第06讲实数（知识解读题型精讲随堂检测）

第06讲实数知识点1：无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.注意：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.【题型1：无理数的概念】【典例1】（2023春•东湖区校级期末）在实数5、3.1415、π、、A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【解答】解：π，有3个，故选：B．【变式11】（2022秋•朝阳区校级期末）下列各数中，比3大比4小的无理数是（）A．3.14 B． C． D．【答案】B【解答】解：A、3.14是有理数，不是无理数，故A不符合题意；B、∵9＜12＜16，∴3＜＜4，故B符合题意；C、∵8＜10＜27，∴2＜＜3，故C不符合题意；D、是有理数，不是无理数，故D不符合题意；故选：B．【变式12】（2023春•宁明县期中）在和中介于5和6之间的无理数有（）个．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解答】解：∵20＜25＜27＜30＜36＜39，∴＜5＜＜＜6＜，∴与介于5和6之间．故选：B．【变式13】（2022秋•长春期末）在实数、3.1415、π、、A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【解答】解：3.1415、是有理数，，π，故选：C．知识点2：实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类按定义分：实数按与0的大小关系分：实数2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.【题型2：实数的分类】【典例2】（2023春•杨浦区期末）下列语句错误的是（）A．实数可分为有理数和无理数 B．无理数可分为正无理数和负无理数 C．无理数都是无限小数 D．无限小数都是无理数【答案】D【解答】解：A、实数可分为有理数无理数，正确；B、无理数可分为正无理数和负无理数，正确；C、无理数都是无限小数，正确；D、无限不循环小数都是无理数，故错误；故选：D．【变式21】（2023•巴州区校级模拟）下列各数中：．．．（它的位数无限且相邻两个“3”之间“7”的个数依次加1个），有理数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解答】解：∵＝2，＝4，∴无理数有：﹣、π、0.3737737773……共3个；有理数有：0，，，共4个，故选：D．【变式22】（2023•景德镇二模）下列四个数中，属于有理数的是（）A． B． C．π D．【答案】B【解答】解：是无理数；是有理数；π是无理数；是无理数．故选：B．【变式23】（2023春•大连期中）下列说法中正确的是（）A．带根号的数都是无理数 B．无限小数都是无理数 C．无理数是无限不循环小数 D．无理数是开方开不尽的数【答案】C【解答】解：A、带根号的数不都是无理数，例如：是有理数，故A不符合题意；B、无限不循环小数都是无理数，故B不符合题意；C、无理数是无限不循环小数，故C符合题意；D、无理数不都是开方开不尽的数，例如：π也是无理数，故D不符合题意；故选：C．【题型3：实数的性质】【典例3】（2023春•仙游县校级期中）的相反数是（）A．﹣0.236 B．+2 C．2﹣ D．﹣2+【答案】C【解答】解：﹣2的相反数是2﹣．故选C．【变式31】（2023春•永昌县校级期中）的相反数是2﹣，＝3﹣．【答案】2﹣，3﹣．【解答】解：﹣2的相反数是2﹣；|﹣3|＝3﹣．故答案为：2﹣，3﹣．【变式32】（2023•太康县一模）计算：|3.14﹣π|＝π﹣0.14．【答案】π﹣0.14．【解答】解：|3.14﹣π|＝π﹣3.14+3＝π﹣0.14．故答案为：π﹣0.14．【变式33】（2023春•阳山县期中）如果是a的相反数，那么a的值是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：是a的相反数，那么a的值是1﹣，故选：A．【题型4：实数与数轴的关系】【典例4】（2023春•东城区期末）如图，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为﹣1，若点E在数轴上，（点E在点A的右侧）且AB＝AE，则点E所表示的数为（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵正方形ABCD的面积是5，∴AE＝AB＝，∵点A表示的数为﹣1，∴点E表示的数为﹣1，故选：B．