点片，E分别为双曲线

试卷第4页，共6页

22

。2：肃-》=1的左,右顶点，过点片的直线分别交双曲线。的左、右两支于48两点，交

双曲线C2的右支于点M（与点月不重合），且耳匕与△/叫的周长之差为2.

⑴求双曲线G的方程;

⑵若直线匹交双曲线G的右支于。,E两点.

①记直线的斜率为《，直线。E的斜率为质，求左用的值;

②试探究：。£|-|“刈是否为定值？并说明理由.

19.若函数/（x）满足以下三个条件，则称/（尤）为SG-C函数.①定义域为N*;②对任意

xeN*,/（x）eN*；③对任意正整数为，%,当再时，有

（〃%+七）-〃网）-〃七））（〃玉+%）-〃网）-〃七）-1）40.若给定56—函数/3某几

个函数值，在满足条件①②③的情况下，可能的八司如果有左种，分别为工（x）,力⑺，…,

■A(x).

函数1234n

z\/\r\/X

工

工

2工3

/XI

l|(X1:!()

\7\7l/\/工（4）工(〃)

人

人

/X\(1\z2\为73\

(!1!((!

\//\7\/工⑷

X

人

入

力•M")

7\1\z2\73\

(|11(1(

\77\/\7力⑷力(〃)

•-•

•-•

....

人（x）AO）人（2）人（3）。（4）人(〃)

那么我们记尸⑺等于工（〃）,力⑺，…，/（〃）的最大值.这样得到的尸⑺称为/（X）的最

大生成函数.

⑴若/'（X）为SG函数，且尸（支）是在给定条件/⑴=1,1（3）=5下的/（X）的最大生成函

数，求“2）和尸（4）的值;

试卷第5页，共6页

(2)若g(x)为SG—函数，且满足g⑴=8出=1,求数列｛2叫的前10项和；

(3)若八⑺为SG-L函数，且"(x)是在给定条件人⑴=1,人⑵=2下的h(x)的最大生成函数,

求数列｛»(")｝的前"项和.

试卷第6页，共6页

参考答案:

题号12345678910

答案ADDCCAADBCAD

题号11

答案ACD

1.A

【分析】由题意可知存在xeMcN,从而可知答案.

【详解】因为xe'N,所以xeN,又因为xeM,所以xeMcN,故MCNN0,故A

正确；

由于题目条件是存在x,所以不能确定集合M,N之间的包含关系，故BCD错误；

故选：A.

2.D

【分析】根据题意先求得函数/（司的定义域为卜7,1],然后结合抽象函数定义域与求

解即可；

【详解】由题意可知-3VxVl,所以-742XT41,要使函数了=’（：一,无）有意义,则

\x~\

_7K3_4x<1,5

x-l>。，解得

故选：D

3.D

【分析】举特例验证即可.

【详解】解析：一方面，考虑。=｛。,6,c/｝含有等可能的样本点,

/={a,b},8={a,c},C={。，力.

则尸（/）=尸"）=尸（C）=g,尸（/3）=尸（8C）=P（/C）=；,故4民。两两独立，但

尸故此时，尸（/3C）=P（/）P（3）P（C）不成立.

48

另一方面，考虑C=｛1,2,3,4,5,6,7,8｝含有等可能的样本点，

Z={1,2,3,4},8={3,4,5,6},C={4,6,7,8}.

答案第1页，共21页

则尸(⑷=P(B)=尸(C)=I，尸(ABC)=：

2o

尸(/C)=：H：X:，故4c不独立，也即42,c两两独立不成立.

822

综上，“48,C两两独立”是“尸(/3C)=尸(㈤尸(8)尸(C)”的既不充分也不必要条件

故选：D.

4.C

【分析】利用经验公式将数据代入构造方程组，再由对数运算法则可解得常数”.

CC—30"x15

【详解】根据题意由C=/"1可得八一杯“。，

[C=40x8

两式相除可得竺竺=1,即可得[3]=心，

40"x815

两边同时取对数可得1g=lg2，即可得〃lg：=lg[;

Ig8-lgl531g2—(Ig3+l-lg2)41g2-lg3-l_4x0.3-0.477-1_

即0n〃―---------------------------------------1--------------k/.幺3.

