第4课时一次函数的应用

第4课时一次函数的应用基础篇基础篇1．直线kx3y＝8，2x+5y＝4交点的纵坐标为0，则k的值为（）A．4 B．﹣4 C．2 D．2【答案】B【分析】根据交点的意义，确定交点坐标，代入含有k的直线的解析式即可求解.【详解】∵直线kx3y＝8，2x+5y＝4交点的纵坐标为0，∴x=2，∴把x=2,y=0代入直线kx3y=8，得：2k=8，∴k=4,故选B.【点睛】本题考查了一次函数的交点问题，牢记交点坐标同时满足两个函数的解析式是解题的关键.2．已知某等腰三角形的周长为36，腰长为，底边长为，那么与之间的函数关系式及定义域是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据等腰三角形的定义和三角形的周长公式，即可求出与之间的函数关系式，然后根据实际意义和三角形三边关系即可求出的取值范围.【详解】解：∵等腰三角形的周长为36，腰长为，底边长为，∴∴与之间的函数关系式为：由题意可得：即：解得：故选D.【点睛】此题考查的是函数的实际应用及求自变量的取值范围，掌握等腰三角形的定义、三角形的周长公式和三角形三边关系是解决此题的关键.3．用长为50的栏杆围成一个长为x宽为y的长方形，则y与x的函数关系为（）A．y=25－x B．y=25+x C．y=50－x D．y=50+x【答案】A【分析】通过长方形的周长公式可得到y与x的函数关系．【详解】解：长为50的栏杆围成一个长为x宽为y的长方形，，故选：A．【点睛】本题考查一次函数的实际应用，属于基础题，根据条件列出一次函数的解析式是解决本题的关键．4．如图，一次函数与的图象交点的横坐标为3，则下列结论：①；②；③当时，中，正确结论的个数是（）A．0 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】【分析】①由一次函数y1=kx+b的图象过第一、二、四象限，即可得出k＜0，由此即可得出①正确；②由一次函数y2=x+a的图象过第一、三、四象限，即可得出a＜0，由此得出②错误；③根据两一次函数图象的上下位置关系即可得出当x＜3时，y1＞y2，即③正确．综上即可得出结论．【详解】①∵一次函数y1=kx+b的图象过第一、二、四象限，∴k＜0，①正确；②∵一次函数y2=x+a的图象过第一、三、四象限，∴a＜0，②错误；③观察函数图象，发现：当x＜3时，一次函数y1=kx+b的图象在一次函数y2=x+a的图象的上方，∴当x＜3时，y1＞y2，③正确．综上可知：正确的结论为①③．故选：C．【点睛】考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是逐条分析三个选项是否正确．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟悉一次函数图象与一次函数系数的关系是关键5．已知一次函数的图像与轴、轴分别交于两点，当的面积为时，那么的值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出点A和点B的坐标，即可求出OA和OB，然后根据三角形的面积公式即可求出结论．【详解】解：当y=0时，则，解得：x=；当x=0时，则∴点A的坐标为（，0），点B的坐标为（0，1）∴OA=，OB=1∵=OA·OB∴×1=2整理可得=4∴故选C．【点睛】此题考查的是一次函数与几何问题，求出一次函数与坐标轴的交点坐标是解题关键．6．如图，一天早上8点，小明和爸爸一起开车去看望距他家60千米的爷爷、奶奶．他们离开家的距离S（千米）与汽车行驶的时间t（分）之间的关系如图所示．已知汽车在途中停车加了一次油．根据图象中提供的信息，下列描述不正确的是（）A．加油用了10分钟B．他们在8点55分到达爷爷家C．若OA//BC，则加油后汽车的速度是80千米/时D．若加油后的速度是90千米/时，则a的值是25【答案】D【分析】根据函数的图象可知，横坐标表示时间，纵坐标表示距离，由于函数图象不是平滑曲线，故应分段考虑．【详解】解：A、图中加油时间为25至35分钟，共10分钟，故本选项不合题意；B、他们在8点55分到达爷爷家，说法正确，故本选项不合题意；C、因为OA//BC，所以，解得a＝，所以加满油以后的速度＝千米/小时，说法正确，故本选项不合题意；D、由题意：，解得a＝30，原说法错误，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，准确计算是解题的关键．7．一根蜡烛长30cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时蜡烛剩余的长度h（cm）和燃烧时间t（小时）之间的函数关系用图像可以表示为中的（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据蜡烛剩余的长度=总长度燃烧的长度就可以得出函数的解析式，由题意求出自变量的取值范围就可以得出函数图象．【详解】解：由题意，得

