八年级期末真题（原卷版）

八年级上期末真题精选【考题猜想，压轴60题21个考点专练】【题型展示】一、利用全等三角形的性质与判定解决面积问题（共3小题）二、利用全等三角形的性质与判定探究线段间存在关系（共3小题）三、利用全等三角形的性质与判定解决动点问题（共3小题）四、坐标系与全等三角形综合（共3小题）五、全等三角形的多结论问题（共3小题）六、利用全等三角形的性质与判定解决最值问题（共4小题）七、利用轴对称的性质求最短距离（共3小题）八、折叠问题（共3小题）九、等腰三角形性质与判定综合（共3小题）十、等边三角形手拉手模型（共3小题）一十一、轴对称综合（共4小题）一十二、勾股定理与折叠问题（共2小题）一十三、勾股定理的证明方法（共3小题）一十四、勾股定理的证明方法（共1小题）一十五、利用勾股定理求最短距离（共3小题）一十六、与实数运算有关的规律题（共4小题）一十七、坐标与图形的规律探究问题（共4小题）一十八、一次函数与三角形面积综合（共1小题）一十九、一次函数与全等三角形（共1小题）二十、一次函数与等腰三角形（共2小题）二十一、一次函数与动点问题（共4小题）一、利用全等三角形的性质与判定解决面积问题（共3小题）1．（2023下·北京海淀·八年级校考期末）（1）探究规律：已知：如图，点为平行四边形内一点，、的面积分别记为、，平行四边形的面积记为，试探究与之间的关系．

（2）解决问题：如图矩形中，，，点、、、分别在、、、上，且，．点为矩形内一点，四边形、四边形的面积分别记为、，求．

2．（2023下·江苏淮安·七年级校联考期末）如图①，在中，，．现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为．设运动时间为．

(1)当时，；当时，；(2)如图①，当时，的面积等于面积的一半；(3)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，请直接写出点的运动速度．3．（2021下·湖北武汉·八年级武汉一初慧泉中学校考期末）在平面直角坐标系中，经过点且与平行的直线，交x轴于点B．(1)如图1，试求的面积；(2)在图1中，过的直线与成夹角，试求该直线与交点的横坐标；(3)如图2，现有点在线段上运动，点在x轴上，N为线段的中点．①试求点N的纵坐标y关于横坐标x的函数关系式；②直接写出N点的运动轨迹长度为．二、利用全等三角形的性质与判定探究线段间存在关系（共3小题）4．（2021上·山东日照·八年级统考期末）（1）方法呈现：如图①：在中，若，，点为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，再连接，可证，从而把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为“倍长中线法”；（2）探究应用：如图②，在中，点是的中点，于点，交于点，交于点，连接，判断与的大小关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图③，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的角平分线，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由．

5．（2023下·山西忻州·八年级统考期末）综合与实践【问题情境】在学校活动课上，樊老师让同学们探究特殊平行四边形的性质，小明和他的小伙伴们准备了如图1所示的正方形，连接对角线，在上取一点P，连接，延长至点E，连接，交于点F，且．

(1)如图1，小明连接了，小伙伴们发现了与之间存在一定的关系，其数量关系为________，位置关系为________．(2)如图2，小明连接了，小伙伴们发现了和之间存在一定的数量关系，请你帮助小明和小伙伴们探究和之间的数量关系，并说明理由．(3)如图3．小明将正方形改为菱形，当时，请直接写出与之间的数量关系．6．（2023下·重庆南岸·七年级统考期末）在中，平分交于点，交于点，P是边上的动点（不与重合），连接，将沿翻折得，记．

