专题12锐角三角函数的相关计算重难点题型专训（11大题型）（原卷版）2

专题12三角函数值的相关计算与应用（11大题型）【题型目录】题型一求特殊角的三角函数值题型二特殊角三角函数值的混合运算题型三由特殊角的三角函数值判断三角形形状题型四由计算器求锐角三角函数值题型五根据特殊角三角函数值求角的度数题型六已知角度比较三角函数值的大小题型七根据三角函数值判断锐角的取值范围题型八利用同角三角函数关系求值题型九求证同角三角函数关系式题型十互余两角三角函数的关系题型十一三角函数综合【知识梳理】知识点1：特殊锐角三角比的值1.特殊锐角的三角比的值30°45°1160°3.通过观察上面的表格，可以总结出：当090，的正弦值随着角度的增大而增大，的余弦值随着角度的增大而减小；的正切值随着角度的增大而增大，的余切值随着角度的增大而减小．【经典例题一求特殊角的三角函数值】1．（2023上·湖南娄底·九年级校考阶段练习）下列各式中不正确的是（

）．A． B．C． D．

2．（2023上·山东潍坊·九年级统考期中）若是锐角，，则的值是（

）A． B． C． D．13．（2023上·山东菏泽·九年级统考期中）的算术平方根等于．4．（2023上·重庆万州·九年级重庆市万州第二高级中学校考期中）．5．（2023秋·全国·九年级专题练习）先化简，再求代数式的值，其中；．【经典例题二特殊角三角函数值的混合运算】1．（2023上·山东潍坊·九年级统考期中）计算的值为（

）A． B． C． D．2．（2023下·黑龙江大庆·八年级校考期中）下列计算结果是有理数的是（

）A． B． C． D．3．（2023上·河北石家庄·九年级石家庄市第九中学校考期中）．4．（2023下·九年级课时练习）．5．（上海市闵行区20232024学年九年级上学期期中数学试题）计算：【经典例题三由特殊角的三角函数值判断三角形形状】1．（2022下·全国·九年级专题练习）若，则是（）A．直角三角形B．等边三角形C．含有的任意三角形D．顶角为钝角的等腰三角形2．（2019上·广东梅州·九年级广东梅县东山中学校考期末）在中，、都是锐角，且，，则是（

）.A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形3．（2022上·山东泰安·九年级校考阶段练习）在中，若，则是三角形．4．（2023上·山东威海·九年级山东省文登第二中学校联考阶段练习）在中，若，，都是锐角，则的形状是．5．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在平面坐标系内，点，．点为轴上动点，求的最小值．【经典例题四由计算器求锐角三角函数值】1．（2022·山东东营·模拟预测）若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：2yx3－16＝，按键的结果为m；2ndF64－2x2＝，按键的结果为n；9ab/c

2

－

cos

60＝，按键的结果为k．下列判断正确的是（

）A．m＝n B．n＝k C．m＝k D．m＝n＝k2．（2023秋·九年级课时练习）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．A．若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是．B．用科学计算器计算：13××sin14°≈（结果精确到0.1）3．（2023秋·九年级课时练习）用计算器求下列各式的值（精确到0.0001）：(1)；(2)；(3)；(4)．【经典例题五根据特殊角三角函数值求角的度数】1．（22·23上·西安·阶段练习）如图，点A为反比例函数图像上一点，B、C分别在x、y轴上，连接AB与y轴相交于点D，已知，且的面积为2，则k的值为（

）

A．2 B． C． D．42．（22·23下·九江·三模）如图，已知在抛物线上有一点，轴于B点，连接，将绕O点顺时针方向旋转一定的角度后，该三角形的A．B两点中必有一个顶点落在抛物线上，这个角度是（

）

A． B． C． D．3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线经过点和轴正半轴上的点，．

(1)求这条抛物线的表达式；(2)联结，求的度数；(3)联结、、，若在坐标轴上存在一点，使，求点的坐标．【经典例题六已知角度比较三角函数值的大小】1．（2019上·淮北·阶段练习）已知，那么锐角的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2022上·邵阳·期末）下列说法中正确的是（

