江苏省某中学2023-2024学年高一年级下册期末考试数学试题（含答案解析）

江苏省武进高级中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学

试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知复数z满足（2-i）z=5（i是虚数单位），Z的共辗复数为7,则ZN=（）

2.已知圆柱的底面半径为2cm,体积为1271cm3,则该圆柱的表面积为（）

A.12兀cmB.16兀cmC.1871cmD.20兀cm

3.已知。力表示两条不同的直线，见万，7表示三个不同的平面，下列推理正确的是（）

A.aCB=a,buana〃b

B.acf3=a,aJlb=>/）〃/且”/£

C.al/B,acy=a,0cy=b=allb

D.a11I/优。ua,bua=a110

sin（28-兀）

已知点。（2,1）在角。的终边上，则

1+sinfT-必

C.-2

5.已知事件45互斥，它们都不发生的概率为:，且尸（Z）=2P（5）,则尸（N）=（）

14-52

A.—B.-C.-D.一

3993

6.已知向量口不忑满足同=W=1,同=6,且@+3+1=0,贝Ucos,-乙/靖=（）

133G37313

A.—B.—C.--D.——

14141414

7.已知某班级参与定点投篮比赛的学生共有20名，进球数的平均值和方差分别是4和3.6,

其中男生进球数的平均值和方差分别是5和1.8,女生进球数的平均值为3,则女生进球数

的方差为（）

A.3.2B.3.4C.3.6D.3.8

8.已知0<a<〃<W，cos2a+cos2/?+2=4cos（a+/?）+cos（a—〃），则（）

试卷第1页，共4页

兀7t

A.a+/3=-B.a+B=一

63

二、多选题

9.已知复数4/2,下列结论正确的是（）

A.㈤+HI=k+Z21

B.|马4|=阂心|

C.若忖=5,则|二-2|的最小值为4

D.在复平面内，z”Z2所对应的向量分别为应1,因，其中O为坐标原点，若西，区，

则卜+z2gzi-4|

10.在VN8C中，角48,C所对的边分别为4c,下列说法正确的有（）

A.a=bcosC+ccosB

B.若/</+。2,贝IJV/5C为锐角三角形

C.若sin/l>sinS,则/

D.若cosZ>siM,贝IJV45。为钝角三角形

11.已知四面体45C。的各个面都是全等的三角形，^AC=BC=3,AB=2,则下列选项正

确的是（）

A.直线力民S所成角为90。

3

B.二面角的余弦值为:

4

C.四面体/BCD的体积为竺4

3

D.四面体外接球的直径为而

三、填空题

12.为估计某草场内兔子的数量，使用以下方法：先随机从草场中捕捉兔子100只，在每只

兔子的尾巴上作上记号后放回草场.再随机从草场中捕捉60只，若尾巴上有记号的兔子共有

10只，估计此草场内约有兔子只.

试卷第2页，共4页

13.已知函数/（无）=+sinare）COS5一>0)在[o,可有且仅有三个零点，则实

数。的取值范围是

14.已知圆台上下底面半径分别为1,道，圆台的母线与底面所成的角为45。，且该圆台上下

底面圆周都在某球面上，则该球的体积为

四、解答题

15.某高中随机调查〃名高一学生，并对这〃名学生的作业进行评分(满分：100分)，根据

得分将他们的成绩分成[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]六组，制成如图所

示的频率分布直方图，其中成绩在[80,90)的学生人数为25人.

(1)求的值；

(2)估计这“名学生成绩的平均数(同一组数据用该组数据的中点值代替)和中位数(精确到

小数点后两位).

16.在V48c中，角/,B,C所对的边分别为。,6,c,而=(sin4sinS-sinC),为=(。+46-。)，且

m//n.

⑴求角C的值；

(2)若VN8C为锐角三角形，且c=l,求。+6的取值范围.

3

17.甲和乙进行多轮答题比赛，每轮由甲和乙各回答一个问题，已知甲每轮答对的概率为了，

4

2

乙每轮答对的概率为§.在每轮比赛中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响.

(1)求两人在两轮比赛中都答对的概率；

(2)求两人在两轮比赛中至少答对3道题的概率；

(3)求两人在三轮比赛中，甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为2的概率.