(1)如图1，点与点重合时，用含的式子表示；(2)当点与点不重合时，①如图2，若平分交于点，猜想之间存在的等量关系，并说明你的理由；②若，请直接写出的大小（用含的式子表示）．三、利用全等三角形的性质与判定解决动点问题（共3小题）7．（2022下·江苏扬州·八年级校联考期末）在平面直角坐标系中，矩形AOCD的顶点A（0，2），C（2，0）．(1)如图一，E是OC边的中点，将△AOE沿AE翻折后得到△AEF，延长AF交CD于点G，求CG的长；(2)如图二，∠AOC的角平分线交AD于点B，交CD的延长线于点E，F为BE的中点，连接CF，求∠ACF的大小；(3)如图三，M，N分别是边CD和对角线AC上的动点，且AN=CM，则OM+ON的最小值=____________．（直接写出结果）8．（2022下·江苏泰州·八年级校考期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点E从点A出发，沿边AD，DC向点C运动，A，D关于直线BE的对称点分别为M，N，连接MN．(1)如图，当E在边AD上且DE＝2时，求∠AEM的度数．(2)当N在BC延长线上时，求DE的长，并判断直线MN与直线BD的位置关系，说明理由．(3)当直线MN恰好经过点C时，求DE的长．9．（2022下·江苏无锡·八年级统考期末）在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4．(1)将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P处（如图1），折痕AO与边BC交于点O，连AP、OP、OA．求线段CO的长；(2)在（1）的条件下，连BP（如图2）．动点M在线段AP上（与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN＝PM，连MN交PB于点F，作MEBP于点E．试问点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．四、坐标系与全等三角形综合（共3小题）10．（2023上·江苏镇江·八年级统考期末）如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点，分别与x轴、y轴相交于点A、B，．为y轴上一点，P为线段上的一个动点．(1)求直线的函数表达式；(2)①连接，若的面积为面积的，则点P的坐标为______；②若射线平分，求点P的坐标；(3)如图2，若点C关于直线的对称点为，当恰好落在x轴上时，点P的坐标为______．（直接写出所有答案）11．（2022上·江苏扬州·八年级统考期末）（1）如图1，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是边BC上一点，AB＝EC，BE＝CD，连接AE、DE．判断△AED的形状，并说明理由；（2）在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），点B（5，1），点C在第一象限内，若△ABC是等腰直角三角形，求点C的坐标；（3）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），点C是x轴上的动点，线段CA绕着点C按顺时针方向旋转90°至线段CB，连接BO、BA，则BO+BA的最小值是．12．（2022上·江苏无锡·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（5，0），点B在第一象限内，且AB＝4，OB＝3．(1)试判断△AOB的形状，并说明理由．(2)点P是线段OA上一点，且PB－PA＝1，求点P的坐标；(3)如图2，点C、点D分别为线段OB、BA上的动点，且OC＝BD，求AC＋OD的最小值．五、全等三角形的多结论问题（共3小题）13．（2023下·山东威海·八年级校联考期末）如图，已知正方形边长为4．连接其对角线，的平分线交于点，过点作于点，交于点，过点作，交延长线于点．①；②的面积为；③；以上三个选项正确的是（

）

A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②14．（2022上·福建漳州·八年级统考期末）如图，在中，，，，点D在线段AO上，以CD为边作等边三角形CDE，点E和点A分别位于CD两侧，连接OE，BE．现给出以下结论：①；②；③；④直线．其中结论正确的是（

）A．①③ B．②④ C．①②④ D．①②③④15．（2023上·河北张家口·八年级张家口市第一中学校考期末）如图所示，点为三个内角平分线的交点，度，，点，分别为，上的点，且．甲、乙、丙三位同学有如下判断：甲：度；乙：四边形的面积是不变的；丙：当时，周长取得最小值．其中正确的是（

