压轴题03线段最值问题(原卷版+解析)

线段最值问题题型解读：线段最值问题在中考中常常以选择题和填空题的形式出现，分值较小但难度较高.此类题型多综合考查垂线段最短、"将军饮马"及旋转最值问题，一般要用到特殊三角形、特殊四边形、相似三角形、勾股定理和二次函数等相关知识，以及数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想.此类题型常涉及以下问题：①线段和差最值问题；②尺规作图问题；③旋转“费马点”问题；④点到直线的距离最值问题等.右图为线段最值问题中各题型的考查热度.题型1：垂线段最短问题解题模板：垂线段最短模型：1.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°且AB＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（）A． B． C．3 D．4【变式1-1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，点E是AB上任意一点．若CD＝5，则DE的最小值等于（）A．2.5 B．4 C．5 D．10【变式1-2】（2021•临淄区一模）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为（）A．2 B．3 C． D．题型2：将军饮马问题解题模板：技巧精讲：1、“将军饮马”模型2、线段差最大值问题模型：2.（2021•娄底模拟）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则AP+EP的最小值是（）A．2 B．4 C． D．2【变式2-1】（2022•德州）如图，正方形ABCD的边长为6，点E在BC上，CE＝2．点M是对角线BD上的一个动点，则EM+CM的最小值是（）A． B． C． D．【变式2-2】（2022•菏泽）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，M是对角线BD上的一个动点，CF＝BF，则MA+MF的最小值为（）A．1 B． C． D．2【变式2-3】（2022•广安）如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE+PF的最小值是（）A．2 B． C．1.5 D．【变式2-4】（2022•泰山区校级二模）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于点D，点E为半径OB的中点．若OB＝4，则阴影部分的面积为．题型3：旋转最值问题解题模板：技巧精讲：旋转求最值模型：3.问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA+PC＝PE．问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是．【变式3-1】（2022•连云港）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，且BE⊥DC．（1）求证：四边形DBCE为菱形；（2）若△DBC是边长为2的等边三角形，点P、M、N分别在线段BE、BC、CE上运动，求PM+PN的最小值．【变式3-2】（2022春•周村区期末）如图①，P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC的费马点．（1）如果点P为锐角三角形ABC的费马点，且∠ABC＝60°．①求证：△ABP∽△BCP；②若PA＝3，PC＝4，求PB的长．（2）已知锐角三角形ABC，分别以AB、AC为边向外作正三角形ABE和正三角形ACD，CE和BD相交于P点，连结AP，如图②．①求∠CPD的度数；②求证：P点为△ABC的费马点．一、填空题1．（罗平期末）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的点，BE=1，F为AB的中点，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为.2．（2022·安顺）已知正方形ABCD的边长为4，E为CD上一点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，过点D作DG⊥AF，交AF于点H，交BF于点G，N为EF的中点，M为BD上一动点，分别连接MC，MN．若S△DCGS△FCE=13．（2022·南充）如图，正方形ABCD边长为1，点E在边AB上（不与A，B重给），将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A1处，连接A1B，将A1B绕点B顺时针旋转90°得到A2B，连接A1A，A1C，A2C给出下列四个结论；①△ABA1≌△CBA2；②∠ADE+∠A1CB=45°；③点P是直线DE上动点，则CP+A1P的最小值为2；④当∠ADE=30°时，△A1BE的面积为起3−36，其中正确的结论是二、综合题4．（大埔期末）已知四边形ABCD是菱形（四条边都相等的平行四边形）．AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF的两边分别与边BC，DC相交于点E，F，且∠EAF＝60°．（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系为：．（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B，C重合），求证：BE＝CF；（3）求△AEF周长的最小值．5．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．6．