河北省秦皇岛某中学2023-2024学年高二年级上册开学考试 数学试卷

2023-2024学年河北省秦皇岛市新世纪高级中学高二（上）开学

数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

1.（5分）已知aCR,（1+flz）i=3+i（/为虚数单位），贝！Ia=（）

A.-1B.1C.-3D.3

2.（5分）在△48C中，内角N,B,C所对的边为a,b,c,b=4弧,8=60°（）

A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°

3.（5分）若一个样本容量为8的样本的平均数为5,方差为2.现样本中又加入一个新数

据5,此时样本容量为9工方差为则（）

A.x=5，S2>2B.X=5，S2<2C.x>5,s2<2D.X>5,S2>2

4.（5分）如图在梯形/BCD中，BC=2AD,DE=EC,设BA=a，BC=b，则BE=(

D-乔亭

则tan(3TT-2a)=()

132

A.7B..12c.7D.12

3535

__a_*—.—♦—♦.-♦—♦

6.(5分)已知AB=a+5b，BC=~2a+8b>CD=3(a-b)>贝！1()

A.A、B、。三点共线B.A.B、C三点共线

C.B、C、。三点共线D.A,C、。三点共线

7.（5分）海伦公式是利用三角形的三条边的边长a,b,c直接求三角形面积S的公式，

表达式为：<S'=Vp（p-a）（p-b）（p-c5世工；它的特点是形式漂亮，便于记忆.中

2

国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，但它与海伦公式完全等价,

因此海伦公式又译作海伦-秦九韶公式.现在有周长为10+24有，则用以上给出的

公式求得△NBC的面积为（）

A.877B.477C.673D.12

8.（5分）已知函数/（x）=sin（o）x+（p）（o）>0,|（p£----）,x=------（x）的零点，x=

24

—（X）图象的对称轴，且/（X）在（JL,卫），则3的最大值为（）

41836

A.11B.9C.7D.5

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

（多选）9.（5分）复数z卫二『是虚数单位，则下列结论正确的是（）

1-i

A.|zI=V5

B.z的共轨复数为卷亭

C.z的实部与虚部之和为2

D.z在复平面内的对应点位于第一象限

（多选）10.（5分）下列函数中是奇函数，且最小正周期是n的函数是（）

A.y=sin2xB.y=sin恸

y=cos（2x—）D・y=sin（2X-H^）

（多选）11.（5分）已知函数

f（x）=Asin（0）x+（t>）（A>0,3>0,|0|<；）的部分图象如图所示，下列

A.函数>=/（x）的最小正周期为如

B.函数y=/（x）在［=L,单调递减

C.函数y=/（x）的图象关于直线x=§L对称

X12

D.该图象向右平移工个单位可得y=2sin2x的图象

6

（多选）12.（5分）三角形4BC的三边a,b,c所对的角为

A,B,C,1-（siiL4-sin5）2=siiL4sin5+cos2C,则下列说法正确的是（）

AA.r=——兀

3

B.若△/3C面积为如巧，则△NBC周长的最小值为12

C.当b=5,c=7时，a=9

D.若b=4,B^，则△4BC面积为6+W^

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.ovD

13.（5分）某校共有师生2400人，其中教师200人，男学生1200人，已知从女学生中抽

取的人数为80,那么"=.

14.（5分）sin21°cos9°+sin69°sin9°=.

15.（5分）在边长为6的正△ZBC中，若点。满足丽=2前，则15•前=.

16.（5分）在△48C中，匚，AC=2,M为边上的中点巾，则48=

3

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）设向量a,N茜足a，b=3,|aI=3>=（V3,1）-

（1）求向量a，b的夹角及|a-b|；

⑵若（7+2b）1（ka-b）«则实数人的值.

