专题04一线三等角模型

专题04一线三等角模型基本模型：例题精讲例1．（直角K字型）如图，在中，，，直线经过点C，且于D，于E．(1)当直线绕点C旋转到①的位置时，求证：①；②；(2)当直线绕点C旋转到②的位置时，求证：；(3)当直线MN绕点C旋转到③的位置时，试问具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．【答案】(1)①见解析，②见解析；(2)见解析；(3)【详解】（1）①如图1，∵，∴，∴，，∴，∴，∴．②∵，∴，∵，∴．（2）如图2，∵，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，∵，∴．（3）线段的熟练关系为：或或．理由如下：如图3，∵，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，∵，∴或或．例2．（非直角K字型）【探究】如图①，点B、C在的边上，点E、F在内部的射线上，分别是、的外角．若，，求证：．【应用】如图②，在等腰三角形ABC中，，，点D在边上，，点E、F在线段上，，若的面积为9，则与的面积之和为．【答案】探究：见解析；应用：6【详解】探究证明：∵，，又∵，∴，∵，∴，在和中，，∴；应用：解：∵，∴，∴，∵，的面积为9，∴，∴与的面积之和为6，故答案为：6．【变式训练1】（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：．证明：（2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析【详解】（1）DE=BD+CE．理由如下：如图1，∵BD⊥，CE⊥，∴∠BDA=∠AEC=90°又∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）∴BD=AE，AD=CE，∵DE=AD+AE，∴DE=CE+BD；（2），理由如下：如图2，∵∠BDA=∠AEC=∠BAC，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴BD+CE=AE+AD=DE；【变式训练2】（1）观察理解：如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D，E，求证：△AEC≌△CDB．（2）理解应用：如图2，过△ABC边AB、AC分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．利用（1）中的结论证明：I是EG的中点．（3）类比探究：①将图1中△AEC绕着点C旋转180°得到图3，则线段ED、EA和BD的关系_______；②如图4，直角梯形ABCD中，，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，将腰DC绕D点逆时针旋转90°至DE，△AED的面积为．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①ED=EA－BD；②1【详解】（1）证明：∵BD⊥l，AE⊥l，∴∠AEC＝∠BDC＝90°，又∵∠ACB＝90°∴∠A+∠ACE＝∠ACE+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，在△AEC和△CDB中，∴△AEC≌△CDB（AAS）；（2）证明：分别过点E、G向HI作垂线，垂足分别为M、N，由（1）得：△EMA≌△AHB，△ANG≌△CHA，∴EM＝AH，GN=AH，∴EM=GN，在△EMI和△GNI中，∴△EMI≌△GNI（AAS）；∴EI=IG，即I是EG的中点；（3）解：①由（1）得：△AEC≌△CDB，∴CE=BD，AE=CD，∵ED=CDCE，∴ED=EA－BD；故答案为：ED=EA－BD②如图，过点C作CP⊥AD交AD延长线于点P，过点E作EQ⊥AD交AD延长线于点Q，根据题意得：∠CDE=90°，CD=DE，由（1）得：△CDP≌△DEQ，∴DP=EQ，直角梯形ABCD中，，AB⊥BC，∴AB⊥AD，∴AB∥CP，∴BC⊥CP，∵BC=3，∴AP=BC=3，∵AD=2，∴DP=APAD=1，∴EQ=1，∴△ADE的面积为．故答案为：1【变式训练3】已知：中，，，D为直线BC上一动点，连接AD，在直线AC右侧作，且．