专题01集合与常用逻辑用语（知识串讲热考题型真题训练）（原卷版）

专题01集合与常用逻辑用语【考点01：集合的概念】

【考点02：元素与集合的关系】【考点03：集合的表示方法】【考点04：根据元素与集合的关系求参数】

【考点05：利用集合元素的互异求参数】

【考点06：两个集合相等求参数】【考点07：根据集合元素求个数】【考点08：集合的基本关系】

【考点09：根据集合间的关系求参数】

【考点10：集合的运算】

【考点11：集合运算中求参问题】【考点12：韦恩图的运用】【考点13：充要条件的判断及应用】【考点14：充分、必要、充要和集合的关系】【考点15：全称、存在量词命题的综合】

知识点1：元素与集合的概念1．元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示．2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)，(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C…表示．3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．4．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互异性、无序性.知识点2：元素与集合的关系1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.知识点3：常见的数集及表示符号数集非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或N＋ZQR知识点4：集合的表示（1）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．（2）描述法：一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．

知识点5：子集、真子集、集合相等定义符号表示图形表示子集如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集A⊆B(或B⊇A)真子集如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集AB(或BA)集合相等如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等A＝B知识点6：空集1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.2．规定：空集是任何集合的子集．知识点7：交集1、文字语言：对于两个给定的集合A，B，由属于A又属于B的所有元素构成的集合，叫做A，B的交集，记作A∩B，读作“A交B”2、符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}3、图形语言：阴影部分为A∩B4、性质：A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅∩A＝∅，如果A⊆B，则A∩B＝A

知识点8：并集1、文字语言：对于两个给定的集合A，B，由两个集合的所有的元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”2、符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}3、符号语言：阴影部分为A∪B4、性质：A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A，如果A⊆B，则A∪B＝B.知识点9：补集1、全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集．记法：全集通常记作U.2、补集（1）文字语言：如果给定集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作.（2）符号语言：（3）符号语言：（4）性质：A∪∁UA＝U；A∩∁UA＝∅；∁U(∁UA)＝A.【注意】并不是所有的全集都是用字母U表示，也不是都是R，要看题目的。知识点10：充分条件与必要条件“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系p⇒qp⇏q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件定理关系判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件【注意】（1）前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后；（2）p是q的充分条件或q是p的必要条件；（3）改变说法：“p是q的充分条件”还可以换成q的一个充分条件是p；“q是p的必要条件”还可以换成“p的一个必要条件是q”．知识点11：充分必要条件与集合的关系若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，①若AB，则p是q的充分不必要条件；②若A⊇B，则p是q的必要条件；③若AB，则p是q的必要不充分条件；④若A＝B，则p是q的充要条件；⑤若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．

充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；

知识点12：全称量词与全称量词命题1、全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示．【注意】（1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定；（2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都”2、全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题．对集合M中的任意一个x，成立（M表示变量x的取值范围），符号表示为：对．【注意】（1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题；（2）一个全称量词命题可以包含多个变量；（3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来。如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行”知识点13：存在量词与存在量词命题1、全称量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分，称为全存在量词，用符号“”表示．【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等；2、存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题．存在集合M中的元素x，成立（M表示变量x的取值范围），简记为：对．【注意】（1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题；（2）一个存在量词命题可以包含多个变量；（3）有些命题虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”、“有一个”等特征的命题都是存在量词命题.知识点14：全称量词命题与存在量词命题的真假判断1、判断全称量词命题真假：若为真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立；若为假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可；2、判断存在量词命题真假：只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，则这个命题为真，否则为假。知识点15：命题的否定1、命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定．2、全称量词命题的否定：一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题：．3、存在量词命题的否定：一般地，存在量词命题“”的否定是全称量词命题：．4、命题与命题的否定的真假判断：一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假．即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然．5、常见正面词语的否定：正面词语等于（＝）大于（＞）小于（＜）是都是否定不等式（≠）不大于（≤）不小于（≥）不是不都是正面词语至多有一个至少有一个任意所有至多有n个否定至少有两个一个都没有某个某些至少有n+1个【考点01：集合的概念】

