导数压轴专题突破-第36讲 导数中的结构一致问题（含答案及解析）

第36讲导数中的结构一致问题【典型例题】例1．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为A． B． C． D．例2．已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为A．， B． C．， D．例3．已知函数，在其定义域内任取两个不等实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围为A．， B．， C． D．例4．已知，满足，，其中是自然对数的底数，则的值为A． B． C． D．例5．已知不等式对任意的实数恒成立，则实数的最小值为A． B． C． D．例6．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为．例7．若对任意，恒有，则实数的取值范围为．例8．已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为．【同步练习】一．选择题1．若对任意，不等式恒成立，则实数的最大值A． B． C． D．2．对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为A． B． C． D．3．若对任意，不等式恒成立，则实数的最大值为A． B． C． D．二．多选题4．已知函数的零点为，则A．的值为5 B．的值为4 C． D．三．填空题5．已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为．6．已知对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为．7．已知函数：，对任意，，，且，都有，则实数的取值范围为．8．已知函数，若对区间内任取两个不等的实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是．9．已知函数，若对任意两个正数成立，则实数的取值范围是．10．已知是函数的零点，则的值为．11．已知实数，满足，，其中为自然对数的底数，则12．已知不等式对恒成立，则实数的最小值为．13．已知函数的定义域为，若对任意的，，恒成立，则实数的取值范围为．14．已知函数，对任意的，当时，，则实数的取值范围是．15．已知函数，且对于任意的，，，恒成立，则的取值范围是．16．已知，若对于任意的，，不等式恒成立，则的最小值为．

第36讲导数中的结构一致问题【典型例题】例1．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为A． B． C． D．【解析】解：实数，若对任意的，不等式恒成立，即为，设，，，令，可得，由指数函数和反比例函数在第一象限的图象，可得和有且只有一个交点，设为，当时，，递增；当时，，递减．即有在处取得极小值，且为最小值．即有，令，可得，．则当时，不等式恒成立．则的最小值为．另解1：由于与互为反函数，故图象关于对称，考虑极限情况，恰为这两个函数的公切线，此时斜率，再用导数求得切线斜率的表达式为，即可得的最小值为．另解2：不等式恒成立，即为，即有，可令，可得在递增，由选项可得，所以，若，则，所以，即有，由的导数为，当时，递减．时，递增，可得时，取得最大值．则，的最小值为．故选：．例2．已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为A．， B． C．， D．【解析】解：恒成立，，，．令，易得在上单调递增，，．，，，实数的取值范围为．故选：．例3．已知函数，在其定义域内任取两个不等实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围为A．， B．， C． D．【解析】解：对任意两个不等的正实数，，都有不等式恒成立等价于，所以在上单调递增，所以在上恒成立，即，在上恒成立．令，则△或，所以或，所以，所以的取值范围为，．故选：．例4．已知，满足，，其中是自然对数的底数，则的值为A． B． C． D．【解析】解：实数，满足，所以，，即，，所以和是方程的根，由于方程的根唯一．所以，，整理得，所以．故选：．例5．已知不等式对任意的实数恒成立，则实数的最小值为A． B． C． D．【解析】解：不等式，即为，设，则原不等式等价为对任意的实数恒成立，由恒成立，可得是上的增函数，所以，由，，可得，即，由，，可得在内递减，在递增，可得的最小值为（e），则，即．则的最小值为．故选：．例6．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为．【解析】解：，函数的定义域是，若恒成立，则，两边加上得到：，单调递增，，即，令，，则，时，，递增，时，，递减，故，故，故答案为：．例7．若对任意，恒有，则实数的取值范围为．