(1)如图1，当点D在线段BC上时，过点E作于H，连接DE，求证：；(2)如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接BE交CA的延长线于点M．求证：；(3)当点D在射线CB上时，连接BE交直线AC于M，若，则的值为______．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)或【详解】（1）∵，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴．（2）如图，作交的延长线于点F，∵，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∵．（3）当点D在的延长线上时，作交的延长线于点G，则，∵，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，设，则，∵，∴，∴，∴，，∴，∴的值为；当点D在线段上时，作于点G，同理可证：，，设，则，∵，∴∴，∴，，∴，综上所述，的值为或，故答案为：或．【变式训练4】【问题背景】（1）如图1，在中，，，，，垂足为E．求证：；【变式运用】（2）如图2，在中，，，．求；【拓展迁移】（3）如图3，在中，，，与交于点，，，直接写出的值．【答案】（1）详见解析；（2）2；（3）8．【详解】解：（1），，，，，，在与中，，；（2）过点B作，垂足为E，，，由（1）知，，；（3）过点B作，垂足为F，，，由（1）知，，，，，，．课后训练1．如图，为等边三角形，是边上一点，在上取一点，使，在边上取一点，使，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】∵是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，在△EDB和△DFC中，,∴△EDB≌△DFC，∴∠BED=∠CDF，∵∠B=60°，∴∠BED+∠BDE=120°，∴∠CDF+∠BDE=120°，∴∠EDF=180°（∠CDF+∠BDE）=180°120°=60°.故选C.2．如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F分别是直线CD上两点，且．(1)若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上．①如图1，若∠BCA＝90°，，则BE_________CF．②如图2，若0°<∠BCA<180°，请添加一个关于与∠BCA关系的条件__________________，使①中的结论仍然成立，并说明理由；(2)如图3．若线CD经过∠BCA的外部，，请提出关于EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想，并简述理由【答案】(1)①BE＝CF；②，理由见解析(2)EF＝BE＋AF，理由见解析【详解】（1）①∵∠BEC=∠CFA=α=90°，∴∠BCE+∠CBE=180°∠BEC=90°．又∵∠BCA=∠BCE+∠ACF=90°，∴∠CBE=∠ACF．在△BCE和△CAF中，∴△BCE≌△CAF（AAS）．∴BE=CF．②α+∠BCA=180°，理由如下：∵∠BEC=∠CFA=α，∴∠BEF=180°∠BEC=180°α．又∵∠BEF=∠EBC+∠BCE，∴∠EBC+∠BCE=180°α．又∵α+∠BCA=180°，∴∠BCA=180°α．∴∠BCA=∠BCE+∠ACF=180°α．∴∠EBC=∠FCA．在△BCE和△CAF中，∴△BCE≌△CAF（AAS）．∴BE=CF．故答案为：①BE＝CF；②（2）EF=BE+AF，理由如下：∵∠BCA=α，∴∠BCE+∠ACF=180°∠BCA=180°α．又∵∠BEC=α，∴∠EBC+∠BCE=180°∠BEC=180°α．∴∠EBC=∠FCA．在△BEC和△CFA中，∴△BEC≌△CFA（AAS）．∴BE=CF，EC=FA．∴EF=EC+CF=FA+BE，即EF=BE+AF．3．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是线段CA延长线上一点，且AD＝AB．点F是线段AB上一点，连接DF，以DF为斜边作等腰Rt△DFE．连接EA，且EA⊥AB．(1)若∠AEF＝20°，∠ADE＝50°，则∠ABC＝°；(2)过D点作DG⊥AE，垂足为G．