）A． B．若为锐角，则C．对于锐角，必有 D．若为锐角，则3．（2021春·全国·九年级专题练习）我们知道，锐角的三角函数值都是随着锐角的确定而确定、变化而变化的，如图所示.（1）试探索随着锐角度数的增大，它的三角函数值的变化规律；（2）根据你探索到的规律，试分别比较，，，角的正弦，余弦，正切值的大小.【经典例题七根据三角函数值判断锐角的取值范围】1．（2023秋·黑龙江大庆·九年级校联考开学考试）已知，则锐角的取值范围是（）A． B． C． D．2．（2022春·九年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，E为AD上一点，若，则AB的最大值为．3．（2022春·九年级单元测试）（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；（2）根据你探索到的规律，试比较，，，，，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“>”或“=”）若，则___________；若，则__________；若，则__________；（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：，，，．【经典例题八利用同角三角函数关系求值】1．（2023上·湖南邵阳·九年级统考阶段练习）如果是锐角，且，那么的值（）A． B． C． D．2．（2023·湖南娄底·统考中考真题）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为a、b、c的的面积为．的边a、b、c所对的角分别是∠A、∠B、∠C，则．下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．3．（2022上·黑龙江哈尔滨·九年级校考开学考试）已知，是锐角，则.4．（2023上·福建莆田·九年级校考开学考试）在中，，若，则的值为．5．（2022·湖南湘潭·校考一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，；，．例：．(1)试仿照例题，求出的值；(2)若已知锐角α满足条件，求的值．【经典例题九求证同角三角函数关系式】1．（2023·福建泉州·南安市实验中学校考二模）常听到的“…正弦平方加余弦平方…”，上述话语中所含有的数学语言应正确表达为（

）（假设有任意角α）A． B． C． D．2．（2020上·九年级校考课时练习）⊿ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列比值中不等于的是（

）A． B． C． D．3．（2018下·九年级单元测试）已知：实常数同时满足下列两个等式：⑴；⑵（其中为任意锐角），则之间的关系式是：4．（2019下·九年级单元测试）已知：，，，请你根据上式写出你发现的规律．5．（2022春·九年级单元测试）如图，在中，、、三边的长分别为、、，则，，．我们不难发现：，试探求、、之间存在的一般关系，并说明理由．

【经典例题十互余两角三角函数的关系】1．（2023上·辽宁沈阳·九年级东北育才双语学校校考阶段练习）在中，，，则下列式子成立的是（

）A． B． C． D．2．（2023上·黑龙江大庆·九年级校联考开学考试）已知，则锐角的取值范围是（）A． B． C． D．3．（2023上·山东青岛·九年级统考期中）在中，，，则的值为．4．（2019上·上海青浦·九年级校考期中）已知，，则．5．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题．(1)；；．(2)观察上述等式，猜想：在中，，都有；(3)如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；(4)若，且，求的值．【经典例题十一三角函数综合】1．（2023上·上海青浦·九年级校考阶段练习）在中，，，则下列各式中正确的是（

）A． B． C． D．2．（2022上·安徽合肥·九年级合肥市第四十八中学校考期末）如图，是半圆的直径，弦相交于点P，那么（

）

A． B． C． D．以上都不对3．（2023上·山东烟台·九年级统考期中）当为锐角，且时，的取值范围是．4．（2023上·陕西西安·九年级校考期中）如图，在平行四边形中，，E是边上的点，，，F是边上的一点，且，若M、N分别是线段、上的动点，则的最小值为．

5．（2022秋·江苏徐州·九年级校联考阶段练习）如图（1），中，于点D．由直角三角形边角关系，可将三角形的面积公式变形为，即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦值之积的一半

如图（2），在中，于点D，，，∵，由公式①，得，即：．(1)请证明等式：；(2)请利用结论求出的值．【重难点训练】1．（2023上·浙江宁波·九年级校考期中）在中，，是边上的高，如果，，那么的长为（）A． B．C． D．2．（2023上·河北唐山·九年级统考期中）的结果是（

）A．1 B．2 C．3 D．03．（2023上·四川广元·九年级校考阶段练习）在中，，若，则的值为（）A． B． C． D．4．（2023上·山东聊城·九年级校考阶段练习）在中，若，则的度数是（）A． B． C． D．5．（2023·湖南娄底·统考一模）定义一种运算：，例如：当，时，，则的值为()A． B． C． D．6．（2022下·浙江·九年级专题练习）已知，关于角的三角函数的命题有：①，②，③，④，其中是真命题的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．（2023上·山东淄博·九年级统考期中）在正方形网格中，A，B，C，D，E均为格点，则．8．（2023上·浙江·九年级校联考期中）若的直径为2，弦，弦，则的度数为．9．（2023上·山东淄博·九年级校考阶段练习）已知为锐角，，则．10．（2023上·山东枣庄·九年级校考阶段练习）如图，正方形中，点E、F分别在边上，,，则°；若的面积等于1，则的值是．11．（2022·福建厦门·统考模拟预测）在等腰三角形中，，，点D是边上一点，若，则的度数为．12．（2023·河北·统考二模）小明在计算时，先对题目进行了分析，请你根据他的思路填空：（1）原式中“”可以转化为，的值为.（2）原式中“”的结果为；（3）原式中“”的结构特征满足某个乘法公式，该公式为；（4）原式的最终结果为1.13．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）计算：(1)(2)14．（2023上·山西晋中·九年级统考阶段练习）计算：(1)；(2)．15．（2023上·山西临汾·九年级校考阶段练习）(1)；(2)；(3)已知，，是锐角三角形的三个内角，且满足，求的度数；(4)已知的值是方程的一个根，求式子的值．16．（2023上·湖南永州·九年级校联考期中）计算：(1)(2)17．（2023上·黑龙