Ig3-lg4Ig3-21g2Ig3-21g20.477-2x0.3

故选：C

5.C

【分析】分体育书分给甲和乙两种情况求解.

【详解】若将体育书分给甲，当剩余4本书恰好分给乙、丙时，此时的分配方法有

p2.p2

C；•C卜A：+42­A：=14种，

A、

当剩余4本书恰好分给甲、乙、丙三人时，此时的分配方法有C1A；=36种.

综上，将体育书分给甲，不同的分配方法数是14+36=50.

同理，将体育书分给乙，不同的分配方法数也是50.

故不同的分配方法数是50+50=100.

故选：C

6.A

【分析】记事件4:放入水果分选机的苹果为大果，事件4:放入水果分选机的苹果为小果,

记事件比水果分选机筛选的苹果为“大果”，利用全概率公式计算出尸(B)的值，再利用贝叶

斯公式可求得所求事件的概率.

答案第2页，共21页

【详解】记事件4：放入水果分选机的苹果为大果，事件4：放入水果分选机的苹果为小果,

记事件3：水果分选机筛选的苹果为“大果”，

则尸⑷*，尸（4）=＞尸（5⑷=[，尸（引4）=:

由全概率公式可得尸（5）=尸（4）•尸（a4）+P（4）•尸（司4）=：xt+[x]=^,

P（AB'）=P（A）P（B\AA=-x—=~,

'-ii।"10201000

/।\尸（4刈

因此，/4忸）=笳2_8_5_5_x_1_0_0_0_—_8_5_5_

1000857—857,

故选：A.

7.A

/21+M

【分析】依题意可得/+/=〃—3从而得到246」"=—1〃.，再令最

ab-b2ab

3T

后利用基本不等式计算可得.

【详解】因为/'（X）=X3-X,所以/■伍）=/一即八"一功,

又〃。）+/优）=-26,

所以。3-a+〃一/)=-26,即/+63=4-6,

因为a>0,b>0,所以〃+63>0,所以。>6>0,所以q+'=1,

a-b

又/+助2“即/+访

a-b

所以枇四，所以+,

a-bab-b2〃1

—1

b

令,=则”1,

b

l+

产—1+212

所以=t+lH------

t-\

«—l)+-~~-+2>2^(/—l)•2]+2=2+2V2,

7

当且仅当，-1=』，即/=行+1时取等号,

答案第3页，共21页

所以=2（0+1），所以花2+2收，

\/min

则实数力的最大值为2+2后.

故选：A

【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出口二=1,从而参变分离得到几^长父，再换

a-bab-b

元、利用基本不等式求出的最小值.

ab-b2

8.D

【分析】建立平面直角坐标系，求出抛物线和直线尺。的方程.把抛物线向右平移:个单位得

O

至求平行于五。且与F=X-J相切的直线，并求出切点，则可求切点到直线尺。的

OO

距离，再联立方程组，求抛物线V=x-J与直线五。的交点，由韦达定理和弦长公式得到弦

O

长，把距离和弦长代入三角形面积公式可求抛物线y2=x-J和直线R0围成的三角形面积，

O

根据题目所给的公式，可求抛物线和直线尺。围成的图形的面积W.再把抛物线向左

O

平移:个单位，用同样的方法求出目，即可得到直线尺。左侧，两条平移后的抛物线围成的

O

区域的面积s'.最后验证机器人浇水的区域必然大于两条抛物线围成的区域，即可得到结论.

【详解】如图1,取M0的中点7,以7F所在直线为X轴，7F的中点。为坐标原点，建立

平面直角坐标系.

图1

设抛物线的方程为必=2px,°>0,则7F=p=；,所以抛物线的方程为，=x.

则，tanZMRF=；=4,所以直线RQ的斜率为4,

所以直线尺。的方程为y=4x-l.