（金华月考）如图1，在直线l上找一点C，使AC+BC最短，并在图中标出点C【简单应用】（1）如图2，在等边△ABC中，AB＝10，AD⊥BC，E是AC的中点，M是AD上的一点，求EM+MC的最小值，借助上面的模型，由等边三角形的轴对称性可知，B与C关于直线AD对称，连接BM，EM+MC的最小值就是线段的长度，则EM+MC的最小值是；（2）如图3，在四边形ABCD中，∠BAD＝140°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM＝°．（3）如图4，是一个港湾，港湾两岸有A、B两个码头，∠AOB＝30°，OA＝1千米，OB＝2千米，现有一艘货船从码头A出发，根据计划，货船应先停靠OB岸C处装货，再停靠OA岸D处装货，最后到达码头B．怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求出最短路程．线段最值问题题型解读：线段最值问题在中考中常常以选择题和填空题的形式出现，分值较小但难度较高.此类题型多综合考查垂线段最短、"将军饮马"及旋转最值问题，一般要用到特殊三角形、特殊四边形、相似三角形、勾股定理和二次函数等相关知识，以及数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想.此类题型常涉及以下问题：①线段和差最值问题；②尺规作图问题；③旋转“费马点”问题；④点到直线的距离最值问题等.右图为线段最值问题中各题型的考查热度.题型1：垂线段最短问题解题模板：垂线段最短模型：1.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°且AB＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（）A． B． C．3 D．4【分析】由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DMAN是矩形，可得MN＝AD，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．【解答】解：∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，∴BC＝＝5，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，∴四边形DMAN是矩形，∴MN＝AD，∴当AD⊥BC时，AD的值最小，此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，∴AD＝，∴MN的最小值为；故选：A．【点评】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式1-1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，点E是AB上任意一点．若CD＝5，则DE的最小值等于（）A．2.5 B．4 C．5 D．10【分析】根据角平分线的性质即可得到即可，【解答】解：当DE⊥AB时，DE的值最小，∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，CD＝5，∴DE的最小值＝CD＝5，故选：C．【点评】本题考查的是角平分线性质，关键是知道垂线段最短，本题比较典型，难度适中．【变式1-2】（2021•临淄区一模）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为（）A．2 B．3 C． D．【分析】以BD为对称轴作N的对称点N'，连接MN′并延长交BD于P，连NP，依据PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，可得当P，M，N'三点共线时，取“＝”，再求得＝＝，即可得出PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°，再根据△N'CM为等腰直角三角形，即可得到CM＝MN'＝2．【解答】解：如图所示，以BD为对称轴作N的对称点N'，连接MN′并延长交BD于P，连NP，根据轴对称性质可知，PN＝PN'，∴PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，当P，M，N'三点共线时，取“＝”，∵正方形边长为8，∴AC＝AB＝8，∵O为AC中点，∴AO＝OC＝4，∵N为OA中点，∴ON＝2，∴ON'＝CN'＝2，∴AN'＝6，∵BM＝6，∴CM＝AB﹣BM＝8﹣6＝2，∴＝＝，∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°，∵∠N'CM＝45°，∴△N'CM为等腰直角三角形，∴CM＝MN'＝2，即PM﹣PN的最大值为2，故选：A．【点评】本题主要考查了正方形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．题型2：将军饮马问题解题模板：技巧精讲：1、“将军饮马”模型2、线段差最大值问题模型：2.（2021•娄底模拟）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则AP+EP的最小值是（）A．2 B．4 C． D．2【分析】连接CP，当点E，P，C在同一条直线上时，AP+PE的最小值为CE的长，根据勾股定理计算即可．【解答】解：如图，连接CP，在△ADP与△CDP中，，∴△ADP≌△CDP（SAS），∴AP＝CP，∴AP+PE＝CP+PE，当点E，P，C在同一条直线上时，AP+PE的最小值为CE的长，∴连接CE交BD于P'，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝AB＝4，∠ADC＝90°，∵E是AD的中点，∴ED＝2，在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE＝＝＝2，故选：D．