27.2相似三角形的判定与性质（讲练）-2022-2023学年九年级数学下册重要考点（人教版）（原卷版）

27.2相似三角形的判定与性质相似三角形在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.注意：

(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.题型1：相似三角形1.1．如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是()A． B．C． D．【变式11】下列说法正确的是（）A．有一个角等于100°的两个等腰三角形相似B．两个矩形一定相似C．有一个角等于45°的两个等腰三角形相似D．相似三角形一定不是全等三角形【变式12】已知图（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图（2）中AB、CD交于O点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（）A．只有（1）相似 B．只有（2）相似 C．都相似 D．都不相似平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，．注意：若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为，，．题型2：平行线分线段成比例2.如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F．若ABBC=43A．43 B．34 C．37 【变式21】如图，l1∥l2∥l3，则下列等式不成立的是（）A．ADDF=BCCE B．AGAF=BGBE【变式22】如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD上的点，AF＝2FD，直线BF交AC于点E，交CD的延长线于点G，则BEEGA．12 B．13 C．23 【变式23】如图，已知点E、F分别是△ABC的边AB、AC上的点，且EF∥BC，点D是BC边上的点，AD与EF交于点H，则下列结论中，错误的是（）A．AEAB=AHAD B．AEAB=EHHF相似三角形的判定定理（一）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.题型3：相似三角形的判定定理13.如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，下列条件不能使△ADE∽△ABC相似的是（）

A．DE∥BC B．AD︰AB=DE︰BCC．AD︰DB=AE︰EC D．∠BDE+∠DBC=180°【变式31】如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB.证明：△ADE∽△EFC．

【变式32】如图，平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE=12CD．求证：△ABF∽△CEB相似三角形的判定定理（二）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.题型4：相似三角形的判定定理24.依据下列各组条件，说明△ABC和△A′B′C′是否相似，并说明理由．（1）AB＝10cm，BC＝12cm，AC＝15cm，A′B′＝150cm，B′C′＝180cm，A′C′＝225cm．（2）AB＝10cm，BC＝8cm，AC＝16cm，A′B′＝16cm，B′C′＝12.8cm，A′C′＝25.6cm．【变式41】如图，∠B＝90°，∠ACB＝30°，AC＝2，AD＝4，DC＝2．求证：△ABC∽△ACD．【变式42】一个三角形三边的长分别为6cm，9cm，7.5cm，另一个三角形三边的长分别为8cm，10cm，12cm，这两个三角形相似吗？为什么？相似三角形的判定定理（三）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.注意：

此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.题型5：相似三角形的判定定理35.如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且AD＝1，AB＝3，．求证：△ACD∽△ABC．【变式51】已知：如图，AD，BC交于点O，AO•DO＝CO•BO，求证：△ABO∽△CDO．【变式52】如图，AB•AE＝AD•AC，且∠1＝∠2，求证：△ABC∽△ADE．相似三角形的判定定理（四）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.注意：