【变式41】（2023春•西城区期末）点M，N，P，Q在数轴上的位置如图所示，这四个点中有一个点表示实数，这个点是点P．【答案】点P．【解答】解：∵4＜5＜9，∴2＜＜3，∴1＜﹣1＜2，则表示实数﹣1的点是点P，故答案为：点P．【变式42】（2023•青秀区校级模拟）如图，数轴上点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（）A．a+b＜0 B．b﹣a＜0 C．2a＞2b D．a+2＜b+2【答案】D【解答】解：由数轴可得a＜0＜b，|a|＜|b|，那么a+b＞0，则A不符合题意；b﹣a＞0，则B不符合题意；2a＜2b，则C不符合题意；a+2＜b+2，则D符合题意；故选：D．【变式43】（2023•米东区模拟）如图，在数轴上点B表示的数为1，在点B的右侧作一个边长为1的正方形BACD，将对角线BC绕点B逆时针转动，使对角线的另一端落在数轴负半轴的点M处，则点M表示的数是1﹣．【答案】1﹣．【解答】解：根据题意得：BC＝，OB＝1，∴BM＝BC＝，OM＝MB﹣OB＝﹣1，∵M点在原点O的左侧，∴点M表示的数是﹣（﹣1）＝1﹣，故答案为：1﹣．【变式44】（2023春•瑶海区期末）若将三个数﹣，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是．【答案】．【解答】解：∵﹣3＜﹣＜﹣2，2＜＜3，3＜＜4，∴能被如图所示的墨迹覆盖的数是，故答案为：．【题型5：利用数轴化简】【典例5】（2022秋•宁津县月考）实数a，b，c在数轴上的位置如图，化简|b+c|﹣|b+a|+|a+c|．【答案】见试题解答内容【解答】解：由数轴可知：b+c＜0，b+a＜0，a+c＞0，∴原式＝﹣（b+c）+（b+a）+（a+c）＝﹣b﹣c+b+a+a+c＝2a【变式51】（2022春•源汇区校级期中）实数a，b，c是数轴上三点A，B，C所对应的数，如图，化简：+|a﹣b|+﹣|b﹣c|【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝|a|+|a﹣b|+a+b﹣|b﹣c|＝﹣a+a﹣b+a+b﹣c+b＝a+b﹣c．【变式52】（2022春•礼县期中）如图，a、b、c分别是数轴上A、B、C所对应的实数，试化简：﹣|a﹣c|+．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵a＜0，b＜0，c＞0，∴a＜c∴原式＝|b|﹣|a﹣c|+（a+b）＝﹣b+（a﹣c）+（a+b）＝﹣b+a﹣c+a+b＝2a﹣c．知识点3：实数运算1．注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。2．运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。【题型6：实数的运算】【典例6】（2023春•平桥区期末）（1）；（2）．【答案】（1）8﹣；（2）11﹣4．【解答】解：（1）原式＝﹣1+5﹣（﹣1）+3＝﹣1+5﹣+1+3＝8﹣；（2）原式＝9﹣2+2﹣2＝11﹣4．【变式61】（2023春•梁山县期中）计算：（1）；（2）．【答案】（1）0；（2）﹣1．【解答】解：（1）原式＝﹣4+4＝0；（2）原式＝﹣1+﹣＝﹣1．【变式62】（2023春•高安市期中）计算．（1）||++2；（2）．【答案】（1）3；（2）0．【解答】解：（1）||++2＝﹣++2＝3；（2）＝﹣2÷（﹣2）+4﹣5＝1+4﹣5＝0．【题型7：估算无理数范围】【典例7】（2023春•河西区期末）在什么范围（）A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间【答案】C【解答】解：∵＜＜，∴4＜＜5．∴4+1＜+1＜5+1．∴5＜+1＜6．∴+1在5和6之间．故选：C．【变式71】（2022秋•桂平市期末）已知m，n为两个连续的整数，且m＜＜n，则（m﹣n）2023的值是（）A．2023 B．﹣2023 C．1 D．﹣1【答案】D【解答】解：∵3＜＜4，而m＜＜n，其中m，n为两个连续的整数，∴m＝3，n＝4，∴（m﹣n）2023＝（3﹣4）2023＝﹣1，故选：D．【变式72】（2023春•怀柔区期末）估计的值在哪两个数之间（）A．2与3 B．3与4 C．4与5 D．5与6【答案】A【解答】解：∵3＜＜4，∴2＜﹣1＜3，故选：A．【变式73】（2023春•岳麓区校级期中）若a＜＜b，其中a，b为两个连续的整数，则ba的值为（）A．6 B．8 C．9 D．