18.（12分）△48C的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,已知

V2cosB（acosC+ccosA）=b-

（I）求8；

（II）若C=60°,6=2,求a

19.（12分）2023年6月4日，神舟十五号载人飞船返回舱在预定区域成功着陆，航天员

费俊龙，张陆顺利出舱，神舟十五号载人飞行任务圆满完成.为纪念中国航天事业所取

得的成就，某市随机抽取1000名学生进行了航天知识竞赛并记录得分（满分：100分），

将学生的成绩整理后分成五组，60）,[60,[70,80）,90）,[90,并绘制成如图所示的

频率分布直方图.

（1）请补全频率分布直方图；

（2）估计这1000名学生成绩的众数、平均数和计算80%分位数（求平均值时同一组数

据用该组区间的中点值作代表，80%分位数小数点后面保留两位有效数字）.

w频率

0.040

0.035

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

O5060708090100成绩/分

20.（12分）为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射

型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，B,C,。三地位于同一水平面

上，这种仪器在8地进行弹射实验，。两地相距100加，NBCD=60°2秒，在C地测

得该仪器至最高点/处的仰角为30。.（已知声音的传播速度为340加/s）

求：⑴B,C两地间的距离；

（2）这种仪器的垂直弹射高度

21.（12分）已知向量a=（cosx,situ）,b=（3,-^3）,x£[0,it].

（1）若a“b，求x的值；

（2）记/（x）=a-b＞求/（x）的最大值和最小值以及对应的x的值.

22.（12分）在锐角△NBC中，角/,B,C的对边分别为a,b,c,若cosB+EsinB=2,

cosB卜cosc_2sinA

bcV3sine

（1）求角B的大小和边长b的值；

（2）求△NBC面积的取值范围.

2023-2024学年河北省秦皇岛市新世纪高级中学高二（上）开学

数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

1.（5分）已知a€R,（1+az）i=3+i（i为虚数单位），贝!]a=（）

A.-1B.1C.-3D.3

【分析】利用复数相等的定义求解即可.

【解答】解：因为（1+az）i=3+i,即_a+i=5+ij

由复数相等的定义可得，-a=3.

故选：C.

【点评】本题考查了复数相等定义的理解和应用，属于基础题.

2.（5分）在△/8C中，内角B,C所对的边为a,b,c,b=4，R,2=60°（）

A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°

【分析】由正弦定理可得siiL4=L,再结合大边对大角即可求得.

2

【解答】解：因为。=4,6=4丫%，

所以由正弦定理有：=_L_,

sinAsinB

4X^-

所以sinA=R。一

b4V32

因为6>a,所以60°=B>4>0；

所以4=30°,

故选：A.

【点评】本题考查正弦定理的应用，属于基础题.

3.（5分）若一个样本容量为8的样本的平均数为5,方差为2.现样本中又加入一个新数

据5,此时样本容量为9^,方差为s2,则（）

A.彳=5，52>2B.彳=5，S2<2C.x>5,s2<2D.x>5,?>2

【分析】利用平均数、方差的定义直接求解.

【解答】解：•••某8个数据的平均数为5,方差为7,

此时这9个数的平均数为彳，方差为S2,

.--7X5+5_c25X2+(5-2)2_16

••x--------＞S，S=---------------

292

故选：B.

【点评】本题考查平均数、方差的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归

与转化思想，是基础题.

4.(5分)如图在梯形/BCD中，BC=2AD,DE=EC,设BA=a，BC=b，则BE=(

C-於亭D-芸亭

【分析】取8C中点/，由BC=2/D可知/。=尸。从而可得四边形NFCD为平行四边

形，结合向量的基本运算即可求解

【解答】解：取8c中点R由8c=2/。可知/C,

四边形/FCD为平行四边形，

则标=前+而=玩+而=前,(BA^|BC)=|■前-tyBA=ya等•

故选：D.

【点评】本题主要考查了平面向量的基本运算，属于基础基础试题.

二迷,ae(2L,

5.(5分)若sina=IT),则tan(3n-2a)=()

132

A.-工B.-12C.工D.12

3535

【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求tana的值，进而利用诱导公式，二

倍角的正切函数公式即可计算得解.