y=305t，

∵y≥0，t≥0，

∴305t≥0，

∴t≤6，

∴0≤t≤6，

∴y=305t是降函数且图象是一条线段．

故选B．【点睛】本题考查一次函数的解析式的运用，一次函数的与实际问题的关系的运用，一次函数的图象的运用，自变量的取值范围的运用，解答时求出函数解析式及自变量的范围是关键．8．如图所示，购买一种苹果，所付款金额（单元：元）与购买量（单位：千克）之间的函数图像由线段和射线组成，则一次购买千克这种苹果，比分五次购买，每次购买千克这种苹果可节省（）A．元 B．元 C．元 D．元【答案】B【解析】【分析】可由函数图像计算出2千克以内每千克的价钱，超出2千克后每千克的价钱，再分别计算出一次购买千克和分五次购买各自所付款金额.【详解】解：由图像可得2千克以内每千克的价钱为：（元），超出2千克后每千克的价钱为：（元），一次购买千克所付款金额为：（元），分五次购买所付款金额为：（元），可节省（元）.【点睛】本题考查了函数的图像，正确从函数图像获取信息是解题的关键.9．五一假期小明一家自驾去距家360km的某地游玩，全程的前一部分为高速公路，后一部分为乡村公路．若小汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，行驶的路程y（单位：km）与时间x（单位：h）之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（）A．小汽车在乡村公路上的行驶速度为60km/hB．小汽车在高速公路上的行驶速度为120km/hC．乡村公路总长为90kmD．小明家在出发后5.5h到达目的地【答案】A【解析】【分析】根据一次函数图象的性质和“路程=速度×时间”的关系来分析计算即可.【详解】解：小汽车在乡村公路上的行驶速度为：（270﹣180）÷（3.5﹣2）＝60km/h，故选项A正确，小汽车在高速公路上的行驶速度为：180÷2＝90km/h，故选项B错误，乡村公路总长为：360﹣180＝180km，故选项C错误，小明家在出发后：2+（360﹣180）÷60＝5h到达目的地，故选项D错误，故选：A．【点睛】一次函数在实际生活中的应用是本题的考点，根据题意读懂图形及熟练掌握“路程=速度×时间”的关系是解题的关键.10．如图是邻居张大爷去公园锻炼及原路返回时离家的距离y（千米）与时间t（分钟）之间的函数图象，根据图象信息，下列说法不正确的是（）A．张大爷去时所用的时间多于回家的时间．B．张大爷在公园锻炼了40分钟C．张大爷去是走上坡路，回家时走下坡路D．张大爷去时的速度比回家时的速度慢【答案】B【分析】根据图象可以得到张大爷去时所用的时间和回家所用的时间，在公园锻炼了多少分钟，也可以求出去时的速度和回家的速度，根据可以图象判断去时是否走上坡路，回家时是否走下坡路．【详解】解：根据图像可知：