）A．只有丙正确 B．只有甲、乙正确 C．只有乙、丙正确 D．甲、乙、丙都正确六、利用全等三角形的性质与判定解决最值问题（共4小题）16．（2022上·福建福州·八年级统考期末）如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，CA＝CE．(1)求证：∠ACB＝∠ACD；(2)过点E作ME∥AB，交AC的延长线于点M，过点M作MP⊥DC，交DC的延长线于点P．①连接PE，交AM于点N，证明AM垂直平分PE；②点O是直线AE上的动点，当MO+PO的值最小时，证明点O与点E重合．17．（2021上·湖北武汉·八年级校联考期末）如图，在等边中，为上一点，，且．(1)如图1，若点在边上，求证：；(2)如图2，若点在内，连接，为的中点，连接，，求证：；(3)如图3，点为边上一点，连接，．若的值最小时，的度数为______（直接写出结果）．18．（2022上·重庆云阳·八年级统考期末）在锐角△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AD上一点，且DE＝CD，连接BE．(1)如图1，若∠DBE＝30°，BE＝6，AE＝4，求△ACD的面积；(2)如图2，E为AD中点，F为BE上一点，连接AF，若∠DBE＝∠CAD＝∠AFE，求证AF＝2CD；(3)如图3，若∠DBE＝∠CAD，M是直线BC上一动点，连接AM并绕A点逆时针旋转90°，得到AN，连接DN，EN．当DN长度最小时，请直接写出∠ABE与∠DNE所满足的等量关系19．（2022上·重庆·九年级统考期末）如图1，为等边三角形，D为AC右侧一点，且，连接BD交AC于点E，延长DA、CB交于点F．(1)若，，求AD；(2)证明：；(3)如图2，若，G为BC中点，连接AG，M为AG上一动点，连接CM，将CM绕着M点逆时针旋转90°到MN，连接AN，CN，当AN最小时，直接写出的面积．七、利用轴对称的性质求最短距离（共3小题）20．（2021下·山东青岛·七年级统考期末）古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营A，B．他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查B营．他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢?大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图2，作B关于直线l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连结AC′，BC，B′C′，∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上，∴CB=_________，C′B=_________，∴AC+CB=AC+CB′=_________．在△AC′B′，∵AB′＜AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小．本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在AB′与l的交点上，即A，C，B′三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型．拓展应用：如图，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC交AC于D，点P是BD上一个动点，点M是BC上一个动点，请在图5中画出PC+PM的值最小时P的位置．（可用三角尺）21．（2022上·陕西西安·八年级统考期中）问题情境：老师在黑板上出了这样一道题：直线同旁有两个定点A，B，在直线上是否存在点，使得的值最小？小明的解法如下：如图，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．问题提出：(1)如图，等腰的直角边长为4，E是斜边的中点，是边上的一动点，求的最小值．问题解决：(2)如图，为了解决A，B两村的村民饮用水问题，A，B两村计划在一水渠上建造一个蓄水池，从蓄水池处向A，B两村引水，A，B两村到河边的距离分别为千米，千米，千米．若蓄水池往两村铺设水管的工程费用为每千米15000元，请你在水渠上选择蓄水池的位置，使铺设水管的费用最少，并求出最少的铺设水管的费用．22．（2022上·辽宁鞍山·八年级统考期末）如图，P为内一定点，M、N分别是射线OA、OB上的点，（1）当周长最小时，在图中画出（保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，已知，求的度数．

八、折叠问题（共3小题）23．（2021上·河北承德·八年级统考期末）如图，在直角三角形纸片中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD(1)求△AED的周长；(2)过点C作△ABC的高，并求出这个高长．24．（2022上·吉林长春·八年级期末）操作：第一步：如图1，对折长方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开．第二步：如图2，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN．连结AN，易知△ABN的形状是．论证：如图3，若延长MN交BC于点P，试判定△BMP的形状，请说明理由．25．（2021上·江苏泰州·八年级统考期末）如图1，将三角形纸片ABC，沿AE折叠，使点B落在BC上的F点处；展开后，再沿BD折叠，使点A恰好仍落在BC上的F点处（如图2），连接DF．（1）求∠ABC的度数；（2）若△CDF为直角三角形，且∠CFD=90°，求∠C的度数；（3）若△CDF为等腰三角形，求∠C的度数．九、等腰三角形性质与判定综合（共3小题）26．（2021上·湖南张家界·八年级统考期末）已知，，为直线上一点，为直线上一点，，设，，(1)如图1，若点在线段上，点在线段上，，，则；．(2)如图2，若点在线段上，点在线段上，则，之间有什么关系式？说明理由．(3)探究：当点在线段的延长线上，点在线段上，（或在线段的延长线上）时，是否存在不同于（2）中的，之间的关系式？若存在，请直接写出这个关系式．27．（2022上·江苏南通·八年级统考期末）【了解概念】定义：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，则称这个三角形为“唯美三角形”，这条中线叫这条边的“唯美线”．【理解运用】（1）如图1，为“唯美三角形”，为边的“唯美线”，试判断的形状，并说明理由；【拓展提升】（2）在中，，E为外一点，连接，若和均为“唯美三角形”，且和分别为这两个三角形边的“唯美线”．①如图2，若点在直线异侧，连接，求的度数；②若点E为平面内一点，满足，请直接写出点A到的距离．

28．（2021上·浙江杭州·八年级杭州市采荷中学校考期中）如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边顺时针运动，点的速度为，点的速度为，当点第一次到达点时，，同时停止运动．