【解答】解：因为疝0=型亘，ae(2L,

132

所以cosa=-&-sin2a=-型型巨皿_=-―,

sinu13cosa2

5-tan2a5

故选：B.

【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，二倍角的正切函数公式

在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题.

6.(5分)已知至=之+5总BC=-2a+8b-CD=3(a-b)>则()

A.A、B、。三点共线B.A,B、C三点共线

C.B、C、。三点共线D.A、C、。三点共线

【分析】利用三角形法则可求得BD，由向量共线条件可得邺与8型线，从而可得结

论.

..―♦♦・

【解答】解：BD=BC+CD=(-2a+8ba-b)=ab)

又至=Z+8总所以至=前，则至与而，

又标与而有公共点B,

所以/、B、。三点共线.

故选：A.

【点评】本题考查向量共线的条件，属基础题，熟记向量共线的充要条件是解决问题的

关键.

7.(5分)海伦公式是利用三角形的三条边的边长a,b,c直接求三角形面积S的公式，

表达式为：S=Jp(p-a)(p-b)它的特点是形式漂亮，便于记忆.中

2

国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，但它与海伦公式完全等价,

因此海伦公式又译作海伦-秦九韶公式.现在有周长为10+2小小，则用以上给出的

公式求得△NBC的面积为()

A.8WB.4巾C.673D.12

【分析】由正弦定理得三角形三边之比，由周长求出三边，代入公式即可.

【解答】I？：Vsiih4：siiiS：sinC=2：3：\]~Z,••a：b：c—2：3：M,

,.•△48C周长为10+2巾，即a+b+c=10+3/7，

；.a=4,b=65；.p=4+5+2W行

3

...AABC的面积(5+V7)(1W7)(V4-1)(5-V6)=6禽.

故选：C.

【点评】本题考查了数学文化，考查了正弦定理、三角形面积公式在解三角形中的应用,

考查了计算能力和转化思想，属于基础题.

8.(5分)已知函数/'(x)=sin(3x+cp)(3>0,|(p|W2-),x=--2L(x)的零点，x=

24

—(X)图象的对称轴，且/(X)在(JL,卫)，则3的最大值为()

41836

A.11B.9C.7D.5

【分析】根据已知可得3为正奇数，且3W12,结合■为/（X）的零点，x=

2L为y=f3图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合/G）在

4

且L）上单调，可得3的最大值.

1836

【解答】解：-2L为/（X）的零点二为v=/（x）图象的对称轴，

44

A5n+1即@L.2n（〃CN）

487CO2

即3=3"+l（neN）即3为正奇数，

,：f（%）在（2L,2L）上单调，则空—n=—兀<一—T

即r=22L2JL,解得：3W12,

38

当3=11时,-11冗+隼=加,

4

兀

••加忌卫，.”--,

22

此时/（X）在（轰,卫）不单调;

36

当3=9时，一且L

4

•.•|q)|^2L,：.(pn

22

此时/（x）在（表,旦L）单调;

36

故3的最大值为9,

故选：B.

【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

（多选）9.（5分）复数z卫二7•是虚数单位，则下列结论正确的是（）

1-i

A.|z|=V5

B.z的共筑复数为.di

C.z的实部与虚部之和为2

D.z在复平面内的对应点位于第一象限

【分析】根据已知条件，先对Z化简，再结合复数模公式，共朝复数的定义，实部和虚

部的定义，复数的几何意义，即可求解.

【解答】解:2+i=(4+i)(1+i)=17.

TT(1+i)(6-i)万巧i

|水彳君?=挈，故/错误，

对于/,

对于8,z的共轨复数为33

26

对于C,Z的实部与虚部之和为/得=2，

对于。，z在复平面内的对应点（2,1,故。正确.

25

故选：CD.