1．下列各组对象能构成集合的是（

）A．2023年参加“两会”的代表B．北京冬奥会上受欢迎的运动项目C．π的近似值D．我校跑步速度快的学生2．下列研究的对象能构成集合的是（

）A．我不喜欢的人 B．高大的山C．好吃的西瓜 D．中国所有的5A3．(多选题)下列各组对象能组成集合的是（

）A．大于6的所有整数B．高中数学的所有难题C．被3除余2的所有整数D．函数y=1【考点02：元素与集合的关系】

4．已知非零实数a、b，代数式aa+bA．0∈M B．−1∈M C．3∉M D．−1∉M5．已知集合A={x|x2−x=0}，则−1与集合AA．−1∈A B．−1∉A C．−1⊆A D．−1⊄A6．若集合A=−2,1,4,8，B=xyx∈A,y∈A，则A．−16 B．−8 C．−2 D．327．集合A=x|x=2k,k∈Z,B=x|x=2k+1,k∈ZA．a+b∈A B．C．a+b∈C D．a+b8．已知集合C=2,−1，D=z∣z=x+y,x∈C,y∈C，则集合D等于（A．−1,2,1 B．−2,1,4C．1,2,4 D．−2,2,4【考点03：集合的表示方法】

9．集合x∈N+|x−2≤1A．0,1,2,3 B．1,2,3 C．0,1,2,3,4 D．1,2,3,410．已知P={1,2,3},Q={2,4}，若M={x∣x∈P且x∉Q}，则M=（

）A．{1,2,3} B．{2,4} C．{1,3} D．{2}11．若集合A={2,4,8}，B=xyx∈A,y∈A，则BA．274 B．314 C．39412．方程组x+y=3x−y=−1的解构成的集合是（

A．1,2 B．x=1,y=2 C．1,2 D．1,213．集合A=x∈Zx=【考点04：根据元素与集合的关系求参数】

15．已知集合A=0,m,m2−3m+2，且2∈A，则实数A．2 B．3 C．0或3 D．0,2,316．设集合A=2,a2−a+2,1−a​,若4∈AA．−1,2​ B．3 C．−1,−3,2​ D．−3,217．已知x∈1,2,x2，则xA．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或218．已知集合A=12,a2+4a,a−2，−3∈A，则A．−1 B．−3或1 C．3 D．−319．多选题已知集合A=a−2,2a2+5a,A．−1 B．−32 C．1 20．设集合A={0,m,m2−5m+4}，且4∈A，则实数m【考点05：利用集合元素的互异求参数】

21．设集合A=1,3,a2，B=1,a+2，若B⊆A，则A．2 B．1 C．−2 D．−122．已知集合A=1,5,a2,B=1,2a+3，且B⊆AA．1 B．1 C．3 D．3【考点06：两个集合相等求参数】

23．已知M=a−3,2a−1,a2+1,N=−2,4a−3,3a−1，若24．已知数集0,−1,2a=a−1,−a,a+1，则由实数25．已知a∈R，b∈R，若集合a,ba,126．已知集合1,a,3a=2a−1a【考点07：根据集合元素求个数】

27．已知集合A={x∈R(1)若A是空集，求a的取值范围；(2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来;(3)若A中至多只有一个元素，求a的取值范围;28．已知集合x|ax(1)若集合A是空集，求a的取值范围；(2)若集合A中只有一个元素，求a的取值范围；(3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围．【考点08：集合的基本关系】

29．已知集合M=−2,2，N=x−1<x−1<1A．M⊆N B．N⊆MC．M=N D．M，N互不包含30．若A=x|xA．∅}⊆A B．1}=AC．−1,1}⊆A D．0}⊆A31．设集合S=x∈N∗x是4与6的公倍数}，A．S∈T B．T⊆S C．S⊆T D．S=T32．已知集合A=x|0<x<3,B=x|2≤x<3A．B∈A B．B⊆A C．A=B D．A⊆B33．多选题下列选项中正确的是（

