数学互动课堂：平面几何中的向量方法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精互动课堂疏导引导1。向量在平面几何中的应用向量是数学中证明几何命题的有效工具之一.根据平面向量的基本定理,任一平面直线型图形中的线段都可以表示为某些向量的线性组合,这样在证明几何命题时,可先把已知和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算就很容易得出结论。一般地,利用实数与向量的积可证明共线、平行、长度问题。利用向量的数量积可解决长度、角度、垂直等问题。图2-5-1例如求证平行四边形对角线互相平分，如图2—5—1所示，已知ABCD的两条对角线相交于点M,设=x,=y，则=x=x+x.=+=+y=+y(-)=(1—y)+y。于是我们得到关于基底｛，｝的的两个分解式。因为分解式是唯一的,所以解得x=，y=。故M是、的中点,即对角线、在交点处互相平分。通过上例可以看出用向量方法解决平面几何的步骤为：(1）建立平面几何与向量之间的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题。（2）通过向量运算,解决几何元素之间的关系.(3）把运算结果翻译成几何关系。疑难疏引（1)证明线段相等、平行,常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的定义。(2)证明线段平行、三角形相似，判断两直线是否平行,常运用向量共线的条件。(3）证明线段的垂直问题,常用向量垂直的条件a⊥ba·b=0。(4）求与夹角相关的问题，常用向量的夹角公式cosθ=.2。向量在解析几何中的应用在平面直角坐标系中，有序实数对（x,y)既可表示一个固定的点,又可以表示一个向量。使向量与解析几何有了密切的联系.特别是有关直线的平行、垂直问题,可以用向量方法解决。例如：求通过点A(—1,2）,且平行于向量a=（3，2）的直线方程.解：过点A且平行于向量a的直线是唯一确定的,把这条直线记为l，在l上任取一点P（x,y),则∥a。如果P不与A重合，由向量平行,它们的坐标满足条件,整理得方程2x-3y+8=0.反过来，所有以此方程的解(x，y)为坐标的点也一定在直线l上.所以这个方程就是所求的直线方程.活学巧用1。如图2—5-2,若D是△ABC内一点,且有AB2—AC2=DB2—DC2。求证:AD⊥BC.证明：欲证AD⊥BC,只需证明⊥即可.图2-5—2设=a,=b，=e，=c,=d,则a=e+c，b=e+d.∴a2-b2=（e+c)2-(e+d）2=c2+2e·c—2e·d-d2.由已知a2—b2=c2—d2，∴c2+2e·c—2e·d—d2=c2—d2。故有e·（d-c）=0。∴⊥，即⊥。2。平面内三点A、B、C在一条直线上，=（—2,m)=(n,1）,=(5，-1),且⊥，求实数m、n的值.解析：因为A、B、C三点共线,所以=λ.因为=—=（7,—1-m）,=—=（n+2,1—m),所以(7,—1—m）=λ(n+2,1-m).①所以m·n=5m+n+9=0.由·=0，得m—2n=0.②由①②得或3.下图2—5—3所示是并列的三个大小相同的正方形,求证：∠1+∠2+∠3=90°。图2—5—3证明：以O为坐标原点，OC、OG所在的直线为x、y轴建系如上图，设正方形边长为1,则=(3,1），=（2，1），作向量=（3，-1）,则与的夹角等于∠2+∠3。∵｜|=5,||=10,·=2×3+1