12【答案】C【解答】解：∵4＜8＜9，∴，又∵，其中a，b为两个连续的整数，∴a＝2，b＝3，∴ba＝32＝9．故选：C．【题型8：无理数的整数和小数部分问】【典例8】（2023•邗江区校级模拟）已知a是的小数部分，则a+2的值为（）A．5 B．6 C．7 D．【答案】D【解答】解：∵4＜5＜9，∴2＜＜3，∴a＝﹣2，∴a+2＝﹣2+2＝，故选：D．【变式81】（2023春•龙江县期中）实数的整数部分是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解答】解：∵36＜39＜49，∴，∴，∴实数的整数部分是3，故选：B．【变式82】（2023•高青县二模）若的整数部分为m，则m的算术平方根的值最接近整数（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解答】解：∵49＜51＜64，∴7＜＜8，∴的整数部分为7，∴m＝7，∴m的算术平方根为，∵4＜7＜9，∴2＜＜3，∵2.52＝6.25，∴的值最接近整数3，故选：B．【变式83】（2022秋•晋州市期末）若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（）A． B． C． D．3【答案】B【解答】解：，∵，∴，∵的整数部分为x，小数部分为y，∴，∴．故选：B．【题型9：实数大小比较】【典例9】（2023春•常州期末）利用图中的网格比较大小：+1＞（填“＞”、“＜”或“＝”）．​【答案】＞．【解答】解：如图边长为1的格点，根据勾股定理得：AC＝，AB＝，∵AC+BC＞AB，∴+1＞．故答案为：＞．【变式91】（2022秋•慈溪市期末）比较大小：＞1．（填“＞”，“＝”或“＜”）【答案】见试题解答内容【解答】解：∵2＜＜3，∴+1＞3，∴＞1．故答案为：＞．【变式92】（2023•山东四模）比较实数大小：＞．（填＞，＜或＝）【答案】＞．【解答】解：＝3，＝，∵3＞，∴＞．故答案为：＞．【题型10：实数的应用】【典例10】（2022春•兴宁区校级期中）阅读与思考请阅读下面材料，并完成相应的任务．在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证：小聪：＝10，＝2×5＝10，所以．小明：＝4×25＝100，＝100．这就说明和都是4×25的算术平方根，而4×25的算术平方根只有一个，所以．任务：（1）猜想：当a≥0，b≥0时，和之间存在怎样的关系？并仿照小聪或小明的方法举出一个例子进行说明；（2）运用以上结论，计算：①；②；（3）解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积．【答案】（1）；（2）①24，②77；（3）16．【解答】解：（1），例如：＝×＝6；（2）①＝×＝4×6＝24；②＝×＝7×11＝77；（3）∵长方形的长为，宽为，∴S＝，答：这个长方形的面积为16．【变式101】（2022春•延津县校级月考）如图甲，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，总体积为Vcm3．（1）这个魔方的棱长是．（用代数式表示）（2）当魔方体积V＝64cm3时，①求出这个魔方的棱长．②图甲中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．③把正方形ABCD放置在数轴上，如图乙所示，使得点A与数1重合，则D在数轴上表示的数为1﹣2．【答案】（1）；（2）①4；②8，2；③1﹣2．【解答】解：（1）因为拼成的魔方体积为Vcm3，所以这个魔方的棱长为cm；故答案为：；（2）当魔方体积V＝64cm3时，①∵43＝64，∴＝4，所以这个魔方的棱长为4cm；②因为魔方的棱长为4cm；所以每个小立方体的棱长为4÷2＝2（cm），所以阴影部分正方形ABCD的边长为＝2（cm），S正方形ABCD＝（2）2＝8（cm2），答：阴影部分正方形ABCD的面积是8cm2，边长为2cm；③点D到原点的距离为：2﹣1，又因为点D在原点的左侧，所以点D所表示的数为﹣（2﹣1）＝1﹣2，故答案为：1﹣2．【变式102】（2021春•兴宁区校级期中）如图，在数轴上有两个长方形ABCD和EFGH，这两个长方形的宽都是3个单位长度，长方形ABCD的长AD是6个单位长度，长方形EFGH的长EH是10个单位长度，点E在数轴上表示的数是5．且E、D两点之间的距离为14．（1）填空：点H在数轴上表示的数是15，点A在数轴上表示的数是﹣15．（2）若线段AD的中点为M，线段EH上一点N，EN＝EH，M以每秒4个单位的速度向右匀速运动，N以每秒3个单位的速度向左运动，设运动时间为x秒，原点为O．当OM＝2ON时，求x的值．