【点评】本题考查了轴对称，中点路线问题，根据题意作出A关于BD的对称点C是解此题的关键．【变式2-1】（2022•德州）如图，正方形ABCD的边长为6，点E在BC上，CE＝2．点M是对角线BD上的一个动点，则EM+CM的最小值是（）A． B． C． D．【分析】要求ME+MC的最小值，ME、MC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化ME，MC的值，从而找出其最小值求解．【解答】解：如图，连接AE交BD于M点，∵A、C关于BD对称，∴AE就是ME+MC的最小值，∵正方形ABCD中，点E是BC上的一定点，且BE＝BC﹣CE＝6﹣2＝4，∵AB＝，∴AE＝＝2，∴ME+MC的最小值是2．故选：C．【点评】本题主要考查的是轴对称﹣﹣路径最短问题、勾股定理的应用、正方形的性质，明确当点A、M、E在一条直线上时，ME+MA有最小值是解题的关键．【变式2-2】（2022•菏泽）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，M是对角线BD上的一个动点，CF＝BF，则MA+MF的最小值为（）A．1 B． C． D．2【分析】当MA+MF的值最小时，A、M、F三点共线，即求AF的长度，根据题意判断△ABC为等边三角形，且F点为BC的中点，根据直角三角形的性质，求出AF的长度即可．【解答】解：当A、M、F三点共线时，即当M点位于M′时，MA+MF的值最小，由菱形的性质可知，AB＝BC，又∵∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∵F点为BC的中点，AB＝2，∴AF⊥BC，CF＝FB＝1，∴在Rt△ABF中，AF＝＝．故选：C．【点评】本题考查最短路线问题、等边三角形的性质和菱形的性质，确定MA+MF的最小值为AF的长度是关键．【变式2-3】（2022•广安）如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE+PF的最小值是（）A．2 B． C．1.5 D．【分析】如图，取AB的中点T，连接PT，FT．首先证明四边形ADFT是平行四边形，推出AD＝FT＝2，再证明PE+PF＝PT+PF，由PF+PT≥FT＝2，可得结论．【解答】解：如图，取AB的中点T，连接PT，FT．∵四边形ABCD是菱形，∴CD∥AB，CD＝AB，∵DF＝CF，AT＝TB，∴DF＝AT，DF∥AT，∴四边形ADFT是平行四边形，∴AD＝FT＝2，∵四边形ABCD是菱形，AE＝DE，AT＝TB，∴E，T关于AC对称，∴PE＝PT，∴PE+PF＝PT+PF，∵PF+PT≥FT＝2，∴PE+PF≥2，∴PE+PF的最小值为2．故选：A．【点评】本题考查轴对称最短问题，菱形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．【变式2-4】（2022•泰山区校级二模）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于点D，点E为半径OB的中点．若OB＝4，则阴影部分的面积为．【分析】连接BC，过D作DF⊥OB于F，先证明△BOC是等边三角形即可求出OE，CE⊥BO，然后根据勾股定理求出CE，根据含30度的直角三角形的性质求出DF，最后根据S阴影＝S扇形BOC﹣S△COE﹣（S扇形BOD﹣S△ODE）求解即可．【解答】解：连接BC，过D作DF⊥OB于F，∵∠BOC＝60°，OC＝OB，∴△BOC是等边三角形，∵点E为半径OB的中点，∴CE⊥BO，，∴，∵∠BOC＝60°，OD平分∠BOC，∴，∴，∴S阴影＝S扇形BOC﹣S△COE﹣（S扇形BOD﹣S△ODE）＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了求不规则图形的面积，解题的关键是学会添加常用辅助线，根据S阴影＝S扇形BOC﹣S△COE﹣（S扇形BOD﹣S△ODE）求解是解题的关键．题型3：旋转最值问题解题模板：技巧精讲：旋转求最值模型：3.问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA+PC＝PE．问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是．【分析】（1）在BC上截取BG＝PD，通过三角形全等证得AG＝AP，BG＝DP，得出△AGP是等边三角形，得出AP＝GP，则PA+PC＝GP+PC＝GC＝PE，即可证得结论；（2）以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，可证△GMO≌△DME，可得GO＝DE，则MO+NO+GO＝NO+OE+DE，即当D、E、O、N四点共线时，MO+NO+GO值最小，最小值为ND的长度，根据勾股定理先求得MF、DF，然后求ND的长度，即可求MO+NO+GO的最小值．【解答】（1）证明：如图1，在BC上截取BG＝PD，在△ABG和△ADP中，∴△ABG≌△ADP（SAS），∴AG＝AP，BG＝DP，∴GC＝PE，∵∠GAP＝∠BAD＝60°，∴△AGP是等边三角形，∴AP＝GP，∴PA+PC＝GP+PC＝GC＝PE∴PA+PC＝PE；（2）解：如图2：以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，作DF⊥NM，交NM的延长线于F．