初中数学：将军饮马问题习题

将军饮马“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。模型1定直线与两定点模型作法结论当两定点A、B在直线异侧时，在直线上找一点P，使PA+PB最小。连接AB交直线于点P，点P即为所求作的点。PA+PB的最小。当两定点A、B在直线同侧时，在直线上找一点P，使PA+PB最小。作点B关于直线的对称点B′，连接AB′交直线于点P，点P即为所求作的点。PA+PB的最小值为AB′。当两定点A、B在直线同侧时，在直线上找一点P，使最大。连接AB并延长交直线于点P，点P即为所求作的点。的最大值为AB。当两定点A、B在直线同侧时，在直线上找一点P，使最大。作点B关于直线的对称点B′，连接AB′并延长交直线于点P，点P即为所求作的点。的最大值为AB′。当两定点A、B在直线同侧时，在直线上找一点P，使最小。连接AB，作AB的垂直平分线交直线于点P，点P即为所求作的点。的最小值为0。模型实例例1．如图，正方形ABCD的面积是12，△ABE是等边三角形，点E 在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，则PD+PE的最小值为。例2．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=4，∠BCD=15°，P为CD上的动点，则的最大值是多少？热搜精练1．如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB-90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是。2．如图，点C的坐标为（3，），当△ABC的周长最短时，求的值。3．如图，正方形ABCD中，AB-7，M是DC上的一点，且DM-3，N是AC上的一动点，求的最小值与最大值。模型2角到定点模型作法结论点P在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得△PCD周长最小。分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P"，连接P′P"，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求。△PCD周长最小为P′P"。点P在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得PD+CD最小。作点P关于OB的对称点P′，过点P′作P′C⊥OA交OB于点C，点C、D即为所求。PC+CD的最小值为P′C。点P、Q在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得四边形PQDC周长最小。分别作点P、Q关于OA、OB的对称点P′、Q′，连接P′Q′，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求。PC+CD+DQ的最小值为P′Q′，所以四边形PQDC的周长的最小值为P′Q′+PQ。模型实例例1．如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10，在OA上有一点Q，OB上有一点R。若△PQR周长最小，则最小周长是多少？热搜精练1．如图，∠MON=40°，P为∠MON内一定点，A为OM上的点，B为ON上的点，当△PAB的周长取最小值时：（1）找到A、B点，保留作图痕迹；（2）求此时∠APB等于多少度。如果∠MON=，∠APB又等于多少度？2．如图，四边形ABCD中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小，并求此时∠AMN+∠ANM的度数。3．如图，在轴上找一点C，在轴上找一点D，使AD+CD+BC最小，并求直线CD的解析式及点C、D的坐标。4．如图∠MON=20°，A、B分别为射线OM、ON上两定点，且OA=2，OB=4，点P、Q分别为射线OM、ON上两动点，当P、Q运动时，线段AQ+PQ+PB的最小值是多少？模型3两定点一定长模型作法结论如图，在直线上找M、N两点（M在左），使得AM+MN+NB最小，且MN=。将点A向右平移个单位到A′，作A′关于直线的对称点A"，连接A"B交直线于点N，将点N向左平移个单位到M，点M、N即为所求。AM+MN+NB最小为A"B。如图，∥，，之间距离为，在，分别找M、N两点，使得MN⊥，且AM+MN+NB最小。将点A向下平移个单位到A′，连接A′B交直线于点N，将点N向上平移个单位到M，点M、N即为所求。AM+MN+NB的最小值为A′B+。模型实例例1．在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示，点A在轴正半轴上，点C在轴正半轴上，且OA=6，OC=4，D为OC中点，点E、F在线段OA上，点E在点F左侧，EF=2。当四边形BDEF的周长最小时，求点E的坐标。热搜精练1．在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在，轴、轴的正半轴上，A（3，0），B（0，4），D为边OB的中点。（1）若E为边OA上的一个动点，求△CDE的周长最小值；（2）若E