18.如图，在四棱锥P-/BCD中，底面48co是边长为2的菱形，N84D=60°QP4D是正

三角形，E为线段AD的中点.

试卷第3页，共4页

p

1:F

B

(1)若尸8中点为G,求证：EG〃平面PCD；

(2)若平面PAD1平面ABCD，点F为平面尸8上的动点,

①当点尸恰为PC中点时，求异面直线PD与BF所成角的余弦值;

②若点H是平面尸防内的动点，求。"+EH的最小值.

19.已知42是单位圆上相异的两个定点(。为圆心)，点C是单位圆上的动点且

0C=cosaOA+sinaOS卜e朗;直线/C交直线02于点M.

⑴求为.砺的值；

⑵设的=画商=2就，

①用a来表示/与4；

②求乎”的取值范围.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案BDCACABBBDACD

题号11

答案ABD

1.B

【分析】由复数的除法、乘法运算，结合共辗复数的概念即可求解.

/、55(2+i)".

【详解】由(2-i)z=5,可得z=^y=(2T)(2+i)所以^=2-i

所以zN=5.

故选：B

2.D

【分析】根据圆柱的表面积和体积公式即可求解.

【详解】设圆柱的高为力，

因为圆柱的底面半径为2cm,体积为127rcm3,则圆柱的底面周长为2“=Mem,

V=sh=>4nh=12Knh=3cm,所以圆柱的表面积为4兀X3+2X4TI=12K+8K=207rcm2，

故选：D

3.C

【分析】对于A,B,在满足条件时，可得到多种情况，故排除，对于D,可通过举反例作图

进行排除，对于C可利用线面平行的性质推出结果.

【详解】对于A,由an〃=a/utz可得6//a或。与。相交，故A错误；

对于B,由&C夕=a,a〃b可得6ua或bu/或6〃a,且6///，故B错误；

对于C,由cc/=a可得au/,因。///，且£口，=6,由线面平行的性质即得a//6,故

对于D,如图。小尸=机，在平面a内作a//加,6〃加,因a夕,6a夕,加u夕，故得。〃夕,

但a//〃不成立，故D错误.

故选：C.

4.A

答案第1页，共13页

【分析】利用诱导公式和二倍角公式化简，再由三角函数的定义即可求得.

【详解】由点尸(2,1)在角8的终边上可得，tan*；,

sin(20-7i)-sin26-2sin0cos0sin。.1

--------------=---------=------------=-----=-tan0=——

贝"1•(711+cos262co^0cos。2

1+sm---zB

(2)

故选：A.

5.C

【分析】根据互斥事件，对立事件的概率关系即可计算求解.

【详解】由事件43互斥，且48都不发生为:1，则尸(NUB)=尸(4)+尸(8)=l-1w=2w，

§33

??4

又尸(/)=2尸(8),所以2P⑻+尸(8)=§,解得尸(8)=3，尸(，)=§,

所以p(4)=l-2(/)=§.

故选：C.

6.A

【分析】根据数量积的运算律求出鼠6、那己、鼠?，即可求出(，田卡-己)、B-可、BT，

再根据夹角公式计算可得.

【详解】由题意得5+力=-g，则0+斤=｝有12+2)石+/=(百)2,解得

又由段=R,则(3+亨=必有12+2存"(后=12,解得鼠己=一?

一3

同理可得人七二-巳，

2

12

所以(3_?＞伍_己)=々石_展？_鼠己+己2=一,

故选：A

7.B

【分析】设男生人数为加＞0,女生人数为〃＞0,根据平均数可得加=〃，再结合方差公式

运算求解.

答案第2页，共13页

【详解】设男生人数为机>0,女生人数为">0,

且进球数的平均值和方差分别是（=4和$2=4,其中男生进球数的平均值和方差分别是

鼻=5和s；=1.8,女生进球数的平均值和方差分别是兀=3和学,

由平均数可得x=--—（mxx+nxA,即4=—!—（5加+3”），解得加=",

m+n''m+n

由方差可得S?=

即3.6=J[1.8+（5_4）〔+；[s；+（3_4）]，解得s；=3.4.

故选：B.

8.B

【分析】利用两角和差的余弦公式化简已知等式，可得[2cos（a+夕）7][cos（a-£）-2]=0,

求出cos（a+夕）=；，即可求得答案.