∵△MGD和△OME是等边三角形∴OE＝OM＝ME，∠DMG＝∠OME＝60°，MG＝MD，∴∠GMO＝∠DME在△GMO和△DME中∴△GMO≌△DME（SAS），∴OG＝DE∴NO+GO+MO＝DE+OE+NO∴当D、E、O、N四点共线时，NO+GO+MO值最小，∵∠NMG＝75°，∠GMD＝60°，∴∠NMD＝135°，∴∠DMF＝45°，∵MG＝．∴MF＝DF＝4，∴NF＝MN+MF＝6+4＝10，∴ND＝＝＝2，∴MO+NO+GO最小值为2，故答案为2，【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，最短路径问题，构造等边三角形是解答本题的关键．【变式3-1】（2022•连云港）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，且BE⊥DC．（1）求证：四边形DBCE为菱形；（2）若△DBC是边长为2的等边三角形，点P、M、N分别在线段BE、BC、CE上运动，求PM+PN的最小值．【分析】（1）先证明四边形DBCE是平行四边形，再由BE⊥DC，得四边形DBCE是菱形；（2）作N关于BE的对称点N'，过D作DH⊥BC于H，由菱形的对称性知，点N关于BE的对称点N'在DE上，可得PM+PN＝PM+PN'，即知MN'的最小值为平行线间的距离DH的长，即PM+PN的最小值为DH的长，在Rt△DBH中，可得DH＝DB•sin∠DBC＝，即可得答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵DE＝AD，∴DE＝BC，∵E在AD的延长线上，∴DE∥BC，∴四边形DBCE是平行四边形，∵BE⊥DC，∴四边形DBCE是菱形；（2）解：作N关于BE的对称点N'，过D作DH⊥BC于H，如图：由菱形的对称性知，点N关于BE的对称点N'在DE上，∴PM+PN＝PM+PN'，∴当P、M、N'共线时，PM+PN'＝MN'＝PM+PN，∵DE∥BC，∴MN'的最小值为平行线间的距离DH的长，即PM+PN的最小值为DH的长，在Rt△DBH中，∠DBC＝60°，DB＝2，∴DH＝DB•sin∠DBC＝2×＝，∴PM+PN的最小值为．【点评】本题考查平行四边形性质及应用，涉及菱形的判定，等边三角形性质及应用，对称变换等，解题的关键是掌握解决“将军饮马”模型的方法．【变式3-2】（2022春•周村区期末）如图①，P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC的费马点．（1）如果点P为锐角三角形ABC的费马点，且∠ABC＝60°．①求证：△ABP∽△BCP；②若PA＝3，PC＝4，求PB的长．（2）已知锐角三角形ABC，分别以AB、AC为边向外作正三角形ABE和正三角形ACD，CE和BD相交于P点，连结AP，如图②．①求∠CPD的度数；②求证：P点为△ABC的费马点．【分析】（1）①由三角形内角和定理可求∠PBA+∠PAB＝60°，可证∠PBC＝∠BAP，可得结论；②由相似三角形的性质可得，即可求解；（2）①由“SAS”可证△ACE≌△ADB，可得∠1＝∠2，即可求解；②通过证明△ADF∽△CFP，可得，可证△AFP∽△CDF，可得∠APF＝∠ACD＝60°，可得结论．【解答】（1）①证明：∵点P为锐角三角形ABC的费马点，∴∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，∴∠PBA+∠PAB＝60°，∵∠ABC＝60°，∴∠ABP+∠PBC＝60°，∴∠PBC＝∠BAP，又∵∠APB＝∠BPC，∴△ABP∽△BCP，②解：∵△ABP∽△BCP，∴，又∵PA＝3，PC＝4，∴，∴PB＝2；（2）①解：设AC与BD的交点于F，如图，∵△ABE与△ACD都为等边三角形，∴∠BAE＝∠CAD＝60°，AE＝AB，AC＝AD，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，在△ACE和△ADB中，，∴△ACE≌△ADB（SAS），∴∠1＝∠2，∵∠3＝∠4，∴∠CPD＝∠6＝∠5＝60°；②证明：∵∠1＝∠2，∠5＝∠6，∴△ADF∽△CFP，∴，∴AF•PF＝DF•CP，∵∠AFP＝∠CFD，∴△AFP∽△CDF，∴∠APF＝∠ACD＝60°，∴∠APC＝∠CPD+∠APF＝120°，∴∠BPC＝120°，∴∠APB＝360°﹣∠BPC﹣∠APC＝120°，∴P点为△ABC的费马点．【点评】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，费马点的定义，以及等边三角形的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．一、填空题1．（罗平期末）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的点，BE=1，F为AB的中点，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为.【答案】17【解析】【解答】解：∵正方形ABCD是轴对称图形，AC是一条对称轴，∴点F关于AC的对称点在线段AD上，设为点G，连结EG与AC交于点P，则PF+PE的最小值为EG的长，∵AB=4，AF=2，∴AG=AF=2，∴EG=12故答案为：17。【分析】根据正方形的性质可知：点F关于AC的对称点在线段AD上，设为点G，连结EG与AC交于点P，则PF+PE的最小值为EG的长，过点E作EH垂直于AD于点H，根据矩形的性质及勾股定理即可算出EG的长，从而得出答案。2．（2022·安顺）已知正方形ABCD的边长为4，E为CD上一点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，过点D作DG⊥AF，交AF于点H，交BF于点G，N为EF的中点，M为BD上一动点，分别连接MC，MN．若S△DCGS△FCE=1【答案】5【解析】【解答】解：如图，连接AM，