【点评】本题主要考查复数模公式，共轨复数的定义，实部和虚部的定义，复数的几何

意义，属于基础题.

（多选）10.（5分）下列函数中是奇函数，且最小正周期是TT的函数是（）

A.y=sin2xB.y=sin|x|

J「y=cos/（c23x兀、）D.y=sin⑵

【分析】直接利用函数的奇偶性和周期性判断结果.

【解答】解：对于/,函数y=sin2x既是奇函数，故/正确；

对于8：函数y=sin|x|不是周期函数，故3错误；

对于C：y=cos（2x-^~）=-sin2x既是奇函数，故C正确;

对于。：函数y=sin（7x"*^）=cos2x为偶函数・

故选：AC.

【点评】本题考查的知识要点：函数的奇偶性和周期性，主要考查学生的理解能力和计

算能力，属于中档题.

（多选）11.（5分）已知函数

f（x）=Asin（COx+0）（A>0,W>0,|®|<:）的部分图象如图所示，下列

说法正确的是（）

A.函数y=/（x）的最小正周期为2ir

B.函数y=/（x）在单调递减

36

C.函数y=/（x）的图象关于直线x=WL对称

x12

D.该图象向右平移」匚个单位可得＞=2sin2x的图象

6

【分析】先根据图象求出y=/（x）的解析式，再分别验证/、B、C、。是否正确，根

据图象得到的周期进行判定4求得2x吟的取值范围，然后利用正弦函数的单调性

结合复合函数单调性法则判定&计算f（冉L）,看乂=冉匕是否经过顶点从而判定

是否为对称轴从而判定C;利用“左加右减”求得平移后的函数解析式即可判断D.

【解答】解：由图象可知：A=2,周期丁=4（三二＞）=兀,

312

.2兀

・・3吟「二2；

T

f舄")=8sin(2xG+®)=2

12k12,解得：小工,

由，

|0|＜看3

故函数f（x）=2sin（5x立■限）•

对于/：T=u,故4错误；

对于8：当谓Zx《-9时-兀〈2x吟《0,因为［一豆，不单调

［等，十］上不单调；

对于C：当*=节时f（爷）=2sin（窄乂24）=_2,即直线x=爷，故

C正确;

对于。：y=f（X）的图像向右平移着个单位得到y=2sin［7（X*）弓］=8sin2x，

故。正确.

故选：CD.

【点评】本题考查了由y=/sin（3x+（p）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的

性质的应用，考查了函数思想，属于中档题.

（多选）12.（5分）三角形4BC的三边a,b,c所对的角为

A,B,C,1-（siivl-sin8）2=siiL4sin8+cos2C,则下列说法正确的是（）

AA.r--打-

3

B.若△A8C面积为4«，则△A8C周长的最小值为12

C.当b=5,c=7时，。=9

D.若6=4,B=2L,则△N8C面积为6+W§

4

【分析】由正弦定理可得房+°2一°2=湖，再由余弦定理可得COSC,可求C可判断N;

由面积可得。6,进而由余弦定理可得c="（a+b）2-48,进而可得周长的最小值可判

断2；由余弦定理可得/-5a-24=0,可求a判断C：由正弦定理可求c,进而可求面

积判断D

【解答】解：对于/：*.*1-（siib4-sin5）

2=sirUsiaS+cos3C,1-sin2^+5sirL4sin5-sin2^=siiL4sinB+1-sin7C,

sin2^4+sin25-sin6C=siiL4sin5,由正弦定理可得b2+a2-曰=ab,

,2^241

由余弦定理得cosC=b+a~c=1,

2ab6

jr

V0<C<n,.\C=—；

3

对于8：当加inC=近«,**•ab='16,

24

由余弦定理可得c2=a6+b2-2abcosC=as+b2-ab,+b7-ab=

V（a+b）2-48,

a+b+c=a+b+d（及+匕）26Vab+^（2Vab）-48V64-48—12,等号成立,

故周长的最小值为12,故5正确.

