河南省许昌某中学2024-2025学年高三年级上册开学考试 数学试题（含解析）

2024-2025学年高三上学期开学检测

数学

注意事项：

i.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净

后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一.选择题(共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)

1.记S,为等差数列｛%｝的前，项和，若生+佝=14,%%=63,则S?=()

A.21B.19C.12D.42

2.命题,、九X2+2+Q4X)—m7(,x一+2)--1在x/e(-I2,2]上为减函数，命题4：/g(、x)=ax』+4在/。,+、向为增函

数，则命题P是命题4的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

3.如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个

顶点看作正方体各个面的中心点.若正八面体的表面积为12道，则正八面体外接球的体积为()

C.12兀D.36兀

4.将95,96,97,98,99这5个数据作为总体，从这5个数据中随机选取2个数据作为一个样本，则该样本的平均数与

总体平均数之差的绝对值不超过1的概率为()

5.已知关于X的不等式以2+-+。＞03仇C£R)的解集为(―4,1),则二^的取值范围为()

a+b

A.[-6,+oo)B.(-oo,6)C.(-6,+oo)D.(-00,-6]

22

6.已知4,8是双曲线二-与=1(。＞6＞0)的左、右焦点，以F?为圆心，”为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于

ab

AB两点，若31ABl＞|耳耳I，则双曲线的离心率的取值范围是()

7.已知正实数无，＞满足x+y=l,贝ij()

A.Y+y的最小值为3:B.1一+4一的最小值为8

4xy

C.6+4的最小值为亚D.log^+logc没有最大值

8.已知定义在R上的函数〃尤）在区间[0』上单调递减，且满足〃2+》）+〃同=2〃-1）,函数y=〃x-l）的对

称中心为（2,0）,则（）（注：ln3Q1.099,In2no.693）

A./（2024）=0B./（0.5）+/（1.6）>0

C./（1.5）>/（log248）D./（2sinl）>/^ln^

多选题（共3小题，每题6分，共18分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部

分选对得3分，有选错的得0分。）

22

9.已知小尸2分别是椭圆C：会+方=1（。>"0）的左、右焦点，尸是椭圆C上一点，贝|（）

A.当“=回时，满足//尸乙=90。的点P有2个

B.P耳心的周长一定小于4a

2

C.的面积可以大于幺

一2

D.若|尸耳归助恒成立，则C的离心率的取值范围是（。,|

10.己知a,b,ceR,则下列结论正确的是（）

bh+c

A.若a>b>0,贝—<----B.若ac2>be2,贝

aa+c

...a+b2a2+3

C-右a〉。〉。,D-E的取小值为20

x+1„

-----,x<0

11.函数〃尤）=x,关于尤的方程/⑺-时〃x）|=0（meR）,则下列正确的是（）

—,x20

A.函数f（x）的值域为R

B.函数f（x）的单调减区间为（9,0）,[1,田）

C.当根=1时，则方程有4个不相等的实数根

D.若方程有3个不相等的实数根，则根的取值范围是1j,+sj

三.填空题（共3小题，每题5分，共15分。）

b,a<人

'-,设函/（x）=-%+6,g（x）=logx,则函数/7（x）=max{/（x）,g（x）}

{a,a〉。2

的最小值是.

13.甲、乙玩一个游戏，游戏规则如下：一个盒子中装有标号为L2,3,4,5,6的6个大小质地完全相同的小球，甲先

从盒子中不放回地随机取一个球，乙紧接着从盒子中不放回地随机取一个球，比较小球上的数字，数字更大者得1

分，数字更小者得0分，以此规律，直至小球全部取完，总分更多者获胜.甲获得3分的概率为.

22

14.过双曲线与-==1（。>0,6>0）的上焦点与，作其中一条渐近线的垂线，垂足为a,直线与双曲线的上、

ab

下两支分别交于若NH=3HM,则双曲线的离心率e=.

四.解答题（共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

（14分）15.已知数列｛4｝的前〃项和为S“，”eN*,%=5,an+i-an=2.

⑴求数列｛4｝的通项公式；

（2）设数列也｝满足bn=,求数列也｝的前〃项和7；.

an'an+l

（14分）16.如图，在四棱柱ABC。-A瓦G2中，A4,_L平面ABCZ）,底面ABCD为梯形，AD//BC,BC=4,

AB=AD=DC=AAl=2,Q为的中点.