∵四边形ABCD是正方形，

∴A点与C点关于BD对称，

∴CM=AM，

∴MN+CM=MN+AM≥AN，

.当A、M、N三点共线时，MN+CM的值最小，

∵AD∥CF，

∴∠DAE=∠F，

∵∠DAE+∠DEH=90°，

∵DG⊥AF，

∴∠CDG+∠DEH=90°，

∴∠DAE=∠CDG，

∴∠CDG=∠F，

∴△DCG∽△FCE，

∵S△DCGS△FCE=19，

∴CDCF=13，

∵CD=4，

∴CF=12，

∵AD∥CF，

∴AEEF=ADCF=DECE=13，

∴DE=1，CE=3，

在Rt△CEF中，EF=CE2+CF2=32+122=3173．（2022·南充）如图，正方形ABCD边长为1，点E在边AB上（不与A，B重给），将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A1处，连接A1B，将A1B绕点B顺时针旋转90°得到A2B，连接A1A，A1C，A2C给出下列四个结论；①△ABA1≌△CBA2；②∠ADE+∠A1CB=45°；③点P是直线DE上动点，则CP+A1P的最小值为2；④当∠ADE=30°时，△A1BE的面积为起3−36，其中正确的结论是【答案】①②③【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABC=90°，

由旋转的性质得：A1B=A2B，∠A1BA2=90°，

∴∠ABA1+∠A1BC=∠A2BC+∠A1BC=90°，

∴∠ABA1=∠A2BC，

∴△ABA1≌△CBA2（SAS），

∴①说法正确；

②如图，过点D作DF⊥A1C于点F，

∵DC=DA1，

∴∠CDF=∠A1DF，

∵∠ADE=∠A1DE，∠ADC=90°，

∴∠ADE+∠CDF=45°，

又∵∠DCF+∠CDF=90°，∠DCF+∠A1CB=90°，

∴∠CDF=∠A1CB，

∴∠ADE+∠A1CB=45°，

∴②说法正确；

③如图，连接PA、PC，

∵A1和A关于DE对称，

∴PA1=PA，

∴PA1+PC=PA+PC，

当A、P、C三点共线时，PA+PC=AC=2，即PA1+PC最短，

∴PA1+PC最短为2，

∴③说法正确；

④如图，过点A1作A1G⊥AB于点G，

∵∠ADE=30°，

∴AD=3AE，

∴AE=33，

∴EB=1-33=3−33，

又∵A1A⊥DE，

∴∠DAA1=60°，

∴∠A1AG=30°，AA1=AD=1，

∴A1G=12AA1=12，

∴△A1BE面积=12EB·A1G=12×3−33×12=3−312，

∴④说法错误.

故正确答案为：①②③.

