数学互动课堂：+平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精互动课堂疏导引导1。正交分解在不共线的两个向量中,垂直是一种重要情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.图2-3-14如图2—3-14，光滑斜面上一个木块受到重力G的作用，产生两个效果，一是木块受平行于斜面的力F1的作用，沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力F2。也就是说，重力G的效果等价于F1和F2的合力的效果,即G=F1+F2.G=F1+F2叫做把重力G分解。2。向量的坐标表示图2—3—15如图2—3-15,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x、y,使得a=xi+yj。这样，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y)。其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标.a=（x,y)叫做向量的坐标表示.3.向量的直角坐标的意义图2—3-16如图2-3-16,在直角坐标平面中,以原点O为起点作=a,则点A的位置由向量a唯一确定。设=xi+yj,则向量的坐标（x，y）就是终点A的坐标;反过来，终点A的坐标(x，y）也就是向量的坐标。因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示.4。平面向量的坐标运算（1)若a=(a1,a2），b=(b1,b2),则a+b=（a1+b1，a2+b2)，即两个向量的和的坐标,等于这两个向量相应坐标的和。(2)若a=(a1，a2）,b=（b1,b2）,则a—b=（a1-b1，a2—b2)，即两个向量的差的坐标,等于这两个向量相应坐标的差。(3）若A(x1,y1),B(x2,y2)，则=（x2—x1，y2-y1）,即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.(4)若a=(a1,a2）,λ∈R，则λa=(λa1，λa2),即向量数乘积的坐标等于数乘以向量的相应坐标的积。5。平面向量坐标运算的证明设a=(a1,a2),b=（b1，b2)，则a+b=（a1e1+a2e2)+(b1e1+b2e2)=(a1+b1）e1+(a2+b2）e2，即a+b=（a1+b1,a2+b2)。用同样的方法可以证明：a-b=(a1—b1,a2-b2),λa=λ(a1,a2）=(λa1，λa2）。疑难疏引已知A(x1,y1）,B（x2,y2),则AB=—=(x2,y2）-(x1,y1)=(x2—x1,y2—y1）.活学巧用1。若{e1,e2｝为正交基底,设a=（x2+x+1）e1—（x2-x+1）e2（其中x∈R)，则向量a位于(）A。第一、二象限B.第二、三象限C.第三象限D。第四象限解析：a=(x2+x+1,-x2+x-1),x2+x+1=x2+x++=（x+)2+≥＞0，—x2+x—1=-（x2-x)—1=—(x2—x+)-=—(x—）2—≤—＜0，∴a位于第四象限.答案:D2.在直角坐标系xOy中,向量a、b、c的方向和长度如图2-3-17所示，分别求它们的坐标。图2—3-17解析：设a=（a1，a2）,b=(b1,b2)，c=(c1，c2)，则a1=｜a｜·cos45°=2×=，a2=|a|·sin45°=2×=，b1=|b｜·cos120°=3×（-)=-，b2=｜b｜·sin120°=3×=,c1=｜c｜·cos(-30°）=4×=,c2=｜c｜·sin（-30°)=4×（-）=—2,∴a=（)，b=(-,）,c=（,-2).答案：a=(），b=(-,），c=(,-2)。3.设向量a、b的坐标分别是（-1，2)、（3，—5)，求a+b、a—b、3a、2a+3解析：a+b=(-1,2)+(3,-5）=(-1+3，2—5）=（2,-3),a—b=（—1，2)-（3,-5）=(—1—3,2+5)=（-4，7),3a2a+3b答案：a+b=（2,—3)，a-b=(—4，7)，3a=(-3，6)，2a+34。已知点A（-1，2），B(2,8）及=,=-,求点C、D和CD的坐标。解析：设C、D的坐标分别为（x1,y1)、（x2,y2）,由题意可得=(x1+1，y1—2），=（3，6)，=(-1—x2,2—y2）,=(-3，—6)。∵=，=—,∴（x1+1，y1—2）=（3,6),(—1-x2，2-y2)=-(—3,-6）,也就是(x1