A、张大爷去时所用的时间为15分钟，回家所用的时间为5分钟，故说法正确；

B、张大爷在公园锻炼了4015=25分钟，故说法错误；

C、据A张大爷去时走上坡路，回家时走下坡路，故说法正确．

D、张大爷去时用了15分钟，回家时候用了5分钟，因此去时的速度比回家时的速度慢，故说法正确．

故选：B．【点睛】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．11．在全民健身越野赛中，甲乙两选手的行程y（千米）随时间（时）变化的图象（全程）如图所示．有下列说法：①前半小时甲选手的速度为8千米/时；②第1小时两人都跑了10千米；③甲比乙先到达终点；④甲选手的速度一直比乙慢．其中正确的说法有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：由图象可得，前半小时甲选手的速度为：8÷0.5＝16（千米/小时），故①错误；第1小时两人都跑了10千米，故②正确；甲比乙晚到达终点，故③错误；甲选手前0.5小时的速度比乙选手快，0.5小时以后的速度小于乙选手的速度，故④错误；故选：A．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．12．某弹簧的长度与所挂物体的质量（kg）之间的关系为一次函数，其函数图象如图所示，则不挂物体时弹簧的长度为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用待定系数法求出一次函数解析式，进而得出x=0时，y的值．【详解】解：设y与x的关系式为y=kx+b，∵图象经过（5，12.5）（20，20），∴，解得：，∴，当x=0时，y=10，即弹簧不挂物体时的长度是10cm．故选：C．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，正确求出函数关系式是解题关键．13．在A、两地之间有汽车站（在直线上），甲车由地驶往站，乙车由地驶往A地，两车同时出发，匀速行驶；甲、乙两车离站的距离，（千米）与行驶时间（小时）之间的函数图象如图所示，则下列结论：①A、两地相距360千米；②甲车速度比乙车速度快15千米/时；③乙车行驶11小时后到达A地；④两车行驶4.4小时后相遇；其中正确的结论有（）A．1 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】利用图象信息以及速度，时间，路程之间的关系一一判断即可；【详解】解：A、B两地相距＝360+80＝440（千米），故①错误，甲车的平均速度＝＝60（千米/小时），乙车的平均速度＝＝40千米/小时，6040=20（千米/小时）故②错误，乙车的平均速度＝＝40千米/小时，440÷40＝11（小时），乙车行驶11小时后到达A地，故③正确，设t小时相遇，则有：（60+40）t＝440，t＝4.4（小时），∴两车行驶4.4小时后相遇，故④正确，故选：B．【点睛】本题考查了一次函数图象的应用及一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意结合图象说出其图象表示的实际意义，这样便于理解题意及正确的解题．14．一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车均匀速行驶并同时出发，设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），若如图中的折线表示y与x之间的函数关系，则下列结论错误的是（）A．甲、乙两地相距1000千米B．点B的实际意义是两车出发后3小时相遇C．普通列车从乙地到达甲地时间是9小时D．动车的速度是250千米/小时【答案】C【分析】根据函数图象中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：由图象可得，甲、乙两地相距1000千米，故选项A正确；点B的实际意义是两车出发后3小时相遇，故选项B正确；普通列车从乙地到达甲地时间是12小时，故选项C错误；普通列出的速度为1000÷12＝（千米/小时），动车的速度为：1000÷3﹣＝250（千米/小时），故选项D正确；故选：C．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．15．2020年12月22日8时38分，G8311次动车组列车从合肥南站始发，驶向沿江千年古城、“黄梅戏”故乡安庆．这标志着京港高铁合肥至安庆段正式开通运营．运行期间，一列动车匀速从合肥开往安庆，一列普通列车匀速从安庆开往合肥，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x（h），两车之间的距离y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系，下列说法正确的有（）①合肥、安庆两地相距176km，两车出发后0.5h相遇；②普通列车到达终点站共需2h；③普通列车的平均速度为88km/h；④动车的平均速度为250km/h．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以逐项判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：由图象可得，合肥、安庆两地相距176km，两车出发后0.5h相遇，故①正确；普通列车到达终点站共需2h，故②正确；普通列车的平均速度为：176÷2＝88（km/h），故③正确；动车的平均速度为：176÷0.5﹣88＝352﹣88＝264（km/h），故④错误．故选：C【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，明确题意，读懂图像，利用数形结合思想是解题关键．16．某游泳馆新推出了甲、乙两种消费卡，设游泳次数为时两种消费卡所需费用分别为，元，，与的函数图象如图所示，当游泳次数为30次时选择哪种消费卡更合算（）A．甲种更合算 B．乙种更合算 C．两种一样合算 D．无法确定【答案】B【分析】根据一次函数的图象，哪个函数图象在上面，哪个就大，直接得出答案即可．【详解】解：利用图象，当游泳次数大于10次时，在上面，即＞，∴当游泳次数为30次时，选择乙种方式省钱．故选：B．【点睛】此题主要考查了一次函数的应用以及利用函数图象比较函数大小，利用数形结合得出是解题关键．17．1号探测气球从海拔5m处出发，与此同时2号探测气球从海拔15m处出发，两个气球所在位置的海拔y（单位：m）关于上升时间x（单位：min）的函数关系如图所示，当上升________min时，两球之间的距离是5m．【答案】10或30【分析】根据两点间的距离为5，利用两函数值构造绝对值方程，分类解方程即可【详解】解：∵两球之间的距离是5m，∴，合并得，∴当时，解得，当时，解得，当上升10或30min时，两球之间的距离是5m．故答案为10或30．【点睛】本题考查一次函数的应用，掌握两球之间的距离利用两函数值之差的绝对值，分类解方程是解题关键．提升篇提升篇18．为全面落实乡村振兴总要求，充分发扬“为民服务孺子牛”“创新发展拓荒牛”“艰苦奋斗老黄牛”精神，某镇政府计划在该镇试种植苹果树和桔子树共100棵．已知平均每棵果树的投入成本和产量如表所示，且苹果的售价为10元/kg，桔子的售价为6元/kg．成本（元/棵）产量（kg/棵）苹果树12030桔子树8025设种植苹果树x棵．（1）若种植苹果树和桔子树共获利y元，求y与x之间的函数关系式；（2）若种植苹果树45棵，求种植苹果树和桔子树共获利多少元？【答案】（1）；（2）种植苹果树和桔子树共获利11950元．【分析】（1）由题意易得桔子树有棵，然后根据题意可进行求解；（2）把x=45代入（1）中函数解析式进行求解即可．【详解】解：（1）设种植苹果树x棵，则桔子树有棵，由题意得：==；∴y与x之间的函数关系式为；（2）由（1）可得：y与x之间的函数关系式为，∴把x=45代入得：；答：种植苹果树和桔子树共获利11950元．【点睛】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键．19．如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别是直线与x、y轴的交点．（1）已知点C在第一象限，如果四边形是平行四边形，求点C的坐标；（2）在（1）的条件下，点D在x轴上，如果四边形是等腰梯形，求直线的表达式．【答案】（1）（4，3）；（2）【分析】（1）利用过一次函数解析式，求出A，B两点坐标，再根据题意画出草图，可以得到AB平行且等于CD，由坐标与平移的关系可以求得C点坐标；（2）由于四边形ABCD是等腰梯形，过C作x轴垂线，垂足为M，可以证明△ABO≌△DCM，得到MD的长度，得到D的坐标，利用待定系数法求出直线CD的表达式．【详解】解：（1）令x=0，则y=3，令y=0，则，∴x=4，∵点A、B分别是直线与x、y轴的交点，∴A（4，0），B（0，3），∵点C在第一象限，如果四边形ABCO是平行四边形，如图，

