专题02数据思维之用列举法求概率必考点专练-2021-2022学年八年级数学下册专题训练

编者小k君小注：本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做58题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。专题02数据思维之用列举法求概率必考点专练（解析版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．九年一班有12名同学报名参加校园踢毽子比赛，其中8名男生，4名女生，体育委员随机抽出一名同学代表班级参加比赛，则抽出的同学是女生的概率是（）A． B． C． D．【标准答案】B【思路指引】由九年一班有12名同学报名参加校园踢毽子比赛，体育委员随机抽出一名同学代表班级参加比赛，一共有12种情况，其中抽出的同学是女生的有4种情况，根据概率公式计算即可．【详解详析】解：九年一班有12名同学报名参加校园踢毽子比赛，体育委员随机抽出一名同学代表班级参加比赛，一共有12种情况，其中抽出的同学是女生的有4种情况，∴抽出的同学为女生的概率是．故选择：B．【名师指路】本题考查列举法求概率，掌握列举法求概率的方法，随机抽出一名同学代表班级参加比赛，所有种情况，找出其中抽出的同学是女生的情况是解题关键．2．某校开展“疫情防控小卫士”活动，从学生会“督查部”的4名学生（2男2女）中随机选两名进行督导每日一次体温测量，恰好选中男女学生各一名的概率是（）A． B． C． D．【标准答案】C【思路指引】首先根据题意列表得出所有等可能的情况数，然后由列表求得所有等可能的结果与恰好选中男女学生各一名的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解详析】解：列表如下：

男男女女男（男，男）（女，男）（女，男）男（男，男）（女，男）（女，男）女（男，女）（男，女）（女，女）女（男，女）（男，女）（女，女）得到所有等可能的情况有12种，其中恰好抽中一男一女的情况有8种，所以恰好选到1名男生和1名女生的概率．故选：C【名师指路】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果数n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．3．一双红色袜子和一双白色袜子，除颜色外无其他差别，随机从这四只袜子中一次抽取两只袜子，颜色相同的概率是（）A． B． C． D．【标准答案】C【思路指引】列表得出所有等可能的情况数，找出颜色相同的的情况数，即可求出所求的概率．【详解详析】解：列表如下：

白白红红白（白，白）（红，白）（红，白）白（白，白）（红，白）（红，白）红（白，红）（白，红）（红，红）红（白，红）（白，红）（红，红）所有等可能的情况有12种，其中任意穿上两只袜子刚好是一对的情况有4种，颜色相同的概率=；故选：C【名师指路】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．4．一个不透明的盒子中装有4个除颜色外都相同的小球，其中3个是白球，1个是红球，从中随机同时摸出两个小球，那么摸出小球的颜色不同的概率为（）A． B． C． D．【标准答案】A【思路指引】根据题意画出树状图即可求解；【详解详析】由题意可得：一共有12中可能，摸出小球颜色不同的情况有6种，∴概率是；故答案选A．【名师指路】本题主要考查了画树状图求概率，准确计算是解题的关键．5．从这三个数中任取两个不同的数相乘，积为负数的概率是（）A． B． C． D．【标准答案】A【思路指引】首先根据题意画出树状图，然后由树状图即可求得所有等可能的结果与积为负数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【详解详析】解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，积为负数的有4种情况，∴积为负数的概率是：，故选：A．【名师指路】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．二、填空题6．（2021·上海普陀·二模）小明已有两根长度分别是2cm和5cm的细竹签，盒子里有四根长度分别是3cm、4cm、7cm、8cm的细竹签，小明从盒子里随意抽取一根细竹签，恰能与已有的两根细竹签首尾顺次联结组成三角形的概率等于_____．【标准答案】【思路指引】根据三角形的三边关系结合概率公式即可得出答案．【详解详析】解：∵已有两根长度分别是2cm和5cm的细竹签，∴设第3根竹签长为xcm，则第三根可以构成三角形的范围是：3＜x＜7，故只有4cm符合题意，则小明从盒子里随意抽取一根细竹签，恰能与已有的两根细竹签首尾顺次联结组成三角形的概率是：．