【解析】解：由不等式，可得，设，则，，时，；时，，故在上单调递减，在上单调递增，因此（1），因此在上单调递增，由得，即，设，，易得当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，从而的最大值为（e），故．故答案为：，．例8．已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为．【解析】解：函数，可得．时，当时，不等式恒成立时，当时，不等式在上单调递增．，可得，．令，．，可得时，函数取得极小值即最小值．（1）．实数的取值范围为，．故答案为：，．【同步练习】一．选择题1．若对任意，不等式恒成立，则实数的最大值A． B． C． D．【解析】解：由题意，，由恒成立，即恒成立，等价于，即，函数在上单调递增，只需，，，即，令，，得，当时，，在单调递减；当时，，在单调递增；当时，，即，得．故选：．2．对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为A． B． C． D．【解析】解：对任意的，不等式恒成立，即恒成立，函数与函数互为反函数，又时，，原问题等价于恒成立，则，即在恒成立，设，则，令，解得，当时，递减，时，递增，则（1），故．即．另解：，等价为，设，，可得在递增，则，当时，恒成立；当时，可得，可得，即有，由的导数为，可得时，递减，时，递增，可得处取得最大值，所以．故选：．3．若对任意，不等式恒成立，则实数的最大值为A． B． C． D．【解析】解：依题意，对任意，恒成立，记，，则，易知函数在上单增，显然，则函数在上递增，要使在上恒成立，只需时，函数的图象在函数图象的上方，如图可知，越大，函数图象的开口越大，故当两函数恰好相切时，此时实数取得最大值，设切点为，则，解得，则实数的最大值为．故选：．二．多选题4．已知函数的零点为，则A．的值为5 B．的值为4 C． D．【解析】解：因为函数的零点为，所以，所以，所以，所以，故，即，所以，故，故正确，错误；，其中，故，（2），，由零点存在性定理可知，，故错误，正确；故选：．三．填空题5．已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为．【解析】解：由题意可得，所以，令，则，易得在上单调递增，所以，即在恒成立，令，，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以（2），则，解得，所以实数的取值范围为，故答案为：．6．已知对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为．【解析】解：由，得，，令，对任意的，恒成立，，则在递增，且，使得，故，，令，则，则，令，则在递增，且，，故，即，即，故时，有最小值，且，故，故的取值范围是，．7．已知函数：，对任意，，，且，都有，则实数的取值范围为．【解析】解：当时，函数在，上是增函数，又函数在，上是减函数，不妨设，则，，所以等价于，即．设，则等价于函数在区间，上是减函数．于是即在，时恒成立，从而在，上恒成立，而函数在区间，上是增函数，所以的最大值为．于是，又，所以，，故答案为：，．8．已知函数，若对区间内任取两个不等的实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是．【解析】解：，，不等式恒成立，，恒成立，即恒成立，设，，则；的对称轴为，在上是单调增函数，故有（2），，即实数的取值范围是，．故答案为：，．9．已知函数，若对任意两个正数成立，则实数的取值范围是．【解析】解：对任意两个不等的正实数，，都有恒成立则当时，恒成立在上恒成立则则实数的取值范围是故答案为：．10．已知是函数的零点，则的值为．【解析】解：根据题意，，若，必有，变形可得，则有，两边同时去对数可得，设，，易得在为增函数，若，即，必有，若是函数的零点，则有，即，变形可得：，则有；故答案为：2．11．已知实数，满足，，其中为自然对数的底数，则【解析】解：实数，满足，，所以，，即，，所以和是方程的根，由于方程的根唯一．所以，，整理得，所以．故答案为：．12．已知不等式对恒成立，则实数的最小值为．【解析】解：不等式对恒成立，即，对恒成立，即有对恒成立，设，可得，即在递增，在递减，可得在处取得最小值1，则对恒成立，由，可得，当时，，显然成立；要求的最小值，可考虑的情况．当时，在递减，可得，则，两边取自然对数可得，即对恒成立，可设，，可得，当时，，递增，时，，递减，则在处取得极小值，且为最小值，即有，可得，即的最小值为．故答案为：．13．已知函数的定义域为，若对任意的，，恒成立，则实数的取值范围为．【解析】解：对任意的，，恒成立，等价为，即恒成立．令，由，，可得，，，又表示曲线在，上不同两点的割线的斜率的绝对值．则，即，的取值范围是，．故答案为：，．14．已知函数，对任意的，当时，，则实数的取值范围是．【解析】解：的几何意义为：表示点，与点，连线的斜率，实数，在区间内，故和在区间内．不等式恒成立，函数图象上在区间内任意两点连线的斜率大于1，故函数的导数大于1在内恒成立．由函数的定义域知，，在内恒成立．即在内恒成立．由于二次函数在，上是单调增函数，