【详解】由题意知0<a<力<m，cos2a+cos2，+2=4cos（a+，）+cos（a—，）,

故cos[（6Z+夕）+（a—/?）]+cos[（a+/?）-（a-夕）]+2=4cos（a+/?）+cos（a-/7）

即2cos（a+0）cos（a-尸）+2=4cos（a+夕）+cos（a-尸）,

即[2cos（a+4）-l][cos（o—/?）-2]=0,

故2cos（。+/）一1=0或cos（a—/?）—2=0（舍去），

]兀

即cos（a+/?）=—,而0<a<夕<5，故0<a+夕<兀，

故a+夕=|>

故选：B

9.BD

【分析】A,C通过举例进行判断，B由复数模及复数的乘法进行判断，D由向量加法和减法

的几何意义进行判断.

【详解】对于A,设4=1/2=-!,则㈤+凶=2,B+Z2|=O,因此选项A错误；

对于B,设马=c+di/2=m+加,〃£R）,

贝UH•z2|=+di）•（加+叫卜卜加-而）+[cn+加川

=小（cm-dnj+（十〃+d加J=J（8+储）（病+"），

答案第3页，共13页

又团忆|=](02+/)(冽2+叫,则匕1?卜团忆|,因此选项B正确;

对于C,设z=5,则Z-2=3,止匕时|z-2|=3,因此选项C错误;

对于D,若鬲，区，则复平面内以有向线段西和区为邻边的平行四边形是矩形,

根据矩形的对角线相等和复数加法、减法的几何意义可知，选项D正确.

故选：BD.

10.ACD

【分析】作图分析，结合解直角三角形判断A；利用余弦定理判断B；利用正弦定理判断C；

利用诱导公式以及余弦函数的单调性可判断D。

【详解】对于A,在V/BC中，作3c于D,

则=+,即a=ccos5+6cosC,a=bcosC+ccosB,A正确;

对于B,由。2</+。2得cos/=U1>o,

2bc

结合/€(0,兀)，可知/为锐角，但不能确定2,C角的大小，

故不能确定V/3C为锐角三角形，B错误;

对于C,若sirt4>sinS,由正弦定理可得。>b,则N>8,C正确；

对于D,若cos/>sin8,由于sinB>0,;.cos/>0,则/为锐角；

若2为锐角，则cosN>cos(]-8j,可得/<]一2,则/+台<；,二c>；,

故VA8C为钝角三角形；

若8为钝角，则cos/>cos[8-V],可得工，则8>/+工，适合题意,

此时VN2C为钝角三角形；

综合以上可知V4BC为钝角三角形，D正确，

故选：ACD

11.ABD

【分析】对于A：由线面垂直即可判断；对于B：由线面垂直结合余弦定理即可求解；对于

C：由同角的三角函数，棱锥的体积公式，三角形的面积公式即可求解；对于D：补入长方

答案第4页，共13页

体中，求出长方体外接球半径即可求解.

【详解】对于A：取N8的中点E,连接C£,DE,由题意四面体/BCD的各个面都是全等

的三角形，

可得CE/4B,DE1AB,又CEppE=E,CE,DEu平面CDE,

所以A8_L平面CDE,因为COu平面CDE,

所以所以CD所成角为90。，故A正确;

对于B：取A8的中点E,连接CE,DE,则DE1AB,

所以/CDE为二面角C-48-。的平面角，

在ACDE中，CE=DE=2V2>CD=2,

由余弦定理可得cosNCED==V故B正确；

2CA-DE2x272x2A/24

对于C:由B可得sinNCED==.,

由=*8+=巩3=2x2宓2匹sinNCED'g，故C不正确;

对于D：将四面体放入长方体中，如图可得长方体与四棱锥共球，所以外接球半径一样,

设外接球半径为"所以"一坨，故D正确.

故选：ABD.

12.600

【分析】利用简单随机抽样，结合样本估计总体可解.

【详解】假设草场约有〃只兔子，贝iJE=矢，贝i]〃=600.

n60

故答案为：600.