故答案为：．【名师指路】本题主要考查了概率的求解，利用三角形三边关系求解是解题的关键．7．（2021·上海徐汇·二模）小杰和小丽参加社会实践活动，随机选择“做社区志愿者”和“参加社会调查”两项中的一项，那么两人同时选择“做社区志愿者”的概率是_____．【标准答案】【思路指引】画树状图，展示所有4种等可能的结果数，找出符合条件的结果数，然后根据概率公式求解．【详解详析】解：把“做社区志愿者”和“参加社会调查”分别记为A、B，画树状图如图：共有4个等可能的结果，符合条件的结果有1个，∴小杰和小丽两人同时选择“做社区志愿者”的概率是，故答案为：．【名师指路】本题考查了列举法求概率，解题关键是会用树状图或列表法列出所有可能，并用概率公式进行计算．8．三张背面完全相同的卡片，正面分别写着数字．背面朝上，随机抽取一张记下数字后，放回搅匀，再随机抽取一张，则两次取出的数字之和是偶数的概率为__________．【标准答案】【思路指引】画树状图，共有9个等可能的结果，两次取出的数字之和是偶数的结果有5个，再由概率公式求解即可．【详解详析】画树状图如图：共有9个等可能的结果，两次取出的数字之和是偶数的结果有5个，∴两次取出的数字之和是偶数的概率为，故答案为：．【名师指路】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．解题的关键是要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．9．（2021·上海静安·八年级期末）现有分别画有等边三角形、正方形、平行四边形、等腰梯形的四张相同的卡片，从中任选两张，选出的卡片上的图形恰好同为中心对称图形的概率是____．【标准答案】【思路指引】根据题意列出相应的表格，得到所有等可能出现的情况数，进而找出满足题意的情况数，即可求出所求的概率．【详解详析】解：等边三角形、正方形、平行四边形、等腰梯形分别用1、2、3、4表示，列表如下：12341234所有等可能情况数为12种，其中两张卡片上图形都是中心对称图形的有2种，则．故答案为：．【名师指路】此题考查了列表法与树状图法，以及中心对称图形，熟练掌握概率所求情况数与总情况数之比是解题的关键．10．（2021·上海宝山·八年级期末）不透明的布袋里有3个小球分别标有数字1、2、3，它们除所标数字外其它都相同．如果任意摸出一个小球记下所标数字后，将该小球放回袋中，搅匀后再摸出一个小球，那么两次摸到的小球所标数字的和能被2整除的概率是__________．【标准答案】【思路指引】画树状图，共有9种等可能的结果，两次摸到的小球所标数字的和能被2整除的结果有5种，再由概率公式求解即可．【详解详析】解：画树状图如图：共有9种等可能的结果，两次摸到的小球所标数字的和能被2整除的结果有5种，∴两次摸到的小球所标数字的和能被2整除的概率为，故答案为：．【名师指路】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．11．（2021·上海杨浦·八年级期末）布袋内装有大小、形状相同的2个红球和2个白球，从布袋中一次摸出两个球，那么两个都摸到红球的概率是___________．【标准答案】【思路指引】画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出两个都是红球的结果数，然后根据概率公式计算．【详解详析】解：画树状图为：共有12种等可能的结果，其中两个都是红球的结果数为2，所以两个都摸到红球的概率==，故答案为：．【名师指路】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．12．（2021·上海金山·八年级期末）从2、6、9三个数字中任选两个，用这两个数字分别作为十位数和个位数组成一个两位数，在所有得到的两位数中随机抽取一个两位数，这个两位数是4的倍数的概率是____．【标准答案】【思路指引】画树状图，共有6种等可能的结果，在所有得到的两位数中随机抽取一个两位数，这个两位数是4的倍数的结果有2种，再由概率公式求解即可．【详解详析】解：画树状图如图：共有6种等可能的结果，在所有得到的两位数中随机抽取一个两位数，这个两位数是4的倍数的结果有2种，∴在所有得到的两位数中随机抽取一个两位数，这个两位数是4的倍数的概率为=，故答案为：．【名师指路】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．13．（2021·上海青浦·八年级期末）在一个袋子中装有除颜色外其它完全相同的个红球和个白球，如果从中随机摸出两个球，那么摸到的两个球颜色不同的概率是______．【标准答案】【思路指引】画树状图，利用概率计算公式求解即可．