①填空：△DEG≌△；②求证：AE＝AF+BC；(3)如图2，若点F是线段BA延长线上一点，其他条件不变，请写出线段AE，AF，BC之间的数量关系，并简要说明理由．【答案】(1)60°；(2)①EFA；②见解析；(3)AE＝AF+BC，理由见解析【详解】（1）解：如图1：在等腰直角三角形DEF中，∠DEF=90°，∵∠1=20°，∴∠2=∠DEF∠1=70°，∵∠EDA+∠2+∠3=180°，∠ADE＝50°∴∠3=60°，∵EA⊥AB，∴∠EAB=90°，∵∠3+∠EAB+∠4=180°，∴∠4=30°，∵∠C=90°，∴∠ABC＝∠C∠4=60°．（2）解：①如图1，过D作DG⊥AE于G，在△DEG中，∠2+∠5=90°，∵∠2+∠1=90°，∴∠1=∠5，∵DE=FE，在△DEG与△EFA中，，∴△DEG≌△EFA，故答案是：EFA；②∵△DEG≌△EFA，∴AF=EG，∵∠4+∠B=90°，∵∠3+∠EAB+∠4=180°，∴∠3+∠4=90°，∴∠3=∠B，在△DAG与△ABC中，，∴△DAG≌△ABC，∴BC=AG，∴AE=EG+AG=AF+BC．（3）解：AE+AF=BC，理由如下：如图2，过D作DM⊥AE交AE的延长线于M，∵∠C=90°，∴∠1+∠B=90°，∵∠2+∠MAB+∠1=180°，∠MAB=90°，∴∠2+∠1=90°，∠2=∠B，在△ADM与△BAC中，，∴△ADM≌△BAC，∴BC=AM，∵EF=DE，∠DEF=90°，∵∠3+∠DEF+∠4=180°，∴∠3+∠4=90°，∵∠3+∠5=90°，∴∠4=∠5，在△MED与△AFE中，，∴△MED≌△AFE，∴ME=AF，∴AE+AF=AE+ME=AM=BC，即AE+AF=BC．4．已知：等腰和等腰中，，，．(1)如图1，延长交于点，若，则的度数为；(2)如图2，连接、，延长交于点，若，点为中点，求证：；(3)如图3，连接、，点是的中点，连接，交于点，，，则的面积为．【答案】(1)；(2)见解析；(3)16【解析】（1）解：，，即，，，故答案为：；（2）证明：如图2，延长至点，使，连接，在和中，，，，，，在和中，，，；（3）解：如图3，延长至，使，连接、、，设交于点，，，，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，，，在与中，，，，，点是的中点，，，，，，，，，，，，，，即，，，，，故答案为：16．5．如图ABD与AEC均为等腰直角三角形，AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°．（1）如图1，若反向延长ABC的高AM交DE于点N，过D作DH⊥MN．求证：DH＝AM，DN＝EN；（2）如图2，若AM为ABC的中线，反向延长AM交DE于点N，试探究AM与DE的数量关系，并说明理由；（3）由（1）（2）的探究我们发现．（填“＜”“＞”或“＝”号，无需证明）【答案】（1）见解析；（2）DE＝2AM，见解析；（3）＝【详解】（1）证明：如图，过点E作EP⊥MN交MN的延长线于点P，∵DH⊥MN，AM⊥BC，∴∠DHA＝∠AMB＝90°，∴∠BAM＋∠ABM＝90°，∵∠BAD＝90°，∴∠BAM＋∠DAH＝90°，∴∠DAH＝∠ABM，在△DAH与△ABM中，∴△DAH≌△ABM（AAS），∴DH＝AM，同理可得：△APE≌△CMA（AAS），∴EP＝AM，∴EP＝DH，∵DH⊥MN，EP⊥MN，∴∠DHN＝∠EPN＝90°，在△DHN与△EPN中，∴△DHN≌△EPN（AAS），∴DN＝EN；（2）解：DE＝2AM，理由如下：如图，延长AM至点G，使AM＝MG，连接GC，∵AM为△ABC的中线，∴BM＝CM，在△ABM与△GCM中，∴△ABM≌△GCM（SAS），∴AB＝GC，∠ABM＝∠GCM，∴AB//GC，∴∠BAC＋∠ACG＝180°，∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠DAE＋∠BAC＝360°－∠BAD－∠CAE＝180°，∴∠DAE＝∠ACG，∵AB＝GC，AB＝AD，∴AD＝GC，在△ADE与△CGA中，∴△ADE≌△CGA(SAS)，∴DE＝AG，∵AM＝MG，∴AG＝2AM，∴DE＝2AM；（3）解：∵△ABM≌△GCM，∴S△ABM＝S△GCM，∴S△ABM＋S△AMC＝S△GCM＋S△AMC，∴S△ABC＝S△AGC，∵△ADE≌△CGA，∴S△AGC＝S△DAE，∴S△ABC＝S△DAE，故答案为：＝．