对于C：由余弦定理可得c4=a2+b2-6abcosC,

.'.49=tz2+25-5a,a6-5a-24=0,解得。=6或。=-3（舍去）；

.4义学

对于。：由正弦定理得二bc=bsinC=—/=^-V6，八4BC面积S=

sinCsinBsinBV2

2

-1JLX3X2V6

5212

=4>/6X&=5+2加；

4

故选：ABD.

【点评】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形的面积，考查运算求解

能力，属中档题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.ovD

13.（5分）某校共有师生2400人，其中教师200人，男学生1200人，已知从女学生中抽

取的人数为80,那么〃=192.

【分析】先求三层的比例，然后求得女学生中抽取总人数的比例，从而求出抽取样本容

量.

【解答】解：由题意，因为200：1200：1000=1：6：4,

所以女学生中抽取总人数的包，

12

故N=80一至=192.

12

故答案为：192.

【点评】本题考查了分层抽样方法的应用问题，是基础题.

14.（5分）sin21°cos9°+sin69°sin9°=_A_.

一2一

【分析】根据已知条件，结合三角函数的诱导公式，以及正弦的两角和公式，即可求

解.

【解答】解：sin21°cos9°+sin69°sin9°=sin21°cos2°+cos21sin9°=

sin（21°+9°）=sin300

故答案为：1.

4

【点评】本题主要考查正弦的两角和公式，属于基础题.

15.（5分）在边长为6的正△N8C中，若点。满足而=2前，则说•记=6.

【分析】根据已知条件，结合平面向量的线性运算，以及平面向量的数量积公式，即可

求解.

【解答】解：BD=2DC，

则而•皮=（疝4^1•丽）•丽=-盛•记卷证8=_ig+1.x32=6-

故答案为：8.

【点评】本题主要考查平面向量的线性运算，以及平面向量的数量积公式，属于基础

题.

16.（5分）在△48C中，/cT，/。=2,M为边上的中点J7，则力3=_2匕.

3

【分析】根据cosN/MC=-cosNBMC,结合余弦定理，列方程组可求得力S.

22

【解答】解：在△力中，cosNAMC二AM<M-AC

2AM-CM

在△8CM中，cosNBMC宜@主；

cos乙BMU2BM-CM

•?NAMC+/BMC=n,：.cosZAMC=-cos/BMC,

•AM，AP-AC?_A-+CN-BC2

"6AM-CM-2AM-CM'

整理，可得NC2+BC5=2（CAf2+AM3）,即4+302=4（7+/•），

7AM2^-AB2=BC2-10>■-6BC2-2O=AB2,

在△A8C中，AB2=AC2+BC2-7AC-BCcosC=4+BC2-5BC=AB2,

...4+2C5-28c=2205-20,解得2C=-6（舍）或2C=4,

AB=V4BC2-20=278-

故答案为：KjQ.

【点评】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和方程思想，属中

档题.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）设向量a,喃足a，b=3,|aI=3>E=（«,1）,

（1）求向量W，E的夹角及|a-b|；

（2）若（7+2b）1（kZ-E），则实数人的值.

【分析】（1）由夹角公式及模长计算公式计算即可；

(2)由向量垂直的性质，利用数量积为0建立方程，求得左值.

【解答】解：(1)由b=(V3,1)b1=2,又a，b,|a|=3,

则cos<Zh>=_a_曰_=A,

a，b|a||b|4X23

又K,1>E[0，所以V；,E"""，

o

Ia-b|=*b+b2=V4-6+4=V7;

(2)由(a+2b)J_(ka-b)，可得(a+2ba_b)=2,

即2+(2左-5)a*b12=0,

由(1)可得：3上+6上-3-2=0,解得左=_1X.

15

【点评】本题考查平面向量数量积的运算和性质，考查向量垂直的性质，属基础题.

