数学互动课堂：三角函数的诱导公式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精互动课堂疏导引导1。角α与π+α的三角函数关系图1—3-3如图1-3-1,设任意角α的终边与单位圆的交点坐标为P1（x,y）,由于角π+α的终边与角α的终边关于原点对称,角π+α的终边与单位圆的交点P2与点P1关于原点O对称,因此P2的坐标是(-x,—y）,由三角函数的定义得sinα=y，cosα=x,tanα=，sin(π+α）=-y，cos(π+α）=—x，tan（π+α)==。从而得公式(二）sin(π+α)=-sinαcos(π+α）=-cosαtan(π+α)=tanα2。角α与—α的三角函数关系如图1—3-2，设单位圆与角α，角（-α）的终边的交点分别为P1和P2，容易看出点P1和P2关于x轴对称，已知点P1的坐标为（x,y）,则P2的坐标为(x,-y)。由三角函数的定义得sinα=y,cosα=x，tanα=，sin(-α）=-y，sin（—α）=x,tan(—α）=—.图1—3-2∴公式(三）sin（-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan（-α）=—tanα3。角α与π—α的三角函数关系如图1—3—3,设单位圆与角α，角π—α的终边的交点分别为P1和P2,则P1、P2关于y轴对称,已知P1（x，y),则P2的坐标为（-x,y)，由三角函数的定义得sin（π—α)=y,cos(π-α）=-x，tan（π—x)=-。图1—3—3∴公式（四）sin(π-α）=sinαcos(π-α）=—cosαtan（π—α）=-tanα4。角α与-α的三角函数关系如图1-3—4，设任意角α与单位圆的交点P1（x，y）,由于角-α的终边与角α的终边关于直线y=x对称,角-α的终边与单位圆的交点P2与P1关于直线y=x对称，因此点P2的坐标为（y，x)，于是有cosα=x，sinα=y,cos(-α)=y，sin（—α）=x。图1-3—4∴公式（五)sin（—α)=cosαcos（-α）=sinα由于+α=π-(—α)，由公式（四)及公式(五）可得公式（六)sin（+α）=cosαcos（+α)=-sinα5.这六组公式必须注意的几个问题(1）公式中的角α可以是任意角;(2）这六组诱导公式可以叙述为:①α+k·2π，π+α,-α,π—α的三角函数值等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看成锐角是原函数值的符号。为了便于记忆，也可简单地说成:“函数名不变，符号看象限."②α+，-α+的三角函数值，等于α的余名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角是原函数值的符号，记忆口诀为：“函数名改变，符号看象限.”③这两套公式可以推广为：k·+α(k∈Z）的三角函数值,当k为偶函数时，得α的同名函数值;当k为奇数时，得α的异名函数值,然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。概括为:“奇变偶不变,符号看象限.”这里的奇偶是指k的奇偶。活学巧用1.求下列各三角函数值.(1)sin(）;（2）cos（)；（3)tan(—405°）.解析：可先利用公式（二)把负角的三角函数转化成正角的三角函数,再利用公式（一)把绝对值大于2π（或360°）的角的三角函数转化成绝对值小于2π(或360°)的角的三角函数去求值。(1)方法一:sin(）=-sin=—sin(+6π)=—sin=—。方法二：sin（)=sin（—-6π）=sin(—）=—sin=-.(2）cos()=cos=cos(+6π)=cos=;cos()=cos(——6π）=cos（—)=cos=。（3)tan（-405°）=—tan405°=—tan（45°+360°）=-tan45°=-1;tan(-405°）=tan(-45°—360°)=tan(—45°）=—tan45°=-1.2.求下列三角函数式的值.（1)sin495°·cos（-675°）;（2）3sin(—1200°)·tan(—)-cos585°·tan（）。解析:(1)sin495°·cos（-675°）=sin（135°+360°)·cos675°=sin135°·cos315°=sin(180°—45°)·cos（360°-45°)=sin45°·cos45°=×=.（2)sin(-1200°）·tan（—）-cos585°·tan()=—sin1200°·（-)—cos(720°-135°)·tan（-8π—）=sin(1080°+120°）-cos135°·tan（-)=—（-）·（-1)=。答案：（1);(2).3。已知sinα是方程5x2—7x—6=0的根，求[sin（α+)·sin（-α）·tan2（2π-α)·tan(π—α）］÷[cos(—α)·cos(+α)］的值.解析:5x2—7x-6=0的两根为x=2或x=，∴sinα=,cosα=±=±.∴tanα=±.∴原式==tanα=±。答案:±。4.若f（sinx）=cos17x，求f()的值.解析：此类题目是诱导公式与函数之间的一种混合运算，在运算的过程中要理解函数表达式的意义，灵活运用诱导公式。f()=f(sin）=cos=cos（2π+）=cos=cos（π—)=-cos=—.答案:—。5.若sin（180°+α）+cos（90°+α）=—a,则cos（270°-α）+2sin（360°-α）的值是（）A.—B.—C。D.解析：sin