答案第4页，共21页

如图2,

图2

把抛物线向右平移：个单位得V=x-，

oo

设平行于尺。且与F=X-5相切的直线方程为"y=4(X+X。)-：，其中4(%,%)为切点,

82o

,1x1

xn

贝!J歹=------------,

2%2%8%

—=4

所以尸外,解得/=，%=』，所以切点坐标为

216481648)

4x-------1

则切点到直线R。：4x-y-l=0的距离64819

1-V42+l2-16V17

设直线尺。与必4相交于/(占,%),/马,%),

O

「21

y=XQ

联立方程组8得：16/一”+-=0,.

y=4x-l8

3

则项+迎=而百•％=透~'|%[-X21=-^(xj+x2)-4A：1

16

\AB\=Jl+/—x,|=■

所以s件》=万|48卜4=

i4Q

则RQ与抛物线产=一?围成的图形的面积品=：凡4加=三.

83128

如图3,

答案第5页，共21页

图3

把抛物线向左平移:个单位得v=x+:，

OO

设平行于R0且与/=X+；相切的直线方程为为y=:（X+X。）+：,其中鸟（X。',%'）为切点,

r.,1X；1

贝IJ尸一7式+37+一;，

2%2%8y0

，二4

所以2%解得《一三,打：：,所以切点坐标为鸟（_三,已

,2,164oVo4o7

VO=X0+Q

IO

则切点到直线R。：4x-y-l=0的距离=（64）825,

2―"+仔_16后

设直线R。与V=x+：相交于。（%,%）,/）（%4，乂），

O

+1

联立方程组了=，得：16X2-9X+-=0,.

y=4x-l8

则X3+无4=斗”3,工4=,|尤3-xj=+X4）--4r3*4=/,

loIzo10

\CD\=J1+L卜3_X41=』旧，

16

1II715r~z25125

所以S^CD=-\CD\.d2=---^-而而二—.

则五。与抛物线V=X+!1围成的图形的面积邑=4三邑38=1言25.

*3384

如图4,

答案第6页，共21页

A

X

图4

直线火。左侧两条抛物线V=x-：与V=x+5围成的区域的面积

OO

sr=s-s.=—949

2384128192

又因为机器人浇水的区域为圆形，方程可设为卜-/7+⑺一。)2

易知《/-皆=0,所以g(x)有零点，又所以g(x)必有两个零点,

_+'

由>2=”+耳可得16，-9x+：=0,解析x=,或x=[,结合图形可得飞=工，

..816816

y=4x-l

同理可得直线y=4x-l与抛物线/=x的交点的横坐标为丝仅，

32

该交点与C之间的距离为5X噎一A=可福J<I，

综上，机器人浇水的区域必然大于两条抛物线围成的区域，所以S>S',即5>羔.

故选：D

【点睛】方法点睛：解决直线和抛物线的位置关系类问题时，一般方法是设出直线方程并联

立抛物线方程，得到根与系数的关系式，要结合题中条件进行化简，但要注意的是计算量一

般都较大而复杂，要十分细心.

9.BC

【分析】由图可知：点尸较其他的点偏离直线最大，所以去掉点尸后，回归效果更好.结合

答案第7页，共21页

相关系数、决定系数、残差平方和以及相关性逐项分析判断.

【详解】由图可知：P较其他的点偏离直线最大，所以去掉点尸后，回归效果更好.

对于A,相关系数“越接近于1,线性相关性越强，因为散点图是递增的趋势，

所以去掉点尸后，相关系数「变大，故A错误；

对于B,由线性回归方程的实际意义，要使残差平方和最小，去掉点尸后，回归直线靠近V

轴位置需要向下移动，但靠近最右侧两个点的位置变化不大，经验回归方程斜率变大，故B

正确；

对于C,残差平方和变大，拟合效果越差，所以去掉点P后，

残差平方和变小，故C正确；

对于D,决定系数上越接近于1,拟合效果越好，所以去掉点尸后，

决定系数火2变大，故D错误；

故选：BC.

10.AD

【分析】结合图象和指、对函数之间的关系即可判断AB；利用切线不等式/Nx+l即可判

断C；利用不等式InxW尤-1即可判断D.