【分析】由正方形性质得AB=BC，∠ABC=90°，由旋转的性质得A1B=A2B，∠A1BA2=90°，从而推出∠ABA1=∠A2BC，即可证出△ABA1≌△CBA2；如图，过点D作DF⊥A1C于点F，由旋转性质及正方形性质推出∠ADE+∠CDF=45°，再由∠DCF+∠CDF=90°，∠DCF+∠A1CB=90°，推出∠CDF=∠A1CB，从而得到∠ADE+∠A1CB=45°；③如图，连接PA、PC，由折叠性质可知A1和A关于DE对称，从而得到PA1=PA，即得PA1+PC=PA+PC，当A、P、C三点共线时，PA+PC=AC=2，即PA1+PC最短，即可求出PA1+PC最短为2；④如图，过点A1作A1G⊥AB于点G，利用正方形性质及含30°角直角三角形的性质可求得AE=33，即得EB=1-33=3−33，再由A1A⊥DE，从而得∠DAA1=60°，进而得到∠A1AG=30°，AA1=AD=1，再含30°角直角三角形的性质可求得A二、综合题4．（大埔期末）已知四边形ABCD是菱形（四条边都相等的平行四边形）．AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF的两边分别与边BC，DC相交于点E，F，且∠EAF＝60°．（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系为：．（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B，C重合），求证：BE＝CF；（3）求△AEF周长的最小值．【答案】（1）AE＝EF＝AF（2）证明：如图2，∵∠BAC＝∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，在△BAE和△CAF中，∠BAE=∠CAF∴△BAE≌△CAF（ASA）∴BE＝CF．（3）解：由（1）可知△AEF是等边三角形，∴当AE⊥BC时，AE的长最小，即△AEF的周长最小，∵AE＝EF＝AF＝23，∴△AEF的周长为63．【解析】【解答】解：（1）AE＝EF＝AF．理由：如图1中，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D＝60°，∴△ABC，△ADC是等边三角形，∴∠BAC＝∠DAC＝60°∵BE＝EC，∴∠BAE＝∠CAE＝30°，AE⊥BC，∵∠EAF＝60°，∴∠CAF＝∠DAF＝30°，∴AF⊥CD，∴AE＝AF（菱形的高相等）∴△AEF是等边三角形，∴AE＝EF＝AF．故答案为AE＝EF＝AF；【分析】（1）结论AE＝EF＝AF．只要证明AE＝AF即可证明△AEF是等边三角形；（2）欲证明BE＝CF，只要证明△BAE≌△CAF即可；（3）根据垂线段最短可知；当AE⊥BC时，△AEF的周长最小；5．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣5），把点A（0，4）代入上式得：a=45∴y=45（x﹣1）（x﹣5）=45x2﹣245x+4=45（x﹣3）∴抛物线的对称轴是：直线x=3；（2）解：P点坐标为（3，85理由如下：∵点A（0，4），抛物线的对称轴是直线x=3，∴点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4）如图1，连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小．设直线BA′的解析式为y=kx+b，把A′（6，4），B（1，0）代入得4=6k+b0=k+b解得k=4∴y=45x﹣4∵点P的横坐标为3，∴y=45×3﹣45=∴P（3，85（3）解：在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．设N点的横坐标为t，此时点N（t，45t2﹣24如图2，过点N作NG∥y轴交AC于G；作AD⊥NG于D，由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：y=﹣45把x=t代入得：y=﹣45t+4，则G（t，﹣4此时：NG=﹣45t+4﹣（45t2﹣245t+4）=﹣4∵AD+CF=CO=5，∴S△ACN=S△ANG+S△CGN=12AD×NG+12NG×CF=12NG•OC=12×（﹣45t2+4t）×5=﹣2t2+10t=﹣2（t﹣5∴当t=52时，△CAN面积的最大值为25由t=52，得：y=45t2﹣∴N（52【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-5），然后将代入A（0，4）代入抛物线的解析式可求得a的值，从而可得到抛物线的解析式，然后利用抛物线的对称性可得到抛物线的对称轴；

（2）作点A关于对称轴的对称点A′，连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小，然后再求出直线BA′的解析式，从而可求得点P的坐标．

（