(1)点，运动几秒后，，两点重合？(2)点，运动时，是否存在以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时，运动的时间．若不存在，请说明理由．(3)点，运动几秒后，可得到直角三角形？十、等边三角形手拉手模型（共3小题）29．（2019上·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）综合与实践：(1)问题发现如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．请写出的度数及线段之间的数量关系，并说明理由．(2)类比探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，CM为中DE边上的高，连接BE．填空：①的度数为_______；②线段之间的数量关系为_________，并说明理由．(3)拓展延伸；在（2）的条件下，若，求四边形ABEC的面积．30．（2020下·四川成都·七年级统考期末）探究等边三角形“手拉手”问题．（1）如图1，已如△ABC，△ADE均为等边三角形，点D在线段BC上，且不与点B、点C重合，连接CE，试判断CE与BA的位置关系，并说明理由；（2）如图2，已知△ABC、△ADE均为等边三角形，连接CE、BD，若∠DEC＝60°，试说明点B，点D，点E在同一直线上；（3）如图3，已知点E在ABC外，并且与点B位于线段AC的异侧，连接BE、CE．若∠BEC＝60°，猜测线段BE、AE、CE三者之间的数量关系，并说明理由．31．（2020上·浙江台州·八年级统考期末）【阅读材料】小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，则△ABD≌△ACE．【材料理解】（1）在图1中证明小明的发现．【深入探究】（2）如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，连接AO，下列结论：①BD=EC；②∠BOC=60°；③∠AOE=60°；④EO=CO，其中正确的有．（将所有正确的序号填在横线上）．【延伸应用】（3）如图3，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，试探究∠A与∠C的数量关系．一十一、轴对称综合（共4小题）32．（2020上·江苏扬州·八年级校联考期中）如图1，四边形中，，，，经过点的直线将四边形分成两部分，直线与所成的角设为，将四边形的直角沿直线折叠，点落在点处（如图1）．（1）若点与点重合，则_______，_______；（2）若折叠后点恰为的中点（如图2），则的度数为_________．（3）在（2）的条件下，求证：．33．（2023上·江苏常州·八年级统考期中）如图，在中，，，点F是边上一点，．用直尺和圆规按要求作图（不写作法，保留作图痕迹），并回答问题：(1)在边上作点D，使得点D到边的距离相等；(2)在射线上作点E，使得点E到点A、点C的距离相等；(3)若点P是射线上一个动点，当取最小值时，在图中作出符合要求的点P，的最小值是．34．（2021上·江苏无锡·八年级统考期末）如图，已知四边形ABCD．（1）在边BC上找一点P，使得AP+PD的值最小，在图①中画出点P；（2）请用无刻度直尺和圆规，完成下列作图（不要求写作法，保留作图痕迹）：①在线段AC上找一点M，使得BM＝CM，请在图②中作出点M；②若AB与CD不平行，且AB＝CD，请在线段AC上找一点N，使得△ABN和△CDN的面积相等，请在图③中作出点N．35．（2020·江苏无锡·统考模拟预测）如图，在直角坐标系内，已知，直线过，、关于的对称点分别为，请利用直尺（无刻度）和圆规按下列要求作图．（l）当与重合时，请在图中画出点位置，并求出的值；（2）当都落在轴上时，请在图2中画出直线，并求出的值．一十二、勾股定理与折叠问题（共2小题）36．（2020上·广东清远·八年级统考期末）如图，在中，，将沿着折叠以后点正好落在边上的点处．(1)当时，求的度数；(2)当，时，①求线段的长；②求线段的长．37．（2023上·四川成都·八年级统考期末）如图，在中，，把沿直线折叠，点与点重合．(1)若，则的度数为；(2)若，，求的长；(3)当的周长为，，求的面积用含、的代数式表示一十三、勾股定理的证明方法（共3小题）38．（2023上·河南省直辖县级单位·八年级校联考期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．

