数学单元检测：第四讲数学归纳法证明不等式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精数学人教版A4—5第四讲数学归纳法证明不等式单元检测(时间：90分钟满分：100分）一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．用数学归纳法证明当n∈N＋时，1＋2＋22＋…＋25n－1是31的倍数时，当n＝1时原式为（）A．1 B．1＋2 C．1＋2＋3＋4 D．1＋2＋22＋23＋22．从一楼到二楼的楼梯共有n级台阶,每步只能跨上1级或2级，走完这n级台阶共有f（n）种走法,则下面的猜想正确的是（)A．f（n）＝f(n－1）＋f（n－2)（n≥3） B．f（n）＝2f(n－1)(n≥2C．f（n）＝2f（n－1）－1（n≥2） D．f(n）＝f（n－1）f（n－2)(n≥33．用数学归纳法证恒等式1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，由n＝k到n＝k＋1时，等式两边应同时加上(）A. B． C. D.4．凸n边形有f（n)条对角线，则凸(n＋1)边形的对角线的条数f（n＋1）为（)A．f（n)＋n＋1 B．f（n)＋n C．f（n)＋n－1 D．f(n）＋n－25．下列说法中正确的是()A．若一个命题当n＝1,2时为真,则此命题为真命题B．若一个命题当n＝k时成立且推得n＝k＋1时也成立，则这个命题为真命题C．若一个命题当n＝1，2时为真，则当n＝3时这个命题也为真D．若一个命题当n＝1时为真，n＝k时为真能推得n＝k＋1时亦为真，则此命题为真命题6．若命题A（n)(n∈N＋)在n＝k（k∈N＋）时成立，则有n＝k＋1时命题也成立．现知命题对n＝n0(n0∈N＋)时成立，则有（)A．命题对所有正整数都成立B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立D．以上说法都不正确7．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1（n∈N＋)"的过程中，第二步n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到（)A．1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1C．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1D．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－18．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除"时，第二步正确的证明方法是（)A．假设n＝k(k∈N＋）时成立，证明n＝k＋1时命题也成立B．假设n＝k(k是正奇数）时成立，证明n＝k＋1时命题也成立C．假设n＝2k＋1(k∈N＋)时成立，证明n＝2k＋3时命题也成立D．假设n＝2k－1（k∈N＋）时成立，证明n＝2k＋1时命题也成立9．用数学归纳法证明（n＋1)(n＋2）…(n＋n)＝2n×1×3×…×（2n－1)（n∈N＋)时，从k到k＋1，左边需要增加的代数式为（)A．2k＋1 B．2(2k＋1） C。 D。10．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＞成立时,起始值至少应取（）A．7 B．8 C．9 D．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分,共20分．把答案填在题中的横线上）11．用数学归纳法证明“对于足够大的正整数n，总有2n＞n3时”,验证第一步不等式成立所取的第一个最小值n0应当是__________．12．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N＋都成立，那么a＝______，b＝____，c＝______.13．用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n，总有2n＞n2”时，验证的第一步不等式成立所取的第一个值n0最小应当是________14．用数学归纳法证明“n3＋5n(n∈N＋)能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，对式子(k＋1）3＋5(k＋1）应变形为________．15．用数学归纳法证明＋＋＋…＋＞－，假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标是__________．三、解答题(本大题共6小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．(8分)求数列：,，,…,，…的前n项和Sn。17．（8分）设{xn}是由x1＝2，xn＋1＝(n∈N＋）定义的数列，求证:xn＜.18.（8分）若n∈N＋，求证：2！·4！·6！·…·（2n)！≥[（n＋1)！］n.19．(10分)若不等式＋＋＋…＋＞对一切正整数n都成立,求正整数a的最大值，并证明你的结论．20.（8分）证明等差数列通项公式an＝a1＋（n－1)d.21．(8分)用数学归纳法证明42n＋1＋3n＋2能被13整除，其中n∈N＋.