【详解】对A,由图可知：>=2,与1皿丁交点（0<«<1）

y=log2X与y=&］的交点可仇）,（6>1）,

根据指数函数与对数函数为一对反函数知：A,8关于y=x对称，

\a=Tb

故］“，a+T=b+2~b,故A正确；

对B,由A知“+6=2一〃+2",故B错误；

对C,由0=2"知2"=!，则外+1=1+1,设/（尤）=e*-x-l,xeR,

aa

则/（无）=e，-l,则当xe（田,0）时,/0,此时/（x）单调递减；

当x6（0,+8）时，小）>0,此时/（x）单调递增；

则/（尤”/（0）=0,则e'-x-lWO恒成立，即x+14e3当x=0时取等；

令苫=工，则有因为工*0,则，+1</,即故C错误；

aaaa/十

答案第8页，共21页

,.］一x

对D,设〃(x)=lnx+l—x,Xe(0,+00),则/(%)=---,

则当第e(0,1)时，广(X)>0,此时/(X)单调递增；

当％C(l,+8)时，f(x)<Of此时/(x)单调递减；

则/z(x)</z(l)=0,即111%+1-工40在(0,+8)上恒成立，

即InxWx-l在(0,+8)上恒成立，当x=l时取等，

令x=；,则即也6±1-!，因为6>1,则ln6>l-工，则

b\bJbbb

故20=b>J：，故D正确.

故选：AD.

【点睛】关键点点睛：本题AB选项的关键是充分利用图象并结合指、函数的关系，而CD

选项的关键在于两个不等式e'2尤+1和In尤Wx-l的运用.

II.ACD

【分析】令x=0,求得/⑴=/(0)+2,求得可判定A正确；根据题意求

得/⑴和/(T)的值，得到/(一1片/(1)，可判定B不正确；由〃x+l)-〃x)=2x+2,

结合叠加法，可判定C正确；设g(x)=/(x)-x2-x,得出函数g(x)是以1为周期的周期

函数，且|g(x)|<3,结合绝对值的性质，可判定D正确.

【详解】对于A中，因为〃x+l)-〃x)=2x+2,

令x=0,可得/。)-/(0)=2,即/(1)=/(0)+2,

又因为xe[0,l]时，|/(x)展1,gp-l</(x)<l,

即尸"⑼"1

则11-1</(0)2<1，可得-1V〃O)W-1,

T"⑴(1+

答案第9页，共21页

所以/(0)=-1,所以A正确；

对于B中，由选项A可得/(1)=〃0)+2=1,

令x=-l,可得=解得=所以/(-I)*/。),

所以函数/(x)不是偶函数，所以B错误；

对于C中，因为/(x+l)-/(x)=2x+2,

当"N2,〃eN*时,/(«)=[/(«)-/(»-1)]+[/(«-1)-/(«-2)]+-+[/(2)-/(1)]+/(1)

_____._,r-+2-

—2〃+2〃-2+，・・+2x2+l—2(〃+TI-1+,•,+2)+1—2x---------------—n+n-1,

且"l)=l，符合上式，所以/(〃)=〃2+〃_l,

令”=2024,贝I]/(2024)=20242+2023>2024x2024,

即存在〃eN*,使得/(“)>2024",所以C正确;

对于D中,令g(x)=〃x)-x2-x,

贝i]g(x+l)-g(无)=[/(x+l)-(x+l)2-(x+l)]-[/(x)-尤2-x]=/(x+l)—/(X)—2x-2=0,

即g(x+l)=g(x),即函数g(x)是以I为周期的周期函数，

因为xe[0,l]时，则-A|(到+|幺+*§,

结合周期性可知，对任意xeR,均有|g(x)|<3,

所以|/3|=卜卜)+/+小卜(r)|+x2+|c|<x2+jc卜3

又由C项可得/(x)=x2+尤-1,

令无)|=X2+国+3,gp|x2+x-l|=x2+[r]+3,即+x-l)2=H+国+3丫，

当x=0时，上式不成立；

当x>0时，上式化简得/+》+1=0,此时方程无解；

当x<0时，上式化简得(x-2)(尤2+1)=0,此时方程无解；

可得对于任意xeR,卜x?+M+3,

所以，对于任意尤eA,都有|/(尤)|<%2+国+3成立，所以D正确.