（1）在AR上是否存在点尸，使直线C。〃平面ACT，若存在，请确定点P的位置并给出证明，若不存在，请说明

理由；

（2）若（1）中点P存在，求平面AC/与平面ABqa所成的锐二面角的余弦值.

（15分）17.函数“X）的定义域为。=卜,#0｝,且满足对于任意可，无26,有〃牛马）=〃为）+/优），当

x>1时，f（x）>0.

⑴证明：/（元）在（0,+8）上是增函数；

（2）证明：f（x）是偶函数；

⑶如果7（4）=1,解不等式〃尤-1）<3.

（16分）18.2021届高考体检工作即将开展，为了了解高三学生的视力情况，某校医务室提前对本校的高三学生

视力情况进行调查，在高三年级1000名学生中随机抽取了100名学生的体检数据，并得到如下图的频率分布直方

图.

年级名次

1-100101〜1000

是否近视

近视4030

不近视1020

(1)若直方图中前四组的频数依次成等比数列，试估计全年级高三学生视力的中位数(精确到0.01)；

(2)该校医务室发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对抽

取的100名学生名次在1~100名和101~1000名的学生的体检数据进行了统计，得到表中数据，根据表中的数据，

能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？

(3)在(2)中调查的不近视的学生中按照分层抽样抽取了6人，进一步调查他们良好的护眼习惯，求在这6人中

任取2人，至少有1人的年级名次在1~100名的概率.

P(K2>k]0.100.050.0250.0100.005

k2.7063.8415.0246.6357.879

-2n[ad-be)-,

Kr=--------------------------------,其中〃=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

(18分)19.在平面内，若直线/将多边形分为两部分，多边形在/两侧的顶点到直线/的距离之和相等，则称,为

22

多边形的一条“等线”，已知。为坐标原点，双曲线E:十方=1(八0,"0)的左、右焦点分别为斗鸟,E的离心率

为2,点尸为E右支上一动点，直线机与曲线E相切于点尸，且与E的渐近线交于A8两点，当尸轴时，直线

y=i为「片工的等线.

⑴求E的方程；

⑵若y=缶是四边形A月8月的等线，求四边形AFtBF2的面积；

(3)设OG=g。尸，点G的轨迹为曲线「，证明:「在点G处的切线"为耳耳的等线

数学答案

1.A【详解】｛凡｝是等差数列，，/+%=2%=14,即％=7,所以%=3=9,

a6

6x7

故公差d=ay-a6=2,/.ax=a6-5d=-3fS7=7x(-3)H———x2=21,

2.A【详解】〃力要在1«-2,2］上单调递减，

则j〃+4<0,解得一5Ka<-4,

-a-l>l-2a-7

g：g(x)="+4=1)+4+"=〃+^^£在(],+8)为增函数,则4+QV。,

x—\x—1x—\

解得a<—4,

因为-5Wa<T是a<T的真子集，故命题P是命题4的充分不必要条件.

3.B【详解】如图正八面体，连接AC和8。交于点。，

因为E4=EC,ED=EB,

所以EOLAC,EOLBD,又AC和3D为平面ABC。内相交直线，

所以EOL平面AB8,所以。为正八面体的中心，

设正八面体的外接球的半径为R,因为正八面体的表面积为8x独力炉=12次，所以正八面体的棱长为",

4

所以EB=EC=BC=V6,OB=0C=V3,EO=y/EB2-OB2=V3)

则R=W=%R3=最3日4俗1.

4.D【详解】依题意可知，总体平均数为97,

从这5个数据中随机选取2个数据作为一个样本，情况如下：

选到95,96,则样本平均数为95.5,所以|95.5-97|=1.5,

选到95,97,则样本平均数为96,所以|96-97|=1,

选到95,98,则样本平均数为96.5,所以|96.5-97|=0.5,

选到95,99,则样本平均数为97,所以|97-97|=0,

选到96,97,则样本平均数为96.5,所以196.5-97|=0.5,

选到96,98,则样本平均数为97,所以|97-97|=0,

选到96,99,则样本平均数为97.5,所以|97.5-97|=0.5,

选到97,98,则样本平均数为97.5,所以197.5-97|=0.5,

选到97,99,则样本平均数为98,所以|98-97|=1,

选到98,99,则样本平均数为98.5,所以|98.5-97|=1.5,

所以该样本的平均数与总体平均数之差的绝对值不超过1的概率为］8=:4

5.D【详解】由不等式以2+乐+。>0（〃,"CER）的解集为（-4」），

可知1和T是方程/+法+。=0的两个实数根，且a<0,

-4+1=--

由韦达定理可得“，即可得〃=3〃,c=T〃，

-4xl=-

,a

g、i'+9(-4域+916/+9/9(A9L。匚一(9},

所以-----=--------=-------=4a-\---=--4a+----<-2-4ax-----=-6.