（3）若长方形ABCD以每秒2个单位的速度向右匀速运动，长方形EFGH固定不动，设长方形ABCD运动的时间为t（t＞0）秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当S＝12时，求此时t的值．【答案】（1）15；﹣15；（2）或；（3）9或13．【解答】解：（1）由题意可得，点H在数轴上表示的数为：5+10＝15；点A在数轴上表示的数为：5﹣14﹣6＝﹣15．故答案为：15；﹣15．（2）∵点M是线段AD的中点，∴点M表示的数为5﹣14﹣＝﹣12，又∵EN＝EH，∴点N在数轴上表示的数为：5+（15﹣5）＝，由题意可得，x秒时，点M在数轴上表示的数为：﹣12+4x，点N在数轴上表示的数为：﹣3x，∴OM＝|4x﹣12|，ON＝|3x﹣|，∵OM＝2ON，∴|4x﹣12|＝2|3x﹣|∴4x﹣12＝2（3x﹣）或4x﹣12＝﹣2（3x﹣），解得x＝或x＝．故答案为：或．（3）当CD与EF重合时，所用时间为＝7秒，由题意得：AD与EH重合的部分为＝4，如图1所示，设长方形ABCD从EF运动到AD与EH重叠部分为4时，所用的时间为t1秒，∴t1＝＝2，∴第一次重叠面积为12时，时间t为2+7＝9（秒）；当AD与EH重叠部分为4时，如图2所示，设长方形ABCD从EF运动到AD与EH重叠部分为4时，所用的时间为t2秒，∴t2＝＝6，∴第二次重叠面积S＝12时，时间t为6+7＝13（秒）；1．（2023•恩施州）下列实数：﹣1，0，，﹣其中最小的是（）A．﹣1 B．0 C． D．﹣【答案】A【解答】解：∵|﹣1|＝1，|﹣|＝，∴1＞，∴﹣1＜﹣，在﹣1，0，，﹣这四个数中，∵﹣1＜﹣＜0＜，∴最小的数是﹣1，故选：A．2．（2021秋•曲阳县期中）如图所示，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，那么阴影部分的面积为（）A．（2﹣） B．（2﹣）2 C．2 D．2（2﹣）【答案】A【解答】解：∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为4和2，∴两个正方形的边长分别是2，，∴阴影部分的面积＝（2﹣）×＝2﹣2．故选：A．3．（2022•工业园区校级二模）下列四个数中，属于有理数的是（）A． B． C．π D．﹣【答案】A【解答】解：A、是有理数，故A符合题意；B、是无理数，故B不符合题意；C、π是无理数，故C不符合题意；D、﹣是无理数，故D不符合题意；故选：A．4．（2022春•平潭县校级期中）已知数轴上A，B两点，且这两点间的距离为4，若点A在数轴上表示的数是3，则点B表示的数为（）A．﹣ B．7 C．﹣或7 D．或﹣7【答案】C【解答】解：设点B表示的数为x，由题意，得|x﹣3|＝4，则x﹣3＝4，或x﹣3＝﹣4，所以x＝7或﹣．故选：C．5．（2022•西城区一模）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a＞b B．|b|＜|c| C．a+c＜0 D．ab＞c【答案】B【解答】解：A、左边的数总小于右边的数，故a＞b不正确；B、绝对值就是离开原点的距离，所以|b|＜|c|是正确的；C、异号两数相加，取绝对值较大数的符号，故a+c＜0不正确；D、异号两数相乘，同号得正，异号得负．ab＞0，ab的绝对值是a和b绝对值的积，不妨取a＝﹣3，b＝﹣1，ab＝3＜c，故ab＞c不正确．故选B．6．（2022春•顺德区校级期中）如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，AB＝AC，则点C所表示的数是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵表示1，的对应点分别为A，B，∴AB＝﹣1，∵AB＝AC，∴AC＝﹣1，∴点C所表示的数为1﹣（﹣1）＝2﹣．故选：C．7．（2022•任城区三模）2﹣的相反数是（）A．﹣2﹣ B．2﹣ C．﹣2 D．2+【答案】C【解答】解：依题意得：2﹣的相反数是﹣（2﹣）＝﹣2+．故选：C．8．（2022春•弥渡县校级期中）下列说法中，正确的是（）A．无理数包括正无理数、零和负无理数 B．无限小数都是无理数 C．正实数包括正有理数和正无理数 D．实数可以分为正实数和负实数两类【答案】C【解答】解：（A）无理数包括正无理数和负无理数，故A错误；（B）无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，故B错误；（D）实数可分为正实数，零，负实数，故D错误；故选：C．9．（2022秋•裕华区校级月考）当0＜x＜1时，x2、x、的大小顺序是（）A．