答案第10页，共21页

故选：ACD

【点睛】方法点睛：对于函数的新定义试题的求解：

1、根据函数的新定义，可通过举出反例，说明不正确，同时正确理解新定义与高中知识的

联系和转化；

2、正确理解函数的定义的内涵，紧紧结合定义，结合函数的基本性质(如单调性、奇偶性

和周期等性质)进行推理、论证求解.

3、利用函数的周期性时，将自变量较大的函数值转化为自变量较小的函数值，知道自变量

的值进入已知解析式的区间内或与已知的函数值相联系，必要时可再次运用奇偶性将自变量

的符号进行转化.

40

12.16——

41

【分析】借助赋值法，分别令x=0、x=l、尤=7计算即可得.

【详解】令x=0,可得(O-2y=a0,即%=2，=16,

令X—1?可得(1—2)4=%+“3+“2+"1+“0，即4+“3+“2+"1+%=(—=1，

令X——1,可得(―1—2)4=%一+。2-+%，即。4—。3+“2-%=(-3)=81,

贝［］(%+。3+。2+%+。0)+(44—43+。2—"1+40)=2(/+。2+%)=1+81=82,

82\

即=41,贝|。］+。3=1—(+。2+)=1—41=—40,

,,a,+a,40

故---------=----.

+%+%41

_,40

故答案为：16；-■—.

41

13.2021

【分析】利用赋值法求解，令‘=/(.+式二一x1+2,则/«)=-4,再令x=f,结

合题意中条件求得/,可求得/(x),进而可得结果.

【详解】令，=f(x)+y^J-》一1+2,则/。)=-4,

令x=(,则/=/•⑺+/«；+3——；+2=_4_1__；+2,解得(=_］或_g.

而/(T-X)+/(X)=-7,则+=故/=因止匕/=_］.

答案第11页，共21页

则-1=仆)+^^-

岗"'/(x)+3x…尸x/k>3x(/(x)+3)-

因此y(x)+3-x=0或x(/(x)+3)=l,

当x(/(x)+3)=l时，/(x)=1-3,在(0,+8)上单调递减，不满足题意，舍去；

当/(无)=x-3时，满足题意.

贝!!42024)=2021.

故答案为：2021

【点睛】方法点睛：求解抽象函数解析式问题的方法：

(1)若根据已知可推知函数模型时，可利用待定系数法求解；

(2)若无法推知函数模型，一般结合赋值法，通过解方程(组)法求解.其中，方程或者

是已知的，或者是利用已知的抽象函数性质列出的，或者是利用已知方程变换出来的.

14.Q<—2—2<〃<—1。〉2

【分析】对于y=2I2—办+1,当A<0可直接去绝对值求解，当A>0时，分〃<—2行和

a>2V2讨论，通过y=12--“X+l和y="(1-X)图像交点情况来求解.

【详解】由已知/(x)=12/—ax+l|+ax?=ax,gp|2x2-ax+l|=ax(l-x),

则y=ar(l-x)必过点(0,0),(l,0),y=2x?-"+1必过(0,1),

对于y=2x2-ax+1,

当A="—8W0时，一2后(4«2应，止匕时2——分+120恒成立，

所以/(x)=2x2-OX+1+ax2=(2+”)f一办+1,

令(2+Q)f—办+i=办，即(2+。)％2一2办+1=0,要有两个不同的公共点，

[A]=4/—4(2+Q)〉0E/PII—_p,„r-

则'八V7，解得一2后2或一2<Q<—1或2<。(20，

[2+〃。0

当A=/—8>0时，Q<-2行或a〉2拒，

当〃<-2逝时，>=|212_"+”和>="(1—工)图象如下：

答案第12页，共21页

此时夹在其两零点之间的部分为y=-2x?+办-1,

-2x2+ax-l=-ax2+ax,得（。-2）尤?=1无解，

贝I」|2x2-ax+l|=ax（1-x）有两个根o2尤2-ax+\=ax（1-x）有两个根，

即（2+a）d-2办+1=0有两个解，A=4a2-4（2+a）＞0,0＜一2夜符合要求;

当心2行时，夕=|2—_内+”和昨"（1-尤）图象如下：

令2/_办+1=0,根据韦达定理可得其两根均为正数,

综上所述，。的取值范围是。＜-2或-2＜a＜-l或。＞2.