【详解详析】解：画树状图为：一共有12种等可能的结果数，其中摸到的两个球颜色不同的有8种，则摸到的两个球颜色不同的概率为，故答案为：．【名师指路】本题考查用列表法或树状图法求随机事件的概率，正确画出树状图，熟记概率公式是解答的关键．14．（2021·上海·上外附中八年级期末）现有三个自愿献血者，其中两人血型为O型，一人为A型，若在三人中随机挑选一人献血，两年后又从此三人中随机挑选一人献血，那么两次献血的人血型均为O型的概率是___．【标准答案】【思路指引】列表得出共有9种等可能情况，两次献血的人血型均为O型的有4种情况，再由概率公式求解即可．【详解详析】解：列表如下：共有9种等可能的情况，两次献血的人血型均为O型的有4种情况，∴两次献血的人血型均为O型的概率为，故答案为：．【名师指路】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．15．从1，2，3，4四个数中任意取出2个数做加法，其和为偶数的概率是_________．【标准答案】【详解详析】分析：首先根据题意列出表格，得出所有可能出现的结果，然后根据概率的计算法则得出答案．详解：123411+2=31+3=41+4=521+2=32+3=52+4=633+1=43+2=54+3=744+1=54+2=64+3=7∴P(和为偶数)=．点睛：本题主要考查的是利用列表法求概率，属于基础题型．根据题意列出表格是解决这个问题的关键．16．从1、2、3这三个数中任选两个组成两位数，在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个数恰好是偶数的概率是_____．【标准答案】【思路指引】列举出所有情况，看末位是2的情况占所有情况的多少即可．【详解详析】解：共有6种情况，是偶数的有2种情况，所以组成的两位数是偶数的概率为，故答案为．【名师指路】此题主要考查了树状图法求概率，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝，注意本题是不放回实验．17．一次测验中有2道题是选择题，每题均有4个选项且只有1个选项是正确的，若从这2道题中每题都随机选择其中个选项作为答案，则这2道选择题答案全对的概率为________.【标准答案】【思路指引】由树状图可知，总共有16种等可能的结果，其中2道选择题答案全对的结果有1种，则这2道选择题答案全对的概率为.【详解详析】设这2道选择题的选项分别为A，B，C，D，画树状图如下：由树状图可知，总共有16种等可能的结果，其中2道选择题答案全对的结果有1种，则这2道选择题答案全对的概率为.【名师指路】考核知识点：用列举法求概率.画出树状图是关键.18．从分别写有数字1，2，4的三张相同卡片中任取两张，如果把所抽取卡片上的两个数字分别作为点M的横坐标和纵坐标，那么点M在双曲线y＝上的概率是_____．【标准答案】【思路指引】列表得出所有等可能的情况，然后判断落在双曲线上点的情况数，即可求出点M在双曲线y＝上的概率．【详解详析】解：列表如下：所有可能的情况有6种,其中落在双曲线y＝上的点有：（1，4），（4，1）共2个，则点M在双曲线y＝上的概率是＝．【名师指路】此题考查的是判断点是否在反比例函数图象上和求概率问题，掌握列表法和概率公式是解决此题的关键．19．已知a，b取，，1中的任意一个值，则直线经过第二象限的概率是________．【标准答案】【思路指引】列表得出所有等可能的结果数，找出直线y＝ax+b经过第二象限的情况数，即可求出所求的概率．【详解详析】解：列表如下：﹣211﹣2（1，﹣2）（1，﹣2）1（﹣2，1）（1，1）1（﹣2，1）（1，1）所有等可能的情况数有6种，其中直线y＝ax+b经过第二象限情况数有4种，则P＝＝．故答案为：．【名师指路】此题考查了列表法与树状图法，以及一次函数图象与系数的关系，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20．现有四张正面分别标有数字﹣1、0、1、2的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，再次背面朝上洗均匀，随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m、n，则点(m，n)在抛物线y＝x2+1上的概率为_____．【标准答案】．【思路指引】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果在抛物线图像上的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解详析】解：根据题意，树状图如下：∴共有16等可能的结果，前后两次抽取的数字分别记为m、n，则点(m，n)在抛物线y＝x2+1上的可能有3种；分别为：（1，2），（0，1），（1，2）；∴概率为：；故答案为：．