18.(12分)△/8C的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,已知

V2cosB(acosC+ccosA)=b-

(I)求2；

(II)若C=60°,b=2,求a

【分析】(I)由正弦定理，两角和的正弦公式化简己知等式可得cos3=亚，进而可

2

求5的值；

(II)由已知利用三角形内角和定理可求N的值，进而利用正弦定理即可求解a,c的

值.

【解答】解：(I)因为^/^cosB(acosC+ccosA)=b>

由正弦定理可得(siiL4cosC+sinCcos^)=sin5,

所以J^cosBsin(A+C)

因为5为三角形内角，siuBWO,

所以COSB=YZ_,

2

所以8=45°；

(II)因为8=45°,C=60°,

所以/=180°-B-C=15

由正弦定理一--=--—二一--，可得---a.=----0。=---20

sinAsinBsinCsin75sin60sin45U2

所以。=2&sin750=7&&（近xYl_+亚X-l）=百，

2622

c=7-\/2sin60o=2^

2

【点评】本题考查了正弦定理，两角和的正弦公式，三角形内角和定理在解三角形中的

综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.

19.（12分）2023年6月4日，神舟十五号载人飞船返回舱在预定区域成功着陆，航天员

费俊龙，张陆顺利出舱，神舟十五号载人飞行任务圆满完成.为纪念中国航天事业所取

得的成就，某市随机抽取1000名学生进行了航天知识竞赛并记录得分（满分：100分）,

将学生的成绩整理后分成五组，60）,[60,[70,80）,90）,[90,并绘制成如图所示的

频率分布直方图.

（1）请补全频率分布直方图；

（2）估计这1000名学生成绩的众数、平均数和计算80%分位数（求平均值时同一组数

据用该组区间的中点值作代表，80%分位数小数点后面保留两位有效数字）.

0.040

0.035

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

【分析】（1）由频率和为1,求出成绩落在[60,70）的频率;

（2）由频率分布直方图计算样本的众数、平均数和百分位数.

【解答】解：(1)成绩落在［60,70)的频率为1-(0.030+5.015+0.010+0.005)

X10=2.40,

补全的频率分布直方图，如图所示：

（2）估计这1000名学生成绩的众数是工X（60+70）=65,

2

平均数是彳=55X3,30+65X0.40+75X0.15+85X5.10+95X0.05=67（分）,

设80%分位数为x,贝!J0.03X10+8.04X10+（%-70）X0.015=0.3,

【点评】本题考查百分位数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

20.（12分）为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射

型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，B,C,。三地位于同一水平面

上，这种仪器在2地进行弹射实验，。两地相距100m,/BCD=60°当心在C地测

17

得该仪器至最高点A处的仰角为30°.（已知声音的传播速度为340加/s）

求：（1）2,C两地间的距离；

（2）这种仪器的垂直弹射高度/反

【分析】（1）设8C=x,利用在C地听到弹射声音的时间比。地晚上划，表示出

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BD,再由余弦定理，即可得解；

（2）在△NBC中，由正切函数的定义，即可得解.

【解答】解：（1）设8C=x,

•.•在C地听到弹射声音的时间比D地晚上多，

17

：.BD=x-2X340=X-40,

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在△BCD中，由余弦定理S^BC2+CD2-4BC-CD'cosZBCD,

：.(x-40)2=x2+10000-lOOx,解得x=420,

故2,C两地间的距离为420米.

(2)在△4BC中,3c=420,

/.AB=5C-tanC5=420X近=140«米.

3

故该仪器的垂直弹射高度为140«米.

【点评】本题考查解三角形的实际应用，熟练掌握余弦定理是解题的关键，考查逻辑推

理能力和运算能力，属于基础题.

21.(12分)已知向量2=(cosx,sinx),b=(3,-xG[0,IT].

(1)若aIIb,求x的值；

(2)记/(x)=a'b＞求/Xx)的最大值和最小值以及对应的x的值.

【分析】(1)根据向量的平行即可得到tanx=-1,问题得以解决，