6.2角七年级数学上册讲义（苏科版）（原卷版）

角知识点一、角1. 静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．2. 动态定义：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边.3. 平角与周角 平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．PS：平角的两边成一条直线，但不能说平角就是直线；4. 两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关.5. 角的表示方法表示方法图例记法适用范围用三个大写字母表示∠AOB或∠BOA任何情况下都适用，表示顶点的字母要写在中间用一个大写字母表示∠O当以某一字母表示的点为顶点的角只有一个时，可用这个顶点的字母来表示用数字表示∠1在角的内部靠近顶点处加上弧线，并标上数字或希腊字母，任何情况下都适用用希腊字母表示PS：在初中阶段，若没有特殊说明，默认的角都是小于平角的角.例：如图，能用∠1、∠ABC、∠B三种方法表示同一个角的是（）A． B． C． D．【解答】A【解析】A、∠1、∠ABC、∠B三种方法表示的是同一个角，故此选项正确；B、∠1、∠ABC、∠B三种方法表示的不一定是同一个角，故此选项错误；C、∠1、∠ABC、∠B三种方法表示的不一定是同一个角，故此选项错误；D、∠1、∠ABC、∠B三种方法表示的不一定是同一个角，故此选项错误；故选A．知识点二、角的度量单位和换算1. 角的度量单位：度、分、秒是常用的的角的度量单位，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，把1°的角60等分，每一份就是1′的角，把1′的角60等分，每一份就是1″的角.2. 角的换算：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″.3. 角的度量方法：最常用的度量角的工具是量角器，用量角器度量角时要注意三点：（1）对中：顶点对准量角器的中心；（2）重合：一边与量角器的零刻度线重合；（3）读数：读出另一边所在线对应的度数.例：用度、分、秒表示21.24°为（）A．21°14'24″ B．21°20'24″ C．21°34' D．21°【解答】A【解析】21.24°＝21°+0.24×60′＝21°+14′+0.4×60″＝21°14′24″，故选A．知识点三、比较角的大小1. 度量法：先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小；2. 叠合法：把两个角的顶点和一条边分别叠合在一起，且使另一条边在重合边的同侧，然后通过观察另一条边的位置来比较两个角的大小.知识点四、角的和、差1. 两个角的和或两个角的差，仍然是一个角；两个角的和或差的度数，就是它们度数的和或差；2. 在计算两个角的和或差时，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加减，分、秒相加时，逢60要进位，相减时要借1作60.例：如图，已知∠AOB：∠BOC＝2：3，∠AOC＝75°，那么∠AOB＝（）A．20° B．30° C．35° D．45°【解答】B【解析】∵∠AOB：∠BOC＝2：3，∠AOC＝75°，∴∠AOB=22+3∠AOC故选B．知识点五、角的画法1. 用量角器画：用量角器可以画出大小在0°到180°之间的任何角. 画角时，先画一条射线，然后让射线与量角器的0°线重合，射线端点与量角器中心重合，在画角处画一个点，再过射线端点和这个点画一条射线，即可得到所要的角.2. 用三角尺画：一副三角尺有30°，45°，60°，90°的角，能用三角尺画15°的整数倍的角.3. 用圆规和直尺作一个角等于已知角（1）如图1所示，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；（2）画一条射线O’A’，以点O’为圆心，OC长为半径画弧，交O’A’于点C’；（3）以点C’为圆心，CD长为半径画弧，交前一个弧于点D’；（4）过点D’画射线O’B’，则∠A’O’B’就是与∠AOB相等的角.知识点六、角的平分线 如图所示，射线OC把∠AOB分成两个相等的角，射线OC就叫做这个角的角平分线.PS：角的平分线是一条射线，不是线段或直线. 如果一条射线是某一个角的平分线，那么这条射线必定在该角的内部；例：如图，BO是∠AOC的平分线，则：（1）∠＝∠；（2）∠AOB＝∠；（3）∠AOC＝2∠＝2∠．【解答】AOB，BOC，AOB，BOC【解析】（1）∠AOB＝∠BOC；（2）∠AOB＝∠BOC；（3）∠AOC＝2∠AOB＝2∠BOC．故答案为AOB，BOC，AOB，BOC．知识点六、方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角.1. 正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示；2. 方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”；3. 在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向；4. 图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点.例：如图所示，下列说法错误的是（）A．