a+ba+3a4。4。1-4。J\\-4。)

当且仅当-4〃二一9一时，即。=一3一时等号成立；

-4a4

即可得'汇£(-8,-6].

a+b

6.B【详解】设以鸟（G。）为圆心，。为半径的圆与双曲线的一条渐近线云-殁=。交于A3两点，则F?到渐近线

bx-ay=0的距离d=,=b,所以卜回=2\ja2-b2,

因为31ABi>|耳青，所以3*2”^>20，可得9a2-泌2>，="+凡

BP4a2>5b2=5c2-5a2,可得5c2<94，

所以《<2，所以e<35,

a255

又e>l,所以双曲线的离心率的取值范围是,手］

7.A【详解】对于A中，由正实数为y满足x+y=l,可得0<x<l,0<y<l,且y=l-尤，

1313

则f+y=Y-x+l=（x-R2+当x=5时，f+y取得最小值为?，所以A正确；

对于B中，由』+3=.+丁）（工+±）=5+/+”上5+211,把=9,

xyxyxyxy

y4Y1O114.

当且仅当上=一时，即％=：,y=：时，等号成立，所以一+一的最小值为9,所以B不正确;

xy33xy

对于C中，由（«+/）=x+y+2y［xy<2（x+y）=2,

当且仅当元=y=g时，等号成立，所以&+6的最大值为0,所以C错误；

2

对于D中，log2x+log4y=log4x+log4y=log4,

因为x2y=x2(l-x)=-x3+x2,设m(x)=-x3+x2,0<x<l,

可得加(x)=-3x2+2x=-x(3x-2),

97

当xe(O,§)时，〃/(x)>0,在(0,?上单调递增；

当工£(§,1)时，mr(x)<0,用(%)在(§/)上单调递减，

74

所以，当X=：时，函数相(X)取得最大值，最大值为最，

4

则log?x+log4y的最大值为log,药，所以D不正确.

8.C【详解】/(2+%)+/(%)=2/(-1),故〃4+x)+〃2+x)=2〃-l),

所以/(x)=/(x+4),

函数y=〃xT)的对称中心为(2,0),

函数y=〃xT)往左平移I个单位得到函数y=〃x),

故函数y=/(x)的对称中心为(1,。)，

/(2+x)+/(x)=2/(-1),令，=-1得,/(1)+/(-1)=2/(-1),

故〃T)=/⑴=。，BP/(2+x)+/(x)=0,

且〃力的对称中心为(1,0),故/(2+x)+/(-尤)=0,

故〃-尤)=/(%),即f(x)的对称轴为x=0.

对于A,〃x)在区间［0』上单调递减，故/(。)>〃1)=0,

且/(x)=/(x+4),

所以〃2024)=〃0)>0,故A错误；

对于B,“X)在区间［0,1］上单调递减，对称中心为(1,0),

故f(0.5)+/(1.5)=0,且〃尤)在区间［1,2］上单调递减，

则”1.5)>”1.6),

.•./(0.5)+/(1.6)<0,故B错误；

对于c,5<log248<6,1<log248-4=log23<2,

且log,3=：=wM>L5,结合〃x)在区间［1,2］上单调递减，

In20.693

故f(log248)=/(log248-4)=/(log23)</(1.5),故C正确;

对于D,ln|=-ln3®-1.099,故/卜，=/(一1113卜/(-1.099)=/(1.099),

且2sin：<2sinl<2sin^,/.V2<2sinl〈6,即1<1.099<2sinl<2,

结合在区间［1,2］上单调递减，故"2sinl)<dlnj,故D错误.