）A．0∈∅ B．∅⊆C．∅=x∈R|

【考点09：根据集合间的关系求参数】34．已知集合A=x∣x2−3x+2=0，B={x∣x<a}，若A⊆B，则实数A．a≤2 B．a<2 C．a>2 D．a≥235．已知集合A=x−2≤x≤7，B=xm+1<x<2m−1，若A．−2≤m≤4 B．−2<m<4C．m<4 D．m≤436．已知非空集合A=x|2−a<x<1+3a，集合B=a，B⊆A，则实数a的取值范围是（A．a>1 B．a>−12 C．37．设集合A=1,2,B=−∞,a，若A⊆BA．−∞,2 B．−∞,1 C．38．设集合A=x|1<x≤2,B=x|x<aA．aa<1 B．aa≤1 C．aa>239．若集合A=x|2a+1≤x≤3a−5，A．a|1≤a≤9C．a|a≤9 D．【考点10：集合的运算】

40．设集合U=x∈N∗x≤4，A=1,2，B=A．1,2 B．1,2,3,4 C．3,4 D．2,3,441．已知集合U=1,2,3,4,5,6,7，A=2,3,6,7，B=2,3,4,5，则A∩A．6,7 B．1,7 C．1,6 D．1,6,742．已知集合A=x−32<x≤3，B=A．x−32C．x−3≤x<5243．已知集合U=−2,−1,0,1,2,3，A=1,2，B=−1,0,1A．−2,3 B．−2,2,3C．−2,−1,0,3 D．−2,−1,0,2,344．设集合M=x−1<x<1，N={x∣0≤x<2}，则M∩N等于（A．{x∣−1<x<2} B．{x∣0≤x<1}C．{x∣0<x<1} D．{x∣−1<x<0}【考点11：集合运算中求参问题】45．已知集合A={x|x2−5x−14≤0}(1)当m=5时，求A∪B和B∩∁(2)若A∩∁RB=A46．已知集合M=x1<x<4，集合(1)求M∩N和M∪∁(2)设A=xa≤x≤a+3，若A∪∁47．已知全集U=R，集合A=x(1)当a=−2时，求A∩∁(2)若A∪∁UB48．已知集合A=x−4≤x≤3，B＝{x|a−3≤x≤(1)当a＝2时，求A∪B，∁R(2)若∁RA∪B【考点12：韦恩图的运用】

49．已知全集U=R，集合A={x|x<−1或x>4}，B={x|−2≤x≤3}，那么阴影部分表示的集合为（

A．{x|−2≤x<4}B．{x|−1≤x≤3} C．{x|x≤3或x≥4} D．{x|−2≤x≤4}50．如图，已知全集U=R，集合A={1,2,3,4,5},B={x∣−1≤x≤2}，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（

A．3 B．4 C．7 D．851．已知全集U=xx>0，集合A=x3<x<8，

A．x3<x≤6 B．x3<x<6 C．x6≤x<852．设全集U=1,2,3,4,5,6,7，集合A=1,2,4,5,B=A．2,5 B．2,6 C．3,6 D．2,3,653．如图所示，U是全集，A,B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是（

）

A．A∩B B．A∪B C．∁UA∩B 54．多选题已知全集U=0,1,2,3,4,5,6,7，集合A=x∈Nx<5A．0,2,4 B．∁C．A∩∁UB【考点13：充要条件的判断及应用】

55．设x∈R，则“4<x<5”是“x−2>1”的（

A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件56．“x<−11或x>9”的一个必要不充分条件是（

）A．x<−9或x>8 B．x≤−12或x≥10 C．x<−10 D．x>1057．设p:12≤x≤1，q:a≤x≤a+1，若p是q的充分不必要条件，则实数aA．a0≤a≤12C．{aa≤0或a≥12} 58．设p：−1≤x<2，q：x<a，若q是p的必要条件，则a