【名师指路】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．三、解答题21．一只箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同．（1）从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是多少？（2）从箱子中任意摸出一个球，不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两次摸出球的都是白球的概率，并画出树状图．【标准答案】（1）；（2）.【思路指引】（1）从箱子中任意摸出一个球是白球的概率即是白球所占的比值；（2）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单；解题时要注意是放回实验还是不放回实验，此题属于放回实验，此题要求画树状图，要按要求解答．【详解详析】解：（1）从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是（2）记两个白球分别为白1与白2，画树状图如图所示：从树状图可看出：事件发生的所有可能的结果总数为6，两次摸出球的都是白球的结果总数为2，因此其概率.22．（2021·上海杨浦·八年级期末）为庆祝中国共产党建党90周年，6月中旬我市某展览馆进行党史展览，把免费参观票分到学校．展览馆有2个验票口A、B（可进出），另外还有2个出口C、D（不许进）.小张同学凭票进入展览大厅，参观结束后离开.（1）小张从进入到离开共有多少种可能的进出方式？（要求用列表或树状图）.（2）小张不从同一个验票口进出的概率是多少？【标准答案】（1）见解析；（2）【思路指引】（1）开始以后有两种选择，即入口A或B，进入每个入口后，又各自有四种选择，即可用树形图法表示；（2）根据树形图求出所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可解答．【详解详析】（1）用树状图分析如下（2）小张从进入到离开共有8种可能的进出方式，不从同一个验票口进出的情况有6种，∴P（小张不从同一个验票口进出）=．【名师指路】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=.23．（2021·上海徐汇·八年级期末）小杰和小明玩扑克牌游戏，各出一张牌比输赢．游戏的规则是：谁的牌数字大谁赢，同样大就平：A遇2就输，遇其他牌（除A外）都赢．目前小杰手中A、K、J，小明手中有2、Q、J．（1）求出小明抽到的牌恰好是“2”的概率；（2）小杰、小明两人谁获胜的机会大？画出树状图，通过计算说明理由．【标准答案】（1）；（2）小明获胜的机会大．理由见解析【思路指引】（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有9种等可能的结果，再找出小杰获胜的结果数和小明获胜的结果数，则可计算出小杰获胜的概率和小明获胜的概率，然后比较两个概率的大小可判断谁获胜的机会大．【详解详析】解：（1）小明抽到的牌恰好是“2”的概率=；（2）小明获胜的机会大．理由如下：画树状图为：

共有9种等可能的结果，其中小杰获胜的结果数为3，小明获胜的结果数为4，所以小杰获胜的概率=；小明获胜的概率=，而，所以小明获胜的机会大．【名师指路】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．24．一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同．（1）求摸出1个球是白球的概率；（2）摸出1个球，记下颜色后放回，并搅均，再摸出1个球．求两次摸出的球恰好颜色不同的概率（要求画树状图或列表）；（3）现再将n个白球放入布袋，搅均后，使摸出1个球是白球的概率为．求n的值．【标准答案】（1）概率为；（2）概率为；（3）n=4．【思路指引】（1）直接利用列举法就可以得到答案；（2）利用画树状图的方法可以得到两次摸出的球恰好颜色不同的概率；（3）利用概率计算公式列出等式，求解即可．【详解详析】（1）∵一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，∴摸出1个球是白球的概率为；（2）画树状图得：∴一共有9种可能的结果，两次摸出的球恰好颜色不同的有4种，∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率为；（3）由题意得：，解得：n=4．经检验，n=4是所列方程的解，且符合题意，∴n=4．