要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.题型6：相似三角形的判定定理46.如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠APB＝120°，△APC与△BPD相似吗？为什么？【变式61】如图，∠B＝∠D，∠1＝∠2．求证：△ABC∽△ADE．【变式62】如图，O是△ABC的三条角平分线的交点，过点O作AO的垂线交AB于点D，求证：△OBD∽△CBO．【变式63】如图，⊙O中的弦AB，CD相交于点E，求证：△AED∽△CEB．题型7：直角三角形相似的判定方法7.已知：如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上高，找出图中的相似三角形．并说明理由．【变式71】如图，在等腰△ABC中，AD是顶角∠BAC的角平分线，BE是腰AC边上的高，垂足为点E．求证：△ACD∽△BCE．【变式72】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC上一点，已知CD＝1，AD＝，AB＝2．求证：Rt△ADC∽Rt△BAC．相似三角形的性质相似三角形的对应角相等，对应边成比例.2.相似三角形对应线段的比等于相似比.相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比.3.相似三角形周长的比等于相似比4.相似三角形面积的比等于相似比的平方题型8：相似三角形的性质8.如图，已知△ACE∽△BDE，AC＝6，BD＝3，AB＝12，CD＝18．求AE和DE的长．【变式81】已知△ABC的三边长分别为6，8，10，和△ABC相似的△A′B′C′的最长边长30，求△A′B′C′的另两条边的长、周长及最大角的大小．【变式82】如图，已知△ADE∽△AFG∽△ABC，且△ABC的面积被线段DE、FG三等分，其中BC＝12cm，求线段DE和FG的长度．题型9：相似三角形的性质与判定9.如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠ADB．（1）求证：△AED∽△ADC；（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长．【变式91】如图，E为AB上一点，∠A＝∠CED＝∠B，连接CD．（1）求证：△CAE∽△EBD；（2）若CE平分∠ACD，CD＝6，BD＝3，求ED的长．【变式92】如图，已知，在锐角△ABC中，BD和CE分别是边AC、AB上的高．（1）求证：；（2）联结AF，求证：AF•BE＝BC•EF．【变式93】如图，等边三角形△ACB的边长为3，点P为BC上的一点，点D为AC上的一点，连接AP、PD，∠APD＝60°．（1）求证：△ABP∽△PCD；（2）若PC＝2，求CD的长．题型10：相似三角形的应用10.《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法，如图所示，在井口A处立一垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观测井水水岸D，视线BD与井口的直径CA交于点E，若测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，则水面以上深度CD为（）A．4米 B．3米 C．3.2米 D．3.4米【变式101】小军想出了一个测量建筑物高度的方法：在地面上点C处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后向后退去，直至站在点D处恰好看到建筑物AB的顶端A在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图）．设小军的眼睛距地面1.65m，BC、CD的长分别为60m、3m，求这座建筑物的高度．【变式102】如图，直立在B处的标杆AB＝2.9米，小爱站在F处，其中眼睛E，标杆顶A，树顶C在同一条直线上（人，标杆和树在同一平面内，且点F，B，D在同一条直线上）．已知BD＝6米，FB＝2米，EF＝1.6米，求树高CD．题型10：相似三角形的探究性/存在性问题11.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．现在有动点P从点B出发，沿线段BA向终点A运动，动点Q从点A出发，沿折线AC—CB向终点运动．如果点P的速度是1cm/s，点Q的速度是1cm/s．它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t秒．（1）如图1，Q在AC上，当t为多少秒时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？（2）如图2，Q在CB上，是否存着某时刻，使得以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【变式111】如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，点P由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点Q由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：（1）当t为何值时，△BPQ的面积为cm2；（2）在点P，Q的运动中，是否存在时间t，使△BPQ为等腰三角形．若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由．【变式112】如图，在矩形ABCD中，AB＝10m，BC＝24m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向B点移动．设P、Q两点移动的时间为t（0＜t＜13）秒．（1）t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ABC相似？（2）探究：在P、Q两点移动过程中，四边形ABQP与△CPQ的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．题型12：正方形网格中相似三角形的判定12.如图，在4×4的正方形网格纸中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的格点上．（1）求证：△ABC∽△DEF；（2）直接写出△ABC和△DEF的周长比．【变式121】如图，在7×4方格纸中，点A，B，C都在格点上（△ABC称为格点三角形，即格点△ABC），用无刻度直尺作图．（1）在图1中的线段AC上找一个点D，使CD＝AC；（2）在图2中作一个格点△CEF，使△CEF与△ABC相似．【变式122】我们把顶点在正方形网格格点上的三角形叫做格点三角形．在7×4网格中，格点△ABC和格点△DEF如图所示．（1）求证：△ABC∽△DEF；（2）求∠A+∠E的度数．题型13：相似三角形的综合应用13.如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点P在OC上，联结BP，延长BP交CD于点Q，过点P作PE⊥BP分别交AD、BD于点E、F．（1）求证：△APE∽△DBQ；（2）求证：DE•CP＝CQ•DF．【变式131】如图，在△ABC中，点D在边AB上，点F、E在边AC上，且DF∥BE，．（1）求证：DE∥BC；（2）如果＝，S△ABC＝12，求S△ADE的值．【变式132】已知在△ABC中，∠C＝90°，以AC上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AB于点D，交AC于点F．（1）求证：AB•AD＝AC•AF；（2）如果CD是⊙O的切线，D是切点，F是OC的中点，当BC＝3时，求AB的长．一、单选题1．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC C．AB2=AD•AC D．AD

2．下列四组图形中不一定相似的是。A．有一个角等于400B．有一个角为500C．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形D．有一个角是6003．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相似的是（）A． B．C． D．4．某块面积为4000m2的多边形草坪，在嘉兴市政建设规划设计图纸上的面积为250cm2，这块草坪某条边的长度是40m，则它在设计图纸上的长度是（）A．4cm B．5cm C．10cm D．40cm5．如图所示，△ABC是等边三角形，若被一边平行于BC的矩形所截，AB被截成三等份，则图中阴影部分的面积是△ABC面积的()A．19 B．29 C．13 6．如图，在△ABC中，DE∥BC，且AE=3cm，EC=5cm，DE=6cm．则BC等于()

A．10cm B．16cm C．12cm 二、填空题7．如图，△ABC中，DE∥BC，DEBC=23，△ADE的面积为8，则△ABC8．如图所示，线段AB与CD都是⊙O中的弦，其中弧AB=108°，AB=a，弧CD=36°，CD=b，则⊙O的半径R=9．如图，某一时刻一根2米长的竹竿EF影长GE为1.2米，此时，小红测得一棵被风吹斜的杨树与地面成30º角，树顶端B在地面上的影子点D与B到垂直地面的落点C的距离是3.6米，则树长AB等于米。三、计算题10．已知：如图，△ABC∽△ACD，CD平分∠ACB，AD＝2，BD＝3，求AC、DC的长．四、解答题11．如图，AB//CD//EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=512．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AD＝3，BD＝6，求CD的长．∴CD＝18=3213．如图，为了测量水平地面上一棵直立大树的高度，学校数学兴趣