(1)如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中空白部分的面积，可以得到的数学等式是_______；(2)将图1中两个阴影的长方形沿着对角线切开，则可以得到四个全等的直角三角形，其中两直角边长分别为，斜边长为，将这四个直角三角形拼成如图2所示的大正方形时，中间空白图形是边长为的正方形．试通过两种不同的方法计算中间正方形的面积，并探究之间满足怎样的等量关系．(3)应用：已知直角三角形两条直角边长为6和8，求这个直角三角形斜边上的高．39．（2023上·江苏宿迁·八年级统考期末）综合与实践：小明制作了2张如图①的纸片，其中四边形、均为正方形，他把其中的一张纸片沿对称轴把它剪开，然后把对称轴一侧的部分，沿翻折，再绕着的中点旋转，这样就形成了如图②的图形．(1)在图②中，请先判断与的数量关系，再说明理由．(2)图①图形的面积可以表示为______．图②图形的面积可以表示为______．从而得数学等式：______，化简证得定理______．(3)在图②中，，，连接，求图②中的长．一十四、勾股定理的证明方法（共1小题）40．（2023上·山东济宁·八年级统考期末）计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是，如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为，由此得到：．(1)如图2，正方形是由四个边长分别是a，b的长方形和中间一个小正方形组成的，用不同的方法对图2的面积进行计算，你发现的等式是______（用a，b表示）(2)已知：两数x，y满足，，求的值．(3)如图3，正方形的边长是c，它由四个直角边长分别是a，b的直角三角形和中间一个小正方形组成的，对图3的面积进行计算，你发现的等式是______．（用a，b，c表示，结果化到最简）一十五、利用勾股定理求最短距离（共3小题）41．（2022上·广东深圳·八年级统考期末）如图，一个无盖长方体的小杯子放置在桌面上，，；(1)一只蚂蚁从点出发，沿小杯子外表面爬到点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少？(2)为了怕杯子落入灰尘又方便使用，现在需要给杯子盖上盖子，并把一双筷子放进杯子里，请问，筷子的最大长度是多少？42．（2022下·山东日照·八年级统考期末）（1）如图1，矩形的两邻边长分别为5和3，某一动点从点A运动到点C的最短路线长是________；（2）如图2，在棱长分别为5，3，11的长方体模型中，若设定动点P从顶点以1个单位/秒的速度在长方体的外部沿向下匀速运动，同时动点Q从顶点A出发在长方体外部侧面上匀速运动，若要使动点Q在第5秒时恰好拦截到动点P，则动点Q的速度至少应设定为多少？43．（2022下·重庆九龙坡·八年级统考期末）如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米．(1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？(2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？一十六、与实数运算有关的规律题（共4小题）44．（2023下·江西南昌·七年级南昌二中校考期末）观察表格，回答问题：a…0.00010.01110010000……0.01x1yz…(1)表格中，；；(2)从表格中探究a与数位的规律，利用这个规律解决下面两个问题：①已知，则；②已知，若，用含m的代数式表示b，则b＝；(3)试比较与a的大小．当时，；当时，；当时，．45．（2023下·安徽合肥·七年级统考期末）观察以下等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式：________；(2)写出你猜想的第n个等式：________；（用含有n的等式表示），并说明理由．46．（2020上·江苏常州·八年级统考期末）观察被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律：a0.00010.011100100000.01x110100(1)填空:x=_______.(2)根据你发现的规律填空:①已知≈1.414，则________，_______；②=0.274，记的整数部分为，则=___________47．（2022下·浙江衢州·七年级统考期末）我们在小学阶段已经知道，个位上是5的两位数的平方运算的规律．现我们从中学的角度进一步研究此规律：(1)探究规律：，，，____________，……(2)猜想规律：____________（表示十位上数字是，个位上数字是5的两位数，表示此两位数的平方）．(3)推理规律：一十七、坐标与图形的规律探究问题（共4小题）48．（2022上·安徽淮北·八年级校考期末）在平面直角坐标系中，某点按向下、向右、向上、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其运动路线如图所示，根据图形规律，解决下列问题．(1)点的坐标为___________，点的坐标为___________，点的坐标为___________，点的坐标为___________．(2)直接写出点到点的距离：___________．49．（2022上·安徽合肥·八年级统考期末）如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行，从内到外，它们的边长依次为2、4、6、…，顶点依次用、、、、…表示．(1)请直接写出、、、的坐标；(2)根据规律，求出的坐标；50．（2021上·山东青岛·九年级校考期末）在平面直角坐标系中，点A从原点O出发，沿x轴正方向按半圆形弧线不断向前运动，其移动路线如图所示，其中半圆的半径为1个单位长度，这时点的坐标分别为，按照这个规律解决下列问题：写出点的坐标；点的位置在_____________填“x轴上方”“x轴下方”或“x轴上”；试写出点的坐标是正整数．51．（2018上·山东青岛·八年级统考期末）如下图所示，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，已知，，，，，，．（1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将变换成，则的坐标为，的坐标为．（2）可以发现变换过程中……的纵坐标均为．（3）按照上述规律将△OAB进行n次变换得到，则可知的坐标为，的坐标为．（4）线段的长度为．一十八、一次函数与三角形面积综合（共1小题）52．（2022上·浙江宁波·八年级校考期末）如图，直线与x轴交于点D，直线与x轴交于点A，且经过定点，直线与交于点．

(1)求k、b和m的值；(2)求的面积．53．（2023上·山西运城·八年级统考期末）【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“k型全等”．【迁移应用】已知：直线的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．

(1)如图2，当时，在第一象限构造等腰直角，；①直接写出，；②求点E的坐标；(2)如图3，当k的取值变化，点A随之在x轴负半轴上运动时，在y轴左侧过点B作，并且，连接，问的面积是否为定值，请说明理由；【拓展应用】(3)如图4，在平