∴AB∥CD，且AB=CD，由坐标与平移的关系可得，C（4，3）；（2）如图，过C作CM⊥x轴于M，

则∠AOB=∠DMC=90°，M（4，0），∵四边形ABCD为等腰梯形，∴∠BAO=∠CDM，AB=DC，在△ABO与△DCM中，，∴△ABO≌△DCM（AAS），∴AO=DM=4，∴OD=OM+MD=8，∴D（8，0），设直线CD的解析式为y=k（x8），代入点C（4，3），则k=，∴直线CD的表达式为．【点睛】本题是一次函数综合题，考查了平行四边形存在性问题，注意利用坐标与平移的关系可以得到坐标，同时要注意作坐标轴的垂线，求出垂线段长度，是求点的坐标的基本方法．19．某一品牌的乒乓球在甲、乙两个商场的标价都是每个4元，在销售时都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是购买不超过10个按原价销售，超过10个，超出部分按8折优惠；乙商场的优惠条件是无论买多少个都按8.5折优惠．（1）分别写出在甲、乙两个商场购买这种乒乓球应付金额y元与购买个数x（x＞10）个之间的函数关系式；（2）若要购买30个乒乓球，到哪家商场购买合算？请说明理由．【答案】（1），；（2）到乙商店购买合算，理由见解析．【分析】（1）分别根据两个商场的优惠方案，写出关系式．（2）将x=30，代入（1）中的两个关系式，比较金额即可判断．【详解】解：（1）根据题意得，=10×4+(x10)×4×80%，=4×85%x；∴，；（2）当x=30时，=3.2×30+8=104（元），=3.4×30=102（元）；∵＞，∴到乙商店购买合算．【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，根据商场的优惠方案确定关系式是解题的关键．20．如图，直线y＝2x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．（1）求△AOB的面积；（2）过B点作直线BP与x轴相交于P，△ABP的面积是，求点P的坐标．【答案】（1）；（2）（1.5，0）或（﹣4.5，0）【分析】（1）把x＝0，y＝0分别代入函数解析式，即可求得相应的y、x的值，则易得点OA、OB的值，然后根据三角形面积公式求得即可；（2）由B、A的坐标易求：OB＝3，OA＝．然后由三角形面积公式得到S△ABP＝AP•OB＝，则AP＝3，由此可以求得点P的坐标．【详解】解：（1）由x＝0得：y＝3，即：B（0，3）．由y＝0得：2x+3＝0，解得：x＝﹣，即：A（﹣，0），∴OA＝，OB＝3，∴△AOB的面积：×3×＝；（2）由B（0，3）、A（﹣，0）得：OB＝3，OA＝，∵S△ABP＝AP•OB＝，∴AP＝，解得：AP＝3．∴P点坐标为（1.5，0）或（﹣4.5，0）．【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，一次函数，(，且k，b为常数)的图像是一条直线，它与x轴的交点坐标是；与y轴的交点坐标是，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式．21．某地自米水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水3000吨，计划内用水每吨收费0.5元，超计划部分每吨按0.8元收费．（1）某月该单位用水3200吨，水费是元；若用水2800吨，水费是元；（2）写出该单位水费y(元)与每月用水量x(吨)之间的函数关系式；（3）若某月该单位缴纳水费1540元，则该单位这个月的用水量为多少吨？【答案】（1）1660元；1400元（2）y=0.5x（x≤3000）；y=1500+0.8（x3000）（x＞3000）（3）3050吨【分析】（1）根据题意