6．如图1所示，已知AB为直线a上两点，点C为直线a上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为边向△ABC外作△ACD和△BCE，且，，，过点D作于点，过点E作于点．（1）【问题探究】小华同学想探究图1中线段、、AB之间的数量关系．他的方法是：作直线于点H，可以先证明和________，于是可得：________和________，所以得到线段、、AB之间的数量关系是________；（2）【方法应用】在图2中，当D、E两点分别在直线a的上方和下方时，试探究三条线段、、AB之间的数量关系，并说明理由；（3）【拓展延伸】在图2中，当D、E两点分别在直线a的上方和下方时，小华同学测得线段，，请用含有m、n的代数式表示△ABC的面积为________．【答案】（1）△CBH；；；；（2），理由见解析；（3）．【详解】解：（1）∵，，∴∠=∠CHA=，∴∠DA+∠AD=90°，∠AD+∠CAH=90°，∴∠DA=∠CAH，∵AD=AC，∴△DA≌△HAC，同理△CBH，∴D=AH，=BH，∴故答案为：△CBH，，，；（2）．理由：如图，过点C作于点G，∵，，，∴，，∴，，∵，∴，，∴，，在和中，∴≌，∴，同理可得：，∴，由图可得：，∴；（3）∵CG=B，CG=A，∴B=A=（AB）=(mn)，∴△ABC的面积===，故答案为：.7．（1）如图1，已知：在中，，，直线经过点，，垂足分别为点、．证明：①；②．（2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：是的中点．【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）成立：DE=BD+CE；证明见解析；（3）见解析【详解】（1）①∵BD⊥直线l，CE⊥直线l∴∠BDA=∠CEA=90°∵∠BAC=90°∴∠BAD+∠CAE=90°∵∠BAD+∠ABD=90°∴∠CAE=∠ABD②在△ADB和△CEA中∴△ADB≌△CEA（AAS）∴AE=BD，AD=CE∴DE=AE+AD=BD+CE；（2）成立：DE=BD+CE证明如下：∵∠BDA=∠BAC=α∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α∴∠DBA=∠CAE在△ADB和△CEA中∴△ADB≌△CEA（AAS）∴AE=BD、AD=CE∴DE=AE+AD=BD+CE；（3）如图过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N∴∠EMI=GNI=90°由（1）和（2）的结论可知EM=AH=GN∴EM=GN在△EMI和△GNI中∴△EMI≌△GNI（AAS）∴EI=GI∴I是EG的中点．8．已知点C是AB上的一个动点．（1）问题发现如图1，当点C在线段AB上运动时，过点C作，垂足为点C，过点A作，垂足为点A，且，．①与全等吗？请说明理由；②连接DE，试猜想的形状，并说明理由；③是否成立？_________（填“成立”或“不成立”）．（2）类比探究如图2，当点C在线段AB的延长线上时，过点C作，垂足为点C，过点作，垂足点A，且，．试直接写出的形状为___________；此时线段DC、AE和AC之间的数量关系为__________（直接写出结论，不用说明理由）．【答案】（1）①全等，理由详见解析；②是等腰直角三角形，理由详见解析；③成立；（2）等腰直角三角形，【详解】解：（1）①全等．理由如下：∵，，∴，又∵，，∴．②是等腰直角三角形，理由如下：∵，∴，，在中．，∴，即，∴是等腰直角三角形．③∵≌，∴AE=BC，AB=CD，∴CD=AB=AC+BC=AC+AE,故答案为：成立；（2）∵，，∴，又∵，，∴．∴，，在中．，∴，即，∴是等腰直角三角形．∵AB=CD，AE=BC，∴AC=AB+BC=AE+CD，故答案为：等腰直角三角形，.9．已知：中，过B点作BE⊥AD，．(1)如图1，点在的延长线上，连，作于，交于点．求证：；(2)如图2，点在线段上，连，过作，且，连交于，连，问与有何数量关系，并加以证明；(3)如图3，点在CB延长线上，且，连接、的延长线交于点，若，请直接写出的值．【答案】（1）见详解，（2），证明见详解，（3）．【详解】（1）证明：如图1中，于，，，，，(AAS)，．（2）结论：．理由：如图2中，作于．，，，，，，，，，，，，，，，．（3）如图3中，作于交AC延长线于．，