嘉琪家在图书馆南偏西60°方向上 B．学校在图书馆南偏东30°方向上 C．学校在嘉琪家南偏东60°方向上 D．图书馆到学校的距离为5km【解答】D【解析】A、嘉琪家在图书馆南偏西60°方向上，说法正确；B、学校在图书馆南偏东30°方向上，说法正确；C、学校在嘉琪家南偏东60°方向上，说法正确；D、图书馆到学校的距离为：62-32=故选D．补充：钟表上有关夹角问题 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题.巩固练习一．选择题（共10小题）1．若α是锐角，β是钝角，则计算15（α+βA．15° B．36° C．60° D．75°2．如图所示，钟表上显示的时刻是10点10分，再过20分钟，时针与分针所成的角是（）A．75° B．120° C．135° D．150°3．如图，B地在A地的（）A．北偏东60°，相距200m处 B．北偏西60°，相距200m处 C．南偏西60°，相距200m处 D．北偏东30°，相距200m处4．将一副常规的三角尺如图放置，则图中∠ACB的度数是（）A．75° B．95° C．15° D．120°5．如果在A处看B的方向是北偏东50°，那么在B处看A的方向是（）A．南偏东40° B．南偏西50° C．南偏东50° D．南偏西40°6．下列运算正确的是（）A．34.5°＝34°5′ B．90°﹣23°45′＝66°15′ C．12°34′×2＝25°18′ D．24°24′＝24.04°7．如图所示，∠AOC＝90°，点B，O，D在同一直线上，若∠1＝28°，则∠2的度数为（）A．118° B．108° C．62° D．152°8．如图，已知射线OB，OM，ON在∠AOD内部，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．若∠AOD＝156°，∠DON＝48°，则∠AOM的度数为（）A．42° B．78° C．30° D．36°9．某镇要修建一条灌溉水渠，如图，水渠从A村沿北偏东72°方向到B村，从B村沿北偏西28°方向到C村，为了保持与AB的方向相同，那么从C村修建的方向为北偏东（）A．108° B．80° C．72° D．62°10．如图，点A、O、B在一条直线上，∠BOC＝50°，OD平分∠AOC，现将OC以每秒5°的速度绕点O顺时针旋转一周，OD保持不动．当OC⊥OD时，OC的运动时间为（）A．5秒 B．31秒 C．5秒或41秒 D．5秒或67秒二．填空题（共8小题）11．时钟上的时针匀速旋转一周是12小时，从5时到6时，时针转动的度数为．12．如图，点O与量角器中心重合，OA与零刻度线叠合，OB与量角器刻度线叠合，OD是∠BOC的角平分线，那么∠BOD＝．13．计算：20°13'12″＝°．14．比较大小，用“＞”或“＜”填空：38°15'38.15°．15．已知∠AOB＝20°，∠AOC＝70°，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数是．16．如图，已知∠AOB＝70°，∠COD＝80°，∠AOD＝4∠BOC，则∠BOC的度数为．17．如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，若∠DOB＝m°，则∠AOE的度数为．18．如图，两个直角∠AOC和∠BOD有公共顶点O，下列结论：①∠AOB＝∠COD；②∠AOB+∠COD＝90°；③∠AOD+∠BOC＝180°；④若OB平分∠AOC，则OC平分∠BOD；⑤∠AOD的平分线与∠BOC的平分线是同一条射线，其中正确的有．（填序号）三．解答题（共10小题）19．计算：（1）（-34+712-58）×（﹣24）+（﹣1（2）48°39′+67°31′﹣21°17′×4；（3）（﹣2）2+6×|-13|﹣（﹣3）（4）（﹣323）﹣（﹣234）﹣（﹣723）﹣（+2（5）﹣32+5×（-85）﹣（﹣4）2÷（﹣20．如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2．（1）求∠AOC的度数；（2）过点O作射线OD，若∠AOD=12∠AOB，求∠21．如图，是一个简单的平面示意图，已知OA＝2km，OB＝6km，OC＝BD＝4km，点E为OC的中点，回答下列问题：（1）由图可知，高铁站在小明家南偏西65°方向6km处，请用类似的方法用方向与距离描述学校、博物馆相对于小明家的位置；（2）图中到小明家距离相同的是哪些地方？22．如图，将正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边点E处，点A落在点F处，折痕为MN，若∠NEC＝32°，求∠FMN的大小．23．如图所示，OD平分∠AOC，∠AOB=32∠2，24．如图，已知∠AOC：∠BOC＝1：5，OD平分∠AOB，且∠COD＝36°，求∠AOB的度数．25．如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向．求∠ACE的度数．26．如图①，直角三角板的直角顶点O在直线AB上，OC，OD是三角板的两条直角边，射线OE是∠AOD的平分线；（1）当∠AOE＝60°时，求∠BOD的度数；（2）当∠COE＝25°时，求∠BOD的度数；（3）当∠COE＝α时，则∠BOD＝（用含α的式子表示）；（4）当三角板绕点O逆时针旋转到图②位置时，∠COE＝α，其它条件不变，则∠BOD＝（用含α的式子表示）．27．如图所示，OB是∠A