答案第5页，共13页

【分析】由降幕公式及辅助角公式可得函数的解析式/(x)=sin12o尤+三由xe[0,7t],得

71717r7T

2cox+yGp2^jr+—,由零点的个数，可得3兀W2G兀+1<4兀，可求。的取值范围.

【详解】/(、)=(百coS5+sins:)cos@:-^^=®cos%Y+singcos®:一^―

V3\1.661.兀)

=——(1+coscox)+—sin20cox-----=-cos2ox+-sin2ox=sin\La)x+—,

2v72222C3J

.「八q._7T7t_7T

由G＞0,X£［0,兀］时，1CDX+—G—,7l+—,

/(x)在［0,n］有且仅有三个零点，则有3兀V2o兀+］＜4兀，解得gvov%

-411、

所以实数。的取值范围是-

故答案为：3'6)

32TI

14.——

3

【分析】根据圆台上下底面半径以及夹角之间的关系，找到球心位置求出球的半径尺=2,

即可求得该球的体积.

【详解】如下图所示：圆台。。1,BC为母线,于点A,

则圆台上下底面半径分别为QC=1,05=73,

圆台的母线与底面所成的角为45°,即NABC=45°,可得OQ=/8=。4=百一1＜。3,

设该球的球心为。'，不妨取。。'=》，球的半径为五,

由勾股定理可得(OQ+X)2+12=X2+V32=7?\解得x=1;

43?

因此尺=2,则该球的体积为忆=彳兀叱=

33

故答案为：于32兀

15.⑴4=0.015,n=100

答案第6页，共13页

(2)平均数为72,中位数73.33

【分析】(1)根据频率分布直方图求解即可；

(2)利用平均数和中位数的定义求解即可.

【详解】(1)由题意可得，〃s=ioo,

0.025x10

10x(0.005+a+0.02+0.03+0.025+0.00^=1,

解得a=0.015.

(2)平均数为(45x0.005+55x0.015+65x0.02+75x0.03+85x0.025+95x0.005)x10=72.

因为(0.005+0.015+0.02)x10=0.4,(0.005+0.015+0.02+0.03)x10=0.7,

所以中位数在(70,80)之间，设中位数为x,

则(0.005+0.015+0.02)x10+(%-70)x0.03=0.5,

解得x。73.33.

兀

16.(l)C=y;

⑵(百，2]

【分析】⑴由题意知成〃万，则$1必(。-6)+卜1118-5出。乂6+。)=0,根据正弦定理边角互

化，可求出边的关系，再根据余弦定理可求解；

(2)根据锐角三角形可求出各个角的范围，再根据正弦定理可求得6的表达式，再根据三

角函数积化和差，由角的取值范围可求得.

【详解】(1)因为所=(sin4sinS-sinC),力=(c+6,6-a),且应〃为，

所以sinA(a-6)+(sinS-sinC)(6+c)=0

利用正弦定理化简得：a(a-b)+(b-c)(b+c)=0^a2+b2-c2=ab,

由余弦定理可得cosC=,

lab2

又因为Ce(O,兀)，所以C=g；

答案第7页，共13页

(2)由(1)得/+8=手27r，即8=宁27r一N,

又因为三角形N8C为锐角三角形,

八2兀,兀

0<-----A<—

3971,71

所以,解之得:

八/兀62

0<A<—

2

a_b_c_1_2

因为。=1,由正弦定理得：sirUsinBsinC6,

所以。=-^=rsiiL4,bsin^,

匚匚2K2.2.2.2.「兀i1兀、

vf\vLa+b=—f=siii4d——T=SIY\B=—^sirwH——j=sinA£2smz+—

V36出613厂I6,

r71,71bl、I兀/兀271

m因A为工<4<Z，所以；<4+7<-

62363

所以6<2加卜+£卜2,贝h+b的取值范围为(由目

17.⑴；

(2)1

⑶!1•

【分析】(1)根据相互独立事件的概率公式计算即可；

(2)两人分别答两次，总共四次中至少答对3道题，分五种情况计算可得答案；

(3)分甲和乙均答对两个题目、均答对三个题目两种情况计算即可.

【详解】(1)依题意，设事件"甲两轮都答对问题"，N="乙两轮都答对问题”,

1Qo774

所以尸(M)=—x—=一，尸(N)=—x—=—.