参考答案1.答案：D左边＝1＋2＋22＋…＋25n－1，所以n＝1时，应为1＋2＋…＋25×1－1＝1＋2＋22＋23＋24。2.答案：A分别取n＝1,2,3，4验证，得f(n)＝3．答案：D4.答案：C由题意易知增加的对角线条数为(n－1）条．5。答案：D由完全归纳法可知，只有当n的初始取值成立且由n＝k成立能推得n＝k＋1时也成立时，才可以证明结论正确，二者缺一不可．A,B，C项均不全面．6.答案:C数学归纳法证明的结论只是对n的初始值及后面的正整数成立，而对于初始值前的正整数不一定成立．7。答案：D由条件知，左边是从20，21一直到2n－1都是连续的,因此当n＝k＋1时，左边应为1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k,而右边应为2k＋1－1.8。答案：D假设的n的取值必须取到初始值1，且后面的n的值比前面的值大2。9。答案：B当n＝k时左边的最后一项是2k，n＝k＋1时左边的最后一项是2k＋2，而左边各项都是连续的，所以n＝k＋1时比n＝k时左边少了（k＋1）,而多了(2k＋1)（2k＋2）．因此增加的代数式是＝2（2k＋1）．10．答案：B原不等式可化为＞，即＞，即2－＞,所以2－＞，即＞，即＞。故26＜2n－1，即n－1＞6，故n＞7,所以起始值最小取8.11.答案：10当n＝1时，21＞13,成立；当n＝2时，22＞23，不成立；当n＝3时，23＞33,不成立;当n＝4时，24＞43，不成立；当n＝5时，25＞53，不成立；当n＝6时，26＞63,不成立;…当n＝9时，29＝512＞93，不成立；当n＝10时，210＝1024＞103，成立．12。答案：取n＝1，2,3，得解得a＝,b＝,c＝.13。答案：5将n＝2，3，4,5分别代入验证，可得n＝2，3，4时,2n≤n2，而n＝5时,25＞52。14．答案:(k3＋5k)＋3k（k＋1)＋6首先必须应用归纳假设,然后采用配凑法．15.答案：＋＋＋…＋＞－注意不等式两边含变量“n"的式子,因此当n＝k＋1时,应该是含“n”的式子发生变化，所以n＝k＋1时，应为＋＋…＋＋＞－.16。解：S1＝＝＝；S2＝＋＝＝；S3＝＋＋＝＝；…由以上计算可猜想数列的前n项和Sn＝＋＋＋…＋＝.下面用数学归纳法证明此等式对任何n∈N＋都成立．证明：（1）当n＝1时，左边＝＝,右边＝＝，等式成立．（2)假设n＝k(k∈N＋，k≥1）时,等式成立，即＋＋…＋＝。当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝＋＝＋＝＝＝，这就是说，当n＝k＋1时，等式成立，即Sn＝＋＋…＋＝。根据（1)(2)知，等式对于任何n∈N＋都成立．17。提示：xk＋1＝＋＞＝.xn＞显然成立．证明：（1)当n＝1时，x1＝2＜＋1，不等式成立．（2)假设当n＝k(k≥1)时，不等式成立,即xk＜，那么,当n＝k＋1时，xk＋1＝＋。由归纳假设,xk＜,则＜＋,＞。∵xk＞,∴＜。∴xk＋1＝＋＜＋＋＝＋≤.即xk＋1＜.∴当n＝k＋1时，不等式xn＜＋成立．综上，得xn＜＋(n∈N＋)．18。证明:（1）当n＝1时，左边＝2！＝2，右边＝(2！）1＝2,不等式成立．(2）假设n＝k（k∈N＋，k≥1）时，不等式成立，即2!·4！·6!·…·（2k)！≥［（k＋1）！]k成立，则n＝k＋1时，2！·4！·6!·…·(2k）!·(2k＋2）!≥[(k＋1)！］k·（2k＋2)！，其中(2k＋2）！＝(2k＋2)（2k＋1）…（k＋3)［(k＋2）!］，∵k＋3＞k＋2，k＋4＞k＋2,…，2k＋2＞k＋2，∴(2k＋2）！＞（k＋2）k·(k＋2)!.上面不等式对k≥1都成立，∴2!·4!·6!·…·(2k）！·（2k＋2）！≥［（k＋1）!］k·（2k＋2）！＞［(k＋1)！］k·(k＋2）k·（k＋2)!＝[（k＋2)！]k·(k＋2)！＝［（k＋2)！]k＋1。∴当n＝k＋1时，不等式成立．由(1)（2)知,所证不等式对一切n∈N＋都成立．19.证明：当n＝1时，＋＋＞，即＞,∴a＜26.而a∈N＋，∴取a＝25。下面用数学归纳法证明＋＋…＋＞。(1）n＝1时，已证．（2）假设当n＝k(k∈N＋，k≥1）时，＋＋…＋＞.则当n＝k＋1时,有＋＋…＋＋＋＋＝（＋＋…＋）＋（＋＋－）＞＋[＋－]．∵＋＝＞，∴＋－＞0。∴＋＋…＋＞也成立．由(1）（2）可知，对一切n∈N＋,都有＋＋…＋＞,∴a的最大值为25.20.证明:(1)当n＝1时等式成立．(2）假设当n＝k时等式成立,即ak＝a1＋(k－1）d，则ak＋1＝ak＋d＝a1＋［（k＋1)－1]d，即n＝k＋1时等式也成立．由（1)（2)可知，等差数列的通项公式an＝a1＋（n－1)d对一切n∈N＋都成立．21。证明：(1）当