9.ABD【详解】对于选项A：当点P的坐标为(0/)或(0,-6)时，居最大，此时，若。

贝i]b=c,所以/百尸玛=90。，A正确;

对于选项B：P耳工的周长为2a+2c<4〃，故B正确；

1A2_i_2〃2

对于选项C：刊怩的面积为J耳国IMCcV与土r=5,故C错误；

故于选项D：因为a—c«|P4|«a+c,所以a+cW2Z?,可得5c?+2ac-3〃<0,

得5e2+2e-3W0,得又ee(0,l),所以ee/],故D正确.

hh+c

10.BC【详解】对于A,当。=0时？=故A错误；

aa+c

对于B,若ac1>be1,则/wo,即。2>0,所以故B正确；

对于C,因为〃>b>0,所以〃+2b22缶当且仅当Q=2b时取等号，

所以2。+2Z?2Q+2y］2ab，显然a+2y)2ab>0，

a+b1

所以-当且仅当a=2b时取等号，故C正确；

对于D，因为笨里=变三^=2^/^11+^^，

+1J/+1'(J2+T

令f=^/7W，则此1,令/⑺=2r+；(此1),

由对勾函数的性质可知，函数〃f)=2f+：=2f+彳在[1,+8)上单调递增,

所以/。).=/(1)=3,

所以2内+^^3,

当且仅当。=0时取等号，故D错误.

y_|_1I

11.BD【详解】①当x<0时，/(%)=-=1+-,

XX

则/(X)在(-8,0)单调递减，且渐近线为y轴和y=i,恒有/(尤)<1.

xx

②当xZO时，/(x)=|f./'(x)3e-3xe_3(l-x)

e

当0<x<1,/(x)>0,/(x)在(0,1)单调递增；当无>1,/(x)<0,/(x)在(1,+8)单调递减,

33

故了（元）4〃1）=—,且恒有/。）＞0,综上①②可知，/（x）=-,

、/e、，maaxxe

综上，作出函数/（X）大致图象，如下图：

对于A,由上可知函数“X）的值域为，应:，故A错误;

对于B,函数“X）的单调减区间为（-8,0）,（1,+8）,故B正确;

对于C,当机=g时，则方程产⑺一J〃x）|=O（meR）,解得|〃刈=0或|/（刈=；,

由|〃到=0,得x=0或尸-1,有两个实数根；

由图象可知，由,（x）|=g得此时有4不相等的实数根，且均不为0,也不为-1,

所以当加=g时，则方程有6个不相等的实数根，故C错误；

对于D,若关于x的方程r=0（meR）有3个不相等的实数根,

即方程|/（无）|=0与方程/（可|=加共有3个不相等的实数根，

又因为|/（无）|=0已有两个不等的实数根0,-1,

则方程|/（x）卜力有且仅有1个根，且不为。,-1.

所以y=I"无）|与广机有且仅有1个公共点，

由图象可知相＞：,满足题意，即加的取值范围是故D正确.

12.2

【详解】由题意得xe(0,+oo),

因为函数/(x)=-x+6在x6(0,+8)上单调递减,

函数g(x)=log2X在x€(0,+8)上单调递增,

X/(4)=^+6=2,g(4)=log24=2,

所以点(4,2)是两个函数的交点，

所以当x“时，/(%)<g(x),可得/?(x)=g(x),

当0<x<4时，/(%)>§(%),可得=

可得八。)的大致图象，如下图，

8

【详解】将问题转化为：在三个盒子中各放入2个编号不同的小球，甲从每个盒子中各取一个小球，求甲取到每个

盒子中编号较大小球的概率.

甲从三个盒子中各取一球，共有23=8种取法，三个都是编号较大小球只有一种取法，

所以，甲获得3分的概率为上

O

14.45

【详解】设双曲线右焦点为尸2，由题片(O,c),双曲线的一条渐近线方程为y=即依+勿=0,

b

\bc\..

过该渐近线作垂线，则由题|可耳==忑=人,I。耳|=c,

^\HM\=t,则由题|NH|=3t,帆闾|耳N=H3r,

所以内=/?+3%-2々，\F2M\=b-t+2a,

\FMI2+忸&\2-\FMI2（b—?）2+（2c）2—（b—t+2a^

在乙中,cosZOEM=1{----J一n——JO——

2忸叫任四2（&-f）（2c）

忻N『『一|《N『伍+3/）2+（2c）2-0+3f-2a）2

在△£可"中,cosZOfJM=

2|耳N|M同2（Z7+3r）（2c）

22

（b-t）+（2c）-（b-t+2afb化简解得r=4,

由①②得

-2（b-）（2c）a+b

bab

由①③得化简解得"E，

2（Z>+3/）（2c）c

abab

所以=>/?=2a,

a+b3（。-

故双曲线的离心率e=£=/丁=『+中）2=不

\n

（〃wN*）（2）北=6〃+9

【详解】（1）由。向-。〃=2可知数列｛即｝是以公差1=2的等差数歹U,

又〃5=5得%=4+（5—l）xd,

解得q=-3,

故q=-3+2（几-1）,

即q=2〃-5（〃wN*）.