V74416'，339

因为事件相互独立，

a41

所以两人在两轮比赛中都答对的概率为p(M?v)=p(M)尸(N)=^X§=7

(2)设事工="甲第一轮答对"，8="乙第一轮答对”，

C="甲第二轮答对"，。="乙第二轮答对”，

E="两人在两轮比赛中至少答对3道题”，

则E=ABCDuABCDuABCDuABCDuABCD，

由事件的独立性与互斥性，

答案第8页，共13页

可得P(E)=P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)

=?(4)尸(8)尸(。)尸(。)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(班P(C)P(D)+P(A)P(B)P

（C）P（D）+P（A）P（B）P（C）P①）.

323212323132321232312

=—X—X—X—+—X—X—X—HX—X—X—+—X—X—X—+—X—X——X—二—

434343434343434343433

2

故两人在两轮比赛中至少答对3道题的概率为1.

（3）设事件4,4分别表示甲三轮答对2个，3个题目，

当,凡分别表示乙三轮答对2个，3个题目，

则尸⑷=3!2号尸（4）=：；=>

尸㈤）=3x洛x*"）=0=M

设事件Q=“两人在三轮比赛中，

甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为2”，

则。=4层u4与，且4,4血，层分别相互独立，

27427S

所以p（o）=尸（应与）+尸（4名）=尸（a）p㈤）+P（4）尸（员）=/X§+RX为

5

-16,

所以两人在三轮比赛中，甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为2的概率为盘.

16

18.（1）证明见解析

（2）©—；

205

【分析】（1）根据中位线可得线线平行，即可证明四边形EG0O为平行四边形，可得EG//。。,

即可由线面平行的判定求证，

（2）①作辅助线，根据平移法找到异面直线尸。与3尸所成角，解三角形即可求得其余弦值；

②根据图形的几何性质说明当酒'LPC时，NF最短,此时，点石在棱BP上，然后通过解

三角形求得相关线段长.

【详解】（1）取PC中点。，连接。。，

答案第9页，共13页

•.•后为线段/。的中点，,6。〃8<7,6。=：3。,

VDE//BC,DE=-BC,:.DE//GQ,DE=GQ-

2~~

四边形EG0D为平行四边形，二EG〃。。，

•••EG<z平面PCD,。。u平面PCD

EG//平面PCD.

(2)①取CD的中点M,连接

•.•尸为尸C中点，MF//PD,MF=-PD=1,

2

ZBFM就是异面直线BF和PD所成的角或所成角的补角.

,­,平面PAD1平面ABCD,

平面PADC平面ABCD=AD,PE±AD,ADu平面ABCD,

PE1平面ABCD,BEu平面ABCD,PE1BE

■：菱形ABCD的边长为2,/BAD=60°,

:.^PAD与AABD^BCD是全等的正三角形,

分别为CD、/。的中点，

PE=BE=BM=5

在Rt△尸BE中，阳=yjPE2+BE2=V6>

在RtAPBC中，PC7PB°+BC?=回，

PC_屈

1+--3

+BF°-BM?2Vio

在ABMF中,cosZBMF-

2MF-BF、।Vio

2xlx-----

2

答案第10页，共13页

②T4D_LPE,AD±BE,PEnBE=E.PE,BEu平面PBE,

「.40_1平面尸跖，

又・・・E为线段40的中点，

:.DH=AH,

:.DH+FH=AH+FH,

.•・要使。H+FH最小只需AF最短即可，即为A点到面PCZ)的距离力.

在中，PC=A,PD=PC=2,

PCFC

在RbTVFC中，cosZFCN=——二——

NC4

/.—x^3x—x2x2

3223

DH+FH的最小值为之叵

19.(1)0

⑵①

1-COS6Z

【分析】（1）对反=cosa次+sina历两边平方化简可求出而•砺的值；

（2）①结合已知条件利用向量的加减法法则将两用方表示，再结合两=/瓦，列

方程组可用。来表示I与2;②率皿二三.-，将/与人代入化简，得sin-cosa,

1

、&BMA力sina+cosa—l

m2—1

令sina+cosa=加，则S^OM=2，求出加的范围，从而可求出答案.

S^BMA加一1

答案第11页，共13页

【详解】（1）因为0。=85°。4+5111戊05,

uuw2