25．（2019·上海浦东新·八年级期末）如图所示的方格地面上，标有编号1、2、3的3个小方格地面是空地，另外6个小方格地面是草坪，除此以外小方格地面完全相同．(1)一只自由飞行的小鸟，将随意地落在图中所示的方格地面上，求小鸟落在草坪上的概率；(2)现准备从图中所示的3个小方格空地中任意选取2个种植草坪，则编号为1、2的2个小方格空地种植草坪的概率是多少（用树状图或列表法求解）？【标准答案】(1)．(2)．【详解详析】试题分析：根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．使用树状图分析时，一定要做到不重不漏．试题解析：（1）P（小鸟落在草坪上）=；（2）用树状图列出所有问题的可能的结果：由树状图可知，共有6种等可能结果，编号为1、2的2个小方格空地种植草坪有2种，所以P（编号为1、2的2个小方格空地种植草坪）=考点：1．列表法与树状图法；2．几何概率．26．（2019·上海市继光初级中学八年级月考）同时掷两个结构均匀、大小相等的骰子，个面上分别标有1、2、3、4、5、6，两个骰子点数之和是几的概率最大？为多少？【标准答案】和为7的概率最大，【思路指引】先列表展示出所有等可能的结果，然后比较各事件的概率大小即可【详解详析】列表如下：和123456123456723456783456789456789105678910116789101112由上表可知，两个骰子点数之和是7的概率最大，为【名师指路】掌握列表法的画法是解题关键27．（2019·上海长宁·八年级期末）有两个不透明的袋子分别装有红、白两种颜色的球（除颜色不同外其余均相同），甲袋中有2个红球和1个白球，乙袋中有1个红球和3个白球.（1）如果在甲袋中随机摸出一个小球，那么摸到红球的概率是______.（2）如果在乙袋中随机摸出两个小球，那么摸到两球颜色相同的概率是______.（3）如果在甲、乙两个袋子中分别随机摸出一个小球，那么摸到两球颜色相同的概率是多少？（请用列表法或树状图法说明）【标准答案】（1）；（2）；（3）摸到的两球颜色相同的概率【思路指引】（1）直接利用概率公式计算；（2）利用完全列举法展示6种等可能的结果数，然后根据概率公式求解；（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出摸到两球颜色相同的结果数，然后根据概率公式求解．【详解详析】（1）如果在甲袋中随机摸出一个小球，那么摸到红球的概率是．（2）如果在乙袋中随机摸出两个小球，则有红白、红白、红白、白白、白白、白白共6种等可能的结果数，其中摸到两球颜色相同的概率=．（3）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中摸到两球颜色相同的结果数为5，所以摸到两球颜色相同的概率．【名师指路】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．28．如图，有两个可以自由转动的转盘A、B，转盘A被均匀分成4等份，每份标上数字1、2、3、4四个数字；转盘B被均匀分成6等份，每份标上数字1、2、3、4、5、6六个数字．有人为甲乙两人设计了一个游戏，其规则如下：同时转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字作乘积，如果所得的积是偶数，那么甲得1分；如果所得的积是奇数，那么乙得1分．你认为这样的规则是否公平？请你说明理由；如果不公平，请你修改规则使该游戏对双方公平．【标准答案】不公平，修改游戏规则见解析．【详解详析】解：列表如下，1234561奇偶奇偶奇偶2偶偶偶偶偶偶3奇偶奇偶奇偶4偶偶偶偶偶偶从表中可以看出所得的积共有4×6＝24种情况，乘积是奇数的结果共有2×3＝6种情况，所以甲获胜的概率是，乙获胜的概率是．所以这个游戏规则不公平．游戏规则可以改为：当两数的和是奇数时甲获胜，当两数和是偶数时乙获胜．考点：利用概率判断游戏的公平性【名师指路】本题主要考查了利用概率判断游戏的公平性．解决本题的关键是根据概率公式求出甲、乙获胜的概率，根据概率判断游戏是否公平．29．（2021·上海虹口·八年级期末）小明和小红玩扑克牌游戏，每次各出一张牌（打出的牌不收回），谁的牌数字大谁赢，同样大就平．现已知小明手中有2、5、8，小红手中有3、5、7．（1）如果小明、小红将手中的牌任出一张，一局定胜负，请用画树状图或列表的方法，说明谁的获胜机会比较大？（2）如果小明按2、5、8的顺序出牌三次，小红则按随机顺序出牌三次，三局两胜定胜负，那么小红获胜的概率是___________（直接写出结果）．【标准答案】（1）一样大；（2）【思路指引】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树