【点睛】方法点睛：对于方程的根或者函数零点问题，可以转化为函数图象的交点个数问题,

图象直观方便，对解题可以带来很大的方便.

答案第13页，共21页

15.(l)y=10+—

x

(2)当年技术创新投入为20千万元时，年利润的预报值取最大值

【分析】(1)令"=!，可得出y关于，的线性回归方程为y=a+£”,利用最小二乘法可求

X

出,、£的值，即可得出V关于X的回归方程;

(2)由k3号可得.浮’可计算出年禾随〃关于/的函数关系式‘结合二次函

数的基本性质可求得”的最小值及其对应的工值.

【详解】(1)解：令式=,，则>关于〃的线性回归方程为y=a+〃",

X

人—Vum.y.-1Ow/y350-210

由题意可得尸=号---------==200,

S-21.6-0.9

2-110A〃

z=l

==70-200x0.3=10,则［=10+200〃,

所以，y关于X的回归方程为y=10+迎.

(2)解：由歹=10+理可得%=用得，

xy—10

工+以与1。。-a1。

年利|润A/=m-x-10=-

50025y-10y-W

1

-------(y-20)9+90.8,

500v)

200200

当天=20时，年利润M取得最大值，此时x==20,

y-10-20-10

所以，当年技术创新投入为20千万元时，年利润的预报值取最大值.

16.(l)m=2,函数>=/(x+l)为奇函数;

(2)1V后<2或一1〈左VO.

【分析】(1)将点(1,0)的坐标代入函数中可求出俏的值，然后利用函数奇偶性的定义判断

尸/(x+1)的奇偶性；

答案第14页，共21页

k?+k+2.八21

x+--------------2(/7k+1)=-1

XX

(2)由题意得，--1>0,再结合方程恰有唯一解可求得结果.

X

左？+左+2.,1、„

xH---------------2《z+I)>0

x

【详解】(1)因为函数/a)=logj?"的图象恒过定点(1,0),

所以log_(m-l)=0,则机-1=1,得加=2,

所以/(x)=log“:T，

2八1I

所以y=/(x+l)=log“-1=10g—7,

X+1)aX+1

由二＞0,得即y=/(x+l)的定义域为(一口)，关于原点对称,

X+1

1—x

令即gf

因为仆)=1%雪=1%1-XT\-X

=-log--=-h{x},

X+1ax+1

所以〃(x)为奇函数，即函数＞=/。+1)为奇函数;

左2+左+2J.

(2)由/(x)=g(x),得k>g“xH-------------—2《+1),

X

k?+左+2_八

xH----------------2"/z+1)=

xx

所以--1>0

X

左？+左+2C/7八

x----------------2K+I)>0

x

由*2—1〉0,得2——x〉0,尚用得0<、<2,

XX

由X+『+左+2—2优+1)=,得Y+/+左+2—2(左+l)x=2—X,

XX

整理得》2—(2左+l)x+左2+左=0,

得(尤—左)[尤—(^+1]=0,解得x=后或x=《+l,

因为关于x的方程/(X)=g(x)恰有唯一解,

0<女<2、左任(0,2)

所以后+1e(0,2)或

0<左+1<2

解得IV左＜2或一1〈发V0,

答案第15页，共21页

综上，1V*<2或-1〈左WO.

【点睛】关键点点睛：此题考查对数函数的综合问题，考查对数型函数过定点问题，考查函

数与方程，第(2)问解题的关键是根据对数的性质和对数方程将问题转化为不等式组求解,

考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.

17.(l)/(x)的增区间为(—8,2),减区间为(2,+8)

(2)a>-l

_11

【分析】(1)对函数求导，得到r(x)=e"/Q-(x),再求出/'(x)>0和/'(x)<0对应的x取

值，即可求出结果；

(2)令人(幻=/(》)+-2°,对©X)求导，利用导数与函数单调性间的关系，求出/?(x)的单

调区间，进而得出3)在(0,包)上取值范围,从而将问题转化成悭力+e%|>|e-2a|成立，

构造函数双》)=61+院》，再利用"心)的单调性，即可求出结果.

【详解】(1)易知定义域为R