（2）因为a=------

_（2n_-5）1-（2n-3）2⑵-_5_2〃q-3）

______i二几

2132n-3J64〃-6-6n+9

16.（1）存在，尸是AR中点，证明见解析；（2）晅.

31

【详解】（1）存在，证明如下：

在四棱柱ABCD-AlBlClDi中，因为平面ABCD//平面AiBlClDl,

所以可在平面AqGA内作q尸〃c。，

由平面几何知识可证△GRP咨△CDQ,所以。/=。。，可知P是A2中点,

因为C/U平面AC7,所以CQ〃平面AGP.

即存在线段AR的中点，满足题设条件.

满足条件的点只有一个，证明如下：

当CQ〃平面AC|尸时，因为CQ〃平面4BCQ,

所以过。作平行于CQ的直线既在平面ACT内，也在平面A4C2内，

而在平面A4G，内过G只能作一条直线6P〃CQ,

故满足条件的点尸只有唯一一个.

所以，有且只有AA的中点为满足条件的点尸，使直线CQ〃平面&GP.

(2)过点。作。尸±BC,垂足为旧又因为。AJ■平面ABC。，

B

所以D4,DF,。9两两互相垂直,

以。为坐标原点，分别以D4,DF,所在直线为了轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系。-旧,

则2(2,0,0),P(l,0,2),C,(-1,^,2),A(2。2),网3,g,0),

PA=(1,0,-2),PC)=(-2,A/3,0),AB=(1,A/3,0),例=(0,0,2)

设平面尸AG的法向量为元=(%y,z),

nePA=0,[x—2z=0,

则有即c/7.

几PC1=0,[-2x+y/3y=0.

令X=2K，得y=4,z=6,所以"=QG,4,有).

设平面ABB^的法向量为枕=(x,y,z).

ABm=0,x+y/3y=0,

则有《即

AAjm=0,2z=0.

令x=6,得y=—i，z=o,所以根=(指i,。).

n-，mm6-4+0^31

所以cos=-j-；_j-=---.—=----

\n\\m\2531

故平面AQP与平面ABB^所成的锐二面角的余弦值为鼻.

17.(1)证明见解析(2)证明见解析(3)(-63,1)U(1,65)

【详解】(1)设0<玉<3，则/(玉)-/。2)=/(占)-/(再、三)=/(占)-"(占)+/(上)]=-/(三)，

玉xlx1

由于0<占<尤2,所以三>1，所以/(上)>0,

石xl

所以/。)一/(尤2)<°，所以/(为)</(々)，

所以了(元)在(0,+力)上是增函数;

(2)因对定义域内的任意尤jX2ED,有/(%•9)=/(%)+/(马)，

令%=x,%=-1,则有f(-x)=f(x)+f(-l),

又令无i=%=T,得2/(-1)=f(l),

再令玉=々=1,得〃1)=0,从而"-1)=0,

于是有/(-尤)=/(尤)，所以Ax)是偶函数.

(3)由于"4)=1,所以3=l+l+l=/(4)+y(4)+/(4)=/(4x4x4)=/(64),

于是不等式/(x-1)<3可化为f(x-1)</(64),

由(2)可知函数"X)是偶函数，则不等式可化为加工-是</(64),

[x—1<64

又由(1)可知了⑺在(0,+")上是增函数，所以可得_1n,

|-63<x<65二

解得E,所以不等式〃1)<3的解集为(3D(1,65).

3

18.(1)4.74；(2)能；(3)

【详解】(1)由图可知，第三组和第六组的频数为100x0.8x0.2=16人

第五组的频数为100x1.2x0.2=24人

所以前四组的频数和为100-(24+16)=60人

而前四组的频数依次成等比数列

故第一组的频数为4人，第二组的频数为8人，第四组的频数为32人

所以中位数落在第四组，设为X,

因止匕有二50—(；8+16)(或1.6(尤_4.6)=0.22)

解得X=4.7375

所以中位数是4.74

100x(40x20-30x10)2

(2)因为片=

50x50x70x30

所以片=——«4.762

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所